第一學(xué)期青島版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-第二章-解直角三角形-單元檢測(cè)試題(解析版)

中,1.已知RtA.sinB=2B.cosB=中,1.已知RtA.sinB=2B.cosB=一32C.tanB=一32D.cotB=一3青島版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章解直角三角形單元檢測(cè)試題、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)C90：,AC2,BC3,那么下列各式中，正確的是 (根據(jù)直角三角形三邊關(guān)系和正弦余弦正切余切的定義進(jìn)行計(jì)算【詳解】由直角三角形三邊關(guān)系可得ab=\AC2BC2=【詳解】由直角三角形三邊關(guān)系可得ab=\AC2BC2=.13sinB=AC__2_AB-J3,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;cosB=^^-=t,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；tanB==,AB,13 BC3 BC3C選項(xiàng)正確；cotB=——=-ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤；故答案選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，明確三角函數(shù)的定義是本題的解題關(guān)鍵2.當(dāng)30；a60G時(shí)，以下結(jié)論正確的是 (2<si2<sin§-<cosoc2 2D.根據(jù)特殊角的正弦余弦正切余切的值進(jìn)行判斷【詳解】sin30=1,sin60=_3,故2 21一<sin2A【詳解】sin30=1,sin60=_3,故2 21一<sin2A選項(xiàng)正確;cos30=立2“ 1cos60=—故2，工cosa迎,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；tan302 2=43tan60=33,故tanC選項(xiàng)錯(cuò)誤；cot30=、cot30=、3，cot60=—3,故—3&cotD選項(xiàng)錯(cuò)誤；答案選A.【點(diǎn)睛】牢記特殊角的三角函數(shù)值并靈活運(yùn)用3.如圖所示，在3.如圖所示，在^ABC中，ADBC于DCEAB于E,且BE2AE,已知AD3后tanBCE昱,那么CE等于（A.2.33.3-25243【解析】【分析】掌握直角三角形中的角度計(jì)算和三角函數(shù)的定義并應(yīng)用它們進(jìn)行計(jì)算【詳解】因?yàn)閠anBCE3所以3BCE=30，在△BCEtanBCE昱,那么CE等于（A.2.33.3-25243【解析】【分析】掌握直角三角形中的角度計(jì)算和三角函數(shù)的定義并應(yīng)用它們進(jìn)行計(jì)算【詳解】因?yàn)閠anBCE3所以3BCE=30，在△BCE中，BEC=90B=60角形ABD中，AD=38,故AB=—AD—=6,又因?yàn)锽E2AE,所以sin60BE=2一AB=4,3;在直角三CE=BE?tan60=433,答案選D.【點(diǎn)睛】熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值及三角函數(shù)在直角三角形中的含義并學(xué)會(huì)運(yùn)用4.a為銳角，若sina+cosa我，貝UsinOTcosa的值為（）1A.一2B.21C2C.2D.0由條件求得2sinacosa=1,(sin冉cos3)2=0.從而求得sin*cos3的值.【詳解】解：sino+cosa=J2,兩邊平方得2sinacosa=1,(sina-cosa)2=1-2sinacosa=1-1=0,---sina-cos0=0.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

.式子2cos30,，tan45,，&1—tan60：）2的值是（）A.23-2 B.0 C.23 D.2【答案】B【解析】【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算【詳解】cos30=正，tan45=1,tan60=J3,原式=2—1J1叫2=0,故答案選B.2 2 ■【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，sina,a3-,.若角a、B是直角三角形的兩個(gè)銳角，則——tan——的值為（ ）cosB2A.0 B.1 C.1-2 D._1-1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一個(gè)角的正弦等于它余角的余弦，再用特殊角的三角函數(shù)值即可求出sintancos2sintancos2故選A.sin -tan45=1—1=0.cos【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角三角函數(shù)值的關(guān)系，熟練掌握三角函數(shù)是本題解題的關(guān)鍵.如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1:2,則斜坡AB的長(zhǎng)為（ ）A.4、,3米A.4、,3米12J5米24米1.,.斜面坡度為1：2,??在Rt△ABC中，BC：AC=1：2,..BC—AC6米，由勾股定理得2abJac2bc26而米，故選B-A.一2DEAB，cosA3A.一2DEAB，cosA3BE2,則tan5DBE的值是（B.2C.103D.-5【解析】【分析】在直角三角形ADE中求出AD、AE,再求DE,即可進(jìn)行計(jì)算.【詳解】設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為t,?.BE=2,.?.AE=t-2,「cosA=35ADt-2AE3ADt-25一,t=5,5,-.AE=5-2=3,??DE=TAd^Ae^??DE=TAd^Ae^后32=4"DBE=DEBE2=2.故答案選B.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形和菱形的性質(zhì)，解直角三角形的方法是本題解題的關(guān)鍵9.山坡底部有一棵豎直的大樹(shù)AB，小明從A處沿山坡前進(jìn)20米到達(dá)C處，此時(shí)轉(zhuǎn)身正好看到同一水平線(xiàn)上的樹(shù)頂B,已知坡角a30『小明的眼睛到地面的距離為1.7米，則樹(shù)高AB為（D

