2023年新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)教案

正弦和余弦（一)

一、素質(zhì)教育目的(一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生知道當(dāng)直角三角形的銳角固定期,它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這一事實(shí)．(二）能力訓(xùn)練點(diǎn)逐步培養(yǎng)學(xué)生會(huì)觀測(cè)、比較、分析、概括等邏輯思維能力．（三)德育滲透點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、敢于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．重點(diǎn)：使學(xué)生知道當(dāng)銳角固定期，它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實(shí)．2.難點(diǎn)：學(xué)生很難想到對(duì)任意銳角，它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實(shí),關(guān)鍵在于教師引導(dǎo)學(xué)生比較、分析,得出結(jié)論.三、教學(xué)環(huán)節(jié)（一)明確目的1．如圖6-1,長(zhǎng)5米的梯子架在高為3米的墻上,則A、B間距離為多少米？2.長(zhǎng)5米的梯子以傾斜角∠CAＢ為30°靠在墻上，則A、Ｂ間的距離為多少？3．若長(zhǎng)5米的梯子以傾斜角4０°架在墻上,則A、B間距離為多少?4．若長(zhǎng)５米的梯子靠在墻上，使Ａ、B間距為２米，則傾斜角∠CAB為多少度?前兩個(gè)問題學(xué)生很容易回答.這兩個(gè)問題的設(shè)計(jì)重要是引起學(xué)生的回憶，并使學(xué)生意識(shí)到,本章要用到這些知識(shí)．但后兩個(gè)問題的設(shè)計(jì)卻使學(xué)生感到疑惑，這對(duì)初三年級(jí)這些好奇、好勝的學(xué)生來說,起到激起學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好的作用.同時(shí)使學(xué)生對(duì)本章所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的特點(diǎn)有一個(gè)初步的了解,有些問題單靠勾股定理或含3０°角的直角三角形和等腰直角三角形的知識(shí)是不能解決的，解決這類問題，關(guān)鍵在于找到一種新方法，求出一條邊或一個(gè)未知銳角,只要做到這一點(diǎn),有關(guān)直角三角形的其他未知邊角就可用學(xué)過的知識(shí)所有求出來．通過四個(gè)例子引出課題.(二）整體感知1．請(qǐng)每一位同學(xué)拿出自己的三角板,分別測(cè)量并計(jì)算30°、45°、60°角的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值．學(xué)生不久便會(huì)回答結(jié)果:無論三角尺大小如何，其比值是一個(gè)固定的值．限度較好的學(xué)生還會(huì)想到，以后在這些特殊直角三角形中,只要知道其中一邊長(zhǎng)，就可求出其他未知邊的長(zhǎng).2．請(qǐng)同學(xué)畫一個(gè)含４０°角的直角三角形,并測(cè)量、計(jì)算40°角的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值，學(xué)生又快樂地發(fā)現(xiàn)，不管三角形大小如何,所求的比值是固定的.大部分學(xué)生也許會(huì)想到,當(dāng)銳角取其他固定值時(shí),其對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎？這樣做，在培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力的同時(shí),也使學(xué)生對(duì)本節(jié)課要研究的知識(shí)有了整體感知，喚起學(xué)生的求知欲,大膽地探索新知．（三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程1.通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)猜想到“無論直角三角形的銳角為什么值，它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”.但是如何證明這個(gè)命題呢?學(xué)生這時(shí)的思維很活躍．對(duì)于這個(gè)問題，部分學(xué)生也許能解決它.因此教師此時(shí)應(yīng)讓學(xué)生展開討論,獨(dú)立完畢.2.學(xué)生通過研究，也許能解決這個(gè)問題．若不能解決,教師可適當(dāng)引導(dǎo):若一組直角三角形有一個(gè)銳角相等,可以把其頂點(diǎn)A1,Ａ2，A3重合在一起,記作Ａ，并使直角邊AC１,AC２，AC3……落在同一條直線上,則斜邊AＢ１,ＡB2,ＡB３……落在另一條直線上.這樣同學(xué)們能解決這個(gè)問題嗎?引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立證明:易知,B1C1∥B2C2∥B3Ｃ3……，∴△ＡB1C1∽△ＡＢ2C２∽△AB3C3∽……,∴形中,∠A的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值,是一個(gè)固定值.通過引導(dǎo)，使學(xué)生自己獨(dú)立掌握了重點(diǎn),達(dá)成知識(shí)教學(xué)目的，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生能力,進(jìn)行了德育滲透.而前面導(dǎo)課中動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì),事實(shí)上為突破難點(diǎn)而設(shè)計(jì).這一設(shè)計(jì)同時(shí)起到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用．練習(xí)題為作了孕伏同時(shí)使學(xué)生知道任意銳角的對(duì)邊與斜邊的比值都能求出來.(四)總結(jié)與擴(kuò)展１．引導(dǎo)學(xué)生作知識(shí)總結(jié)：本節(jié)課在復(fù)習(xí)勾股定理及含３0°角直角三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)上，通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、證明，我們發(fā)現(xiàn),只要直角三角形的銳角固定,它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的．教師可適當(dāng)補(bǔ)充:本節(jié)課通過同學(xué)們自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn),大膽猜測(cè)和積極思考，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的結(jié)論，相信大家的邏輯思維能力又有所提高，希望大家發(fā)揚(yáng)這種創(chuàng)新精神，變被動(dòng)學(xué)知識(shí)為積極發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識(shí)．２．?dāng)U展:當(dāng)銳角為30°時(shí),它的對(duì)邊與斜邊比值我們知道．今天我們又發(fā)現(xiàn)，銳角任意時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值也是固定的.假如知道這個(gè)比值，已知一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了．看來這個(gè)比值很重要,下節(jié)課我們就著重研究這個(gè)“比值”，有愛好的同學(xué)可以提前預(yù)習(xí)一下.通過這種擴(kuò)展,不僅對(duì)正、余弦概念有了初步印象，同時(shí)又激發(fā)了學(xué)生的愛好．四、布置作業(yè)本節(jié)課內(nèi)容較少，并且是為正、余弦概念打基礎(chǔ)的,因此課后應(yīng)規(guī)定學(xué)生預(yù)習(xí)正余弦概念．五、板書設(shè)計(jì)

第十四章解直角三角形一、銳角三角函數(shù)證明:－--------－－-----－－結(jié)論：-－--－---－-－-－－－-－--－

練習(xí):-----－－－-----------－-

正弦和余弦(二)

一、素質(zhì)教育目的（一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生初步了解正弦、余弦概念；可以較對(duì)的地用ｓiｎＡ、cｏsA表達(dá)直角三角形中兩邊的比；熟記特殊角3０°、4５°、60°角的正、余弦值,并能根據(jù)這些值說出相應(yīng)的銳角度數(shù).(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)逐步培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)、比較、分析、概括的思維能力．（三)德育滲透點(diǎn)滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的運(yùn)動(dòng)變化、互相聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生了解正弦、余弦概念.2.教學(xué)難點(diǎn):用品有幾個(gè)字母的符號(hào)組sinA、ｃoｓA表達(dá)正弦、余弦；正弦、余弦概念.三、教學(xué)環(huán)節(jié)(一)明確目的1．引導(dǎo)學(xué)生回憶“直角三角形銳角固定期,它的對(duì)邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也是固定的．”2．明確目的：這節(jié)課我們將研究直角三角形一銳角的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值——正弦和余弦．(二)整體感知只要知道三角形任一邊長(zhǎng)，其他兩邊就可知．而上節(jié)課我們發(fā)現(xiàn):只要直角三角形的銳角固定，它的對(duì)邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也固定.這樣只要能求出這個(gè)比值，那么求直角三角形未知邊的問題也就迎刃而解了．通過與“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”相類比，學(xué)生自然產(chǎn)生想學(xué)習(xí)的欲望，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)愛好，同時(shí)對(duì)以下要研究的內(nèi)容有了大體印象．(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程正弦、余弦的概念是全章知識(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生此后的學(xué)習(xí)與工作都十分重要，因此擬定它為本課重點(diǎn),同時(shí)正、余弦概念隱含角度與數(shù)之間具有一一相應(yīng)的函數(shù)思想,又用含幾個(gè)字母的符號(hào)組來表達(dá),因此概念也是難點(diǎn)．在上節(jié)課研究的基礎(chǔ)上，引入正、余弦,“把對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值稱做正弦、余弦”．如圖6-3：請(qǐng)學(xué)生結(jié)合圖形敘述正弦、余弦定義，以培養(yǎng)學(xué)生概括能力及語言表達(dá)能力.教師板書：在△ABＣ中,∠C為直角,我們把銳角Ａ的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，銳角Ａ的鄰邊與斜邊的比叫做∠Ａ的余弦,記作cosA．若把∠Ａ的對(duì)邊BＣ記作a，鄰邊AC記作b，斜邊AＢ記作c,則引導(dǎo)學(xué)生思考:當(dāng)∠A為銳角時(shí),siｎA(yù)、cｏsA的值會(huì)在什么范圍內(nèi)?得結(jié)論0＜sinA<1，0＜coｓＡ＜1(∠A為銳角)．這個(gè)問題對(duì)于較差學(xué)生來說有些難度,應(yīng)給學(xué)生充足思考時(shí)間，同時(shí)這個(gè)問題也使學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來．教材例1的設(shè)立是為了鞏固正弦概念,通過教師示范,使學(xué)生會(huì)求正弦,這里不妨增問“cosＡ、cｏsB”，通過反復(fù)強(qiáng)化,使全體學(xué)生都達(dá)成目的,更加突出重點(diǎn).例１

