上海魯?shù)V第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

上海魯?shù)V第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（9，3），則f（2）-f（1）≈A．3

B．

C．

D．1參考答案：C2.已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=0，a2=﹣，則{an}的前10項和等于(

)A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）參考答案：C【考點】等比數(shù)列的前n項和．【專題】計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知可知，數(shù)列{an}是以﹣為公比的等比數(shù)列，結(jié)合已知可求a1，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：∵3an+1+an=0∴∴數(shù)列{an}是以﹣為公比的等比數(shù)列∵∴a1=4由等比數(shù)列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故選C【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題3.如圖所示程序框圖是為了求出滿足的最小正偶數(shù)，那么空白框中及最后輸出的n值分別是（

）A．n=n+1和6

B．n=n+2和6

C.n=n+1和8

D．n=n+2和8參考答案：D4.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A. B. C. D.參考答案：C5.設(shè)是實數(shù)，若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.設(shè)集合A、B均為數(shù)集，且，則集合AB中元素的個數(shù)至多為（

）A．5個

B．4個

C．3個

D．2個參考答案：A7.已知對任意實數(shù)，使且時，，則時，有（

）A．

B.C.

D.參考答案：B8.若,則,則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：，因為，所以，選D.考點：二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系9.設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，且=3，則=（）A．+

B．+C．+

D．+參考答案：A【考點】向量加減混合運算及其幾何意義．【分析】根據(jù)向量的三角形法則進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵∴==（﹣），則=+=+（﹣）=，故選：A10.設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1<a2<a4”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的（

）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三內(nèi)角的對邊分別為，且,若成等比數(shù)列，則=

參考答案：12.已知集合，．設(shè)集合同時滿足下列三個條件：

①；②若，則；③若，則．當(dāng)時，滿足條件的集合的個數(shù)為

參考答案：13.記為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，現(xiàn)有下列命題：①當(dāng)時，數(shù)列的前3項依次為5,3,2；②對數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時總有；③當(dāng)時，；④對某個正整數(shù)，若，則。其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號參考答案：13414.從編號為0,1,2，…，79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量是10的樣本，若編號為58的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最大編號為________．參考答案：74【知識點】系統(tǒng)抽樣方法I2

解析：樣本間隔為80÷10=8，設(shè)第一個號碼為x，∵編號為58的產(chǎn)品在樣本中，則58=8×7+2，則第一個號碼為2，則最大的編號2+8×9=74，故答案為：74.【思路點撥】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義求出樣本間隔即可得到結(jié)論．15.函數(shù)的圖像在點處的切線方程為▲.

參考答案：【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．B11

解析：；故；故函數(shù)的圖象在點處的切線方程為：；即；故答案為：．【思路點撥】由題意求導(dǎo)，從而可知切線的斜率，從而寫出切線方程．16.若三棱錐的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為

．參考答案：17.已知集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是________________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)，時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，且時，求在區(qū)間上的最大值．參考答案：（1）當(dāng)，時，，…1分則……………2分令，解得，，當(dāng)或時，有；當(dāng)時，有，…………5分所以的單調(diào)遞增區(qū)間和，的單調(diào)遞減區(qū)間．……………7分（2）當(dāng)，且時，，.則，令，得或．

…8分①當(dāng)，即時，此時當(dāng)時，有，所以在上為減函數(shù)，當(dāng)時，有，所以在上為增函數(shù)，

………9分又，，所以的最大值為；

…………10分②當(dāng)，即時，此時當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

……12分

，，所以的最大值為，

…13分綜上，在區(qū)間上的最大值為.

…14分19.已知為坐標(biāo)原點，點，對于有向量，（1）試問點是否在同一條直線上，若是，求出該直線的方程；若不是，請說明理由;（2）是否在存在使在圓上或其內(nèi)部,若存在求出,若不存在說明理由.參考答案：解:(1)點在同一條直線上,直線方程為.

2分證明如下:設(shè)點,則即所以.所以,點在直線上.

5分

(2)由圓的圓心到直線的距離為,可知直線與圓相切,所以直線與圓及內(nèi)部最多只有一個公共點

10分而切點的坐標(biāo)為:,此時不滿足題意,所以不存在滿足題意.

