北京工業(yè)大學線性代數(shù)第四章第三節(jié)向量組的秩課件

第三節(jié)向量組的秩一．極大線性無關組二.向量組的等價三．向量組的秩四．向量組的秩的計算方法1引例：共面且兩兩不共線，則線性相關,它的部分設幾何空間中組都線性無關。但對于部分組來說,添上后得到的部分組仍線性無關，而部分組添上后得到的卻線性相關,由此受到啟發(fā)，我們引入下述概念。線性相關時,如何判斷線性表出？問題：2⒈極大線性無關組在向量組如果存在部分組線性無關,而從向量組的其余向量中(若還有的話)任取一個添進去,得到的新的是向量組的一個極大線性無關組．定義：一．極大線性無關組向量組都線性相關,則稱部分組3引例中，是向量組的一個極大線性無關組.也是向量組的極大線性無關組.這些極大線性無關組所含向量個數(shù)都相等!問題：向量組的任意兩個極大線性無關組所含向量個數(shù)是否一定相等？5二.向量組間的等價關系設有兩個n維向量組若A中每個向量都可由向量組B線性表出,則稱向量組A可由向量組B線性表出；定義：若向量組A與向量組B可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價，記作6向量組的等價是向量組之間的一種關系，易知，這種關系具有如下三條性質(zhì)：⑴反身性⑵對稱性則⑶傳遞性則(因為線性表出具有傳遞性)7設①線性表出;可以由②線性相關是極大線性無關組可以由線性可以由線性表出.由表出。所以9推論：向量組的任意兩個極大線性無關組等價。(由等價的對稱性和傳遞性)小結(jié):是向量組設的一個極大線性無關組，線性表出線性表出是否線性相關10現(xiàn)在我們知道，向量組的任意兩個極大線性無關組可以互相線性表出，為了研究它們所含向量的個數(shù)是否相等，就需要先研究如果一個向量組可以由另一個向量組線性表出，它們所含向量的個數(shù)有什么關系。11定理1：設向量組線性表出,如果s>t,則線性相關．向量組部分組線性無關,任意r+1個向量都極大線性無關組的等價定義：推論1：線性表示,線性無關，則線性相關是極大線性無關組13推論2：兩個線性無關的等價的向量組，必含有相同個數(shù)的向量．推論3：向量組的任意兩個極大線性無關組所含向量的個數(shù)相等．注：極大無關組所含向量的個數(shù)是相當重要的。為此我們引出下述概念。14三．向量組的秩定義:所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩，記作向量組的極大線性無關組說明：規(guī)定全由零向量組成的向量組的秩為零。向量組中線性無關的向量的個數(shù)至多是r，任意r+1個⑴向量都線性相關。15推論：等價的向量組有說明：相同的秩。上述定理和推論給出了比較兩個向量組的秩的方法，利用這個方法有時可從已知的向量組的秩，求出另一個向量組的秩。證：設為向量組A的極大線性無關組，為向量組B的極大線性無關組，則線性表出，17四．向量組的秩的計算方法設A=(aij)m×n,則A的行向量組的秩稱為A的行秩,A的列向量組的秩稱為A的列秩．定義:命題：階梯形矩陣J的秩等于它的行秩也等于它的列秩；且J的主元所在的列構(gòu)成J的列向量組的一個極大線性無關組．1.矩陣的秩與向量組的秩的關系18設線性無關。19推論：任意矩陣的秩等于它的行秩，也等于它的列秩．命題：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩；也不改變矩陣列向量組的線性相關性，從而不改變矩陣的列秩．推論：設矩陣A經(jīng)過初等行變換變成階梯形矩第列構(gòu)成A的一個極大線性無關組．陣J,且J的主元所在是第列,則A的問題：一般的矩陣，其行秩=列秩？21⒉求向量組的秩的方法⑴將向量組的向量作為列構(gòu)成一個矩陣A，例2求向量組的秩與一個極大線性無關組解：對矩陣⑵A初等行變換階梯形矩陣B(得R(A))初等行變換簡化梯形矩陣C(求線性表出的