初一數(shù)學競賽培訓(上)

初一數(shù)學競賽培訓第一講：有理數(shù)的巧算

方法一：把正、負數(shù)分別結合相加

例1：計算：—25+29—26+17-33+34

方法二：把相加得0的數(shù)分別結合相加

1211

例2：計算：29-1--15-14+3——2—+17—

3335

2111

=(29-14-15)+(3y-21-l-)+17-

例3：計算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+-+2005+2006-2007-2008+2009

方法三：分數(shù)相加，湊整相加

513

例4：計算：-5-+3-+2--0.375+1.15

845

例5：計算：4—2—I-5—2—5—

44233

方法四：先適當變形，再結合相加

例6：28+19-49-997+9996

例7：11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999

1111

例8：+-----++?■?+

1x22x33x42008x2009

方法五：巧添輔助數(shù)相加

11111111111

例9：-+-+-+—+一+一+-+-+—+—+一+----

2481632642481632646464

或=(1+1+LLL，)X64X，

24816326464

方法六：巧用和逆用乘法分配律

例10：-36x(--1--)-0.75x6-0.25x6

4912

第二講有理數(shù)的運算要注意什么

方法一：乘除做得好，需要講技巧

1.先觀察有沒有因數(shù)“0”

2.先定、先寫符號

3.除法統(tǒng)一成乘法，小數(shù)化為分數(shù)，帶分數(shù)化為假分數(shù)，然后整體運算

4.運用乘法分配律簡便運算

方法二：混合運算要細心，順序、符號要分清

先看運算順序：確定先算什么，后算什么，最好每一步用橫線標記。

其次看運算符號：

(1)加減的符號：例：-8-632

21

-6x(-5)-(——)-5-(-2)x(一一)

(2)乘除的符號：例：32

(3)辱的符號：例：(一1)4與一「一2"與(一2)4

一、要注意運算順序：

例1：計算：

(1)—2x?—十(—)x2(2)—6-(-6)x—：—x(—6)

221212

(3)-14-1X(2-(-3)2](4)-72-3x|3x[(-2)+(-I)2008]-(1-1

二、要注意運算符號：

例2：計算:

2

(1)-22-1.53-32X4-(-O.8)2X(-1)2009

(2)(-3)--(-32)+(-4)2+(-4-)-4*(一'1')+(-3-(!)3

772

三、靈活運用運算律；

37772

(1)(1-------)+(—)+(—2—)

481283

°/5357、/7、22

(2)(―++

124812247

171

(3)-17x(-3—)+99—x(-36)

1772

2215

(4)-13x--0.34x-+-x(-13)--x0.34

第四講有理數(shù)

一、有理數(shù)的概念及分類。

1、善于觀察數(shù)字特征；

2、靈活運用運算法則；

3、掌握常用運算技巧（湊整法、分拆法等）。

三、例題示范

1、數(shù)軸與大小

例1.已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1,點A與原點0的距離為3,那

么滿足條件的點B與原點0的距離之和等于多少？滿足條件的點B有多少個？

97

例2.將一二1這四個數(shù)按由小到大的順序，用連結起來。

9899

提示1：四個數(shù)都加上1不改變大小順序;

提示2：先考慮其相反數(shù)的大小順序；

提示3：考慮其倒數(shù)的大小順序。

例1、觀察圖中的數(shù)軸，用字母a、b、c依次表示點A、B、C對應的數(shù)。試確定三

個數(shù)’-,二一,2的大小關系。

ahh-ac

ABC

一；一fIAX

lioi

33

分析：由點B在A右邊，知b-a>0,而A、B都在原點左邊，故abs>0,又c>l>0,

故要比較上,一!——的大小關系，只要比較分母的大小關系。

ahh-ac

例2、在有理數(shù)a與b（b〉a）之間找出無數(shù)個有理數(shù)。

b~~ci

提示：P=a+（n為大于是的自然數(shù)）

n

注：P的表示方法不是唯一的。

2、符號和括號

在代數(shù)運算中，添上（或去掉）括號可以改變運算的次序，從而使復雜

的問題變得簡單。

例3、在數(shù)1、2、3、…、1990前添上“+”和“一”并依次運算,所得可能的最

小非負數(shù)是多少?

