2023年初中數(shù)學函數(shù)知識點歸納新

函數(shù)知識點總結(jié)（掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)平面直角坐標系1、定義:平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系2、各個象限內(nèi)點的特性:第一象限：（+，+)第二象限:(-，＋)第三象限：(-,－)第四象限:(+，-)3、坐標軸上點的坐標特性:x軸上的點，y為零;y軸上的點,x為零；原點的坐標為（0,0）。4、點的對稱特性:已知點P（m,n),關(guān)于x軸的對稱點坐標是(m,-n),橫坐標相同,縱坐標反號關(guān)于y軸的對稱點坐標是(－m,n)縱坐標相同，橫坐標反號關(guān)于原點的對稱點坐標是(－m,-n)橫,縱坐標都反號5、平行于坐標軸的直線上的點的坐標特性:平行于x軸的直線上的任意兩點：縱坐標相等；平行于y軸的直線上的任意兩點:橫坐標相等。6、各象限角平分線上的點的坐標特性：第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等。第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數(shù)。7、點P（x,y）的幾何意義:點P(x,ｙ)到x軸的距離為|y｜，點Ｐ（ｘ,y）到y(tǒng)軸的距離為|x|。點Ｐ(x，y)到坐標原點的距離為8、兩點之間的距離:X軸上兩點為A、B|ＡB｜Y軸上兩點為C、D|CＤ|已知A、ＢAＢ|=9、中點坐標公式：已知A、BM為ＡB的中點，則：M=（,)10、點的平移特性:在平面直角坐標系中,將點(x,ｙ)向右平移a個單位長度，可以得到相應點(ｘ－a，y）；將點(x，y)向左平移ａ個單位長度,可以得到相應點(ｘ＋a,y)；將點(x，y)向上平移b個單位長度，可以得到相應點（ｘ,ｙ＋ｂ）;將點(x,y)向下平移b個單位長度，可以得到相應點(x，ｙ-b）。函數(shù)的基本知識：基本概念1、變量:在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。常量:在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中,假如有兩個變量ｘ和y,并且對于x的每一個擬定的值，ｙ都有唯一擬定的值與其相應，那么我們就把x稱為自變量,把ｙ稱為因變量，ｙ是x的函數(shù)。*判斷A是否為B的函數(shù),只要看Ｂ取值擬定的時候，A是否有唯一擬定的值與之相應3、擬定函數(shù)定義域的方法：（1)關(guān)系式為整式時,函數(shù)定義域為全體實數(shù)；(2）關(guān)系式具有分式時,分式的分母不等于零；（3)關(guān)系式具有二次根式時,被開放方數(shù)大于等于零;（4）關(guān)系式中具有指數(shù)為零的式子時,底數(shù)不等于零；（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合,使之故意義。４、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，假如把自變量與函數(shù)的每對相應值分別作為點的橫、縱坐標,那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．５．函數(shù)解析式：用品有表達自變量的字母的代數(shù)式表達因變量的式子叫做解析式。6、描點法畫函數(shù)圖形的一般環(huán)節(jié)第一步:列表（表中給出一些自變量的值及其相應的函數(shù)值)；第二步:描點(在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值相應的各點）；第三步:連線(按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。7、函數(shù)的表達方法:列表法、解析式法、圖象法一次函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識1、定義：一般地,形如ｙ＝kx+b(ｋ,ｂ是常數(shù),k≠0），那么ｙ叫做ｘ的一次函數(shù)當ｂ=0時,y=kx＋b即y＝ｋｘ,稱為正比倒函數(shù)，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的一般形式:y=kx＋b(k≠0）說明:=1\＊ＧB3①ｋ不為零=2\*GＢ３②x指數(shù)為１=３\*GB3③b取任意實數(shù)2、解析式:y=kx＋b(ｋ、b是常數(shù),ｋ0)３、圖像：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是通過(0，b)和(-，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=ｋx+b，４、增減性(單調(diào)性):ｋ>0，y隨ｘ的增大而增大（單調(diào)增）；ｋ＜0，y隨x而增大而減?。▎握{(diào)減)5、必過點：（０,b）和（-，0):理由如下:ｙ=kx+b中,⑴當x＝ｏ，時，y=？?所以,該函數(shù)通過(，）點⑵當y=ｏ,時，ｘ=？？所以，該函數(shù)通過（,）點所以，一次函數(shù)的圖象是必通過(,0）和（0,b）兩點的一條直線．,注：兩點擬定一條直線。畫圖時,可通過這兩點來擬定直線。