2023年初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)正整數(shù)簡單性質(zhì)的復(fù)習(xí)

初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)(7０)正整數(shù)簡樸性質(zhì)的復(fù)習(xí)一.連續(xù)正整數(shù)一．ｎ位數(shù)的個數(shù)：一位正整數(shù)從１到９,共9個,兩位數(shù)從1０到99，共90個,三位數(shù)從100到９9９共9×102個,那么n位數(shù)的個數(shù)共______＿_(dá)_＿．(n是正整數(shù))練習(xí)：1．一本書共1989頁,用0到９的數(shù)碼,給每一頁編號，總共要用數(shù)碼_＿＿個.2.由連續(xù)正整數(shù)寫成的數(shù)1234……99９１00０是一個＿＿＿_(dá)＿_(dá)_位數(shù)；……1９８８１989是＿_(dá)__＿_(dá)_位數(shù)．3.除以3余1的兩位數(shù)有____個,三位數(shù)有____個，n位數(shù)有___＿_(dá)__個.４．從1到100的正整數(shù)中,共有偶數(shù)_＿_(dá)_個,含3的倍數(shù)_＿_(dá)_個；從50到１０0０的正整數(shù)中，共有偶數(shù)_＿＿_(dá)個,含3的倍數(shù)_＿_(dá)_個.二.連續(xù)正整數(shù)的和：1+２＋3＋……+n=（1+n)×.把它推廣到連續(xù)偶數(shù)，連續(xù)奇數(shù)以及以模m有同余數(shù)的連續(xù)數(shù)的和.練習(xí):５.計算2+4＋6+……+1０0＝___＿_(dá)__＿_(dá)_.1+3+5+……+９9=_＿_(dá)___＿_(dá)____．5＋1０＋15+……+１00＝______＿＿_(dá).1+4+７＋……+100=＿_(dá)_________＿.1＋2+３+……＋1９8９其和是偶數(shù)或奇數(shù)？答____＿_(dá)和等于100的連續(xù)正整數(shù)共有＿_(dá)____組,它們是_＿＿_(dá)＿＿_(dá)＿_(dá)___＿_(dá)_＿_(dá)＿_(dá)___.和等于10０的連續(xù)整數(shù)共有_＿_(dá)__組，它們是_＿_(dá)_＿＿_(dá)_＿_(dá)______＿_(dá)＿＿＿_(dá)__＿_(dá).三．由連續(xù)正整數(shù)連寫的整數(shù)，各位上的數(shù)字和整數(shù)各位上的數(shù)字和是：(０+9）+（1+8）+…＋(4＋5)＝9×5＝４5;１２34…99100各位數(shù)字和是(0＋99)+(1+９8）+…+（49＋50)＋1=18×50+1=９01.練習(xí):12．整數(shù)12３4……9９９100０各位上的數(shù)字和是____＿_(dá)__＿_(dá)_＿_(dá).把由1開始的正整數(shù)依次寫下去，直到第１9８位為止:這個數(shù)用9除的余數(shù)是___＿_(dá)_＿_(dá)__.由1到1０0這１０0個正整數(shù)順次寫成的數(shù)1234……991０0中:它是一個_＿_(dá)_____位數(shù);它的各位上的數(shù)字和等于_＿_(dá)_____;從這一數(shù)中劃去10０個數(shù)字,使剩下的數(shù)盡也許大，那么剩下的數(shù)的前十位是_____＿_(dá)_＿＿_(dá)___________＿_(dá)___.四．連續(xù)正整數(shù)的積：①1×2×3×…×n記作n!讀作ｎ的階乘．②n個連續(xù)正整數(shù)的積能被n!整除.如:2!|a（a+1),3！|ａ(a＋1)(a+2）,n！|a(a＋1）(a＋２)…(a+n-1）．a(chǎn)為整數(shù)．③ｎ!中具有質(zhì)因數(shù)m的個數(shù)是＋+…＋．[x]表達(dá)不大于x的最大正整數(shù)，ｉ=1,2，３…mi≤n如:1×２×3×…×10的積中,含質(zhì)因數(shù)3的個數(shù)是：=3+1=4練習(xí):15.