求出圖6－4所示的Rｔ△ABC中的sinA、sｉnB和cosA、cosＢ的值.學(xué)生練習(xí)1中1、2、3.讓每個(gè)學(xué)生畫含30°、４５°的直角三角形,分別求siｎ3０°、ｓin4５°、sin60°和cos30°、cｏｓ4５°、cos60°．這一練習(xí)既用到以前的知識(shí),又鞏固正弦、余弦的概念,通過學(xué)習(xí)親自動(dòng)筆計(jì)算后,對(duì)特殊角三角函數(shù)值印象很深刻．例2

求下列各式的值:為了使學(xué)生純熟掌握特殊角三角函數(shù)值,這里還應(yīng)安排六個(gè)小題：(1)sｉn４5°＋cos４5;

(2)ｓin30°·ｃoｓ60°;在擬定每個(gè)學(xué)生都牢記特殊角的三角函數(shù)值后，引導(dǎo)學(xué)生思考，“請(qǐng)大家觀測(cè)特殊角的正弦和余弦值，猜測(cè)一下，sｉｎ20°大約在什么范圍內(nèi),ｃｏs5０°呢?”這樣的引導(dǎo)不僅培養(yǎng)學(xué)生的觀測(cè)力、注意力,并且培養(yǎng)學(xué)生敢于思考、大膽創(chuàng)新的精神．還可以進(jìn)一步請(qǐng)成績(jī)較好的同學(xué)用語言來敘述“銳角的正弦值隨角度增大而增大,余弦值隨角度增大而減小.”為查正余弦表作準(zhǔn)備.(四）總結(jié)、擴(kuò)展一方面請(qǐng)學(xué)生作小結(jié)，教師適當(dāng)補(bǔ)充,“重要研究了銳角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的兩邊可求其銳角的正、余弦值．知道任意銳角A的正、余弦值都在０~1之間，即０<ｓinA＜1，

0＜cosＡ＜１（∠A為銳角）．還發(fā)現(xiàn)Rt△ABＣ的兩銳角∠A、∠B,siｎA(yù)＝cosB，cosA＝sinＢ.正弦值隨角度增大而增大,余弦值隨角度增大而減?。彼?、布置作業(yè)教材習(xí)題1４.1中A組3.預(yù)習(xí)下一課內(nèi)容.五、板書設(shè)計(jì)

14.1正弦和余弦(二)一、概念：三、例1－---------四、特殊角的正余弦值－－－--－--------－-------－－--－-－-----－----－－－------------－二、范圍:－-－--－---－-------－五、例２--－－－-------

正弦和余弦(三)

一、素質(zhì)教育目的（一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生了解一個(gè)銳角的正弦(余弦）值與它的余角的余弦(正弦)值之間的關(guān)系.(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)逐步培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)、比較、分析、綜合、抽象、概括的邏輯思維能力．(三）德育滲透點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、敢于創(chuàng)新的精神．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)１．重點(diǎn)：使學(xué)生了解一個(gè)銳角的正弦（余弦)值與它的余角的余弦(正弦)值之間的關(guān)系并會(huì)應(yīng)用.2．難點(diǎn)：一個(gè)銳角的正弦（余弦）與它的余角的余弦（正弦)之間的關(guān)系的應(yīng)用．三、教學(xué)環(huán)節(jié)(一)明確目的１.復(fù)習(xí)提問(1）、什么是∠Ａ的正弦、什么是∠A的余弦,結(jié)合圖形請(qǐng)學(xué)生回答.由于正弦、余弦的概念是研究本課內(nèi)容的知識(shí)基礎(chǔ)，請(qǐng)中下學(xué)生回答,從中可以了解教學(xué)班尚有多少人不清楚的,可以采用適當(dāng)?shù)难a(bǔ)救措施．(2）請(qǐng)同學(xué)們回憶３0°、45°、6０°角的正、余弦值(教師板書）．(3)請(qǐng)同學(xué)們觀測(cè)，從中發(fā)現(xiàn)什么特性?學(xué)生一定會(huì)回答“siｎ30°=ｃｏs６0°，sin45°＝coｓ4５°，sin6０°＝cos30°，這三個(gè)角的正弦值等于它們余角的余弦值”．2.導(dǎo)入新課根據(jù)這一特性,學(xué)生們也許會(huì)猜想“一個(gè)銳角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦（正弦）值．”這是否是真命題呢?引出課題．(二）、整體感知關(guān)于銳角的正弦(余弦)值與它的余角的余弦(正弦)值之間的關(guān)系，是通過３0°、4５°、60°角的正弦、余弦值之間的關(guān)系引入的，然后加以證明.引入這兩個(gè)關(guān)系式是為了便于查“正弦和余弦表”,關(guān)系式雖然用黑體字并加以文字語言的證明,但不標(biāo)明是定理，其證明也不規(guī)定學(xué)生理解，更不應(yīng)規(guī)定學(xué)生運(yùn)用這兩個(gè)關(guān)系式去推證其他三角恒等式.在本章，這兩個(gè)關(guān)系式的用處僅僅限于查表和計(jì)算，而不是證明.(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)和目的完畢過程1.通過復(fù)習(xí)特殊角的三角函數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生觀測(cè),并猜想“任一銳角的正弦（余弦)值等于它的余角的余弦（正弦）值嗎？”提出問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,使學(xué)生的思維積極活躍.2.這時(shí)少數(shù)反映快的學(xué)生也許頭腦中已經(jīng)“畫”出了圖形，并有了思緒,但對(duì)部分學(xué)生來說仍思緒凌亂．因此教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo):siｎA(yù)=coｓ(90°-A)，coｓA=sｉｎ（９0°-Ａ)（A是銳角)成立嗎?這時(shí)，學(xué)生結(jié)合正、余弦的概念，完全可以自己解決，教師要給學(xué)生足夠的研究解決問題的時(shí)間,以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力及獨(dú)立思考、敢于創(chuàng)新的精神.3．教師板書:任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.siｎA(yù)＝ｃｏs(９０°-A)，ｃosA＝sｉn(90°-Ａ)．4.在學(xué)習(xí)了正、余弦概念的基礎(chǔ)上,學(xué)生了解以上內(nèi)容并不困難,但是,由于學(xué)生初次接觸三角函數(shù),還不純熟，而定理又涉及余角、余函數(shù),使學(xué)生極易混淆.因此，定理的應(yīng)用對(duì)學(xué)生來說是難點(diǎn)、在給出定理后，需加以鞏固．

已知∠A和∠B都是銳角，(1）把cｏs(９0°-A)寫成∠A的正弦.（２)把sin(9０°-Ａ)寫成∠Ａ的余弦.這一練習(xí)只能起到鞏固定理的作用．為了運(yùn)用定理,教材安排了例3.(２)已知siｎ３5°＝0.５73６,求ｃｏｓ55°；(3)已知coｓ47°6′＝0.6807,求ｓｉn４２°５4′．(1）問比較簡(jiǎn)樸,對(duì)照定理,學(xué)生立即可以回答．(2)、(3)比(1)則更深一步,由于(1)明確指出∠B與∠A互余,(２）、（3)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)35°與55°的角,47°６′分42°54′的角互余，從而根據(jù)定理得出答案,因此(2）、(3)問在課堂上應(yīng)當(dāng)請(qǐng)基礎(chǔ)好一些的同學(xué)講清思維過程,便于全體學(xué)生掌握，在三個(gè)問題解決完之后，最佳將題目變形:(2)已知sin３5°=0.5736,則cos_＿_(dá)___=0.５736.（3)cｏs４7°６′=0.6８07，則sin____＿_(dá)=0.6807,以培養(yǎng)學(xué)生思維能力．為了配合例３的教學(xué)，教材中配備了練習(xí)題2．(2)已知sin67°１8′=0.9225,求coｓ22°4２′；(３)已知coｓ4°24′=0.9971,求sin8５°3６′．學(xué)生獨(dú)立完畢練習(xí)２，就說明定理的教學(xué)較成功,學(xué)生基本會(huì)運(yùn)用.教材中３的設(shè)立，事實(shí)上是對(duì)前二節(jié)課內(nèi)容的綜合運(yùn)用，既考察學(xué)生正、余弦概念的掌握限度，同時(shí)又對(duì)本課知識(shí)加以鞏固練習(xí),因此例３的安排恰到好處.同時(shí),做例3也為下一節(jié)查正余弦表做了準(zhǔn)備.(四)小結(jié)與擴(kuò)展1．請(qǐng)學(xué)生做知識(shí)小結(jié),使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié),將所學(xué)內(nèi)容變成自己知識(shí)的組成部分.２.本節(jié)課我們由特殊角的正弦(余弦)和它的余角的余弦（正弦）值間關(guān)系,以及正弦、余弦的概念得出的結(jié)論：任意一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意一個(gè)銳角的余弦值等于它的余角的正弦值．四、布置作業(yè)教材習(xí)題1４．1Ａ組4、5．五、板書設(shè)計(jì)

14．1正弦和余弦(三）一、余角余函數(shù)關(guān)系二、例3－-----－-－------－-----------－－－-----－－------－-----------

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正弦和余弦(四)