提示：造零：n-（n+1）-（n+2）+（n+3）=0

注：造零的基本技巧：兩個相反數(shù)的代數(shù)和為零。

3、算對與算巧

例4、計算-1-2-3----2000-2001-2002

提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=（首項+末項）x項數(shù)+2。

例5、計算1+2-3-4+5+6-7-8+9+---2000+2001+2002

提示：仿例5,造零。結論：2003。

例6、計算99^9x99^+199^9

"個9"個9”個9

提示1：湊整法，并運用技巧：199…9=10"+99…9,99-9=10n-l?

例7、計算

4

提不：字母代數(shù)，整體化：令A=1----------------------?B=—I—I1--------＞則

23200（23200]

例8、計算

111111

(1)-------1--------!-???+(2)----1----F…+

1x22x399x1001x32x498x100

提示：裂項相消。

常用裂項關系式:

m+n111__j_1

(1)-----=---1—；(2)

mnmnn(n+1)nn+1

]1

）；

n(n+m)mnn+m

(4)--------------=—[-----------------------]

+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+l)(n+2)

例9計算------1--------1---1--------------（n為自然數(shù)）

1+21+2+31+2+3+…+〃

例10、計算1+2+22+23+-+22001）

提示：1、裂項相消：2"=2,一2"；2、錯項相減:令S=l+2+22+23+-+22M0,則S=2S-S=22Ml-U

例11、比較S=」1+*2+3'+4上+…+2端000與2的大小。提示：錯項相減：計算1上5。

24816220002

第五講有理數(shù)的巧算

有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎.它要求同學們在理解有理數(shù)的有關概

念、法則的基礎上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算.不僅如此，還要善于

根據(jù)題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從

而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性.

1.括號的使用

在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算

的次序，使復雜的問題變得較簡單.

例1計算:

(1)47-118.75-14-^1x2^+0.46;

分析中學數(shù)學中，由于負數(shù)的引入，符號“+”與具有了雙重涵義，它既是

表示加法與減法的運算符號，也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質符號.因此進行有

理數(shù)運算時，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則，尤其是要注意去括號時符

號的變化.

注意在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分數(shù)，把帶分數(shù)變成假分數(shù)，這樣便

于計算.

例2計算下式的值:

211X555+445X789+555X789+211X445.

分析直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單.本

題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算.

說明加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧.

例3計算：S=l-2+3-4+-+(-l)"tl?n.

分析不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項之和或為“1”或為“T”.如果按照

將第一、第二項，第三、第四項，…，分別配對的方式計算，就能得到一系列的

“T”，于是一改“去括號”的習慣，而取“添括號”之法.

解S=(l-2)+(3-4)+-+(-l)"+1?n.

下面需對n的奇偶性進行討論:

一,八n-1n+1

S=(-1)x—+n=---

當n為偶數(shù)時,上式是n/2個(-1)的和,所以有22

當n為奇數(shù)時,上式是(n-1)/2個㈠)的和，再加上最后一項㈠嚴?n=n,

kn-1n+1

S=(-l)x^-+n=--

所以有22

例4在數(shù)1,2,3,…，1998前添符號“+”和，并依次運算，所得可能的最小非

負數(shù)是多少？

分析與解因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關，所以在1,2,3,

1998之前任意添加符號“+”或，不會改變和的奇偶性.在1,2,3,-

1998中有1998—2個奇數(shù),即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“+”或

之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于L

現(xiàn)考慮在自然數(shù)n,n+Ln+2,n+3之間添加符號"+”或，顯然

n-(n+l)-(n+2)+(n+3)=0.

這啟發(fā)我們將1,2,3,…，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號，即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+-+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.