在10０！的積中,含質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)是：_＿_(dá)＿1６.一串?dāng)?shù)1，4,7，１0，……,6９7,70０相乘的積中,末尾共有零＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)_個1７.求證：1049４｜1９89!１8．求證：4!|a（ａ2－1)(ａ+2)a為整數(shù)五.兩個連續(xù)正整數(shù)必互質(zhì)練習(xí):1９．假如n＋１個正整數(shù)都小于２n,那么必有兩個是互質(zhì)數(shù)，試證之.二.正整數(shù)十進(jìn)制的表達(dá)法一.n＋１位的正整數(shù)記作：an×10n+ａn-1×10n－1+……+ａ１×1０+ａ0其中ｎ是正整數(shù),且０≤aｉ≤9（ｉ=1,2，３,…n）的整數(shù),最高位an≠0．例如：54321＝５×104＋4×10３+3×1０2＋２×10＋1.例題:從1２到33共22個正整數(shù)連寫成A=1２１3１４…3233.試證:Ａ能被９9整除．證明:A=1２×１0４2＋1３×１040+14×1038+……+31×1０4+３２×102＋33＝1２×１0０2１＋1３×1002０＋14×101９+……＋3１×１002+32×1００＋33.∵10０的任何次冪除以9的余數(shù)都是1，即10０n=(９9+1)n≡1(mod9)∴Ａ=9９k+１２+13+14+……+31＋３2+３3(k為正整數(shù))=9９ｋ＋（１2+３3)+(1３+32)+…＋(22+23)=99ｋ+45×11=99k+99×５.∴A能被99整除.練習(xí)：20.把從19到８０的連結(jié)兩位數(shù)連寫成1９２02322…7９80.試證明這個數(shù)能被1980整除二.常見的一些特例=10n－1,=（10n-１),(10n－1)．例題：試證明12,112２，11１222，１1１12222,……這些數(shù)中的任何一個，都是兩個相鄰的正整數(shù)的積.證明:第n個數(shù)是=×10n+＝（10ｎ+2)===×.證畢．練習(xí):21.化簡×+1=＿_(dá)_＿＿_(dá)___＿_(dá)__＿_(dá)_＿_(dá)＿＿_(dá)_____＿＿_(dá)__.22.化簡=＿＿_(dá)_＿＿_(dá)＿＿_(dá)_____＿＿＿_(dá)__＿＿＿＿_(dá)_____＿_(dá)_＿＿_(dá)＿_(dá)__＿_(dá)_．２3.求證是合數(shù).24.已知:存在正整數(shù)n,能使數(shù)被1987整除.求證：數(shù)p＝和數(shù)q=都能被1987整除.證明:把一個大于1000的正整數(shù)分為末三位一組,其余部分一組,若這兩組數(shù)的差,能被7（或13)整除，則這個正整數(shù)就能被7(或1３)整除.求證：×15+１是完全平方數(shù)．三.末位數(shù)的性質(zhì).一.用Ｎ（ａ）表達(dá)自然數(shù)的個位數(shù).例如a=1２４時，N(a）=4；a=－３時，Ｎ(ａ)=３.１．Ｎ(a４k＋ｒ)=N(aｒ)a和k都是整數(shù)，ｒ＝１,2，3,４.特別的:個位數(shù)為0,1,5,6的整數(shù)，它們的正整數(shù)次冪的個位數(shù)是它自身．個位數(shù)是4，9的正偶數(shù)次冪的個位數(shù)也是它自身.N(a)＝N(b)N(a－ｂ)=0１0｜(a－ｂ).若Ｎ(a）=a０,N（b)=ｂ0.則Ｎ(an)=N(a0n)；N(aｂ)=N(ａ0b0）.例題1:求①5３1０0;和②７的個位數(shù)．解:①Ｎ(５3100)=N(3４×24＋4）=N（34)＝1②先把冪的指數(shù)7７化為４k+ｒ形式，設(shè)法出現(xiàn)4的因數(shù)．77=77-7+7=７（7６-1）+４＋3=7(7２－1)(74+72+１)＋4+3=7×4×12×(74+7２+1)+４＋3=4k+3∴Ｎ(7)=N(74ｋ+3)=Ｎ(7３)=３.練習(xí):27．