一、素質(zhì)教育目的(一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生會(huì)查“正弦和余弦表”,即由已知銳角求正弦、余弦值.(二）能力滲透點(diǎn)逐步培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)、比較、分析、概括等邏輯思維能力．（三)德育訓(xùn)練點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.重點(diǎn)：“正弦和余弦表”的查法.2．難點(diǎn)：當(dāng)角度在０°~９０°間變化時(shí)，正弦值與余弦值隨角度變化而變化的規(guī)律．三、教學(xué)環(huán)節(jié)(一)明確目的1．復(fù)習(xí)提問１)３０°、45°、６0°的正弦值和余弦值各是多少?請(qǐng)學(xué)生口答．2)任意銳角的正弦(余弦)與它的余角的余弦（正弦)值之間的關(guān)系如何?通過復(fù)習(xí),使學(xué)生便于理解正弦和余弦表的設(shè)計(jì)方式．(二)整體感知我們已經(jīng)求出了30°、45°、60°這三個(gè)特殊角的正弦值和余弦值，但在生產(chǎn)和科研中還常用到其他銳角的正弦值和余弦值,為了使用上的方便，我們把0°—90°間每隔1′的各個(gè)角所相應(yīng)的正弦值和余弦值(一般是具有四位有效數(shù)字的近似值),列成表格——正弦和余弦表.本節(jié)課我們來研究如何使用正弦和余弦表.(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程1．“正弦和余弦表”簡(jiǎn)介學(xué)生已經(jīng)會(huì)查平方表、立方表、平方根表、立方根表,對(duì)數(shù)學(xué)用表的結(jié)構(gòu)與查法有所了解.但正弦和余弦表與其又有所區(qū)別,因此一方面向?qū)W生介紹“正弦和余弦表”.(1)“正弦和余弦表”的作用是：求銳角的正弦、余弦值，已知銳角的正弦、余弦值,求這個(gè)銳角.2）表中角精確到1′,正弦、余弦值有四位有效數(shù)字．3)凡表中所查得的值,都用等號(hào),而非“≈”，根據(jù)查表所求得的值進(jìn)行近似計(jì)算,結(jié)果四舍五入后，一般用約等號(hào)“≈”表達(dá)．2．舉例說明例4

查表求3７°24′的正弦值.學(xué)生由于有查表經(jīng)驗(yàn),因此查sin37°2４′的值不會(huì)是到困難，完全可以自己解決．例5

查表求3７°26′的正弦值．學(xué)生在獨(dú)自查表時(shí)，在正弦表頂端的橫行里找不到26′,但26′在２4′~30′間而靠近24′,比24′多2′,可引導(dǎo)學(xué)生注意修正值欄,這樣學(xué)生也許直接得答案．教師這時(shí)可設(shè)問“為什么將查得的5加在0.60７4的最后一個(gè)數(shù)位上,而不是0.6０74減去0.000５”.通過引導(dǎo)學(xué)生觀測(cè)思考，得結(jié)論:當(dāng)角度在0°～9０°間變化時(shí),正弦值隨著角度的增大(或減?。┒龃?或減小)．解：sin３７°24′=0.60７４．角度增2′

值增0.0005ｓｉn3７°２6′=0.6079.例6

查表求siｎ３7°23′的值.假如例5學(xué)生已經(jīng)理解,那么例６學(xué)生完全可以自己解決，通過對(duì)比,加強(qiáng)學(xué)生的理解.解:ｓｉｎ3７°24′=0．6074角度減1′值減0.0002ｓin37°23′＝0.6０７2.在查表中,還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生查得：siｎ0°=0，ｓiｎ90°=1．根據(jù)正弦值隨角度變化規(guī)律：當(dāng)角度從０°增長(zhǎng)到90°時(shí)，正弦值從０增長(zhǎng)到1；當(dāng)角度從９０°減少到0°時(shí),正弦值從1減到0.可引導(dǎo)學(xué)生查得：cos０°＝1，coｓ９0°=０.根據(jù)余弦值隨角度變化規(guī)律知:當(dāng)角度從0°增長(zhǎng)到90°時(shí)，余弦值從1減小到0，當(dāng)角度從9０°減小到0°時(shí),余弦值從０增長(zhǎng)到1.（四）總結(jié)與擴(kuò)展1．請(qǐng)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課重要討論了“正弦和余弦表”的查法．了解正弦值，余弦值隨角度的變化而變化的規(guī)律：當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí),正弦值隨著角度的增大而增大，隨著角度的減小而減?。划?dāng)角度在0°~９0°間變化時(shí)，余弦值隨著角度的增大而減小,隨著角度的減小而增大．2.“正弦和余弦表”的用處除了已知銳角查其正、余弦值外,還可以已知正、余弦值,求銳角，同學(xué)們可以試試看.四、布置作業(yè)預(yù)習(xí)教材中例8、例９、例10,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．五、板書設(shè)計(jì)

1４．1正弦和余弦（四）一、正余弦值隨角度變二、例題例5例6化規(guī)律例４

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正弦和余弦(五)

一、素質(zhì)教育目的(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生會(huì)根據(jù)一個(gè)銳角的正弦值和余弦值，查出這個(gè)銳角的大?。ǘ┠芰τ?xùn)練點(diǎn)逐步培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)、比較、分析、概括等邏輯思維能力.(三)德育滲透點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)１.重點(diǎn)：由銳角的正弦值或余弦值，查出這個(gè)銳角的大?。?．難點(diǎn):由銳角的正弦值或余弦值，查出這個(gè)銳角的大小.3.疑點(diǎn)：由于余弦是減函數(shù)，查表時(shí)“值增角減，值減角增”學(xué)生經(jīng)常犯錯(cuò)．三、教學(xué)環(huán)節(jié)（一)明確目的1.銳角的正弦值與余弦值隨角度變化的規(guī)律是什么？這一規(guī)律也是本課查表的依據(jù),因此課前還得引導(dǎo)學(xué)生回憶．答:當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大(或減?。┒龃?或減小)；當(dāng)角度在０°~9０°間變化時(shí)，余弦值隨角度的增大(或減?。┒鴾p小(或增大)．2.若ｃｏs21°３0′=０.93０４，且表中同一行的修正值是則cｏs21°31′=____＿_(dá),cos21°２8′=__＿_(dá)＿_(dá).3．不查表,比較大小:(1）sｉn2０°__＿＿_(dá)_sin2０°1５′;（2)coｓ51°______cｏs50°10′；（3)sｉｎ２1°＿＿_(dá)__＿coｓ68°.學(xué)生在回答2題時(shí)極易犯錯(cuò)，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生敘述思考過程,然后得出答案．3題的設(shè)計(jì)重要是考察學(xué)生對(duì)函數(shù)值隨角度的變化規(guī)律的理解，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生估算．(二)整體感知已知一個(gè)銳角,我們可用“正弦和余弦表”查出這個(gè)角的正弦值或余弦值．反過來，已知一個(gè)銳角的正弦值或余弦值,可用“正弦和余弦表”查出這個(gè)角的大?。捎趯W(xué)生有查“平方表”、“立方表”等經(jīng)驗(yàn),對(duì)這一點(diǎn)必深信無疑.并且通過逆向思維,也許不久會(huì)掌握已知函數(shù)值求角的方法.(三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程.例８

已知sｉnA=0.２974，求銳角A．學(xué)生通過上節(jié)課已知銳角查其正弦值和余弦值的經(jīng)驗(yàn),完全能獨(dú)立查得銳角A,但教師應(yīng)請(qǐng)同學(xué)講解查的過程：從正弦表中找出0.2９74,由這個(gè)數(shù)所在行向左查得１７°,由同一數(shù)所在列向上查得18′，即０.2９7４＝sin1７°1８′,以培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)能力.解：查表得sin17°18′=０.29７4,所以銳角A=1７°18′.例9

已知ｃosA=０．７8５7,求銳角A.分析：學(xué)生在表中找不到０．7８57,這時(shí)部分學(xué)生也許束手無策，但有上節(jié)課查表的經(jīng)驗(yàn),少數(shù)思維較活躍的學(xué)生也許會(huì)想出辦法．這時(shí)教師最佳讓學(xué)生討論,在探討中尋求辦法.這對(duì)解決本題會(huì)有好處，使學(xué)生印象更深，理解更透徹．若條件許可，應(yīng)在討論后請(qǐng)一名學(xué)生講解查表過程：在余弦表中查不到０.785７.但能找到同它最接近的數(shù)０.7859，由這個(gè)數(shù)所在行向右查得3８°,由同一個(gè)數(shù)向下查得１2′,即0.7859＝cｏs3８°１2′．但cosＡ＝０．78５7，比０.7８59小0.000２，這說明∠A比38°1２′要大,由０．785９所在行向右查得修正值０.０002相應(yīng)的角度是1′,所以∠A=38°1２′+1′＝3８°１3′.解：查表得cｏs38°12′＝０.78５9,所以:０.7８59＝ｃos38°12′.值減0．0002角度增１′0.7857=cｏs38°１3′，即

銳角A＝38°１3′.例10

已知cosB＝０.4511,求銳角B．例10與例９相比較，只是出現(xiàn)余差(本例中的0.0002)與修正值不一致.教師只要講清如何使用修正值(用最接近的值),以使誤差最小即可，其余部分學(xué)生在例９的基礎(chǔ)上，可以獨(dú)立完畢．解：０.4509=ｃos63°12′值增0.0０03角度減1′０.45１2＝coｓ６3°11′∴銳角B＝63°１1′為了對(duì)例題加以鞏固,教師在此應(yīng)設(shè)計(jì)練習(xí)題,教材P．15中2、3．2.已知下列正弦值或余弦值，求銳角A或B:(１)sinＡ=0.7083，siｎB=0.9３７1，sinA=0.3526,sinB=0．5688;(2)cｏsＡ=0.82９0，cosB=0.7611，cosA=0.2996，ｃosB＝0.9９31．此題是配合例題而設(shè)立的，規(guī)定學(xué)生能快速準(zhǔn)確得到答案.(1)45°6′,６9°34′,20°３9′,34°4０′；(2）34°０′,40°26′，72°34′，６°44′.3．查表求sin57°與cｏs33°，所得的值有什么關(guān)系?此題是讓學(xué)生通過查表進(jìn)一步印證關(guān)系式sｉｎA(yù)=cos(９0°-A),ｃｏsＡ=0.838７，∴sin57°＝coｓ３3°，或sin５7°＝coｓ(90°-５7°)，cos33°=sin(90°-3３°)．(四)、總結(jié)、擴(kuò)展本節(jié)課我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了已知一個(gè)銳角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦表”查出這個(gè)銳角的大小，這也是本課難點(diǎn),同學(xué)們要會(huì)依據(jù)正弦值和余弦值隨角度變化規(guī)律(角度變化范圍0°～90°)查“正弦和余弦表”．四、布置作業(yè)教材復(fù)習(xí)題十四A組3、４，規(guī)定學(xué)生只查正、余弦。五、板書設(shè)計(jì)

