江蘇省常州市溧陽藝術(shù)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

江蘇省常州市溧陽藝術(shù)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為(

)A．4 B． C． D．8參考答案：B考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由三視圖知幾何體為四棱錐與三棱錐的組合體，畫出其直觀圖，由三視圖可得SC⊥平面ABCD，AB⊥平面BCSE，SC=4，BE=2．四邊形ABCD為邊長為2的正方形，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計(jì)算可得答案．解答：解：由三視圖知幾何體為四棱錐與三棱錐的組合體，其直觀圖如圖：其中SC⊥平面ABCD，AB⊥平面BCSE，又SC=4，BE=2．四邊形ABCD為邊長為2的正方形，∴幾何體的體積V=V四棱錐+V三棱錐A﹣BSE=×22×4+××2×2×2=+=．故選B．點(diǎn)評：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵2.為了得到的圖象，可以把的圖象

(

)A．向右平移1個(gè)單位

B．向左平移1個(gè)單位.

C．向右平移個(gè)單位

D．向左平移個(gè)單位

參考答案：D3.若兩非零向量a與b的夾角為，定義向量運(yùn)算，已知向量m，n滿足，，則

A.2

B.

C.

D．3參考答案：C略4.下列判斷正確的是（

）A.若命題為真命題，命題為假命題，則命題“”為真命題B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.命題“”的否定是“”D.“”是“”的充分不必要條件參考答案：C5.閱讀如下程序，若輸出的結(jié)果為，則在程序中橫線?處應(yīng)填入語句為（

）A．

B．C.

D.

參考答案：B6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，令，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：D分析：先根據(jù)程序框圖得解析式，再根據(jù)分段函數(shù)解三個(gè)不等式組，求并集得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以由得所以因此選D.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).7.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2i，則z的虛部是（）A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由（1+i）z=2i，得，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：由（1+i）z=2i，得=，則z的虛部是：1．故選：A．8.若函數(shù)f（x）=loga（x+b）（a＞0，a≠1）的大致圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象為(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的圖像變換．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由圖象可知對數(shù)的底數(shù)滿足0＜a＜1，且0＜f（0）＜1，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)g（x）=ax+b的性質(zhì)即可推得．【解答】解：由圖象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，

即

即解②得loga1＜logab＜logaa，∵0＜a＜1∴由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知a＜b＜1，結(jié)合①可得a，b滿足的關(guān)系為0＜a＜b＜1，由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，g（x）=ax+b的圖象是單調(diào)遞減的，且一定在x軸上方．故選：B．【點(diǎn)評】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象、指數(shù)函數(shù)的圖象、對數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用、方程組的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．9.已知函數(shù)奇函數(shù),則（

）A. B. C.－1 D.參考答案：A【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì),利用計(jì)算得到,再代入函數(shù)計(jì)算【詳解】由函數(shù)表達(dá)式可知，函數(shù)在處有定義，則，，則，.故選A.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是利用奇函數(shù)性質(zhì),簡化了計(jì)算,快速得到答案.10.設(shè)，若和的等差中項(xiàng)是0，則的最小值是

(

) A．1

B．2

C．4

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在中，，點(diǎn)P是BN上一點(diǎn)，若則實(shí)數(shù)值為

參考答案：略12.過定點(diǎn)M的直線：kx﹣y+1﹣2k=0與圓：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于點(diǎn)N，則|MN|=

．參考答案：4【考點(diǎn)】JE：直線和圓的方程的應(yīng)用；IO：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程．【分析】求出直線結(jié)果的定點(diǎn)，圓的圓心與半徑，利用直線與圓的相切關(guān)系求解即可．【解答】解：直線：kx﹣y+1﹣2k=0過定點(diǎn)M（2，1），（x+1）2+（y﹣5）2=9的圓心（﹣1，5），半徑為：3；定點(diǎn)與圓心的距離為：=5．過定點(diǎn)M的直線：kx﹣y+1﹣2k=0與圓：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于點(diǎn)N，則|MN|==4．故答案為：4．13.在三角形ABC中，AB=2，,,點(diǎn)D、E分別在邊AC,BC上，且，則的最大值為____________參考答案：14.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則=

；參考答案：115.右圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，如果主視圖和左視圖都是邊長為2的正三角形，俯視圖為正方形，那么該幾何體的體積為________________.參考答案：略16.若函數(shù)f（x）=sin（x+θ）（）的圖象關(guān)于直線對稱，則θ=

．參考答案：考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：利用正弦函數(shù)的對稱性知+θ=kπ+，k∈Z，而0＜θ＜，于是可求得θ的值．解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sin（x+θ）的圖象關(guān)于直線x=對稱，∴+θ=kπ+，k∈Z，∴θ=kπ+，k∈Z，又0＜θ＜，∴θ=，故答案為：．點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)的對稱性，求得θ=kπ+（k∈Z）是關(guān)鍵，考查理解與運(yùn)算能力，屬于中檔題．17.在極坐標(biāo)系中，曲線ρ=cosθ+1與ρcosθ=1的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為