所以，所求最小非負數(shù)是L

說明本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化.

2.用字母表示數(shù)

我們先來計算(100+2)X(100-2)的值：

(100+2)X(100-2)=100X100-2X100+2X100-4=1002-22.

這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100,用字母b代換2,上述運算過程變?yōu)?/p>

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(a-b)=a2-b2,

這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，

可直接利用該公式計算.

例5計算3001X2999的值.

解3001X2999=(3000+1)(3000-1)=3000-1=8999999.

例6計算103X97X10009的值.

解JI^=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=100,-92=99999919.

例7計算：

24690

123462-12345x12347,

分析與解直接計算繁.仔細觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：12345,12346,

12347.可設字母n=12346,那么12345=nT,12347=n+l,于是分母變

為n2-(n-l)(n+l).應用平方差公式化簡得

n2-(n2-l2)=n2-n2+l=l,

即原式分母的值是1,所以原式=24690.

例8計算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

分析式子中2,2\2"，…每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1),

就可以連續(xù)遞進地運用(a+b)(a-b)-a2-b2了.

解原式=(2-1)(2+1)(2、1)(2'+1)(2"1)X(2,6+1)(232+1)

=(2-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)X(232+1)

=(2-1)(24+1)(2S+1)(216+1)(232+1)=...=(232-1)(2M+1)=2M-1.

8

例9計算:

(1-淤卦「演扁

分析在前面的例題中，應用過公式(a+bNa-bWaMA

這個公式也可以反著使用，即a-b2=(a+b)(a-b).

本題就是一個例子.

通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處.下面

再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化.

例10計算：

fl1111)

{231999人21998)

(11W111)

[21999)(231998)

分析四個括號中均包含一個共同部分：g+』+???+?1

1998'

我們用一個字母表示它以簡化計算.

解設A=H...+，8,則

原式=(A+I9或d+A)-(l+A+]劃卜

=L+A2+—+-1-(A+A2+—]1

(19991999)(1999)"1999'

3.觀察算式找規(guī)律

例11某班20名學生的數(shù)學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分.

87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,

90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.

分析與解若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數(shù)均在90

上下，所以可取90為基準數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負”，

考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算.所以總分為

90X20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)

=1800-1=1799,

平均分為90+(-1)4-20=89.95.

例12計算1+3+5+7+-+1997+1999的值.

分析觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首

末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000,于是可有如下解法.

解用字母S表示所求算式，即S=l+3+5+…+1997+1999.①

再將S各項倒過來寫為S=1999+1997+1995+-+3+l.②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+???+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+…+2000+2000(500個2000)=2000X500.

從而有S=500000.

說明一般地，一列數(shù)，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=“

=19997997,都等于2),那么，這列數(shù)的求和問題,都可以用上例中的“倒寫相加”

的方法解決.

例13計算1+5+52+53+-+5"+51M

10

分析觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍.如果將和式各項

都乘以5,所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減

將使差易于計算.

解設S=l+5+52+…+5,5嗎①

所以5s=5+52+53+…+5%5HH.②

②得4S=5IO1-1,

5%

所以s=-

說明如果一列數(shù)，從第二項起每一項與前一項之比都相等（本例中是都等于5）,那么

這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決.

例14計算：

1111

----+-----++???+------------

1X22X330133----1998X1999

分析一般情況下，分數(shù)計算是先通分.本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反

而利用如下一個關系式

1_11

k（k+i）-ic-icTi

來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法.

說明本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項，這種方法在有

理數(shù)巧算中很常用.

練習：

i.計算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11----1997+1999；

⑵11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；

(3)1991X1999-1990X2000；

(4)472634M726352-472633X472635-472634X472636；

公、1111

1X33X55X71997X1999

(6)1+4+7+-+244；

⑺小l，+g1+貞1+笑1+…+^515T

小，179111315

k31220304256

2.某小組20名同學的數(shù)學測驗成績如下，試計算他們的平均分.