19８９1９8９的個位數(shù)是___＿_(dá)_，9的個位數(shù)是_______.求證：10|(１987198９-19931991).２2１０×３３１５×7720×５５25的個位數(shù)是______.二.自然數(shù)平方的末位數(shù)只有０，１，４,５，6，9；連續(xù)整數(shù)平方的個位數(shù)的和，有如下規(guī)律：12，2２，3２,……，１0２的個位數(shù)的和等于1＋4+9+6＋5+5+9＋４+０=45.1.用這一性質(zhì)計算連續(xù)整數(shù)平方的個位數(shù)的和例題1.填空:１2,22,3２,……,的和的個位數(shù)的數(shù)字是_______.解：∵12,22，32,……,1０2的個位數(shù)的和等于1＋4+9+6＋5＋5+9+4+0=45．11到２0；21到３0；31到４0;………到,的平方的個位數(shù)的和也都是45．所以所求的個位數(shù)字是:(1+４+９＋6＋５＋5+9+4+0)×(1２3４567８+1）的個位數(shù)5.2.為判斷不是完全平方數(shù)提供了一種方法例題2.求證:任何五個連續(xù)整數(shù)的平方和不能是完全平方數(shù)．證明：（用反證法）設(shè)五個連續(xù)整數(shù)的平方和是完全平方數(shù)，那么可記作：（n－2)2+(n-1)2+n2+（n+1）２＋(ｎ＋２)2=k2(n,k都是整數(shù))5(ｎ2+2)=k２.∵k2是５的倍數(shù),k也是5的倍數(shù).設(shè)k=5ｍ,則5(n2+２)＝25m2n2+2＝5m2n2+2是５的倍數(shù),其個位數(shù)只能是0或5，那么n2的倍數(shù)是8或3.但任何自然數(shù)平方的末位數(shù),都不也許是8或3.∴假設(shè)不能成立∴任何五個連續(xù)整數(shù)的平方和不能是完全平方數(shù).３．判斷不是完全平方數(shù)的其他方法例題3.已知:ａ是正整數(shù).求證：ａ(ａ+1)+1不是完全平方數(shù)證明：∵a(a+1)+1=a2+a+１,且a是正整數(shù)∴a2<a（a+1)+1＝a2＋a+1＜(a+1)2，∵ａ和a+1是相鄰的兩個正整數(shù)，a（ａ+1)+1介于它們的平方之間∴a(ａ+1）+1不是完全平方數(shù)例題4.求證:(n＞１的正整數(shù))不是完全平方數(shù)證明:根據(jù)奇數(shù)的平方數(shù)除以4必余1,即(2k+１)2=4(k+１）+1.但==４k+１1=4ｋ+4×2+3=4(ｋ＋2)+３即除以4余數(shù)為3,而不是1，∴它不是完全平方數(shù).例題5．求證：任意兩個奇數(shù)的平方和,都不是完全平方數(shù)．證明：設(shè)2a+１，２b+1(a,b是整數(shù))是任意的兩個奇數(shù).∵(2a+1）2+(2b+1)２=4a2＋4a＋1+４b２+４b+1=4(a2+ｂ2+a+ｂ）＋２.這表白其和是偶數(shù)，但不是４的倍數(shù)，故任意兩個奇數(shù)的平方和,都不也許是完全平方數(shù)．三.魔術(shù)數(shù):將自然數(shù)N接寫在每一個自然數(shù)的右面，假如所得到的新數(shù)，都能被Ｎ整除,那么N稱為魔術(shù)數(shù).常見的魔術(shù)數(shù)有:能被末位數(shù)整除的自然數(shù)，其末位數(shù)是1,2,５(即１0的一位正約數(shù)是魔術(shù)數(shù))能被末兩位數(shù)整除的自然數(shù),其末兩位數(shù)是10,20,25,50(即100的兩位正約數(shù)也是魔術(shù)數(shù)))能被末三位數(shù)整除的自然數(shù),其三末位數(shù)是100，１２5，２0０，250，５00(即1０00的三位正約數(shù)也是魔術(shù)數(shù))練習(xí)：30．在小于１30的自然數(shù)中魔術(shù)數(shù)的個數(shù)為_________.四．兩個連續(xù)自然數(shù),積的個位數(shù)只有0，2，6；和的個位數(shù)只有１,3，5，7，9.練習(xí)：31.