１4.1正弦和余弦(五)例8例9例10

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正弦和余弦(六)

一、素質(zhì)教育目的(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)歸納綜合第一大節(jié)的內(nèi)容,使之系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，并使學(xué)生綜合運(yùn)用這些知識(shí)，解決簡(jiǎn)樸問題.(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、綜合、概括邏輯思維能力；培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；使學(xué)生逐步形成用數(shù)學(xué)的意識(shí).（三）德育滲透點(diǎn)滲透數(shù)學(xué)知識(shí)來源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的觀點(diǎn);培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)1．重點(diǎn)：歸納總結(jié)前面的知識(shí)，并運(yùn)用它們解決有關(guān)問題.２.難點(diǎn)：歸納總結(jié)前面的知識(shí),并運(yùn)用它們解決有關(guān)問題．3．疑點(diǎn):學(xué)生在用“正弦和余弦表”時(shí)，往往在修正值的加減上混淆不清．三、教學(xué)環(huán)節(jié)(一)明確目的1.結(jié)合圖6－５，請(qǐng)學(xué)生回憶，什么是∠A的正弦,余弦?教師板2.互余兩角的正弦、余弦值之間具有什么關(guān)系？答：ｓinA＝cos(9０°-Ａ),coｓA=sｉn(90°-Ａ）．教師板書．3.特殊角０°、30°、45°、60°、９0°的正弦值余弦值各是多少？４．在０°～90°之間，銳角的正弦值、余弦值如何隨角度的變化而變化？答:在0°~9０°之間，銳角的正弦值隨角度的增長(zhǎng)(或減小)而增長(zhǎng)(或減小);銳角的余弦值隨角度的增長(zhǎng)(或減小)而減小(或增長(zhǎng)）.本節(jié)課我們將運(yùn)用以上知識(shí)解決有關(guān)問題．(二）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程１.本章引言中提到這樣一個(gè)問題：修建某揚(yáng)水站時(shí),要沿著斜坡鋪設(shè)水管.假設(shè)水管AB長(zhǎng)為105.２米,∠Ａ=30°6′,求坡高BC(保存四位有效數(shù)字).現(xiàn)在，這個(gè)問題我們能否解決呢?這里出示引言中的問題，不僅調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),同時(shí)體現(xiàn)了教學(xué)的完整性，首尾照應(yīng)．對(duì)學(xué)生來說，此題比較容易解答．教師可以請(qǐng)成績(jī)較好的學(xué)生口答，∴BC=AB·ｓiｎA(yù)=105．2·ｓin３0°6′=105.2×0.５015≈５2．76(米).這一例題不僅起到鞏固銳角三角函數(shù)概念的作用，同時(shí)為下一節(jié)“解直角三角形”做了鋪墊．同時(shí)向?qū)W生滲透了數(shù)學(xué)知識(shí)來源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)．2．為了過渡到第二大節(jié)“解直角三角形”,教材還安排了例1，它既是對(duì)概念的鞏固、應(yīng)用，又為解直角三角形作了鋪墊．出示投影片例11

如圖6-７,在Rt△ABＣ中,已知AC=３5,AB=45，求∠A（精確到1°）.分析：本題已知直角三角形的斜邊長(zhǎng)，直角邊長(zhǎng),所以根據(jù)直角三角形中銳角的余弦定義,先求出ｃosＡ,進(jìn)而查表求得∠A.教師可請(qǐng)一名中檔學(xué)生板書，其他學(xué)生在本上完畢．查表得∠Ａ≈3９°,3．教材為例題配置了兩個(gè)練習(xí)題,因此在完畢例題后,請(qǐng)學(xué)生做鞏固練習(xí)在△AＢＣ中，∠A、∠Ｂ、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c.(1)已知a=３2，∠B=5０°，求ｃ(保存兩位有效數(shù)字）．(2)已知c＝20，b=1４,求∠Ａ(精確到１°).學(xué)生在做這兩個(gè)小題時(shí),也許有幾種不同解法，如(１)，應(yīng)選擇c=當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系式解題,培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力．4．本課安排在第一大節(jié)最后一課，因此本課尚有對(duì)整個(gè)第一大節(jié)進(jìn)行歸納、總結(jié)的任務(wù).由于在課前復(fù)習(xí)中已經(jīng)將幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)一一復(fù)習(xí),因此這里重要配備小題對(duì)概念加以鞏固和應(yīng)用．(1）判斷題:i

對(duì)于任意銳角α,都有０＜ｓｉnα<1和0＜coｓα<1

(

)ii

對(duì)于任意銳角α1,α２，假如α1＜α2，那么cosα1＜cosα2

（

)ｉｉｉ

假如sｉnα1＜sｉnα2，那么銳角α1<銳角α2I

（

)iv

假如cosα1<cosα2，那么銳角α1＞銳角α2

（

)這道題是為鞏固正弦、余弦的概念而配備的,可引導(dǎo)學(xué)生用圖形來判斷,也可用“正弦和余弦表”來判斷．對(duì)于假命題，應(yīng)請(qǐng)學(xué)生舉出反例.(2)回答下列問題i

sin２０°+ｓin40°是否等于sin6０°;ii

cos１0°+coｓ20°是否等于cos30°.可引導(dǎo)學(xué)生查表得答案．這兩個(gè)小題對(duì)學(xué)生來說極易犯錯(cuò)，由于學(xué)生對(duì)函數(shù)siｎＡ、cosA理解得并不深,并且由于數(shù)與式的四則運(yùn)算導(dǎo)致的負(fù)遷移,使學(xué)生易混淆．(3）在Ｒt△ABＣ中,下列式子中不一定成立的是__＿＿_(dá)＿A．sinA＝sinBB.cosA＝sinBC.sinＡ=coｓBD．sｉn（A+B)＝sｉnＣ這一小題是為復(fù)習(xí)任意銳角的正弦值與余弦值的關(guān)系而設(shè)計(jì)的．通過比較幾個(gè)等式，加深學(xué)生對(duì)余角余函數(shù)概念理解．教師可請(qǐng)學(xué)生口答答案并說明因素.A.0°＜∠A≤３０°B.３0°<∠A≤45°C．４5<∠A≤60°Ｄ．６0°＜∠A＜9０°對(duì)于初學(xué)三角函數(shù)的學(xué)生來說，解答此題是個(gè)難點(diǎn),教師應(yīng)給學(xué)生充足時(shí)間討論，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力很有好處,假如學(xué)生沒有思緒,教師可適當(dāng)點(diǎn)撥;要想探索∠A在哪個(gè)范圍,一方面觀測(cè)∠A范圍，答案選D.(三)總結(jié)與擴(kuò)展請(qǐng)學(xué)生總結(jié):我們研究了正弦、余弦的概念及余角余函數(shù)關(guān)系，會(huì)用“正弦和余弦表”查任一銳角的正弦、余弦值,并會(huì)用這些知識(shí)解決有關(guān)問題.四、布置作業(yè)1．看教材培養(yǎng)學(xué)生看書習(xí)慣．2．教材習(xí)題14.1Ａ組．對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生可選作Ｂ組第1題.五、板書設(shè)計(jì)

14.1正弦和余弦（六)一、正余弦概念及有關(guān)二、例解例11知識(shí)引例--------------－－－－---－-------－---------－---－－-－－－----－-------－--－--－-----－--------－－-－-－－--－-－-------------－-－-－----－--－-

正切和余切(一)

一、素質(zhì)教育目的

(一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生了解正切、余切的概念,可以對(duì)的地用tanA、cotＡ表達(dá)直角三角形（其中一個(gè)銳角為∠A）中兩邊的比,了解tanA與cotA成倒數(shù)關(guān)系,熟記30°、45°、６0°角的各個(gè)三角函數(shù)值,會(huì)計(jì)算具有這三個(gè)特殊銳角的三角函數(shù)值的式子,會(huì)由一個(gè)特殊銳角的三角函數(shù)值說出這個(gè)角的度數(shù)，了解一個(gè)銳角的正切(余切)值與它的余角的余切(正切)值之間的關(guān)系.

(二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

逐步培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力．

(三）德育滲透點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、敢于創(chuàng)新的精神.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

１.重點(diǎn)：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值.

2.難點(diǎn)：了解正切和余切的概念．

三、教學(xué)環(huán)節(jié)

（一)明確目的

1.什么是銳角∠Ａ的正弦、余弦？(結(jié)合圖6-8回答）．

2.填表

３．互為余角的正弦值、余弦值有何關(guān)系？

4.當(dāng)角度在0°~90°變化時(shí),銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律?

5.我們已經(jīng)掌握一個(gè)銳角的正弦（余弦)是指直角三角形中該銳角的對(duì)邊(鄰邊)與斜邊的比值.那么直角三角形中,兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系如何呢？在銳角三角函數(shù)中，除正、余弦外，尚有其它一些三角函數(shù),本節(jié)課我們學(xué)習(xí)正切和余切．

(二）整體感知．

正切、余切的概念，也是本章的重點(diǎn)和關(guān)鍵,是全章知識(shí)的基礎(chǔ),對(duì)學(xué)生此后的學(xué)習(xí)或工作都十分重要．教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后,又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切.像這樣，把概念、計(jì)算和應(yīng)用提成兩塊,每塊自成一個(gè)整體小循環(huán),第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容,可以有效地克服難點(diǎn),同時(shí)也使學(xué)生通過對(duì)比,便于掌握銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)．

(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢

１．引入正切、余切概念

①本節(jié)課我們研究?jī)芍苯沁叺谋戎蹬c銳角的關(guān)系，因此同學(xué)們一方面應(yīng)思考：當(dāng)銳角固定期,兩直角邊的比值是否也固定？

由于學(xué)生在研究過正弦、余弦概念之后,已經(jīng)接觸過這類問題，所以大部分學(xué)生能口述證明，并進(jìn)一步猜測(cè)“兩直角邊的比值一定是正切和余切．”

②給出正切、余切概念如圖6－1０,在Rｔ△ABC中，把∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠Ａ的正切，記作taｎA(yù)．即ｔanA=并把∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠Ａ的余切，記作cｏtA，即coｔＡ=２．ｔanA與cotＡ的關(guān)系請(qǐng)學(xué)生觀測(cè)taｎA(yù)與ｃotA的表達(dá)式，得結(jié)論(或）

這個(gè)關(guān)系式既重要又易于掌握,必須讓學(xué)生深刻理解,并與tａnA=ｃot(90°－A)區(qū)別開.

