初中數(shù)學浙教版八年級上冊第1章三角形的初步知識1．3證明【市一等獎】

1．3證明(一)1.如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，E是AC上一點，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分別為D，F(xiàn)，若∠AED＝140°，則∠C＝__50°__，∠A＝__80°__，∠BDF＝__40°__，∠EDF＝__50°__．,(第1題)(第2題)2.如圖，平面鏡A與B之間的夾角為120°，光線經(jīng)平面鏡A反射后射在平面鏡B上，再反射出去，若∠1＝∠2，則∠1＝__30°__．(第3題)3.如圖，已知AD∥BC，∠EAD＝50°，∠ACB＝40°，則∠BAC＝__90°__．4．如圖，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，不能判定AB∥CD的條件是(A)A．∠1＝∠2B．∠1＋∠2＝90°C．∠3＋∠4＝90°D．∠2＋∠3＝90°(第4題)(第5題)5．如圖，有一條直的寬紙帶按圖示的方式折疊，則∠α的度數(shù)是(C)A．50°B．60°C．75°D．85°6．已知△ABC的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為3∶4∶5，則這個三角形是(A)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形(第7題)7．如圖，已知EF與AB，CD分別交于點E，F(xiàn)，∠1＝∠2.求證：AB∥CD.【解】∵∠1＝∠2(已知)，∠2＝∠AEF(對頂角相等)，∴∠1＝∠AEF(等量代換)，∴AB∥CD(同位角相等，兩直線平行)．(第8題)8．如圖，已知AB∥CD，CM平分∠BCD，CM⊥CN.求證：∠NCB＝eq\f(1,2)∠B.【解】∵AB∥CD(已知)，∴∠DCB＋∠B＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)，∴∠DCB＝180°－∠B.又∵CM平分∠BCD(已知)，∴∠MCB＝eq\f(1,2)∠DCB＝eq\f(1,2)(180°－∠B)＝90°－eq\f(1,2)∠B(角平分線的定義)．∵CM⊥CN，∴∠MCN＝90°，∴∠NCB＝90°－∠MCB＝90°－(90°－eq\f(1,2)∠B)＝eq\f(1,2)∠B.9．如圖，點E，F(xiàn)分別在AB，AD的延長線上，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求證：(1)∠A＝∠4；(2)AF∥BC.(第9題)【解】(1)∵∠1＝∠2(已知)，∴DC∥AB(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)，∴∠A＝∠3(兩直線平行，同位角相等)．∵∠3＝∠4(已知)，∴∠A＝∠4.(2)∵∠A＝∠4(已證)，∴AF∥BC(同位角相等，兩直線平行)．(第10題)10．如圖，已知AB∥CD，求證：∠α＋∠β－∠γ＝180°.【解】過點E作EF∥AB，則∠A＋∠AEF＝180°，∠FED＝∠D，∴∠α＋∠β－∠γ＝180°.(第11題)11．如圖，AB∥CD，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°．【解】提示：分別過點E，F(xiàn)作AB的平行線．(第12題)12．如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點，∠1＝∠2，求證：∠ACB與∠BPC互補．【解】在△BCP中，∠BPC＋∠2＋∠BCP＝180°，∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)．又∵∠1＝∠2，∴∠BPC＝180°－(∠1＋∠BCP)，∴∠BPC＝180°－∠ACB，∴∠ACB＋∠BPC＝180°，即∠ACB與∠BPC互補．(第13題)13．如圖，∠xOy＝90°，點A，B分別在射線Ox，Oy上移動，BC平分∠DBO，BC與∠OAB的平分線交于點C，試問：∠ACB的大小是否隨A，B的移動而發(fā)生變化？如果保持不變，請說明理由；如果隨A，B的移動而發(fā)生變化，請給出變化的范圍．【解】∠ACB不隨A，B的移動發(fā)生變化．理由如下：∵BC，AC分別平分∠DBO，∠BAO，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠DBO，∠BAC＝eq\f(1,2)∠BAO.∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°.∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，∴eq\f(1,2)∠DBO＝eq\f(1,2)∠BAO＋∠ACB，∴∠ACB＝eq\f(1,2)(∠DBO－∠BAO)＝eq\f(1,2)∠AOB＝45°.(第14題)14．如圖，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：(1)∠MON的度數(shù)；(2)如果已知中∠AOB＝α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；(3)如果已知中∠BOC＝β(β為銳角)，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；(4)從(1)(2)(3)的結(jié)果中能得出什么規(guī)律？(5)線段的計算與角的計算存在著緊密聯(lián)系，它們之間可以進行類比，請你模仿(1)～(4)，設(shè)計一道以線段為背景的計算題，寫出其中的規(guī)律，并給出解答．【解】(1)∵OM平分∠AOC(已知)，∴∠MOC＝eq\f(1,2)∠AOC(角平分線的定義)．又∵ON平分∠BOC(已知)，∴∠NOC＝eq\f(1,2)∠BOC(角平分線的定義)，∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝eq\f(1,2)∠AOC－eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)(∠AOC－∠BOC)＝eq\f(1,2)∠AOB＝45°.(2)當∠AOB＝α，其他條件不變時，∠MON＝eq\f(α,2).(3)當∠BOC＝β，其他條件不變時，∠MON＝45°.(4)分析(1)(2)(3)的結(jié)果和(1)的解答過程可以看出：∠MON的大小總等于∠AOB的一半，而與銳角∠BOC的大小變化沒有關(guān)系．(第14題解)(5)設(shè)計的問題為：如解圖所示，已知線段AB＝a，延長AB至點C，使BC＝b，M，N分別為AC，BC的中點，求MN的長．本題的規(guī)律是“MN的長度總等于AB的一半，而與BC的長度變化無關(guān)”．理由如下：∵M是AC的中點(已知)，