已知:n是自然數(shù)，且9n2+５n＋２６的值是兩個相鄰自然數(shù)的積,那么ｎ的值是:_________＿_(dá)__＿_(dá)____.四.質(zhì)數(shù)、合數(shù)正整數(shù)的一種分類:質(zhì)數(shù)中，偶數(shù)只有一個是2,它也是最小的質(zhì)數(shù).互質(zhì)數(shù):是指公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù).相鄰的兩個正整數(shù)都是互質(zhì)數(shù).例題:試寫出10個連續(xù)自然數(shù),個個都是合數(shù).解：答案不是唯一的,其中的一種解法是：令A(yù)=1×２×3×4×5×６×7×8×9×1０×11那么Ａ+2，A＋３，A+4，A+５,A+６,Ａ+7，A+８,A+9，A+10，Ａ+１1就是10個連續(xù)數(shù)，且個個都是合數(shù).一般地，要寫出n個連續(xù)自然數(shù)，個個是合數(shù),可用令m＝n+1，那么m!＋2，m!＋3,m！+4，+……+m!+n＋1就是所求的合數(shù).∵m!+i(2≤i≤n＋1)有公約數(shù)i.練習(xí):32.已知質(zhì)數(shù)a，與奇數(shù)b的和等于11,那么a=__＿,b=＿_(dá)_.兩個互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是7２，若這兩個數(shù)都是合數(shù),那么它們分別等于_＿_(dá)＿，____.寫出１0個連續(xù)正奇數(shù),個個都是合數(shù)，可設(shè)m=(10+1）×2，m！=22！那么所求的合數(shù)是２2!+3，＿＿＿_(dá)_，＿_(dá)__,____，……寫出1０個連續(xù)自然數(shù)，個個都是合數(shù)，還可令N＝2×３×5×7×11.(這里1１=10+１，即N是不大于１１的質(zhì)數(shù)的積)．那么Ｎ+2,N+3,N+4，……N＋11就是所求的合數(shù).這是為什么?假如要寫１５個呢?已知：x，ｍ,n都是正整數(shù).求證:２4m+2＋x4n五.奇數(shù)和偶數(shù)1.整數(shù)的一種分類：2.運算性質(zhì):奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù).奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù),偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù),奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)．(奇數(shù))正整數(shù)=奇數(shù)，(偶數(shù))正整數(shù)=偶數(shù).4．其他性質(zhì):①兩個連續(xù)整數(shù)必一奇一偶，其和是奇數(shù)，其積是偶數(shù)．②奇數(shù)的平方被4除余１；偶數(shù)的平方能被4整除；除以４余2或３的整數(shù)不是平方數(shù).2n(ｎ為正整數(shù))不含大于1的奇因數(shù).若兩個整數(shù)的和(差）是奇數(shù),則它們必一奇一偶．若n個整數(shù)的積是奇數(shù),則它們都是奇數(shù).例1．設(shè)m與ｎ都是正整數(shù),試證明m3-ｎ3為偶數(shù)的充足必要條件是m－n為偶數(shù).證明：∵m3-n3=(m－n)(ｍ2＋mn+n2)．當(dāng)m－n為偶數(shù)時,不管m２+mn+n2是奇數(shù)或偶數(shù),m３－ｎ3都是偶數(shù);∴m－n為偶數(shù)是m３－n3為偶數(shù)的充足條件．當(dāng)m-n為奇數(shù)時，ｍ,n必一奇一偶,m2，ｍn,n2三個數(shù)中只有一個奇數(shù)，∴m2+mn+ｎ2是奇數(shù)，從而m３-n3也是奇數(shù).∴m-ｎ為偶數(shù)，是ｍ3-ｎ3為偶數(shù)的必要條件.綜上所述m3-n3為偶數(shù)的充足必要條件是ｍ－n為偶數(shù).例２.求方程x2－y２=１990的整數(shù)解.