證明平面與平面垂直

1.利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度..用向量證明垂直的方法⑴線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.⑵線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?4.若平面a與B的法向量分別是a=(4,0，—2)，b=(1,0,2)，則平面a與B的位置關(guān)系是()A.平行B-垂直C.相交不垂直D.無法判斷解析：?.?a?b=4X1+0+(—2)X2=0./.a±b，Aa±6.答案：B面面垂直.在正方體ABCD~AlB1C1D1中，E為Cq的中點(diǎn)，證明：平面B1ED±平面B1BD.

【證明】以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則D(0,0,0),Bi(i,i,i),E(0,1,2),DB廣(1,1,1),DE=(0,1,1),設(shè)平面B】DE的法向量為n,二(x,y,z),則x+y+z=0且y+2z=0,令z=-2,.?.n1=(1,1，-2).同理求得平面B1BD的法向量為n2=(1,-1,0),由n,?n2=0，知n±±n2，二平面B1DE±平面B1BD.Ci圖3-2-124.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為CC1的中點(diǎn)，證明：平面B/D上平面B1BD［證明］以DA,DC,DD1所在直線分別為x輒y輒z輒建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,貝UD(0,0,0),B1(1,1,1),e〔0,1,2］，DB1=(1，1，1)，DE=［o,1，2)設(shè)平面B1DE的法向量為n1=(x,y,z),則x+y+z=0且y+gl。，令z=-2,則y=1,x=1,An1=(1,1,-2).同理求得平面B1BD的法向量為n2=(1,-1,0),由n1?n2=0,知n1上n2,平面B1DE±平面B1BD.例3：如圖3-2-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB±BC,AB=BC=2,BB1=1,E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1±平面AA1C1C.

【解答】由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，分別以BA,BC,BB1所在直線為x^y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),A](2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E(0,0,|)，則AA1=(0,0,1),At=(-2,2,0),AC1=(-2,2,1)，立二(-2,0，2).設(shè)平面AA1C1C的一個法向量為n1=(xly,z),則＜n則＜n1-AA1=0叫.AC=0z=0,-2x+2y=0.令x=1，得y=1，.?.二(1,1,0).設(shè)平面AEC］的一個法向量為n2=(x，y，z)，則”2屈=0 「2x+2y+z=0，n^AE=0 、-2x+2z=0.令z=4，得x=1，y=-1.…n2=(1，-1,4).?.?%?n2=1X1+1X(-1)+0X4=0，-n1±n2.A平面AEC1±平面AA1C1C.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABLBC,AB=BC=2,BB=1,E為BB1的中點(diǎn)，證明：平面AEC,上平面AACC.兩個平［解］由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以B為原點(diǎn)，BA,BC,BB1分別為x,y,z輒建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,°),氣(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E〔0,0,|j,貝OAA1=(0,0,1),壽=(-2,2,0),尿］=(-2,2,1),屈=(-2,0,|).設(shè)平面AA1C1C的一個法向量為n1=(x1，義，q).則則］—A _naa=0,—cI”AC=0z1=0,_2x1+2y1=0.令x1=1,得y1=1..'.n1=(1,1,0).則］—A _吃AC1=0,〔n,?AE=02設(shè)平面AEC1則］—A _吃AC1=0,〔n,?AE=022%+如+&=0,2X2+2Z2=0,令&=4,得x2=1,y2=-1..'.n2=(1,-1,4).n2=1X1+1X(-1)+0X4=0.-n1±n2,a平面AEC1±平面AA1C1C.如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為8鳥的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，G為AB的中點(diǎn).求證：平面ADEL平面A1FG.證明：連結(jié)D1F,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)正方體棱長為1.??D(0,0,0),E(1,1,§,A(1,0,0),A1(1,0,1),G(1,^，0)，F(xiàn)(0，^，0).aAE=(0，1，|),康=(0，2，-1),GF=(-1,0,0).AEA^G=0+2-2=0,AEGF=0+0+0=0.AE±>TG，AE±GF,vA1GAGF=G,?ae±平面a1gf.又AEU平面ADE,?平面ADEL平面A1GF.

