2023年上海市楊思高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在原點附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．2．當(dāng)時，函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．3．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離4．已知奇函數(shù)是上的減函數(shù)，若滿足不等式組，則的最小值為（）A．-4 B．-2 C．0 D．45．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（）A． B． C． D．6．若的二項展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知，則（）A．2 B． C． D．38．定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若，，，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．9．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．10．已知拋物線C：，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．311．盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)，則()A．， B．，C．， D．，12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上一點，連接與y軸交于點M，若（O為坐標(biāo)原點），，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則的值為______.14．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為________.15．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且與圖象的交點為，，…，，則______．16．設(shè)滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點，以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x＝1于M，N兩點.（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P，Q，點G為PQ的中點，O為坐標(biāo)原點，求直線OG斜率的取值范圍.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到曲線，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線上是否存在不同的兩點，（以上兩點坐標(biāo)均為極坐標(biāo)，，），使點、到的距離都為3？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.19．（12分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.20．（12分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）中，內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求的大?。唬?）若，且為的重心，且，求的面積.22．（10分）平面直角坐標(biāo)系中，曲線：.直線經(jīng)過點，且傾斜角為，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程；（2）若直線與曲線相交于，兩點，且，求實數(shù)的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項；當(dāng)時，，，則，排除B選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.2．B【解析】由，解得，即或，函數(shù)有兩個零點，，不正確，設(shè)，則，由，解得或，由，解得：，即是函數(shù)的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.3．B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r4．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù)，則，且，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，即，表示直線與軸截距的相反數(shù)，根據(jù)平移得到：當(dāng)直線過點，即時，有最小值為.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，線性規(guī)劃問題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.5．A【解析】

根據(jù)圖象可知，函數(shù)為奇函數(shù)，以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，且有一個零點，即可對選項逐個驗證即可得出．【詳解】首先對4個選項進行奇偶性判斷，可知，為偶函數(shù)，不符合題意，排除B；其次，在剩下的3個選項,對其在上的零點個數(shù)進行判斷,在上無零點,不符合題意，排除D；然后,對剩下的2個選項,進行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意，排除C.故選：A．【點睛】本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性質(zhì)的判斷，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題．6．B【解析】

先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，∴，∴（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎(chǔ)題7．A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案．【詳解】，；；故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)值的求法，考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用．8．D【解析】

由題意得，表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時，數(shù)形結(jié)合（如圖）得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個，解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時，，數(shù)形結(jié)合（如圖），由解得.在內(nèi)有3個整數(shù)解，為1，2，3，滿足，所以符合題意.當(dāng)時，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示.若，即的整數(shù)解只有1，2，3.只需滿足，即，解得，所以.綜上，當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍是.故選D.9．C【解析】

由，,利用平面向量的數(shù)量積運算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因為,

所以

,

，所以，故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數(shù)量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.10．B【解析】

設(shè)直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，所以，.因為，所以，得，所以，即，，所以.故選:B.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計算能力，屬于中檔題.11．C【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項.【詳解】表示取出的為一個白球，所以.表示取出一個黑球，，所以.表示取出兩個球，其中一黑一白，，表示取出兩個球為黑球，，表示取出兩個球為白球，，所以.所以，.故選：C【點睛】本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，屬于中檔題.12．C【解析】

利用三角形與相似得，結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線方程。【詳解】設(shè)，，由，與相似，所以，即，又因為，所以，，所以，即，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求，再根據(jù)的范圍求出即可.【詳解】由題可知，故.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及對數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題.14．3【解析】

作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過點時,取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點,當(dāng)直線經(jīng)過點時,.故答案為:3.【點睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.15．18【解析】

由題意得函數(shù)f（x）與g（x）的圖像都關(guān)于點對稱，結(jié)合函數(shù)的對稱性進行求解即可．【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點對稱，，函數(shù)關(guān)于點對稱，所以兩個函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點（1，2）對稱，與圖像的交點為，，…，,兩兩關(guān)于點對稱，.故答案為：18【點睛】本題考查了函數(shù)對稱性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16．【解析】

根據(jù)滿足約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，平移直線，找到直線在軸上截距最小時的點，此時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件，畫出可行域如圖所示陰影部分：將目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，平移直線，找到直線在軸上截距最小時的點此時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為故答案為：-1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）.（2）【解析】

（1）設(shè)A的坐標(biāo)為A（x0，y0），由題意可得圓心C的坐標(biāo)，求出C到直線x＝1的距離.由半個弦長，圓心到直線的距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得p的值，進而求出拋物線的方程；（2）將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達定理，進而求出中點G的坐標(biāo)，再求出直線OG的斜率的表達式，換元可得斜率的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)A（x0，y0）且y02＝2px0，則圓心C（），圓C的直徑|AB|，圓心C到直線x＝1的距離d＝|1|＝||，因為|MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）聯(lián)立拋物線與圓的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，所以中點G的橫坐標(biāo)xG＝5﹣p，yG（），所以kOG（0＜P＜1），令t＝5﹣p（t∈（4，5）），則kOG（），解得0＜kOG，所以直線OG斜率的取值范圍（0，）.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的綜合，換元方法的應(yīng)用，屬于中檔題.18．（1），（2）存在，【解析】

（1）先求得曲線的普通方程，利用伸縮變換的知識求得曲線的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，求得直線的直角坐標(biāo)方程.（2）求得曲線的圓心和半徑，計算出圓心到直線的距離，結(jié)合圖像判斷出存在符合題意，并求得的值.【詳解】（1）曲線的普通方程為，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線的直角坐標(biāo)方程為，其極坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線是以為圓心，為半徑的圓，圓心到直線的距離.∴由圖像可知，存在這樣的點，，則，且點到直線的距離，∴，∴.【點睛】本小題主要考查坐標(biāo)變換，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19．（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎金恰好為60元，可能是三次二等獎，也可能是一次一等獎，兩次三等獎，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎機會，設(shè)恰好獲得60元為事件A，因為60＝20×3＝40＋10＋10，所以．【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，明確隨機變量的所有取值是求解的第一步，再求解對應(yīng)的概率，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).20．（1）證明見解析（