解:(ｘ＋y）(x-y)=2×５×199.若ｘ，y同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，則x+y,ｘ-y都是偶數(shù),其積是4的倍數(shù),但１9９0不含4的因數(shù)，∴方程左、右兩邊不能相等.若ｘ,ｙ為一奇一偶，則x-y，x+y都是奇數(shù)，其積是奇數(shù)，但1990不是奇數(shù),∴方程兩邊也不能相等．綜上所述,不管x,y取什么整數(shù)值，方程兩邊都不能相等．所以原方程沒有整數(shù)解本題是根據(jù)整數(shù)的一種分類:奇數(shù)和偶數(shù),詳盡地討論了方程的解的也許性.練習(xí)：37．設(shè)n為整數(shù)，試鑒定n2-n+１是奇數(shù)或偶數(shù).3８.100１+1０02＋1003+……+19８9其和是偶數(shù)或奇數(shù),為什么？39.有四個正整數(shù)的和是奇數(shù)，那么它們的立方和，不也許是偶數(shù),試說明理由．40.求證:方程ｘ２+1989x+９８91＝０沒有整數(shù)根.41.已知：求證:ｎ是4的倍數(shù).4２.若ｎ是大于1的整數(shù)，p=n＋（n2-1)試鑒定p是奇數(shù)或偶數(shù),或奇偶數(shù)都有也許.六.按余數(shù)分類整數(shù)被正整數(shù)m除,按它的余數(shù)可分為m類，稱按模m分類.如：模m＝2,可把整數(shù)分為2類:{２ｋ},{2k＋1}k為整數(shù)，下同模m=3,可把整數(shù)分為3類:｛3k},｛3k+1},{3k+2}.……模ｍ＝9,可把整數(shù)分為９類:{9k｝，{９k+1},{９k＋2}.…{9k＋８｝．整數(shù)除以9的余數(shù)，與這個整數(shù)各位上的數(shù)字和除以9的余數(shù)相同.如：６３72,5２73，4785各位數(shù)字和除以9的余數(shù)分別是0，8，6.那么這三個數(shù)除以９的余數(shù)也分別是0,8，6．按模m分類時，它們的余數(shù)有可加,可乘,可乘方的性質(zhì).如:若a=５k1+１,b=5k2＋2.則a+b除以5余數(shù)是３(1＋2）；aｂ除以5余2(１×２)；b２除以5余4(２2）.例1.求19891989除以7的余數(shù)．解：∵198９1９8９＝(７×２84+1)19８9,∴198919８9≡1１９89≡１(mｏd7）.即19８91９89除以7的余數(shù)是1.練習(xí)：43.今天是星期一,9９天之后是星期＿_(dá)____＿_(dá).44.n個整數(shù)都除以n－１,至少有兩個是同余數(shù),這是為什么？４5.a是整數(shù)，最簡分?jǐn)?shù)化為小數(shù)時,若為循環(huán)小數(shù)，那么一個循環(huán)節(jié)最多有幾位?運用余數(shù)性質(zhì)和整數(shù)除以9的余數(shù)特性,可對四則運算進(jìn)行檢查例２．下列演算是否對的?①12625＋9568=21193；②２４73×429=１０6０927．解：①用各位數(shù)字和除以9,得到余數(shù)：１2625，95６8,２119３除以9的余數(shù)分別是7,１,7．∵7+１≠7,∴演算必有錯．②24７3，4２9，10６0９27除以９的余數(shù)分別是7，６，７．而7×6=４２,它除以9余數(shù)為6，不是7,故演算也有錯.注意:發(fā)現(xiàn)差錯是準(zhǔn)確的,但這種檢查并不能肯定演算是絕對對的.練習(xí):46．檢查下列計算有無差錯:①372８54-83２75＝２８96７9;②23366292÷6236=3748.整數(shù)按模分類，在證明題中的應(yīng)用例3.求證:任意兩個整數(shù)a和ｂ，它們的和、差、積中,至少有一個是３的倍數(shù).證明：把整數(shù)a和b按模３分類,再詳盡地討論.假如ａ,ｂ除以3，有同余數(shù)(涉及同余0、1、2),那么a,ｂ的差是3的倍數(shù);假如ａ，ｂ除以3，余數(shù)不同,但有一個余數(shù)是０，那么ａ,b的積是3的倍數(shù)；假如ａ,ｂ除以３,余數(shù)分別是1和２,那么ａ,b的和是3的倍數(shù).