6.如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2槌，側(cè)棱長為4,E、F分是棱AB.BC的中點(diǎn)，EFCBD=G.求證：平面B1EF±平面BDD1B1.［證明］以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x輒j輒z軸建立空間直角坐標(biāo)由題意知：D(0,0,0)、B1(2叵,2?,4)、E(2&，季,0)、F點(diǎn),2^2,0),切(0，—吃,-4)、EF=(-羊，北，0)-設(shè)平面B1EF的一法向量為n=(x,y,z).貝Un?B1E二-gy-4z=0,n?EF=-\/2x+\/2y=0.解得x=y,z=-亨y，令y=1得n=(1,1,-亨),又平面BDD1B1的一個法向量為AC二(-2孕,2孕,0),而n?AC=1X(-^2)+1X2-.J2+(-孕)X0=0,即n±At..?.平面B1EF上平面BDD1B1.10.如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，G為AB的中點(diǎn).求證：平面ADEL平面A1FG.證明：連結(jié)D1F,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)正方體棱長為1.??D(0,0,0),E(1,1,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),G(1,|，0)，F(xiàn)(0,|,0)..AE=(0,1,2),A^=(0,2,-1),GF=(-1,0,0).?屁.AG=0+2-2=0，AE?GF=0+0+0=0.aE±A：g，A^E^GF,vA1GnGF=G,?AE±平面A1GF.又AE平面ADE,平面ADE上平面A1GF.11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為也，側(cè)棱長為點(diǎn)，E、F分別是AB1.CB1的中點(diǎn)，求證：平面D1EFL平面AB1C.證明：