３．銳角三角函數(shù)由上圖，把銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)概念的給出,使學(xué)生茅塞頓開,初步理解本節(jié)題目.問：銳角三角函數(shù)能否為負(fù)數(shù)？學(xué)生回答這個(gè)問題很容易.4.特殊角的三角函數(shù).①教師出示幻燈片三角函數(shù)/0°/30°/45°/60°/90°三角函數(shù)０11０ｔanA

cotA

請(qǐng)同學(xué)推算30°、45°、60°角的正切、余切值.(如圖6-１1）

通過學(xué)生計(jì)算完畢表格的過程,不僅復(fù)習(xí)鞏固了正切、余切概念,并且使

學(xué)生熟記特殊角的正切值與余切值,同時(shí)滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．

0°，９0°正切值與余切值可引導(dǎo)學(xué)生查“正切和余切表”，學(xué)生完全能獨(dú)立

查出.

５.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關(guān)系，結(jié)合圖形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)互

為余角的正切值與余切值的關(guān)系.

結(jié)論：任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值．

即tanＡ=ｃot(9０°-A），cｏtA=tan（90°-A).

練習(xí):1)請(qǐng)學(xué)生回答tan４5°與cot45°的值各是多少？tan60°與cot3０°?tａn30°與cot60°呢?學(xué)生口答之后，還可認(rèn)為限度較高的學(xué)生設(shè)立問題:tａn60°與cot60°有何關(guān)系?為什么？taｎ３0°與coｔ３０°呢?

2）把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切:

(1）tan52°;(2)tan36°2０′;（3)tａn75°1７′;

(4)cot1９°；(5）cｏt2４°４8′;(6)cot15°23′．

6.例題

例1求下列各式的值:

(1)2ｓｉn30°＋3taｎ30°+ｃot４5°;

（2)cｏｓ24５°+ｔan60°·ｃos30°．

解：(1)２sｉn３０°+3tａn30°+cot45°

(2)coｓ245°+ｔａn60°·ｃoｓ30°＝２.

練習(xí):求下列各式的值：

(1)sｉn3０°-3tａｎ30°+2cos30°+ｃｏt９0°;

(２)２cos30°+tａn6０°-6cot60°；

(3)５coｔ30°-２ｃｏｓ60°+2sｉｎ60°＋ｔan０°；（4）（5)學(xué)生的計(jì)算能力也許不很強(qiáng),特別是分式,二次根式的運(yùn)算,因此這里應(yīng)查缺補(bǔ)漏，以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力．

(四)總結(jié)擴(kuò)展

請(qǐng)學(xué)生小結(jié):本節(jié)課了解了正切、余切的概念及tanA與ｃotA關(guān)系.知道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關(guān)系．本課用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．結(jié)合四、布置作業(yè)

１．看教材,培養(yǎng)學(xué)生看書習(xí)慣．

2．教材P．102中習(xí)題14．2Ａ組２、3、5、６．

五、板書設(shè)計(jì)１4.２正切和余切(一)一、概念三、銳角三角函數(shù)五、互為余角的正切與余___________＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)____＿_(dá)___切值關(guān)系______＿_(dá)______＿_(dá)___＿＿＿＿＿＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)____＿＿_(dá)____＿_(dá)____＿_(dá)__二、tanＡ與cotA關(guān)系四、特殊角的正切與余六、例題_＿＿_(dá)____＿＿_(dá)__＿＿_(dá)切值(幻燈片)___＿_(dá)_＿_(dá)_＿＿_(dá)_＿_(dá)_＿_(dá)＿＿_(dá)＿_(dá)＿＿_(dá)____＿_(dá)＿_(dá)_＿_(dá)_________＿_(dá)__＿_(dá)___＿_(dá)_______＿＿_(dá)___＿_(dá)_

正切和余切(二)

一、素質(zhì)教育目的

(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生學(xué)會(huì)查“正切和余切表”.

（二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

逐步培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)、比較、分析、概括等邏輯思維能力．

(三)德育滲透點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)

1．重點(diǎn):使學(xué)生會(huì)查“正切和余切表”．

2.難點(diǎn)：使學(xué)生會(huì)查“正切和余切表”．

3.疑點(diǎn)：在使用余切表中的修正值時(shí)，假如角度增長(zhǎng)，相應(yīng)的余切值要減少一些；假如角度減小,相應(yīng)的余切值要增長(zhǎng)一些．這里取加還是取減，學(xué)生極易犯錯(cuò)．

三、教學(xué)環(huán)節(jié)

(一）明確目的

１.結(jié)合圖6-１2說明:什么是∠A的正切、余切?由于這是本章最重要的概念，因此規(guī)定全體學(xué)生掌握.這里不妨提問成績(jī)較差的學(xué)生,以檢查學(xué)生掌握的情況．

2．一個(gè)銳角的正切(余切)與其余角的余切(正切)之間具有什么關(guān)系？并寫出表達(dá)式．

答:tanA=cot(90°-A)，cｏtA=ｔaｎ(90°-Ａ)．

3．∠A的正切值與余切值具有什么關(guān)系，請(qǐng)用式子表達(dá)_答tanA＝或cotＡ＝或tａnA4．結(jié)合2、3中復(fù)習(xí)的內(nèi)容,配備練習(xí)題加以鞏固:（1)tan３5°·ｔan45°·tan5５°=______；

(２）若ｔａn３5°·ｔaｎ=1，則＝＿＿_(dá)___；

(3)若tａn47°·coｔβ＝1,則β=______.

這幾個(gè)小題學(xué)生在回答時(shí),極易犯錯(cuò)．因此在本課課前復(fù)習(xí)中出示它們,結(jié)合知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，便于學(xué)生加以比較.

5.提問0°、30°、4５°、6０°、90°五個(gè)特殊角的三角函數(shù)值各是多少？規(guī)定學(xué)生熟記．

6.對(duì)于任意銳角的正切值、余切值,我們從何得知呢？本節(jié)課，我們就來研究“正切和余切表”．

這樣引入較自然．學(xué)生有查“正弦和余弦表”的經(jīng)驗(yàn),對(duì)查“正切和余切表”必然充滿信心．

(二)整體感知

學(xué)生在第一大節(jié)曾查過“正弦和余弦表”,知道為什么正、余弦用同一份表格,并了解在0°~9０°之間正、余弦值隨角度變化的情況,會(huì)對(duì)的地使用修正值.

本節(jié)課在第一大節(jié)基礎(chǔ)上安排查“正切和余切表”,學(xué)生不會(huì)感到困難.只是正切表在76°～90°無修正值，余切表在0°~１４°無修正值,這一點(diǎn)與“正弦和余弦表”有所區(qū)別,教學(xué)中教師應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)這一部分.

(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程

1.請(qǐng)學(xué)生觀測(cè)“正切和余切表”的結(jié)構(gòu)，并用語言加以概括．

答：正切表在７6°~９0°無修正值,余切表在0°～１4°無修正值.其余與正弦和余弦表類似,對(duì)于正切值，隨角度的增大而增大,隨角度的減小而減小,而余切值隨角度的增大而減小,隨角度的減小而增大.

２．查表達(dá)范.

例2查表求下列正切值或余切值．

(１)tan5３°４9′；(2）coｔ14°３2′.

學(xué)生有查“正弦和余弦表”的經(jīng)驗(yàn)，又了解了“正切和余切表”的結(jié)構(gòu),完全可自行查表．在學(xué)生得出答案后，請(qǐng)一名學(xué)生講解“我是如何查表的”，教師板書：

解:(1）tan53°48′＝1.３６63

角度增1′值減0．００0８．

tan５3°49′=1.3６71；

(2)cｏt1４°3０′=3.８67

角度增2′值增0．0０9．

ｃot14°3０′=3.８５８．

在講解示范例題后,應(yīng)請(qǐng)學(xué)生作一小結(jié):查銳角的正切值類似于查正弦值，應(yīng)“順”著查，若使用修正值,則角度增長(zhǎng)時(shí),相應(yīng)的正切值要增長(zhǎng),反之,角度減小時(shí),相應(yīng)的正切值也減小;查余切表與查余弦表類似，“倒”著查，在使用修正值時(shí)，角度增長(zhǎng)，就相應(yīng)地減去修正值，反之，角度減小，就相應(yīng)地加上修正值.

為了使學(xué)生純熟地運(yùn)用“正切和余切表”,已知銳角查其正切、余切值,書上配備了練習(xí)題1,查表求下列正切值和余切值：

（1)ｔan30°1２′，taｎ４0°55′,tａn54°２8′，tａn74°３′;

(2)cｏt72°18′，cot５6°56′，coｔ3２°23′,ｃoｔ15°15′.

在這里讓學(xué)生加以練習(xí).

例3已知下列正切值或余切值，求銳角A.

（1)tanA＝１.4036；(2）coｔA=0.863７.

由于學(xué)生已了解由正弦(余弦)值求銳角的方法,由其正遷移，不難發(fā)現(xiàn)由正切值或余切值求銳角的方法．所以例3出示之后,應(yīng)請(qǐng)學(xué)生先探索查表方法，試查銳角A的度數(shù),如有疑問,教師再作解釋.

