中考數(shù)學(xué)模擬題匯總《解答題》練習(xí)(中檔篇)

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)模擬題匯總《解答題》練習(xí)(中檔篇)（含答案解析）(共計(jì)60題)一．解一元二次方程-公式法（共1小題）1．（2022?武進(jìn)區(qū)一模）（1）解不等式組：；（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝1．二．一次函數(shù)的應(yīng)用（共5小題）2．為豐富學(xué)生的業(yè)余生活，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種暢銷圖書．經(jīng)調(diào)查，甲種圖書的總費(fèi)用y（元）與購(gòu)進(jìn)本數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙種圖書每本20元．（1）直接寫出當(dāng)0≤x≤100和x＞100時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買300本圖書，且兩種圖書均不少于80本，該如何購(gòu)買，才能使總費(fèi)用最少？最少的總費(fèi)用為多少元？3．某個(gè)體服裝店從批發(fā)商處了解到甲、乙、丙三種運(yùn)動(dòng)套裝的部分價(jià)格如表：價(jià)格甲乙丙批發(fā)價(jià)（元/套）170零售價(jià)（元/套）250245290（1）已知服裝店第一次批發(fā)只購(gòu)進(jìn)乙20套，丙30套，共花費(fèi)9000元，且乙每套的批發(fā)價(jià)比丙低50元，求乙、丙每套的批發(fā)價(jià)．（2）由于銷量好，第一次購(gòu)進(jìn)的運(yùn)動(dòng)套裝以零售價(jià)的價(jià)格全部售完，服裝店用第一次的全部銷售收入再批發(fā)購(gòu)進(jìn)甲、乙，丙三種運(yùn)動(dòng)套裝，且購(gòu)進(jìn)乙，丙套裝的數(shù)量相等，但乙的批發(fā)價(jià)每套比原來(lái)提高α%，丙的批發(fā)價(jià)每套比原來(lái)下降α%．①若服裝店第二次批發(fā)購(gòu)進(jìn)乙，丙兩種套裝分別花費(fèi)3600元、3200元，求a的值．②在a的值不變的前提下，服裝店把第一次的銷售收入全用于第二次批發(fā)，若第二次以零售價(jià)的價(jià)格銷售完這三種運(yùn)動(dòng)套裝所得利潤(rùn)為w元，當(dāng)甲的數(shù)量不少于23套時(shí)，求w的最大值．4．甲、乙兩人從A地前往B地，先到終點(diǎn)的人在原地休息．已知甲先出發(fā)30s后，乙才出發(fā)．在運(yùn)動(dòng)過程中，甲、乙兩人離A地的距離分別為y1（單位：m）、y2（單位：m），都是甲出發(fā)時(shí)間x（單位：s）的函數(shù)，它們的圖象如圖①．設(shè)甲的速度為v1m/s，乙的速度為v2m/s．（1）v1：v2＝，a＝；（2）求y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）在圖②中畫出甲、乙兩人之間的距離s（單位：m）與甲出發(fā)時(shí)間x（單位：s）之間的函數(shù)圖象．5．某游泳館推出了A、B兩種季度套餐，選擇這兩種套餐消費(fèi)時(shí)，一個(gè)季度的費(fèi)用y（元）與該季度游泳時(shí)長(zhǎng)x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）分別求出這兩種套餐消費(fèi)時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)通過計(jì)算說明，一個(gè)季度的游泳時(shí)長(zhǎng)少于多少時(shí)選擇A套餐更省錢；（3）小明估計(jì)了自己本季度的游泳時(shí)長(zhǎng)后，選擇了B套餐，因?yàn)檫@樣可比選擇A種套餐游泳平均小時(shí)節(jié)省5元，求小明估計(jì)自己本季度的游泳時(shí)長(zhǎng)．6．2022年3月以來(lái)，我國(guó)新冠疫情發(fā)生頻次明顯增加，感染人數(shù)快速增長(zhǎng)，波及范圍不斷擴(kuò)大．疫情防控形勢(shì)變得嚴(yán)峻復(fù)雜，全社會(huì)要有長(zhǎng)期抗疫準(zhǔn)備，堅(jiān)信經(jīng)過全人類共同努力，一定能夠戰(zhàn)勝疫情．為此某市應(yīng)急管理主管部門積極儲(chǔ)備防疫物資，在一次采購(gòu)方案中，準(zhǔn)備租用A、B兩種型號(hào)貨車共20輛，把醫(yī)用物資380噸，生活物資324噸全部運(yùn)到應(yīng)急物資儲(chǔ)備中心．已知一輛A型貨車可同時(shí)裝醫(yī)用物資20噸，生活物資15噸；一輛B型貨車可同時(shí)裝醫(yī)用物資18噸，生活物資18噸，設(shè)租用A型貨車x輛．（1）若將這次采購(gòu)物資一次性運(yùn)到應(yīng)急物資儲(chǔ)備中心，有哪幾種租車方案；（2）若A型貨車每輛需付燃油費(fèi)2000元，B型貨車每輛需付燃油費(fèi)1800元，設(shè)所付燃油總費(fèi)用為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪種租車方案燃油總費(fèi)用最少，最少為多少元？三．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共1小題）7．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（，4）、B（n，2）兩點(diǎn)．（1）求m、n的值；（2）求一次函數(shù)的解析式；（3）求△AOB的面積．四．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）8．如圖，直線y＝2x+6與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于點(diǎn)A（m，8），與x軸交于點(diǎn)B，平行于x軸的直線y＝n（0＜n＜6）交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，連接BM．（1）求m的值和反比例函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出當(dāng)x＞0時(shí)不等式2x+6﹣＞0的解集；（3）直線y＝n沿y軸方向平移，當(dāng)n為何值時(shí)，△BMN的面積最大？最大值是多少？五．二次函數(shù)與不等式（組）（共1小題）9．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2（p+1）x+q的圖象經(jīng)過（1，0）、（0，﹣5）兩點(diǎn)．