．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；兩點(diǎn)間的距離公式．【分析】聯(lián)立ρ=cosθ+1與ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即為答案．【解答】解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，解得ρ=或ρ=（舍），所以曲線ρ=cosθ+1與ρcosθ=1的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱錐C﹣ABB1A1的體積等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）由四棱錐的體積=AB×AA1×AC，代入已知即可解得AA1的值．（2）設(shè)C1到平面A1B1C的距離為h，先證明B1A1⊥CA1，由已知及勾股定理可求A1C=，由=，利用三棱錐體積公式可得：×2××h=2×2×3，即可解得C1到平面A1B1C的距離為．【解答】解：（1）∵=AB×AA1×AC=AA1=4，∴AA1=3．（2）∵B1A1⊥C1A1，B1A1⊥A1A，A1A∩B1A1=A1，∴B1A1⊥平面A1C1C，A1C?平面A1C1C，∴B1A1⊥CA1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，設(shè)C1到平面A1B1C的距離為h，∴A1C==，∵=，=h=×2××h，=×A1B1×C1A1×CC1=2×2×3，∴×2××h=2×2×3，解得：h=．故C1到平面A1B1C的距離．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與直線垂直的判定，考查了三棱錐，四棱錐體積的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，且，），曲線C2的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為，曲線C4的極坐標(biāo)方程為.（1）求C3與C4的交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離；（2）設(shè)C1與C2交于P點(diǎn)，C1與C3交于Q點(diǎn)，當(dāng)在上變化時(shí)，求的最大值.參考答案：（1）；（2）【分析】(1)

聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程，求得交點(diǎn)極坐標(biāo)的極徑，由極徑的幾何意義即可得結(jié)果；(2)曲線的極坐標(biāo)方程與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得，曲線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得，，利用輔助角公式與三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.【詳解】(1)聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程得:，解得，即交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為.(2)曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線極坐標(biāo)方程為聯(lián)立得即曲線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得，即，所以，其中的終邊經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查了極徑的幾何意義，考查了輔助角公式與三角函數(shù)的有界性的應(yīng)用，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.20.已知正方形的邊長為2，分別是邊的中點(diǎn)．⑴在正方形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，求滿足的概率；⑵從這八個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，記這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（1）所有點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域是正方形的內(nèi)部，其面積是．滿足的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域是以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部與正方形內(nèi)部的公共部分，它可以看作是由一個(gè)以為圓心、為半徑、圓心角為的扇形的內(nèi)部（即四分之一個(gè)圓）與兩個(gè)直角邊為1的等腰直角三角形（△和△）內(nèi)部構(gòu)成．其面積是．所以滿足的概率為．

……6分（2）從這八個(gè)點(diǎn)中，任意選取兩個(gè)點(diǎn)，共可構(gòu)成條不同的線段．其中長度為1的線段有8條，長度為的線段有4條，長度為2的線段有6條，長度為的線段有8條，長度為的線段有2條．所以所有可能的取值為．且，，

，，

．所以隨機(jī)變量的分布列為：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為………12分略21.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．已知acosAcosB﹣bsin2A﹣ccosA=2bcosB．（1）求B；（2）若，求a．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得2sinBcosB=﹣sinB，結(jié)合sinB≠0，可求cosB=﹣，進(jìn)而可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，進(jìn)而利用三角形面積公式可求a的值．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosAcosB﹣sinBsin2A﹣sinCcosA=sinAcos（A+B）﹣sinCcosA=﹣sinAcosC﹣sinCcosA=﹣sin（A+C）=﹣sinB，∵sinB≠0，∴cosB=﹣，B=．…（2）由b2=a2+c2﹣2accosB，b=a，cosB=﹣，得：c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，…由S△ABC=acsinB=a2=2，得a=2．…22.如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為正三角形，E、F、G分別是BC、CC1、BB1的中點(diǎn)．（1）若BC=BB1，求證：BC1⊥平面AEG；（2）若D為AB中點(diǎn)，∠CA1D=45°，四棱錐C﹣A1B1BD的體積為，求三棱錐F﹣AEC的表面積．參考答案：【考點(diǎn)】LW：直線與平面垂直的判定；LE：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【分析】（1）證明AE⊥平面B1BCC1，則AE⊥BC1，證明BC1⊥GE，因?yàn)镚E∩AE=E，所以BC1⊥平面AEG；（2）證明CD⊥平面A1ABB1，所以CD⊥A1D，利用條件求出AB，即可求三棱錐F﹣AEC的表面積．【解答】（1）證明：如圖，因?yàn)槿庵鵄BC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，又E