隨機子空間識別

第2節(jié)：模態(tài)參數(shù)識別的時域隨機子空間方法主講人：鮑躍全博士、副教授2013.6.6哈爾濱工業(yè)大學第6章模態(tài)參數(shù)識別課程名稱《結構損傷識別與健康監(jiān)測》主要內(nèi)容3.4.2動力學狀態(tài)空間模型連續(xù)時間狀態(tài)空間模型離散時間狀態(tài)空間模型隨機狀態(tài)空間模型3.4.3

協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間識別方法Hankel矩陣的定義3.4.1隨機子空間識別主要思想3.4.1隨機子空間識別主要思想隨機子空間識別（StochasticSubspaceIdentification-SSI）隨機外部激勵不可測，假設為白噪聲，又稱為環(huán)境激勵。子空間識別模態(tài)參數(shù)：頻率、振型、模態(tài)阻尼比時域狀態(tài)空間方程為基本模型從輸出數(shù)據(jù)的Hankel矩陣的投影的行“子空間”與列“子空間”中獲取模態(tài)參數(shù)協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間識別方法數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間識別方法系統(tǒng)矩陣模態(tài)參數(shù)Hankel矩陣計算輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣奇異值分解將來行空間投影到過去行空間得到投影矩陣卡爾曼濾波+QR分解3.4.2動力學狀態(tài)空間模型（1）連續(xù)時間狀態(tài)空間模型n個自由度的系統(tǒng)，其動力特性可用二階振動微分方程式表示通過定義將二階微分方程變成一階微分方程:兩邊左乘P-1可以得到連續(xù)時間狀態(tài)空間方程：式中：在實際振動測試中，一般不會測量全部自有度的輸出，而只檢測其中的一部分。假定只在其中l(wèi)c個自由度處放置傳感器，則結構的輸出可以表示為：觀測方程連續(xù)時間狀態(tài)空間模型：狀態(tài)空間矩陣輸入矩陣輸出矩陣直饋矩陣（2）離散時間狀態(tài)空間模型的一般解：實際測試中，信號的量測都是在離散的時間點，因此需要將連續(xù)時間模型轉換成離散時間模型。假定信號滿足采樣定理（Shannon采樣定理），設初始時間t0設采樣時間間隔為，采樣時間序列為0，表示由采樣開始時刻位移和速度向量組成的狀態(tài)向量表示k+1時刻的狀態(tài)令在一個采樣間隔內(nèi)是常數(shù)假設即類似表示采樣時刻的輸入與輸出離散時間狀態(tài)空間模型（3）隨機狀態(tài)空間模型實際工程中，數(shù)據(jù)測量噪聲不可避免式中wk是處理過程與建模誤差引起的噪聲

vk

傳感器誤差引起的噪聲離散隨機狀態(tài)空間模型實測過程中，環(huán)境激勵是不可測量的隨機激勵（輸入），而且強度基本和噪聲影響相似，無法將兩者區(qū)分清楚。將輸入項與噪聲合并之后，就得到了隨機子空間方法的基本模型隨機狀態(tài)空間模型的重要性質(zhì)假定噪聲項為均值為零的平穩(wěn)過程舉例：實際的白噪聲幾個前提同時wk,vk是零均值白噪聲序列，與結構真實狀態(tài)無關，可知：式中狀態(tài)協(xié)方差矩陣Σ與時間k無關。系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)序列為平穩(wěn)隨機過程。定義輸出協(xié)方差矩陣Ri式中i為任意時刻的時延。計算狀態(tài)協(xié)方差矩陣Σ，可以得到計算協(xié)方差矩陣Ri（i=1,2,…）協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間識別方法建立的核心表達式。定義狀態(tài)-輸出協(xié)方差矩陣G輸出信號y1(t)和對應協(xié)方差序列3.4.2

協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間識別方法(1)Hankel矩陣定義逆對角線上元素相同yi是l×1維列向量，表示i時刻所有測點的響應j

列i

塊行i

塊行另一種分法(2)輸出協(xié)方差矩陣是維式中i為任意時刻的時延。假定輸出數(shù)據(jù)具有各態(tài)歷經(jīng)性，則實際測試中，只能得到有限的j個數(shù)據(jù)點，因此輸出協(xié)方差可以估計為因此(3)塊Toeplitz矩陣分解可觀矩陣可控反轉矩陣對Toeplitz矩陣進行奇異值分解，是正交矩陣，滿足奇異值按降序排列(4)模態(tài)參數(shù)識別可將奇異值分解結果分成兩個部分，分別用矩陣表示是一個非奇異矩陣，可以看成是對原來模型的一種相似變換，即不管怎么取，得到的模型都是等價的取根據(jù)的定義，同樣可以得到和具有相同的結構，只是其中包含的協(xié)方差時延從2到i+1表示廣義逆離散狀態(tài)矩陣是一個對角陣，由離散復特征值組成。特征向量組成的矩陣離散狀態(tài)矩陣與連續(xù)狀態(tài)矩陣的關系，連續(xù)狀態(tài)矩陣與具有相同的特征向量，兩者特征值的關系為系統(tǒng)的復特征值與