6、一次函數(shù)圖像的畫法：兩點法1、計算必過點（0，ｂ）和（-，０)2、描點3、連線（從左到右光滑的直線）7、增減性：k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小.8、傾斜度(只與ｋ相關(guān)）:｜k|越大，圖象越接近于y軸;|ｋ｜越小,圖象越接近于x軸.９、與y軸交點①當ｂ>0時直線與y軸交于原點上方(即ｙ軸的正半軸);②當ｂ＜0時，直線與ｙ軸交于原點的下方。(即y軸的負半軸)1０、圖像的上下平移(只與ｂ相關(guān)）：直線y=kx+ｂ，它可以看作由直線y=ｋx平移|b|個單位長度得到．上加下減例如：ｙ=2ｘ+3,將直線向平移個單位；ｙ=5x－6,將直線的圖象向平移個單位1１、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)ｂ>０b＜０b=０（正比例函數(shù)）ｋ>0通過：第一、二、三象限?不通過：第四象限通過：第一、三、四象限不通過:第二象限通過:第一、三象限?不通過：第二、四象限增減性(單調(diào)性）：圖象從左到右上升，y隨ｘ的增大而增大，單調(diào)增k＜0通過第一、二、四象限?不通過：第三象限通過第二、三、四象限

不通過：第一象限通過第二、四象限?不通過：第一、三象限增減性(單調(diào)性）:圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小,單調(diào)減必過點:通過（，0）和(0，ｂ）兩點，正比例函數(shù)即是通過原點（0，0）12、兩直線之間的位置關(guān)系（平行或相交)：①平行：②相交：將兩直線方程聯(lián)立成一個方程組,,解得結(jié)果,即為交點。13、二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系:兩元一次函數(shù)圖象的交點的坐標即為所相應方程組的解。反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識1、定義:一般地,形如(為常數(shù),)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。還可以寫成2、解析式:（為常數(shù)，)注:反比例函數(shù)解析式的特性：①等號左邊是函數(shù)，等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數(shù)(也叫做比例系數(shù)）,分母中具有自變量,且指數(shù)為1.②比例系數(shù)③自變量的取值為一切非零實數(shù)。(反比例函數(shù)故意義的條件：分母≠0）④函數(shù)的取值是一切非零實數(shù)。3、增減性（單調(diào)性）：k>0,ｙ隨x的增大而減小(單調(diào)減)；k<0，y隨x增大而增大（單調(diào)增)4、反比例函數(shù)的圖象：雙曲線（1）圖像的畫法:描點法列表（應以O(shè)為中心，沿Ｏ的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)）描點（有小到大的順序）連線（從左到右光滑的曲線)(3）反比例函數(shù)(為常數(shù),)中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不通過原點,斷開的兩個分支(稱為左、右支）,延伸部分逐漸靠近坐標軸,但是永遠不與坐標軸相交。(4)比例系數(shù)的幾何含義(右圖):反比例函數(shù)y＝(k≠0)中比例系數(shù)k的幾何意義,即過雙曲線y=(ｋ≠０)上任意一點P作ｘ軸、y軸垂線,設(shè)垂足分別為A、B，則所得矩形OＡPB的面積(陰影面積)為.(由y＝變形可得：k=ｘy由于面積為正數(shù)，所以k取絕對值。）５、反比例函數(shù)性質(zhì)如下表:ｋ的符號oyoyxyxyxo圖像的大體位置通過象限第象限第象限增減性（單調(diào)性:單調(diào)區(qū)間內(nèi)討論)在每一象限內(nèi),從左到右看，ｙ隨x的增大而減小;（－∞，0)U(0，+∞）區(qū)間內(nèi),單調(diào)減在每一象限內(nèi),從左到右看ｙ隨x的增大而增大(-∞，0）U(0，＋∞)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)增圖像的對稱性中心稱圖形,對稱中心是原點；同時，也是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線ｙ=－x二次函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識：1．定義:一般地，形如（是常數(shù),）的函數(shù),叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào):和一元二次方程類似,二次項系數(shù),而可認為零．二次函數(shù)的定義域(ｘ的取值范圍):全體實數(shù),R．2.解析式（表達式)：一般式：（，是常數(shù)）:說明：⑴等號左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量的二次式,的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項系數(shù),是一次項系數(shù)，是常數(shù)項．補充：⑴二次函數(shù)解析式的表達方法（三種)①一般式:（,，為常數(shù),）;②頂點式：(,,為常數(shù),);[拋物線的頂點P(h,k）］③兩根式(交點式）:(，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標).