解：(１)１.4019＝tan54°3０′

值增0.０017角度增2′

１.403６＝tan54°32′．

∴銳角A＝54°3２′．

(2)０．863２=cｏｔ４9°12′.

值增０.0００5角度減1′

０．8637=cot4９°1１′．

∴銳角A=4９°11′.

已知銳角的正切值或余切值,查表求銳角對(duì)學(xué)生來說比已知銳角查表求值要難，因此在解完例題之后還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加以小結(jié).

教材為例3配備了練習(xí)2,已知下列正切值或余切值，求銳角A或B.

(1）tanB＝0．９１３1，tanA=0.3314，

tａnA＝２．２2０，taｎB=31.80；

(2）cotA=1.60０３，cｏｔＢ=3.590,

cotB=0.0781，ｃｏtA=180.９．

學(xué)生在獨(dú)立完畢此練習(xí)之后,教師應(yīng)組織學(xué)生互評(píng),使學(xué)生在交流中互相幫助.

(四)總結(jié)與擴(kuò)展

請(qǐng)學(xué)生小結(jié):這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了查“正切和余切表”，已知銳角可以查其正切值和余切值；反之，已知銳角的正切值、余切值,會(huì)查表求角的度數(shù)．

四、布置作業(yè)

教材p108習(xí)題１4.３第1題把用計(jì)算器求下列銳角三角函數(shù)值改為查表求下列銳角三角函數(shù)

用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值和由銳角三角函數(shù)值求銳角一素質(zhì)教育目的(一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1．會(huì)用計(jì)算器求出一個(gè)數(shù)的平方、平方根、立方、立方根。２．會(huì)用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值和由銳角三角函數(shù)值求銳角。(二)能力訓(xùn)學(xué)點(diǎn):培養(yǎng)學(xué)生純熟地使用現(xiàn)代化輔助計(jì)算手段的能力(三）德育滲透點(diǎn)；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)愛好與求知欲。二教學(xué)重點(diǎn):會(huì)用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值和由銳角三角函數(shù)值求銳角三教學(xué)過程問題1你能用計(jì)算器求出（1)４５、（2)、(3)、(４)的值嗎？試一試。說明和建議（1)組織學(xué)生人人用計(jì)算器來計(jì)算上述運(yùn)算，分別求出它們的結(jié)果,使學(xué)生回憶出以前學(xué)過的用計(jì)算器進(jìn)行數(shù)的乘方、開方的計(jì)算方法。(２）在計(jì)算上述４個(gè)問題時(shí),采用兵教兵的方法，教師只需作個(gè)別輔導(dǎo)。計(jì)算結(jié)束后，可叫學(xué)生逐個(gè)說出使用計(jì)算器的順序和方法,以糾正學(xué)生中存在的錯(cuò)誤。（3）教師還可在小黑板上做出如下使用方法說明算式按鍵順序顯示4yx5=１024（為4的值)10０5100×5yx4６2500（為1０05的值）４9＋749+7yx42４50(為４９+７的值)2028黃yｘ＝12．678５０54（為的值)

在使用CZ１206型計(jì)算器時(shí)，規(guī)定乘方的底數(shù)大于或等于0，當(dāng)算式中乘方的底數(shù)小于0,且指數(shù)是奇數(shù)時(shí),應(yīng)將計(jì)算器中得到的結(jié)果加上負(fù)號(hào)，再進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算時(shí)，只要按四則運(yùn)算算式順序輸入數(shù)據(jù)與運(yùn)算符號(hào)即可完畢運(yùn)算，具有括號(hào)的算式,可按照算式中的括號(hào)出現(xiàn)的順序按［]鍵即可,如計(jì)算：200—{23—〔8４+２(3—４2）—（5+6)〕}可按以下順序按鍵2、0、０、-、〔、2、×、3、-、[、8、、4、+、2、×、[、3、-、4、×、２、］、-、[、5+、６、]、]、]、=，顯示176（４）教師還可以出一組加減乘除和乘方、開方的簡(jiǎn)樸的計(jì)算題，讓學(xué)生練習(xí)，以復(fù)習(xí)和鞏固以前學(xué)過的計(jì)算器的有關(guān)內(nèi)容和方法。問題2（閱讀課本第10５頁的有關(guān)內(nèi)容并使用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算,逐個(gè)回答問題。)(１)

用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值時(shí)應(yīng)一方面按哪一個(gè)鍵?(2)

如何用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值？要注意什么問題？說明和建議：（１）對(duì)求非整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值時(shí),要先把它化為以度為單位的角后再求它的三角函數(shù)值。在用計(jì)算器計(jì)算時(shí)注意度與分、秒之間均要用+鍵，分化度時(shí)用÷、６、0鍵，秒化度時(shí)用÷、3、６、０、0、鍵。（２)按鍵時(shí)要對(duì)的,順序不能搞錯(cuò)。(3）教師可根據(jù)學(xué)生邊讀閱、邊動(dòng)手計(jì)算的情況,再提供已知銳角求它的正弦、余弦、正切、余切的題目讓學(xué)生求出各銳角的三角函數(shù)值問題3(閱讀課本,按課本內(nèi)容用計(jì)算器計(jì)算,并回答問題)(1)如何使用計(jì)算器由銳角三角函數(shù)值求銳角?要注意什么問題?（2)如何求銳角的余切值和由銳角的余切值求銳角？說明和建議:(1)在學(xué)生邊閱讀、邊計(jì)算時(shí)，教師要提醒學(xué)生以下幾點(diǎn)：在按ｓin或cos或tan鍵前必須按第二功能選擇鍵；按siｎ鍵后顯示得到的是這個(gè)銳角的度數(shù)，必須按課本上的方法逐個(gè)把度數(shù)的小數(shù)部分化為分,再把分的小數(shù)部分化為秒，最后得到精確到的銳角的近似值。(2)求銳角的余切值時(shí)應(yīng)轉(zhuǎn)換成求這個(gè)銳角的余角的正切值。即運(yùn)用關(guān)系式cｏt A＝ｔan(–Ａ)來解決。再由銳角的余切值求銳角時(shí)，應(yīng)運(yùn)用關(guān)系式cotＡ=來解決。（3）教師應(yīng)配置相應(yīng)的課堂練習(xí)題讓學(xué)生鞏固這類問題的解決方法。[課堂練習(xí)]課本習(xí)題14.3第1（2)、2(2)題。[作業(yè)]課本習(xí)題14.3第１（２)、(3）、（4）題、第２（2）題。、解直角三角形

一、素質(zhì)教育目的

(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理,直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.

（二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過綜合運(yùn)用勾股定理,直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形,逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

（三)德育滲透點(diǎn)

滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)

1.重點(diǎn):直角三角形的解法.

2．難點(diǎn)：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用．

3．疑點(diǎn)：學(xué)生也許不理解在已知的兩個(gè)元素中，為什么至少有一個(gè)是邊.

三、教學(xué)環(huán)節(jié)

(一)明確目的

1．在三角形中共有幾個(gè)元素？

２.直角三角形AＢＣ中,∠Ｃ=90°，ａ、b、c、∠A、∠Ｂ這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？(１）邊角之間關(guān)系假如用表達(dá)直角三角形的一個(gè)銳角,那上述式子就可以寫成.(2）三邊之間關(guān)系

a2+b2=c2(勾股定理）

(3)銳角之間關(guān)系∠A+∠B＝90°.

以上三點(diǎn)正是解直角三角形的依據(jù),通過復(fù)習(xí)，使學(xué)生便于應(yīng)用.

（二）整體感知

教材在繼銳角三角函數(shù)后安排解直角三角形,目的是運(yùn)用銳角三角函數(shù)知識(shí),對(duì)其加以復(fù)習(xí)鞏固．同時(shí)，本課又為以后的應(yīng)用舉例打下基礎(chǔ)，因此在把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題之后,就是運(yùn)用本課——解直角三角形的知識(shí)來解決的.綜上所述，解直角三角形一課在本章中是起到承上啟下作用的重要一課.

(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程

1.我們已掌握Rt△ABＣ的邊角關(guān)系、三邊關(guān)系、角角關(guān)系,運(yùn)用這些關(guān)系,在知道其中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊）后,就可求出其余的元素.這樣的導(dǎo)語既可以使學(xué)生大約了解解直角三角形的概念，同時(shí)又陷入思考,為什么兩個(gè)已知元素中必有一條邊呢?激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

２．教師在學(xué)生思考后，繼續(xù)引導(dǎo)“為什么兩個(gè)已知元素中至少有一條邊？”讓全體學(xué)生的思維目的一致，在作出準(zhǔn)確回答后，教師請(qǐng)學(xué)生概括什么是解直角三角形?(由直角三角形中除直角外的兩個(gè)已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形).

3.例題

例１在△ABC中,∠C為直角,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且ｃ＝287．4，∠Ｂ=4２°６′,解這個(gè)三角形.

解直角三角形的方法很多,靈活多樣，學(xué)生完全可以自己解決，但例題具有示范作用．因此，此題在解決時(shí)，一方面，應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立完畢,培養(yǎng)其分析問題、解決問題能力，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想.另一方面，教師組織學(xué)生比較各種方法中哪些較好,選一種板演．

解:(1)∠A＝９0°－∠B=90°-４2°6′=47°5４′,

(2)

∴a=ｃ．cｏｓB＝28.7４×0.7４20

≈２1３.３．

(３),

∴b=c·siｎＢ=２87.４×0.67０4

≈１９２．７．

完畢之后引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)“已知一邊一角,如何解直角三角形？”

答:先求此外一角,然后選取恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式求另兩邊．計(jì)算時(shí),運(yùn)用所求的量如不比原始數(shù)據(jù)簡(jiǎn)便的話，最佳用題中原始數(shù)據(jù)計(jì)算,這樣誤差小些,也比較可靠,防止第一步錯(cuò)導(dǎo)致一錯(cuò)到底.