81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,

76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.

第六講數(shù)學計算的智巧

數(shù)學計算不僅要遵守四則運算法則，更重要的是要運用機智尋找到?種巧妙合理的算

法.機智來自細心的觀察和大膽的探索，因此在學習數(shù)學中要努力學會觀察和分析，培養(yǎng)

積極探索的精神.

1.倒過來寫

例1求和1+2+3+-+999.

分析在高速計算機上解決這個問題太容易了，但人不是計算機！你能找到一種

巧妙的算法嗎？觀察

1/八

公式:s=+D

例2試證不等式

12

111

------1--------F,,------->-1.

3435100

111

記S=------1--------F…H--------，那么

3435100

111

2s=------1--------F???H---------F

3435100

134134134

35x9935x99100x34

v（677-r）（67+r）=67x67-r2<67x67,

134134134

25--------------1---------------F,??4---------=--2--,-

67x6767義6767x67

~67?~

即S>1.

2.添加括號

例3計算S=l-2+3-4+-+(-l)，，+l-n

分析不難看出這個算式的規(guī)律——任何相鄰兩項之和或為“1”或為“T”.如果

按照將1、2項，3、4項，…，分別編組的方式計算，就能得到一系列的“T”，于是

一改“去括號”的習慣而取“加括號”之法得

S=(1-2)+(3-4)+--?+(-l)"+ln.

—4(〃為偶數(shù))

=<2

巴口(〃為奇數(shù))

I2

比“加括號”更一般的思想方法是“分組求和”.

例4在七數(shù)-1,-2,-3,1,2,3,4中任選一個數(shù)、兩個數(shù)手只、三個數(shù)的積、…、

七個數(shù)的積，試求它們的和.

解(1)任選一個數(shù)的和：

1+(-1)+2+(-2)+3X(-3)+4=4.

⑵任選二個數(shù)的積(由于4X(-3)與4X3,…成對出現(xiàn),這些積的和為0)的和為：

IX(-1)+2X(-2)+3X(-3)=-14.

(3).任選三個數(shù)的積(由于4X(-3)X(-2)與4X3X(-2),…成對出現(xiàn)，這些積的

和為0)的和為：4X1X(-1)+4X2X(-2)+4X3X(-3)=-56.

(4)任選四、五、六、七個數(shù)的枳的和分別為:

IX(-1)X2X(-2)+2X(-2)X3X(-3)+1X(-1)X3X(-3)=49；

IX(-1)X2X(-2)X4+2X(-2)X3X(-3)X4+(T)X3X(-3)X4X1=196

1X2X3X(-1)X(-2)X(-3)=-36；

1X2X3X(-1)X(-2)X(-3)X4=144.

所以，所求的和為-L

3.一分為二

n

\c=_1_I--2---1-3----1--4----1.....I-----

例5(1978年上海中學生數(shù)學競賽題)比較"248162n(n為任

意自然數(shù)）與2的大小.

分析關鍵是將寫成宜于與2比較的簡單的式子（直接的計算幾乎不可能）.現(xiàn)依

次稱的各項分別為第1項，第2項，…，第n項，對■第k項變形

k2(&+1)—(A+2)k+\k+2

這說明S,中每一項都可以，裂"為正負兩項，這時

?3.,34..45..n+\n+2..n+2

=2--)+y---)=2-

224482"T2"2"

自然有Y2.

I

4.畫一個圖■■

■las%

為了求和為=1+2+…+10,■lll%?

■lal/z

可作一個階梯形（如圖1T中陰影部分），圖中每個小方格為一個面積單位，可?