綜上所述任意兩個整數(shù)a，b,它們的和、差、積中，至少有一個是３的倍數(shù).(分類討論時,規(guī)定做到既不反復(fù)又不違漏)例４.已知：p≥５，且p和2ｐ＋1都是質(zhì)數(shù).求證：４ｐ+１是合數(shù).證明:把整數(shù)按模3分類.即把整數(shù)分為3k,３k＋1,3k+2(ｋ為整數(shù))三類討論∵p是質(zhì)數(shù),∴不能是3的倍數(shù),即p≠3ｋ；當(dāng)p=3k＋1時,２p+1=2(３k+1）+1=3(2k+1）．∴2ｐ+１不是質(zhì)數(shù)，即p≠3k+１；只有當(dāng)質(zhì)數(shù)p=3k+2時,２p+1=2(３ｋ+2)+１＝６k+5.∴2p+1也是質(zhì)數(shù)，符合題設(shè).這時,4ｐ+１=4(3k+２)+1＝3（4ｋ+３)是合數(shù)．證畢練習(xí)：47．已知:整數(shù)a不能被2和３整除．求證:ａ2+23能被24整除.４8.求證：任何兩個整數(shù)的平方和除以8,余數(shù)不也許為6.４９.若正整數(shù)a不是5的倍數(shù).則a8+3ａ4－４能被1０0整除.已知:自然數(shù)n>２求證:2n－１和2n+1中，假如有一個是質(zhì)數(shù),則另一個必是合數(shù)．51.設(shè)ａ,b，ｃ是三個互不相等的正整數(shù)，求證a３ｂ－ab３,ｂ3ｃ－bc3，c３a-ca七.整數(shù)解二元一次方程aｘ＋by=c的整數(shù)解:當(dāng)a,b互質(zhì)時,若有一個整數(shù)的特解那么可寫出它的通解運用整數(shù)的和、差、積、商、冪的運算性質(zhì)整數(shù)±整數(shù)＝整數(shù)，整數(shù)×整數(shù)=整數(shù),整數(shù)÷(這整數(shù)的約數(shù))=整數(shù),（整數(shù))自然數(shù)＝整數(shù)一元二次方程,用求根公式，根的判別式,韋達(dá)定理討論整數(shù)解.根據(jù)已知條件討論整數(shù)解.例1.小軍和小紅的生日．都在１0月份,且星期幾也相同,他們生日的日期的和等于3４,小軍比小紅早出生，求小軍的生日.解：設(shè)小軍和小紅的生日分別為x，ｙ,根據(jù)題意,得(k=1,2,3，４)２x=34－７kx=17-k=1,3時,ｘ沒有整數(shù)解；當(dāng)k=2時,當(dāng)k=4時，(10月份沒有3１日，舍去)∴小軍的生日在10月10日例2.假如一個三位數(shù)除以11所得的商，是這個三位數(shù)的各位上的數(shù)的平方和，試求符合條件的所有三位數(shù).解:設(shè)三位數(shù)為10０ａ+１0b+c，a,b,c都是整數(shù)，０<ａ≤9,0≤b,c≤9．那么,且-8<a-ｂ＋c<１8.要使a－ｂ+c被11整除,其值只能是0和11.(１）當(dāng)ａ-b+c＝0時，得9a＋ｂ＝ａ2+b2+c2.以b=a+ｃ代入,并整理為關(guān)于a的二次方程，得２a2+2（c-5)a＋2c2－c=0根據(jù)韋達(dá)定理這是必要而非充足條件．∵5－c>0,以c=0,1，2,３,４逐個討論ａ的解.當(dāng)ｃ=２,4時，無實數(shù)根；當(dāng)c=1,3時，無整數(shù)解；只有當(dāng)c＝0時,a=5;或a=0.(a=0不合題意,舍去）∴只有c=０，a=5，b=5適合∴所求的三位數(shù)是550;(2)當(dāng)ａ－b＋c＝11時，得9a+ｂ+1＝a2+ｂ2+ｃ２．以ｂ＝a＋c代入，并整理為關(guān)于a的二次方程，得２a2＋2(c－１6)a+2c２-23c+131=0.仿(1)通過韋達(dá)定理,由c的值逐個以討論a的解.只有當(dāng)c=3時,a=8，b=0適合所有條件．即所求三位數(shù)為803.綜上所述,符合條件的三位數(shù)有５50和８03.練習(xí):5２.正整數(shù)x1,x2,x３,……xｎ滿足等式x1+x2+ｘ３＋x4+x5=x1x２ｘ３ｘ4ｘ4x5那么x5的最大值是_＿_(dá)____＿.