（1）求p、q的值；（2）點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是該函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，若x1+x2＝2，求證y1+y2＞0．六．二次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）10．北京冬奧會(huì)推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人們的喜愛，銷售火爆，某經(jīng)銷商以60元/個(gè)的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了一批“冰墩墩”擺件，打算采取線下和線上兩種方式銷售，調(diào)查發(fā)現(xiàn)線下每周銷量y個(gè)與售價(jià)x元/個(gè)（x＞60）滿足一次函數(shù)關(guān)系：售價(jià)x（元/個(gè)）…8090100…銷量y（個(gè)）…400300200…線下銷售，每個(gè)擺件的利潤(rùn)不得高于進(jìn)價(jià)的80%；線上售價(jià)為100元/個(gè)，供不應(yīng)求．（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）若該經(jīng)銷商共購(gòu)進(jìn)“冰墩墩”1000個(gè)，一周內(nèi)全部售完．如何分配線下和線上的銷量，可使全部售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（不計(jì)其它成本）11．（2022?海陵區(qū)一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市場(chǎng)對(duì)口罩的需求量仍然較大．某公司銷售一種進(jìn)價(jià)為12元/袋的口罩，其銷售量y（萬(wàn)袋）與銷售價(jià)格x（元/袋）的變化如表：價(jià)格x（元/袋）…14161820…銷售量y（萬(wàn)袋）…5432…另外，銷售過程中的其他開支（不含進(jìn)價(jià)）總計(jì)6萬(wàn)元．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)變化規(guī)律及學(xué)過的“一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)”知識(shí)，請(qǐng)判斷銷售量y（萬(wàn)袋）與價(jià)格x（元/袋）滿足什么函數(shù)？并求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)該公司銷售這種口罩的凈利潤(rùn)為w（萬(wàn)元），當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)凈利潤(rùn)最大，最大值是多少？七．二次函數(shù)綜合題（共3小題）12．閱讀下面的問題及其解決途徑．問題：將函數(shù)y＝2x﹣3的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是什么？結(jié)合閱讀內(nèi)容，完成下面的問題．（1）填寫下面的空格．問題：將函數(shù)y＝的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是什么？（2）將函數(shù)y＝﹣2x2+3x+1的圖象沿y軸翻折，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．（3）將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的圖象先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸翻折，最后繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，求所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．13．已知二次函數(shù)y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m為常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)M，N，與y軸交于點(diǎn)P，若△MNP是等腰直角三角形，則m的值為；（3）點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函數(shù)的圖象上，當(dāng)y1?y2?y3＜0時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．14．已知拋物線y＝x2﹣x﹣6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）①點(diǎn)B的坐標(biāo)為；直線AC的解析式為；②如圖1，若點(diǎn)D是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合），求△DAC面積的最大值；（2）如圖2，若點(diǎn)M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），點(diǎn)N是線段AB上一點(diǎn)，設(shè)AN＝t，當(dāng)t在何范圍取值時(shí)，點(diǎn)M總存在兩個(gè)不同的位置使∠BMN＝∠BAM；（3）如圖3，點(diǎn)G是x軸上方的拋物線上一點(diǎn)，若∠AGB+2∠BAG＝90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為．八．三角形綜合題（共1小題）15．【問題背景】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小軍對(duì)蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)教材第42頁(yè)的第4題很感興趣．教材原題：如圖1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)B、C、D、E是否在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上？為什么？小軍在完成此題解答后提出：如圖2，若BD、CE的交點(diǎn)為點(diǎn)O，則點(diǎn)A、D、O、E四點(diǎn)也在同一個(gè)圓上．（1）請(qǐng)對(duì)教材原題或小軍提出的問題進(jìn)行解答．（選擇一個(gè)解答即可）【直接應(yīng)用】當(dāng)大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級(jí)通過畫圖歸納出的一個(gè)結(jié)論：三角形的三條高所在直線交于同一點(diǎn)，可通過上面的結(jié)論加以解決．