■客

%勿

%方

見S'為階梯形的面積，將兩個同樣的階梯形拼在一起得一個11X10的矩形，%/

勿

勿

以"

彩

此矩形面積的一半即S'.仿此可以求例1中的S,畫圖的好處由此可見一斑.“

制

/29勿

a，

093

例6（第19屆國際數(shù)學競賽題）有限個實數(shù)（可以重復）按一定順序排成一列,

任意連續(xù)七個數(shù)之和為負，任意連續(xù)卜一個數(shù)之和為正，確定這些實數(shù)最多有圖1-1

幾個，分析文字信息有使人墜入五里霧中之感，將這有限個實數(shù)依次編號為①、②，…,

如圖1-2所示.把圖中的數(shù)字同時向前挪一位，挪二位，…，便可以看出，從第12個數(shù)

起，任意連續(xù)三數(shù)之和為負；從第15個數(shù)起，每一個數(shù)都為正，因編號為15、16、17

的三個正數(shù)之和不可能是負的，故這些實數(shù)最多有16個，例如可以驗證（）

14

（一）

（一）L-------ti-）

—1-----廠——-?（+）（十）（+J

0②③④⑤⑥⑦⑧⑨.⑩&?????血

L_J__±z±dtziLl

（+）（+r]

（十）

圖謖

5,5,T3,5,5,5,-13,5,

5,-13,5,5,5,-13,5,5

這一列數(shù)滿足題設條件，表可以看成是一種特殊的圖.

例7,對于n個連續(xù)的自然數(shù)1,2,3,…，n,作出其一切可能的和數(shù)（被加數(shù)的個數(shù)

從1到n）,證明得到的和數(shù)中至少有5〃（"+1）個兩兩互不相同，

分析從理〃+1）聯(lián)想到例1的推廣了的結論，即5〃（〃+1）=1+2+…+n,

觸發(fā)猜想：所述和數(shù)至少可以分成n批，第一批一個，第二批兩個，…，第n批n

個，則問題獲得解決，

注意到1<2<3<…取出若干和數(shù)列成下表：

1個加數(shù)的和12…n—2以r1nn個

(n—2)(”一1)

2個加數(shù)的和1+以2+”■??n—1個

4-n

1+(.n-1〉2+—1)<n^2)4-

34■加數(shù)的和???n—2個

<〃一1)+“

…?????????

1+2T-----

n個加數(shù)的和1個

—7?（YI+1）

此表中恰有2個和數(shù)，顯然它們兩兩互不相等.

練習：

1.填空題

（1）1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99等于.

（2）1至100所有不能被9整除的自然數(shù)的和等于.

(3)計算：(F—22+32—42+…+992-1002+10/等于

1231234、

(4)計算:+-+-+-++???

4445555)

+LZ+…+更+竺等于

160606060J

2.選擇題

).

(2)(第36屆美國中學數(shù)學競賽題)從和式

—I--111----1--中，必須除去()，才能使余下的項的和等于1

24681012

(A)-S-^n—e)，和‘-(01和」-(。)4和-5-

412812610810

⑶設a、b、c為互相等的整數(shù)，滿足以+1+〃=空的數(shù)組(a、b、c)有()個.

abC2W

(A)2(B)無數(shù)多(C)1(D)3

(4)分母是1001的最簡真分數(shù)共有()個.

(A)720(B)693(C)692(D)721

3.求和S=1?1+2?2?1+3?3?2?1+…n?n(n-1)????2?1.

4.一串數(shù)：

121123211234321

一,,八，一，一,一,二,，,，，，

1,22C,2—333334444444

7

(1)一是第幾個分數(shù)？

10

(2)第400個分數(shù)是幾分之兒？

5.(1)8個乒乓球隊員進行循環(huán)賽，需要比賽多少場？

(2)從全班50名學生中，選出三人分別擔任班長、學習委員、文娛委員的選法有多

少種？

6.已知(X-+(y-2)2=0,

16

求---1--------------1--------------1-…H---------------------的值.

xy(x+l)(y+l)(x+2)(y+2)(x+1989)(〉+1989)

7.從1到100這100個自然數(shù)中取10個，使它們倒數(shù)和等于1.