12分20.已知函數(shù)f（x）=（x2﹣3x+3）?ex，設(shè)t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)；（2）試判斷m，n的大小并說明理由；（3）求證：對于任意的t＞﹣2，總存在x0∈（﹣2，t），滿足，并確定這樣的x0的個數(shù)．參考答案：解：（1）因為f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex，由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，由f′（x）＜0?0＜x＜1，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f（x）在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則﹣2＜t≤0，（2）因為函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（﹣2），從而當(dāng)t＞﹣2時，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（3）證：∵，∴，即為x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并討論解的個數(shù)，因為g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以當(dāng)t＞4或﹣2＜t＜1時，g（﹣2）?g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，當(dāng)1＜t＜4時，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有兩解，當(dāng)t=1時，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，當(dāng)t=4時，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，綜上所述，對于任意的t＞﹣2，總存在x0∈（﹣2，t），滿足，且當(dāng)t≥4或﹣2＜t≤1時，有唯一的x0適合題意，當(dāng)1＜t＜4時，有兩個x0適合題意考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；根的存在性及根的個數(shù)判斷；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：綜合題．分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定t的取值范圍，（Ⅱ）運用函數(shù)的極小值進行證明，（Ⅲ）首先對關(guān)系式進行化簡，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進行判定．解答：解：（1）因為f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex，由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，由f′（x）＜0?0＜x＜1，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f（x）在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則﹣2＜t≤0，（2）因為函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（﹣2），從而當(dāng)t＞﹣2時，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（3）證：∵，∴，即為x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并討論解的個數(shù)，因為g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以當(dāng)t＞4或﹣2＜t＜1時，g（﹣2）?g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，當(dāng)1＜t＜4時，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有兩解，當(dāng)t=1時，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，當(dāng)t=4時，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，綜上所述，對于任意的t＞﹣2，總存在x0∈（﹣2，t），滿足，且當(dāng)t≥4或﹣2＜t≤1時，有唯一的x0適合題意，當(dāng)1＜t＜4時，有兩個x0適合題意．點評：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，同時考查了方程解的個數(shù)問題，綜合性強，尤其第（3）問能力要求比較高．21.(本小題滿分12分)已知拋物線:的準(zhǔn)線為，焦點為，的圓心在軸的正半軸上，且與軸相切，過原點作傾斜角為的直線，交于點，交于另一點，且（I）求和拋物線的方程;（II）過上的動點作的切線，切點為、，求當(dāng)坐標(biāo)原點到直線的距離取得最大值時，四邊形的面積.參考答案：（1）準(zhǔn)線L交軸于，在中所以,所以，拋物線方程是

(3分)在中有,所以所以⊙M方程是：

(6分)（2）解法一設(shè)所以:切線；切線

(8分)因為SQ和TQ交于Q點所以和成立

所以ST方程：

(10分)所以原點到ST距離，當(dāng)即Q在y軸上時d有最大值此時直線ST方程是

(11分)所以所以此時四邊形QSMT的面積

(12分)說明：此題第二問解法不唯一，可酌情賦分．只猜出“直線ST方程是”未說明理由的，該問給2分利用ＳＭＴＱ四點共圓的性質(zhì)，寫出以ＱＭ為直徑的圓方程得２分兩圓方程相減得到直線ＳＴ方程得４分以后步驟賦分參照解法一．22.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－(a－2)x－alnx.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；(3)若方程f(x)＝c有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，求證：f′>0.參考答案：(1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－(x>0)．當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．當(dāng)a>0時，由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得0<x<.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.……………..4分

(2)解：由(1)得，若函數(shù)f(x)有兩個零點則a>0，且f(x)的最小值f<0，即－a2＋4a－4aln<0.因為a>0，所以a＋4ln－4>0.令h(a)＝a＋4ln－4，顯然h(a)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln－1＝ln－1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.當(dāng)a>a0時，h(a)>0；當(dāng)0<a<a0時，h(a)<0.所以滿足條件的最小正整數(shù)a＝3……8分

(3)證明：因為x1、x2是方程f(x)＝c的兩個不等實根，由(1)知a>0.不妨設(shè)0<x1<x2，則－(a－2)x1－alnx1＝c，－(a－2)x2－alnx2＝c.兩式相減得－(a－2)x1－alnx1－＋(a－2)·x