[僅限于與ｘ軸有兩個交點Ａ（x1,0）和B(ｘ2，0)的拋物線，即△≥0]其中(即一元二次方程求根公式)注：在３種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點,即時,拋物線的解析式才可以用交點式表達.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.⑵二次函數(shù)與的比較從解析式上看,與是兩種不同的表達形式,后者通過配方可以得到前者，即，其中．3、二次函數(shù)解析式的擬定:根據(jù)已知條件擬定二次函數(shù)解析式,通常運用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點,選擇適當?shù)男问剑鸥墒菇忸}簡便．一般來說，有如下幾種情況：1．已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大(小)值，一般選用頂點式;３.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標,一般選用兩根式;4．已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式.４、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：運用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，擬定其開口方向、對稱軸及頂點坐標;②然后在對稱軸兩側(cè),左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點,則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點:開口方向，對稱軸，頂點,與軸的交點,與軸的交點.二次函數(shù)的圖像:拋物線（1）對稱性：拋物線是軸對稱圖形。對稱軸：直線,對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當ｂ＝0時，拋物線的對稱軸是ｙ軸（即直線x=0)（2)拋物線有一個頂點P,當=０時，Ｐ在y軸上；當Δ==0時,P在ｘ軸上。a．b.c與拋物線的關(guān)系(是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù),是常數(shù)項)y=5x2y=xy=5x2y=x2xy開口方向：a為正（a>0),開口朝上,有最小值;a為負（ａ＜0)，開口朝下，有最大值；開口大小:ａ的絕對值越大,拋物線的開口越小。(2)a、b共同決定的符號決定對稱軸的位置,分兩種情況:①當a與b同號時(即aｂ>0），對稱軸在y軸左側(cè)；②當a與ｂ異號時(即ａb<0），對稱軸在ｙ軸右側(cè)。概括的說就是“左同右異”（3）常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0,c),分三種情況:⑴當時，拋物線與軸的交點在軸上方,即拋物線與軸交點的縱坐標為正;⑵當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；⑶當時,拋物線與軸的交點在軸下方,即拋物線與軸交點的縱坐標為負.總之，只要都擬定,那么這條拋物線就是唯一擬定的.6、拋物線與x軸交點個數(shù)Δ＝＞0時,拋物線與x軸有2個交點。A(ｘ1，０）和B（ｘ2,0）Δ==0時,拋物線與x軸有1個交點。頂點PΔ=<0時,拋物線與x軸沒有交點。y△=y△=0x△＜0yx△＞0yxABP7、類比一元二次方程的根的情況:特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程）,即此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與ｘ軸交點的橫坐標即為方程的根。8、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)＞0yxOyxO圖象開口對稱軸頂點坐標最值當x=時，y有最值，y當x＝時，y有最值,y增減性在對稱軸左側(cè)y隨ｘ的增大而ｙ隨ｘ的增大而在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而y隨ｘ的增大而9．應用:(1)最大面積;(2)最大利潤;（3)其它1０、二次函數(shù)圖象的平移1.平移環(huán)節(jié):方法一:⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，擬定其頂點坐標;⑵保持拋物線的形狀不變,將其頂點平移到處,具體平移?2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移,負下移”.概括成八個字“左加右減,上加下減”.方法二:⑴沿軸平移:向上（下)平移個單位,變成（或）⑵沿軸平移:向左(右）平移個單位,變成(或)綜合練習(1）下列函數(shù)，①②.③④.⑤⑥；其中是y關(guān)于x的反比例函數(shù)的有:_____＿＿__________。（2)函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值是(）A．－１B.－2Ｃ．２D.2或-２（３）假如是的反比例函數(shù),是的反比例函數(shù)，那么是的（）A．反比例函數(shù)B．正比例函數(shù)C.一次函數(shù)D．