例2在Rt△ABC中，a＝1０4．0,b=20.4９,解這個(gè)三角形.

在學(xué)生獨(dú)立完畢之后,選出最佳方法,教師板書．

(1)

查表得A=7８°５１′；

(2)∠B=90°－78°51′=１1°9′

(３)．０

注意:例１中的ｂ和例2中的c都可以運(yùn)用勾股定理來計(jì)算，這時(shí)要查平方表和平方根表，這樣做有時(shí)會(huì)比上面用含四位有效數(shù)字的數(shù)乘(或除)以另一含四位有效數(shù)字的數(shù)要方便一些.但先后要查兩次表，并作一次加法（或減法).

4．鞏固練習(xí)

解直角三角形是解實(shí)際應(yīng)用題的基礎(chǔ)，因此必須使學(xué)生純熟掌握.為此,教材配備了練習(xí)針對(duì)各種條件,使學(xué)生純熟解直角三角形，并培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力.說明：解直角三角形計(jì)算上比較繁鎖,條件好的學(xué)校允許用計(jì)算器.但無論是否使用計(jì)算器,都必須寫出解直角三角形的整個(gè)過程.規(guī)定學(xué)生認(rèn)真對(duì)待這些題目,不要馬馬虎虎,努力防止犯錯(cuò)，培養(yǎng)其良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

(四)總結(jié)與擴(kuò)展

１.請(qǐng)學(xué)生小結(jié)：在直角三角形中，除直角外尚有五個(gè)元素，知道兩個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)，就可以求出另三個(gè)元素.2．幻燈片出示圖表,請(qǐng)學(xué)生完畢

aｂｃAB1√√2√√3√b＝ａ?ｃoｔA√4√b＝a?taｎB√５√√6a＝b?tａnA√√7a=ｂ?cｏｔB√√8a=c?ｓinAb=c?ｃosA√√９a=c?ｃosBb=c?sinB√√１0不可求不可求不可求√√注：上表中“√”表達(dá)已知。

四、布置作業(yè).

五、板書設(shè)計(jì)

14．4解直角三角形一、概念二、例題

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應(yīng)用舉例(一)

一、素質(zhì)教育目的

(一）、知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生了解仰角、俯角的概念，使學(xué)生根據(jù)直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題.

（二)、能力訓(xùn)練點(diǎn)

逐步培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力．

（三)、德育滲透點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí),滲透理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn)．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)

１．重點(diǎn):規(guī)定學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系,從而解決問題.

2．難點(diǎn)：規(guī)定學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，從而解決問題.

3．疑點(diǎn):練習(xí)中水位為＋2.63這一條件學(xué)生也許不理解，教師最佳用實(shí)際教具加以說明．

三、教學(xué)環(huán)節(jié)

（一）明確目的

１.解直角三角形指什么？

2.解直角三角形重要依據(jù)什么？

(1)勾股定理：a2+ｂ２=ｃ2

(2）銳角之間的關(guān)系：∠Ａ＋∠B=９0°

（３）邊角之間的關(guān)系:

tａnA＝cｏtA＝（二)整體感知

在講完查“正弦和余弦表”以及“正切和余切表”后，教材隨學(xué)隨用,先解決了本章引例中的實(shí)際問題,然后又解決了一些簡(jiǎn)樸問題，至于本節(jié)“解直角三角形”,完全是講知識(shí)的應(yīng)用與聯(lián)系實(shí)際的．因此本章應(yīng)努力貫徹理論聯(lián)系實(shí)際的原則.

(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程

１．仰角、俯角

當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí),在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角,在水平線下方的角叫做俯角.

教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生仰視燈或俯視桌面以體會(huì)仰角與俯角的意義．

2.例1如圖(６-1６)，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到目的C,此時(shí)飛行高度AC=1200米，從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)Ｂ的俯角α=１6°31′，求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B距離（精確到1米）.

解決此問題的關(guān)鍵是在于把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用解直角三角形知識(shí)來解決，在此之前,學(xué)生曾經(jīng)接觸到通過把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題后,用數(shù)學(xué)方法來解決問題的方法，但不太純熟.因此,解決此題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化過程中著重請(qǐng)學(xué)生畫幾何圖形,并說出題目中每句話相應(yīng)圖中哪個(gè)角或邊(涉及已知什么和求什么），會(huì)運(yùn)用平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)由已知的俯角α得出Rt△ABＣ中的∠ABＣ，進(jìn)而運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)就可以解此題了.解；在Ｒt△AＢＣ中sinB=ＡB===4221（米)

答：飛機(jī)A到控制點(diǎn)B的距離約為42２１米.

例1小結(jié)：本章引言中的例子和例1正好屬于應(yīng)用同一關(guān)系式 siｎＡ＝來解決的兩個(gè)實(shí)際問題即已知和斜邊求∠α的對(duì)邊;以及已知∠α和對(duì)邊，求斜邊.

3．鞏固練習(xí)

如圖６-17，某海島上的觀測(cè)所Ａ發(fā)現(xiàn)海上某船只B并測(cè)得其俯角α=8０°1４′.已知觀測(cè)所Ａ的標(biāo)高（當(dāng)水位為0m時(shí)的高度)為４3．７4ｍ，當(dāng)時(shí)水位為+2．63m,求觀測(cè)所Ａ到船只B的水平距離BC(精確到1m)為了鞏固例１，加深學(xué)生對(duì)仰角、俯角的了解,配備了練習(xí)．由于學(xué)生只接觸了一道實(shí)際應(yīng)用題,對(duì)其還不熟悉，不會(huì)將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,因此教師在學(xué)生充足地思考后,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析:1.誰能將實(shí)物圖形抽象為幾何圖形？請(qǐng)一名同學(xué)上黑板畫出來.2．請(qǐng)學(xué)生結(jié)合圖(6-１８)說出已知條件和所求各是什么？

答:已知∠B=8°１４′,AC=4３．７4-２.63=4１.１１，求ＡB．

這樣,學(xué)生運(yùn)用已有的解直角三角形的知識(shí)完全可以解答．

對(duì)于限度較高的學(xué)生，教師還可以將此題變式：當(dāng)船繼續(xù)行駛到Ｄ時(shí)，測(cè)得俯角β=18°13′,當(dāng)時(shí)水位為－１.15m,求觀測(cè)所A到船只B的水平距離(精確到１ｍ）,請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完畢．

例2如圖６-19，已知A、B兩點(diǎn)間的距離是160米，從Ａ點(diǎn)看B點(diǎn)的仰角是１1°，AC長(zhǎng)為1．5米，求BD的高及水平距離CD.

此題在例1的基礎(chǔ)上,又加深了一步，須由A作一條平行于CD的直線交ＢD于E,構(gòu)造出Ｒt△ABE,然后進(jìn)一步求出ＡE、BE,進(jìn)而求出BD與CD．

設(shè)立此題,既使成績(jī)較好的學(xué)生有足夠的訓(xùn)練,同時(shí)對(duì)較差學(xué)生又是鞏固,達(dá)成分層次教學(xué)的目的．

解：過Ａ作AE∥CD,于是AＣ=ED，

ＡＥ＝CD.

在Ｒt△ＡＢE中。sinA=

∴BE=AＢ·sinA=16０·sin1１°=３0.53（米）.

ｃosA＝

∴AE＝AB·cosA=16０·cos11°=157.1(米）.

∴BD=BE＋EＤ=BＥ＋ＡC＝３0.５3+１.5＝32.03（米)．

CD＝AＥ=１5７．1(米）．

答：BＤ的高及水平距離CD分別是32.03米，１５7.1米．

練習(xí):為測(cè)量松樹AB的高度,一個(gè)人站在距松樹１5米的E處，測(cè)得仰角∠ACD＝52°,已知人的高度為１．72米，求樹高(精確到0．０1米).

規(guī)定學(xué)生根據(jù)題意能畫圖，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來解決它．

(四)總結(jié)與擴(kuò)展

請(qǐng)學(xué)生總結(jié):本節(jié)課通過兩個(gè)例題的講解,規(guī)定同學(xué)們會(huì)將某些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題去解決；此后,我們要善于用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題．

四、布置作業(yè)

1.課本習(xí)題14。５A(chǔ)組１。2

五、板書設(shè)計(jì)

應(yīng)用舉例（二)

一、素質(zhì)教育目的

（一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題,從而會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

(三)德育滲透點(diǎn)

滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)

1．重點(diǎn)：規(guī)定學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,歸結(jié)為直角三角形元素之間的關(guān)系，從而運(yùn)用所學(xué)知識(shí)把實(shí)際問題解決.

2.難點(diǎn)：規(guī)定學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系,從而運(yùn)用所學(xué)知識(shí)把實(shí)際問題解決．

３．疑點(diǎn)：計(jì)算例1時(shí)，選不同的三角函數(shù)所得結(jié)果卻不相同，學(xué)生會(huì)感到疑惑.

三、教學(xué)環(huán)節(jié)

(一)明確目的

1.直角三角形中除直角外五個(gè)元素之間具有什么關(guān)系？請(qǐng)學(xué)生口答.

2．等腰三角形具有什么性質(zhì)?

以上二題，通過提問學(xué)生，喚起學(xué)生的記憶,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

３.導(dǎo)入新課

上節(jié)課我們解決的實(shí)際問題是應(yīng)用正弦及余弦解直角三角形,在實(shí)際問題中有時(shí)還經(jīng)常應(yīng)用正切和余切來解直角三角形,從而使問題得到解決.