D20米21.7米20米21.7米（10百+1.7）米11.7米【答案】D【解析】【分析】作輔助線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,進(jìn)而利用RT△進(jìn)行求解.【詳解】【詳解】作輔助線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C作CE±AB于點(diǎn)E,由題意可得，/ACE=30°,_ _ , 1 ...，AE=ACsin/ACE=20X—=10米,2又?.?小明身高為1.7米，AB=AE+EB=AE+DC=11.7米.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用 -坡度、坡角問(wèn)題，熟練掌握坡度和坡角的定義是本題解題的關(guān)鍵10.在&ABC10.在&ABC中,C90；,tanA1,那么cotB等于（C.1D.二C.13根據(jù)tan求/A,再根據(jù)三角形內(nèi)角和求/ B,代入cotB即可求解【詳解】.△ABC中,/C=90°,tanA=1,?./A=45°,/B=180°—90—45=45°,?..cotB=cot45=1.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記三角函數(shù)的特殊值是本題解題的關(guān)鍵、填空題（共10小題，每小題3分，共30分）11.一漁船在海島A南偏東20：方向的B處遇險(xiǎn)，測(cè)得海島A與B的距離為20J31海里，漁船將險(xiǎn)情

報(bào)告給位于A處的救援船后，沿北偏西65：方向向海島C靠近.同時(shí)，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10方向勻速航行.20分鐘后，救援船在海島C處恰好追上漁船，那么救援船航行的速度為1CL北東1CL北東【答案】20海里/分作CD^AB,得到兩直角三角形AACD、ABCD,利用三角函數(shù)進(jìn)行求解【詳解】B?【詳解】B??./CAB=10°+20°=30°,ZCBA=65°-20°=45O,??.BD=CD=海里，貝UAD=203?./CAB=10°+20°=30°,ZCBA=65°-20°=45O,??.BD=CD=海里，貝UAD=20331海里,在RTAACD中，CD=tan30°,AD解得=20,在RTAACD中，AC=2X20=40海里,40及0=2海里/分.故答案為2海里/分.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用 -方向角問(wèn)題，熟練掌握方向角定義和表現(xiàn)形式是本題解題的關(guān)鍵12.如果一邊長(zhǎng)為30cm的等邊三角形硬紙板剛好能不受損地從用鐵絲圍成的圓形鐵圈中穿過(guò)，那么鐵圈直徑的最小值為cm（鐵絲粗細(xì)忽略不計(jì)）徑的最小值為cm（鐵絲粗細(xì)忽略不計(jì)）【答案】15,3【解析】【分析】由于三角形怎樣穿過(guò)鐵圈不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)鐵絲圍成的圓圈的直徑等于等邊三角【詳解】形的高時(shí)；②將三角形放倒再穿過(guò)，求出鐵圈直徑.【詳解】如圖所示：若三角形放平，OB邊平著穿過(guò)，則鐵圈的直徑等于三角形的高,在直角gAC中，..OA=30cm,ZA=60..OC=OA?Sin60=30X2^3=15373(cm)當(dāng)三角形水平穿過(guò)， 即先一個(gè)角穿過(guò)時(shí)，此時(shí)鐵圈的直徑等于三角形的邊長(zhǎng).?「 30cm>153?cm,.??將三角形放倒再穿過(guò)，圓的直徑最小，故答案為153.3.C90；,cosB4,ACC90；,cosB4,AC6,則^ABC的周長(zhǎng)為【答案】24【解析】【分析】設(shè)c=5k,b=4k,由勾股定理可求得a=3k,接下來(lái)利用AC=6求出三角形的周長(zhǎng)即可.【詳解】設(shè)c=5k,b=4k.由勾股定理得：a=J(5k)2—(4k)2=3k,AC=a=6,可得：3k=6,解得：k=2,?.BC=8,AB=10,??.△ABC的周長(zhǎng)為6+8+10=24,故答案為24.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，解題的關(guān)鍵是可以將未知邊的長(zhǎng)度設(shè)出來(lái)，進(jìn)而計(jì)算14.在&ABC中， 14.在&ABC中， C為直角,A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且b1,tanB【解析】【分析】b根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答： tan/B=—a【詳解】b=1,a=???在AABC中，/C為直角，/A、/B、ZC所對(duì)的邊分別為a、【詳解】b=1,a=???