8.(第5屆美國數(shù)學邀請賽)非負整數(shù)有序數(shù)對(m,n),若在求和m+n時無需進位(十

進制下)，則稱它為“簡單”的，求所有和為1492的簡單的非負整數(shù)有序數(shù)對的個數(shù).

9.(“華羅庚金杯”全國第二屆少年數(shù)學邀請賽(決賽)題)用1分，2分和5分的硬幣

湊成一元錢，共有多少種不同的湊法？

10.數(shù)字3可以有四種表示為一個或多個正整數(shù)之和，即3,1+2,2+1,1+1+1,數(shù)n有多

少種這樣的表示法？

初一數(shù)學競賽培訓第二講絕對值

一、知識要點

1.絕對值的代數(shù)意義；

2,絕對值的幾何意義:(1)lai、(2)|a-b；

3.絕對值的性質：

(1)|-a|=Ia|,|a|>0,|a|>a；(2)|a|2=|a2|=a2；

(3)|ab|=|a||b|；(4)I—1=(bM)；

b\h\

4.絕對值方程：

(1).最簡單的絕對值方程lx|=a的解：

±aa>~0

x=<0<7=0

、無解ay0

(2)解題方法：換元法，分類討論法。

二、絕對值問題解題關鍵：

(1)去掉絕對值符號；(2)運用性質；(3)分類討論。

三、例題示范

例1已知a<0,化簡|2a-|a||。

提示：多重絕對值符號的處理，從內向外逐步化簡。

例2已知|a|二5,|b|=3,且|a-b|=b-a,則a+b=,滿足條件的a有幾個?

例3已知a、b、c在數(shù)軸上表示的數(shù)如圖，化簡：|b+c|-1b-a|~|a-c|-1c-bI+1b|+1-2a|。

cb°&

例4已知a、b、c是有理數(shù)，且a+b+c=O,abc>0,求h匕+5r+二c+區(qū)a+空a+二b的值。

lai\b\Icl

注：對于輪換對稱式，可通過假設使問題簡化。

例5已知：|同+忸=1，且口力為整數(shù)，則"同=。

兀

例6已知尤=---，化簡：m=|x+11-1x+2|+1x+31-1x+41?

3

例7已知|x+5|+|x-2|=7,求x的取值范圍。

提示：1、根軸法；2、幾何法。

例8是否存在數(shù)x,使|x+3|-|x-2|>7。

提示：1、根軸法；2、兒何法。

例9m為有理數(shù)，求|m-2|+,m-4|+|m-6|+|m-8的最小值。

提示：結合幾何圖形，就m所處的四種位置討論。

結論：最小值為8。

例10(北京市1989年高一數(shù)學競賽題)設x是實數(shù)，

且f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+41+1x+5|.則f(x)的最小值等于_6

例11(1986年揚州初一競賽題)設T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0VpV15.對于滿

足pWxW15的x的來說，T的最小值是多少？

解由已知條件可得:T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x.

?.?當p〈xW15時，上式中在x取最大值時T最小;當x=15時,T=30-15=15,

故T的最小值是15.

例12若兩數(shù)絕對值之和等于絕對值之積，且這兩數(shù)都不等于0.試證這兩個數(shù)都不在T

與-之間.

證設兩數(shù)為a、b,則|a|+|b|=|a||b|,

|b|=|a||b|-|a|=|a|(|b|-l).

b

YabWO,A|a|>0,b|>0.A|b|-1=1-1>0,/.|b|>l.

a

同理可證|a|>L.'.a>b都不在T與1之間.

例13某城鎮(zhèn)沿環(huán)形路有五所小學，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分

別有電腦15、7、11、3、14臺，現(xiàn)在為使各校電腦數(shù)相等，各調幾臺給鄰校：一

18

小給二小、二小給三小、三小給四小、四小給五小、五小給一小。若甲小給乙小

-3臺，即為乙小給甲小三臺，要使電腦移動的總臺數(shù)最少，應怎樣安排？

例14解方程

(1)|3x-l|=8(2)||x-2|-l|=-

2

(3)|3x-2|=x+4(4)ix-l|+|x-2|+|x+3!=6.