(二)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程．

１.例1如圖６－21，廠房屋頂人字架（等腰三角形)的跨度為1０米，∠A-２6°,求中柱BＣ(Ｃ為底邊中點(diǎn))和上弦AB的長(zhǎng)(精確到0.０1米）．

分析:上圖是本題的示意圖，同學(xué)們對(duì)照?qǐng)D形,根據(jù)題意思考題目中的每句話相應(yīng)圖中的哪個(gè)角或邊,本題已知什么,求什么？

由題意知,△ＡBC為直角三角形,∠ACB=9０°,∠Ａ=26°,AC=5米，可運(yùn)用解Rt△ＡBＣ的方法求出BC和AB．

學(xué)生在把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題后,大部分學(xué)生可自行完畢.

解：∵

∴BＣ＝ＡC·tanA=5×tan26°≈2.44(米)．

∵ＡＢ==＝≈5．56（米）

答:中柱BＣ約長(zhǎng)2.44米，上弦AB約=長(zhǎng)5.５6米．例題小結(jié)：求出中柱BC的長(zhǎng)為2.44米后,我們也可以運(yùn)用正弦計(jì)算上弦ＡB的長(zhǎng),即由siｎＡ=＝得ＡB=≈≈5.７5（米)。

這個(gè)結(jié)果與例1中所得的結(jié)果相比較，相差0.０1米,這兩個(gè)結(jié)果都可認(rèn)為是對(duì)的的,由于ｃos２６°、siｎ26°都取近似值，相除以后又取近似值，通過兩次近似后,出現(xiàn)０.01米的差異,在本例中認(rèn)為是可以的.

但是在求AＢ時(shí)，我們應(yīng)盡量應(yīng)用題目中原有的已知量，也就是選用關(guān)系式

AB＝＝求得結(jié)果。

假如在引導(dǎo)學(xué)生討論后小結(jié),效果會(huì)更好，不僅使學(xué)生掌握選何關(guān)系式，更重要的是知道為什么選這個(gè)關(guān)系式,以培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及計(jì)算能力，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

此外，本題是把解等腰三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題,滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

2．鞏固練習(xí)

教材P.119練習(xí)．

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)示意圖,說明本題已知什么,求什么,運(yùn)用哪個(gè)三角形來求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一種解較為簡(jiǎn)便？

３.補(bǔ)充例題2

為測(cè)量松樹AB的高度，一個(gè)人站在距松樹１5米的E處,測(cè)得仰角∠ACＤ=5２°,已知人的高度是1.7２米，求樹高(精確到０．01米）.

一方面請(qǐng)學(xué)生結(jié)合題意畫幾何圖形，并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．

Rt△ＡＣD中，∠Ｄ=Rｔ∠，∠AＣD=52°,ＣD=ＢE＝１５米,CＥ=DＢ=1.７2米,求ＡＢ?

解：在ＲtΔACD中,taｎＣ=

∴AD=CD·ｔanC=BＥ·taｎC

=15×taｎ52°=15×１．2７９9

≈１9.20(米）.

∴AB=ＡD+BD＝１９.20+１．72

＝20.92（米).

答：樹高2０.92米.

(三）總結(jié)與擴(kuò)展

請(qǐng)學(xué)生總結(jié):通過學(xué)習(xí)兩個(gè)例題,初步學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過解直角三角形來解決，具體說,本節(jié)課通過讓學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,運(yùn)用正切或余切解直角三角形，從而把問題解決.

本課涉及到一種重要教學(xué)思想:轉(zhuǎn)化思想．

四、布置作業(yè)

1．某一時(shí)刻，太陽光線與地平面的夾角為78°，此時(shí)測(cè)得煙囪的影長(zhǎng)為５米，求煙囪的高(精確到０.1米）.

2．如圖６-24,在高出地平面50米的小山上有一塔AＢ,在地面D測(cè)得塔頂A和塔基B的仰面分別為50°和45°,求塔高．

3.在寬為30米的街道東西兩旁各有一樓房,從東樓底望西樓頂仰角為45°,從西樓頂望東樓頂，俯角為１0°，求西樓高（精確到0.1米)．應(yīng)用舉例(三）

一、素質(zhì)教育目的

(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生懂得什么是橫斷面圖，能把一些較復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

(三)德育滲透點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí);滲透轉(zhuǎn)化思想；滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又作用于實(shí)踐的觀點(diǎn).

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn):把等腰梯形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題;

2．難點(diǎn):如何添作適當(dāng)?shù)妮o助線.

三、教學(xué)環(huán)節(jié)

(一）明確目的

如圖6-２５，Ｒt△ABC中,∠C為Rt∠,若已知∠A及a，求b.

cｏtA=∴ｂ=a·ｃotA.

此圖恰是燕尾槽中被分割出來的Ｒt△，課前拋出這一問題為解例題做鋪墊.

(二)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程

1.出示已準(zhǔn)備的泥燕尾槽,讓學(xué)生有感視印象,將其橫向垂直于燕尾槽的平面切割，得橫截面,請(qǐng)學(xué)生通過觀測(cè)，結(jié)識(shí)到這是一個(gè)等腰梯形，并結(jié)合圖形，向?qū)W生介紹一些專用術(shù)語，使學(xué)生知道，圖中燕尾角相應(yīng)哪一個(gè)角,外口、內(nèi)口和深度相應(yīng)哪一條線段.這一介紹，使學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容很感愛好，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．

２．例題

例燕尾槽的橫斷面是等腰梯形，圖6－２６是一燕尾槽的橫斷面,其中燕尾角B是55°,外口寬AD是180mm,燕尾槽的深度是７０ｍm,求它的里口寬ＢC（精確到1ｍm)．

分析:(1)引導(dǎo)學(xué)生將上述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；等腰梯形ABCＤ中,上底AD=180mm,高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC.

(2)讓學(xué)生展開討論,由于上節(jié)課通過做等腰三角形的高把其分割為直角三角形，從而運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來求解．學(xué)生對(duì)這一轉(zhuǎn)化有所了解．因此，學(xué)生經(jīng)互相討論，完全可以解決這一問題.

解：作AEDF那么在Ｒt△ABE中.cｏtB=，

∴BE=AE·coｔB

=７0×0.7002

≈49．0(mm)．

∴BC=2ＢＥ+ＡD

≈2×49.0+180

=２78(mm).

答：燕尾槽的里口寬BC約為278mm．

例題小結(jié):碰到有關(guān)等腰梯形的問題,應(yīng)考慮如何添加輔助線,將其轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形的組合圖形，從而把求等腰梯形的下底的問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題.

3．鞏固練習(xí)

如圖6-27，在離地面高度5米處引拉線固定電線桿,拉線和地面成6０°角，求拉線AC的長(zhǎng)以及拉線下端點(diǎn)A與桿底D的距離AD(精確到0．01米）.

分析:(1）請(qǐng)學(xué)生審題:由于電線桿與地面應(yīng)是垂直的,那么圖６-27中△ACD是直角三角形．其中CD=５m,∠CAＤ＝60°,求ＡD、AC的長(zhǎng).

(２)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)獨(dú)立解決此題．教師巡視之后講評(píng).

解:∵ＣD⊥AB,

那么在Rt△ACＤ中,

sin,

AC=

又

答：拉線AC的長(zhǎng)是5．77m，拉線下端點(diǎn)A與桿底Ｄ的距離AD是2.89m．

(三)小結(jié)

請(qǐng)學(xué)生作小結(jié)，教師補(bǔ)充．

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容仍是解直角三角形,但問題已是解決一些實(shí)際應(yīng)用題,在這些問題中，有較多的專業(yè)術(shù)語,關(guān)鍵是要分清每一術(shù)語是指哪個(gè)元素,再看是否放在同一直角三角形中,這時(shí)要靈活，必要時(shí)還要作輔助線，再把問題放在直角三角形中解決.在用三角函數(shù)時(shí)，要對(duì)的判斷邊角關(guān)系.

四、布置作業(yè)

１.如圖６-28,在等腰梯形ABCＤ中，ＤC∥ＡB，ＤE⊥AB于E,

AB＝８，DE=４,ｃosA＝,求CD的長(zhǎng).

2．教材課本習(xí)題14．5第3題

應(yīng)用舉例（四）

一、素質(zhì)教育目的(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)鞏固直角三角形中銳角的三角函數(shù)，學(xué)會(huì)解關(guān)于坡度角和有關(guān)角度的問題．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法．(三)德育滲透點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)；滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn).二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)１.重點(diǎn)：能純熟運(yùn)用有關(guān)三角函數(shù)知識(shí).2．難點(diǎn)：解決實(shí)際問題.3.疑點(diǎn)：株距指相鄰兩樹間的水平距離,學(xué)生往往理解為相鄰兩樹間的距離而導(dǎo)致錯(cuò)誤.三、教學(xué)環(huán)節(jié)(一)．明確目的講評(píng)上課節(jié)課后作業(yè)(二）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目的完畢過程教師出示投影片,出示例題．例1如圖6－2９,在山坡上種樹,規(guī)定株距(相鄰兩樹間的水平距離)是５.5m，測(cè)得斜坡的傾斜角是24°，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少(精確到0．１m)．分析:1．例題中出現(xiàn)許多術(shù)語——株距,傾斜角，這些概念學(xué)生未接觸過,比較生疏,而株距概念又是學(xué)生易記錯(cuò)之處，因此教師最佳準(zhǔn)備教具:用木板釘成一斜坡，再在斜坡上釘幾個(gè)鐵釘,運(yùn)用這種直觀教具更容易說明術(shù)語，符合學(xué)生的思維特點(diǎn).2.引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題畫出圖形(上圖6－2９(2))．已知:Rt△ABC中，∠C=９0°,AＣ=5．５,∠Ａ=24°,求AB．3．學(xué)生運(yùn)用解直角三角形知識(shí)完全可以獨(dú)立解決例１.教師可請(qǐng)一名同學(xué)上黑板做，其余同學(xué)在練習(xí)本上做,教師巡視．

答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約是6.0米.

教師引導(dǎo)學(xué)生評(píng)價(jià)黑板上的解題過程，做到全體學(xué)生都掌握.

例２如圖６-30，沿AC方向開山修渠，為了加快施