在AABC中，/C為直角，/A、/B、ZC所對(duì)的邊分別為a、b、c,且tanZB=—= =而a3 3故答案是：:3【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)定義，解題的關(guān)鍵是在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰變比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊15.一等邊三角形周長(zhǎng)為6,則面積為根據(jù)等邊三角形各邊相等的性質(zhì)可求得等邊三角邊長(zhǎng)和高即可解題.【詳解】???等邊三角形中高線(xiàn)與邊的比值為出三角形的面積為1 — — —一切x￡=石,故答案為73.2【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等邊三16.若a、3均為銳角，則以下有4個(gè)命題：①若sin4sin3則飆<3；②若a+住90°,則sin即cos3③存在一個(gè)角a,使sin后1.02;④tan后sin一.其中正確命題的序號(hào)是.cos【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)正弦值隨角度的增大而增大，以及正弦余弦值與各邊關(guān)系即可得出答案【詳解】①:sina<sin【詳解】①:sina<sin氏則a<氏故此選項(xiàng)正確；②若a+3=90°,貝Usina=cos(90°—a)=cos3,，此選對(duì)邊項(xiàng)正確；③右存在一個(gè)角 對(duì)邊項(xiàng)正確；③右存在一個(gè)角 %sina=,.-.sina<l,斜邊一sinsina=1.02,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④tana= ,根cos據(jù)對(duì)應(yīng)邊關(guān)系得出，故此選項(xiàng)正確，故答案為①②④【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)17.如圖，一輛汽車(chē)沿著坡度為i1：J3的斜坡向下行駛17.如圖，一輛汽車(chē)沿著坡度為i1：J3的斜坡向下行駛50米，則它距離地面的垂直高度下降了米.【答案】25【解析】【分析】設(shè)出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可.【詳解】解：設(shè)垂直高度下降了x米，則水平前進(jìn)了J3x米.根據(jù)勾股定理可得：x2+（由'x）2=502.解得x=25,即它距離地面的垂直高度下降了 25米.【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的應(yīng)用 .關(guān)鍵是熟悉且會(huì)靈活應(yīng)用公式： tan“（坡度）=垂直高度冰平寬度，綜合利用了勾股定理.18.如圖，某公園入口處原有三階臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高為 20cm,深為30cm.為方便殘疾人士，擬將臺(tái)階改為斜坡，設(shè)臺(tái)階的起點(diǎn)為A,斜坡的起始點(diǎn)為C,現(xiàn)將斜坡的坡度設(shè)計(jì)為i1:4.5,則AC的長(zhǎng)為cm^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^_[J],JJ」Btflf*LK，xT..「* -13+~^TTTTTT7ir~r~TTT~i~【答案】210【解析】【分析】如圖所示，所有臺(tái)階高度和為 BD的長(zhǎng)，所有臺(tái)階深度和為 AD的長(zhǎng)，即BD=60cm,AD=60cm,然后根據(jù)坡度比解答.【詳解】由圖可知：B=60cm,AD=60cm,「坡度比=BD：DC=1：4.5,.?.DC=270,..AC=DC—AD=270—60=210cm.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，要求我們要具備數(shù)學(xué)建模能力（即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問(wèn)題） .19.每周一學(xué)校都要舉行莊嚴(yán)的升國(guó)旗儀式，讓同學(xué)們感受?chē)?guó)旗的神圣.升國(guó)旗時(shí)，小穎同學(xué)站在離旗桿底部7米處行注目禮，當(dāng)國(guó)旗升至旗桿頂端時(shí)，小穎同學(xué)視線(xiàn)的仰角恰為 60：.若小穎雙眼離地面1.5米，則旗桿的高度為米.（用含根號(hào)的式子表示）【答案】7、31.5【解析】【分析】根據(jù)題意得圖，已知：AC=7m,AD=1.5m,ZCAB=60°,而求得是BE.【詳解】BE=BC+CE,BC=ACXtan/CAB=7Xtan60=7百，CE=AD=1.5m,貝UBE=7?+1.5,故答案為7=3+1.5

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用所學(xué)的直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，可以根據(jù)題意來(lái)畫(huà)出所需要的圖象,（然后解決問(wèn)題將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題 ）.（然后20.為了求河對(duì)岸建筑物AB地平面上測(cè)得BCDBDC45；,那么AB的高是米.【答案】30、.6【解析】【分析】根據(jù)/BCD=/BDC=45，于是得到/解直角三角形即可得到結(jié)論.【詳解】???/BCD=/20.為了求河對(duì)岸建筑物AB地平面上測(cè)得BCDBDC45；,那么AB的高是米.【答案】30、.6【解析】【分析】根據(jù)/BCD=/BDC=45，于是得到/解直角三角形即可得到結(jié)論.【詳解】???/BCD=/BDC=45。,CBD=90°,CB=BD,?.CD=180米，?.CB=DB=90近,CB=DB=9072,?./ACB=30，/ABC=90°,?.AB=BC?tan30=30而米.