把正四棱柱如圖放置在坐標(biāo)系中，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（學(xué),0,0）,C（0，.牌,0）,"揚(yáng)，-克，③,D1（0,0，屆,'?總，岑W）,F號，:;2，辛）E（&把正四棱柱如圖放置在坐標(biāo)系中，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（學(xué),0,0）,C（0，.牌,0）,"揚(yáng)，-克，③,D1（0,0，屆,'?總，岑W）,F號，:;2，辛）E（&，岑J）,F（奪，:;2，亭.而AC=(^2^2,0),屈］=(0,V2，E?,氣AC。履+履牛0,n「ALB1=V2"］+\'3u］=0.?)一巫=1,u1=-3.再設(shè)平面D［EF的法向量為n2=(1,"2,u2再設(shè)平面D［EF的法向量為n2=(1,"2,u2),則n2應(yīng)垂直于斥、Df.，，，，，一D1F而D^E-Gi'2，號烏2)烏2)n2-DE—A學(xué)2號〃2-0，?n2-Df-?？廴?號〃2-0.?"2-1,u2-拓.???n2-（1,1，拓）. _由于%?n2-1+1-半E6-0,?n1偵2..??平面D1EJ平面AB1C.2.三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為三角形A1B1C1，ZBAC=90°,A^A±平面ABCAA^]'3,AB=AC=2A1C1=2,D為BC中點(diǎn).證明：平面A^AD±平面BCC1B1.［證明］如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0, 0, 0), B(2, 0,0), C(0, 2, 0),A1(0,0,-必),C1(0,1,必),因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以D所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，0），所以BC=（-2,2，00），AD=（1，1，0），呵=（0，0，伊S^BC.aD=-2+2+0=0，BC.福]=0+0+0=0，^^— ——所以BC±ad，BC±AA1，所以BC上AD，BC±AA1，又AD^AA—1—A，尸所BC_L^平|目|ADA1，11而BC—^平面|BCC]B]，尸所以十^面A^AD_L^平^面BCC^B1^ZBAC=90°，A1A±平面ABC，三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，A1A^.；3，AB~.：'2,AC=2，A1C1=1ZBAC=90°，A1A±平面ABC，證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(必,0,0),C(0,2,0),人的。，翌),q(0,1，岳)..BD..BD:DC=1:2,???D點(diǎn)坐標(biāo)為（號-AD=(^^2,2,0),BC=(-寸2,2,0),A—1=(0,0，書)-?.?BC.a—1=0,BC.Ad=0,?BC上AA],BC±AD.又A1AHAD=A,?BC±平面A/D.又BCU平面BCC1B1,二平面A1AD±平面BCC1B1.中等難度建系10.如圖3-2-16所示，△ABC是一個正三角形，ECL平面ABC,BD^CE,且CE=CA=2BD.圖3-2-16圖3-2-16求證：平面DEAL平面ECA.【答案】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,不妨設(shè)CA=2,則CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(、JW1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).n1?EA=n1?EA=0,-ln1-CE=0,解得|j1=—■'3x1L]=0,n.EA=0,2—ln2-ED=0,1—-^ ^ ^所以EA=(偵3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,—1).分別設(shè)平面CEA與平面DEA的法向量是n1=(x1,”，&),n2=(知J2,z2),fV3x1+j1—2z1=0,〔2Z]=0,即(奴2+為—2z2=0,〔2y2-Z2=0,解得廣如，〔z2=2y2.不妨取n1=(1,—；'3,0),n2=(V3,1,2),因?yàn)閚1-n2=0,所以n1±n2.所以平面DEAL平面ECA.2017-開封模擬）如圖，已知ABL平面ACD,「內(nèi)上平面ACD,AACD為等邊三角形，AD=DE=2AB.D圖7-7-4求證：平面BCE±平面CDE.【導(dǎo)學(xué)號：97190251】［證明］設(shè)AD=DE=2AB=2a，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)砂，則A(0,0,0),C(2a,0,0),B（0,0,a）,D（a，方a,0）,E（a，?菸a,2a）.所以BE=（a，甲a,a）,BC=（2a,0,-a）,CD=（-a^3a,0）,ED=（0,0,-2a）.設(shè)平面BCE的法向量為幻=（呵，兒,弓）,由n「bE=0,n「BC=0可得ax+寸ay+az=0,2ax1-az1=0,卜i+V3yi+zi=0,即＜2呵-Z]=0.令Z1=2,可得n1=（1,—j.'3,2）.設(shè)平面CDE的法向量為n2=%,y2,z2）,由n2CD=0,n2?ED=0可得'-ax2+V3ay2=0，〈、-2aZ2=0,-x2+而2=0，[z2=0.令y2=1，可得n2=（?擋,1,0）.因?yàn)?n2/1X\仔+1X（-必）=0.所以n1±n2,所以平面BCE±平面CDE.底面是梯形如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，/ABC=ZBCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC±底面ABCD.證明:(1)P4±BD；（2）平面PADL平面PAB.證明（1）取BC的中點(diǎn)0,連接PO,.??平面PBC±底面ABCD3PBC為等邊三角形，?.P0±底面ABCD.以BC的中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)0與AB平行的直線為y軸，0P所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.不妨設(shè)CD=1，則AB=BC=2，P0=-..誓.?.?A（1，—2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，\：2）..*.BD=(—2，—1，0)，PA=(1，—2，—、..j3).VBD-PA=(—2)X1+(—1)X(—2)+0X(—、.*)=0，AP4±BD，AP4±BD.⑵取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則M^，—1，辛］VDM=f|，0，平），PB=（1，0，-?。?，:.DM-PB=|xi+0X0+號X(―舟)=0,:,DM±PB，艮flDM±PB.——3 3 —?：DM?P4=|X1+0X(-|)+^X(—g)=0,：.I)M±Pa，艮flDM±PA.又VP4nPB=P,ADM±平面PAB.?「DMu平面PAD,.平面PAD±平面PAB.9.如圖，四邊形ABCD為正方形，戶口上平面ABCD,PDIIQA,QA=AB=1PD.證明：平面PQCL平面DCQ.證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA,DP,DC分別為尤軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.依題意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,I,0),則DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,—1,0).一——_一——一一APQ-DQ=0,PQ?DC=0.即PQ里DQ,PQ±DC,又DQnDC=D,APQ±平面DCQ,又PQu平面PQC,.??平面PQCL平面DCQ.［跟蹤訓(xùn)練］如圖7-7-5所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，/ABC=/BCD=90。,AB=BC=PB=PC=ICD，側(cè)面PBCL底面ABCD.

圖7-7-5證明：(1)Q4^8Q；圖7-7-5(2)平面PAD±平面PAB.［證明］(1)取BC的中點(diǎn)。，連接PO,.??平面PBC±底面ABCD,△PBC為等邊三角形，:.PO±底面ABCD.2,-2,-1,0)，廁=(1,以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.不妨設(shè)CD=1，則AB=BC=2,POf.???A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0，展).f1

f1

—,⑵取PA的中點(diǎn)M,連接DM，則Mx，-1，vBD-PA=(-2)X1+(-1)X(-2)+0X(".,：③=0,一一,一:.PA±BD，:.PALBD.§,0,勺，PB