例15(1973年加拿大中學生競賽題)求滿足|X+3HXT|=X+1的一切實數(shù)解.

分析解絕對值方程的關鍵是去絕對值符號，令x+3=0,x-l=O,分別得

x=-3,x=l,-3,1將全部實數(shù)分成3段：x<-3或-3Wx<l或x，l,然后在每

一段上去絕對值符號解方程，例如，當x<-3時，|x+3|=-x-3,|x-l|=l-x,故

方程化為-x-3+xT=x+l,；.x=-5,x=-5滿足x<-3,故是原方程的一個解，

求出每一段上的解，將它們合并，便得到原方程的全部解，這種方法叫做“零

點”分段法，x=-3,x=l叫做零點.

第二講絕對值

絕對值是初中代數(shù)中的一個基本概念，在求代數(shù)式的值、化簡代數(shù)式、證明恒

等式與不等式，以及求解方程與不等式時，經(jīng)常會遇到含有絕對值符號的問題，同學

們要學會根據(jù)絕對值的定義來解決這些問題.

下面我們先復習一下有關絕對值的基本知識，然后進行例題分析.

?個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是

零.即

a,當a〉0時；

[a|=<0,當a=0時；

-a,當a<0時.

絕對值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來認識，它與距離的概念密切相關.在數(shù)

軸上表示個數(shù)的點離開原點的距離叫這個數(shù)的絕對值.

結合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對值相等的數(shù)有兩個，它們恰好互為相

反數(shù).反之，相反數(shù)的絕對值相等也成立.由此還可得到一個常用的結論：任何一

個實數(shù)的絕對值是非負數(shù).

例1：a,b為實數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應附加什么條件？

(1)Ia+bI=IaI+Ib|；

⑵Iab|=IaIIb|；(3)Ia-bI=Ib-aI；

(4)若IaI=b,則a=b；

⑸若IaIVIb|,則a<b；

⑹若a>b,則IaI>IbI.

例2:設有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應點如圖1-1所示，化簡Ib-a|+Ia+cI+Ic-b|.

---?--------?------?---->X

cboa

圖1-1

解由圖1T可知，a>0,b<0,c<0,且有Ic|>IaI>|bI>0.根據(jù)有理數(shù)

加減運算的符號法則，有b-a<0,a+c<0,c-b<0.

再根據(jù)絕對值的概念，得

Ib-a|=a-b,Ia+cI=-(a+c),Ic-bI=b-c.

于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.

例3:已知x<-3,化簡：I3+I2-I1+x|I|.

分析這是一個含有多層絕對值符號的問題，可從里往外一層一層地去絕對值符號.

例4若冊50,則。+之+言的所有可能值是什么？

|a|四|c|

解因為abcWO,所以aWO,b#0,cHO.

(1)當a,b,c均大于零時，原式二3；

(2)當a,b,c均小于零時，原式二-3；

(3)當a,b,c中有兩個大于零，一個小于零時，原式二1；

(4)當a,b,c中有兩個小于零，一個大于零時，原式二-1.

所以AW+9所有可能的值為±3，±1.

同|b||c|

說明本例的解法是采取把a,b,c中大于零與小于零的個數(shù)分情況加以解決的，這種

解法叫作分類討論法，它在解決絕對值問題時很常用.

例5:若Ix|=3,IyI=2,月.Ix-yI=y-x,求x+y的值.

解因為Ix-yI20,所以y—x，O,y2x.由IxI=3,IyI=2可知，x<0,EPx=-3.

⑴當y=2時,x+y=-l；

(2)當y=-2時，x+y=-5.

所以x+y的值為T或-5.

例6:若a,b,c為整數(shù)，且Ia-bI19+Ic-aI99=1,試計算Ic-aI+Ia-bI+Ib-cI

的值.

解a,b,c均為整數(shù)，則