故答案為30...6.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是清楚三角函數(shù)的定義三、解答題（共6小題，每小題10分，共60分）21.計(jì)算：tan30"cos6。"tan45'，cos30”.代入常見(jiàn)銳角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解（參考數(shù)據(jù)：■（參考數(shù)據(jù)：■s/2=1.433 1.7【詳解】tan30.cos60；tan45；cos30：【點(diǎn)晴】本題考查三角函數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是清楚特殊角的正弦余弦正切值22.如圖，一艘漁船正自西向東航行追趕魚(yú)群，在A處望見(jiàn)島C在船的北偏東60°方向，前進(jìn)20海里到達(dá)B處，此時(shí)望見(jiàn)島C在船的北偏東30。方向，以島C為中心的12海里內(nèi)為軍事演習(xí)的危險(xiǎn)區(qū).請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群是否有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)的可能.試題分析：根據(jù)題意實(shí)質(zhì)是比較 C點(diǎn)到AB的距離與12的大小.因此作CDLAB于D點(diǎn)，求CD的長(zhǎng).試題解析：過(guò)點(diǎn)C作CDLAB,交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D.由題意可知，在4ABC中，/CAB=30°,/ABC=90°+30=120°,，/ACB=30°,BC=AB=20.在Rt^CBD中，/CBD=60°,，CD=CB-sin/CBD=1073（海里）???10j3>12,??這艘漁船繼續(xù)向東航行追趕魚(yú)群不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū).考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.23.如圖所示，港口B位于港口。正西方向120km處，小島C位于港口O北偏西60°的方向.一艘游船從港口O出發(fā)，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度駛離港口0,同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60km/h的速度駛向小島C,在小島C用1h加裝補(bǔ)給物資后，立即按原來(lái)的速度給游船送去.(1)快艇從港口B到小島C需要多長(zhǎng)時(shí)間？(2)若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時(shí) 1h,求v的值及相遇處與港口。的距離.【答案】⑴快艇從港口B到小島C需要的時(shí)間為1小時(shí)；(2)當(dāng)v=20時(shí)，OE=60km；當(dāng)v=40時(shí)，OE=120km.【解析】試題分析：(1)要求B到C的時(shí)間，已知其速度，則只要求得 BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的時(shí)間；(2)過(guò)C作CD)±OA,垂足為D,設(shè)相會(huì)處為點(diǎn)E.求出OC=OB?cos30=6053,CD=1OC=30>/3,OD=OC?cos30=90,則DE=90-3v.在直角△CDE中利用勾股定理得出CD2DE2CE2，即(3073)2(903v)2602,解方程求出v=20或40,進(jìn)而求出相遇處與港口 。的距離.試題解析：(1)?./CBO=60,/COB=30, /BCO=90.在Rt^BCO中，,.OB=120,z.BC=-OB=60,2快艇從港口B到小島C的時(shí)間為：60+60=1(小時(shí))；(2)過(guò)C作CDLOA,垂足為D,設(shè)相會(huì)處為點(diǎn)E.貝UOC=OB?cos30=60J3,CD=-OC=30J3,2OD=OC?cos30=90, DE=90-3V.vCE=60,CD2DE2CE2,..(30V3)2(903v)2602,「7=20或40,??當(dāng)v=20km/h時(shí)，OE=3<20=60km，當(dāng)v=40km/h時(shí)，OE=3<40=120km.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.

24.如圖，秋千拉繩的長(zhǎng)OB4米，靜止時(shí)，踏板到地面的距離BE0.6米（踏板厚度忽略不計(jì)）.小強(qiáng)蕩該秋千時(shí)，當(dāng)秋千拉繩OB運(yùn)動(dòng)到最高處OA時(shí)，拉繩OA與鉛垂線(xiàn)OE的夾角為60；,求此時(shí)該秋千踏板離地面的高度AD.zj量【答案】AD=2.6米.【解析】【分析】在直角AAFO中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出 OF,進(jìn)而求得BF,求出AD.【詳解】在Rt&AFO中，OAF30：，i1八.OF-OA2.2???EFOBBEOF40.622.6.???ADEF2.6（米）.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形 應(yīng)用，解題的關(guān)鍵將正確應(yīng)用三角函數(shù)和幾何關(guān)系 ^.如圖，李明在自家樓房的窗口 A處，測(cè)量樓前的路燈CD的高度，現(xiàn)測(cè)得窗口處A到路燈頂部C的俯角為44；，到地面的距離AB為20米，樓底到路燈的距離BD為12米，求路燈CD的高度