反比例或正比例函數(shù)（4）假如是的正比例函數(shù),是的反比例函數(shù)，那么是的（)（５）假如是的正比例函數(shù)，是的正比例函數(shù)，那么是的（）（6）反比例函數(shù)的圖象通過（—2，5)和（，），求(１）的值；(2）判斷點Ｂ（,)是否在這個函數(shù)圖象上，并說明理由(7)已知函數(shù)，其中與成正比例,與成反比例,且當=1時，=1;=3時，＝5.求:（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)當=２時,的值．(8）若反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則的值是（)A、－1或1；Ｂ、小于的任意實數(shù);Ｃ、-1;D、不能擬定（９）已知，函數(shù)和函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象大體是(）（１0)、如圖,正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于Ａ、C兩點,過點A作AB⊥軸于點B,連結(jié)BC.則ΔＡBC的面積等于(）A.１B.2C.4D.隨的取值改變而改變．1１、已知函數(shù),其中成正比例,成反比例，且當12、（８分)已知,正比例函數(shù)圖象上的點的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù),反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)的增大而減小,一次函數(shù)過點.(1)求的值.(2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.二次函數(shù)提高題:1.是二次函數(shù),則的值為（)?A．０或－3 ?B.0或３ ??C．0?? Ｄ.－３２．已知二次函數(shù)與軸的一個交點A（-２，0),則值為(）A.2?B.－１?C．2或-1D.任何實數(shù)３.與形狀相同的拋物線解析式為（）A．? B． ?Ｃ．? D．4．關(guān)于二次函數(shù)，下列說法中對的的是() Ａ．若，則隨增大而增大 B.時，隨增大而增大。?C.時，隨增大而增大 ?D.若，則有最小值．5．函數(shù)通過的象限是(）?A．第一、二、三象限B．第一、二象限C.第三、四象限Ｄ．第一、二、四象限6.已知拋物線,當時,它的圖象通過（)A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn)．第一、二、三、四象限７．對的敘述對的的是（） A.當=1時，最大值＝2 B.當＝1時,最大值=8?C．當＝-1時,最大值=8 D.當＝-1時，最大值＝2８.二次函數(shù)的圖象過點（1，０)、(０，３),對稱軸=-1.①求函數(shù)解析式；圖象與軸交于A、B(A在B左側(cè))，與y軸交于Ｃ，頂點為D，求四邊形ABＣD的面積．９、拋物線與的形狀相同,而開口方向相反,則=（）(A）(B）（C）(D)10．把二次函數(shù)配方成頂點式為（）A. B.C． D．11．函數(shù)的圖象與軸有交點,則的取值范圍是(）A． Ｂ.C．D.1２、若拋物線的開口向下，頂點是（1，３),隨的增大而減小，則的取值范圍是（）(A)（B）（Ｃ)(Ｄ)13.拋物線過第二、三、四象限，則0，0,0．14.拋物線可由拋物線向平移個單位得到.1５．頂點為(-2,－5）且過點（1,－1４）的拋物線的解析式為.16.對稱軸是軸且過點A（１,3)、點B（-2，－６)的拋物線的解析式為.17．已知拋物線與軸交于點A，與軸的正半軸交于B、Ｃ兩點，且BＣ=2,S△ＡBC＝3,則=，=．18、已知二次函數(shù)的圖象通過點（1，0)和(-5，０）兩點，頂點縱坐標為，求這個二次函數(shù)的解析式。對稱軸、頂點、平移：1.拋物線的頂點坐標為.2.拋物線的頂點坐標是3.拋物線與軸的一個交點為,則這個拋物線的頂點坐標是 ? ? ．４．二次函數(shù)的最小值是5.已知二次函數(shù)的對稱軸和軸相交于點,則的值為＿_＿_____.6．拋物線的對稱軸是直線7.將拋物向左平移1個單位后，得到的拋物線的解析式是.８.把拋物線向右平移３個單位，再向下平移2個單位,所得圖象的解析式是,則有a、ｂ、c的值分別是圖像交點、判別式:9..已知拋物線與軸相交于兩點,且線段,則的值為．10.已知二次函數(shù)不通過第一象限,且與軸相交于不同的兩點,請寫出一個滿足上述條件的二次函數(shù)解析式．１1.若拋物線的頂點在軸的下方,則的取值范圍是()Ａ．? B. C．??D.１2．已知二次函數(shù)，且,，則一定有()A． B．??Ｃ.? Ｄ.≤０運用圖像:１.若直線y＝m（m為常數(shù))與函數(shù)y=eq\b\ｌc\｛（\a\ａl(x2（x≤２）,\F(４,x)(x＞2)))的圖像恒有三個不同的交點,m的取值范圍是———。2.下列圖形：①①②③④其中，陰影部分的面積相等的是（)Ａ.①②??B.②③? Ｃ．③④ Ｄ.④①3.若為二次函數(shù)的圖象上的三點,則的大小關(guān)系是()A. B．? C．?? D．4..二次函數(shù)圖象上部分點的相應值如下表：01２3４6006則使的的取值范圍為.5.二次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一坐標系中的圖象大體是()Ａ．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．O6．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則直線的圖象不通過(