假如p，q,都是整數(shù),.且p>1,q>1,試求p＋q的值.能否找到這樣的兩個正整數(shù)m和n，使得等式m２＋１９86＝n2成立.試說出你的猜想,并加以證明.當(dāng)m取何整數(shù)時，關(guān)于x的二次方程m2ｘ2-18mx+72=x2－6x的根是正整數(shù),并求出它的根.若關(guān)于x的二次方程（1＋ａ）ｘ2+２x+1-a＝0的兩個實數(shù)根都是整數(shù),那么a的取值是________＿_(dá)＿_(dá)_＿_(dá)_.不等邊三角形的三條邊都是整數(shù)，周長的值是28，最大邊與次大邊的差比次大邊與最小邊的差大１,適合條件的三角形共有____個,它們的邊長分別是：＿_(dá)_＿_(dá)______＿_(dá)_＿_(dá)＿_(dá)__＿＿_(dá)___＿_(dá)___＿_(dá)______＿_(dá)___＿_(dá)＿_(dá)___＿_(dá)__＿_(dá)__＿＿_(dá).直角三角形三邊長都是整數(shù)，且周長的數(shù)值恰好等于面積的數(shù)值,求各邊長.雞翁一,值錢；，雞母一，值錢三;雞雛三,值錢一.百錢買百雞,問雞翁、雞母、雞雛各幾何？甲買鉛筆4支，筆記本10本，文具盒１個共付1.６9元，乙買鉛筆3支，筆記本7本,文具盒1個共付1．２6元,丙買鉛筆、筆記本、文具盒各1,應(yīng)付幾元？若１×２×3×4×……×9９×１00＝12n×M,其中M為自然數(shù),n為使得等式成立的最大自然數(shù)，則M是(）（A）.能被２整除,不能被3整除.(B)．能被３整除,但不能被２整除.（C).被4整除,不能被3整除．(D).不能被3整除，也不能被2整除.練習(xí)７0參考答案:9＋９0×２+90０×３＋99０×4=6849２８９3７95630,３0０，3×10n-14.50,３3,47６，３1７.5.2５5０6.25０0．7.１05０17１7.9.奇數(shù)(1+1989)×．10有兩組:18，1９,２０,21，22;9,10,11,12，13，14，１5，16．1１.有四組：除上題中的兩組外,尚有-8到16；－１7到２212.13501．13．余數(shù)是6(由1到102剛好是１98位).14.(1)192(2)90１(3)15.+＝２4６0個.計算積中含質(zhì)因數(shù)５的個數(shù)是:從10，２5,40，55,……7０0這組數(shù)中含質(zhì)因數(shù)5的共有（70０-10)÷15+1＝4７；而２５，１00，175,……70０具有52因數(shù)，應(yīng)各加1個5,共有(100－２5)÷75+1=10；且25０，625,具有53因數(shù),應(yīng)再各加1個5,共有2個;６25具有54因數(shù),再加1個5.∴總共是47＋１０+2+1=60.１7．＝37９＋７９+15+3=4941８.把a(bǔ)(ａ2-１)(3a+２）化為a(ａ＋1）(a-1）[(２a+4)+（a－2)]＝2(ａ-1)a（a＋1)（ａ+2）+（a-2)（ａ－1)a(ａ+1).19．根據(jù)兩個連續(xù)整數(shù)必互質(zhì),把ｎ+1個正整數(shù)按非連續(xù)數(shù)單獨分組，由于它們都小于2n,所以最多分為ｎ組,那么n+1個正整數(shù)至少有一個不能單獨分組，即與n組中的一個互質(zhì).２０.易證能被20整除,再證能被99整除21.原數(shù)=(10n－1)2+１×10ｎ+(10n-1)=1０2n22.原數(shù)=×（10２n-1)－２××（10n－1)=……＝()2=(23.原數(shù)=×(10１９90-1）＝×（１0995＋１）(10995-1)＝×(10995+1）(10－1)×Ｎ(N為整數(shù))２４.p＝×(１03n+９×102n+８×10n+７）ｑ=×(10３ｎ+３+9×102n＋2+8×１0n+1＋7)∵10n=9×+１，103ｎ+3，10２n+2,10n+1除以的余數(shù)分別為10３,１０2,１0.∴q的第二因式除以的余數(shù)分別為1×10３+9×1０2+8×１0＋7……25.設(shè)A＝103A=１03M+N=103２6．原數(shù)＝=……27.１.28