（2）如圖3，△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F．求證：AF為△ABC的邊BC上的高．【拓展延伸】在大家完成討論后，曾老師根據(jù)大家的研究提出一個(gè)問題：（3）在（2）的條件下連接DE、EF、FD（如圖4），設(shè)∠DEF＝α，則∠AOB的度數(shù)為．（用含α的式子表示）九．平行四邊形的判定（共1小題）16．已知：如圖，點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE．（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）求證：四邊形AEDF是平行四邊形．十．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）17．在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，連接BF，DE，M，N分別是BF，DE的中點(diǎn)，連接EM，F(xiàn)N．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，則四邊形ABCD的面積為．十一．菱形的性質(zhì)（共1小題）18．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）若AC＝12，BD＝9，求△ADE的周長(zhǎng)．十二．菱形的判定（共1小題）19．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）以下條件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一個(gè)替換（1）中的“AD∥BC”，也可以證明四邊形ABCD是菱形，那么可以選擇的條件是（填寫滿足要求的所有條件的序號(hào)）．十三．矩形的判定（共1小題）20．如圖，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求證：（1）△ABF≌△DEC；（2）四邊形BCEF是矩形．十四．四邊形綜合題（共1小題）21．如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝5，∠B＝90°．點(diǎn)M在邊AD上，AM＝2，點(diǎn)N是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)．以MN為斜邊作Rt△MNP，若點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上，則稱點(diǎn)P是線段MN的“勾股點(diǎn)”．（1）如圖①，線段MN的中點(diǎn)O到BC的距離是．A．B．C．3D．2（2）如圖②，當(dāng)AP＝2時(shí)，求BN的長(zhǎng)度．（3）是否存在點(diǎn)N，使線段MN恰好有兩個(gè)“勾股點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)直接寫出BN的長(zhǎng)度或取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．十五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）22.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E．（1）若∠BAC＝40°，則∠ADC＝°；∠DAC＝°（2）求證：∠BAC＝2∠DAC；（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．十六．三角形的外接圓與外心（共1小題）23．如圖①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圓⊙O上一點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BE∥CD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形DEFC是平行四邊形；（2）如圖②，若AB為⊙O直徑，AB＝7，BF＝1，求CD的長(zhǎng)．十七．直線與圓的位置關(guān)系（共2小題）24．如圖，△ABD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，E是上一點(diǎn)，且DE＝DA，連接AE交BD于F，在BD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C，使得∠CAD＝∠EAD．（1）試判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半徑長(zhǎng)．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E．（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長(zhǎng)．十八．切線的判定與性質(zhì)（共5小題）26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若EB＝1，且sin∠CFD＝，求DF的長(zhǎng)．27．（2022?武進(jìn)區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，∠BAC＝∠DAC，過點(diǎn)C作直線EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的長(zhǎng)．28．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，直線l過點(diǎn)C，AD⊥l，交⊙O于點(diǎn)F，垂足為D，BE⊥l，垂足為E，且＝．（1）求證：l與⊙O相切；（2）當(dāng)AD＝4cm，BE＝1.5cm時(shí)，⊙O的半徑為cm．29．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點(diǎn)C的直線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，給出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切線；③OB＝BD．（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結(jié)論．你選擇的條件是，結(jié)論是（只要填寫序號(hào)）．判斷結(jié)論是否正確，并說明理由；（2）在（1）的條件下，若CD＝3，求的長(zhǎng)度．30．如圖，已知點(diǎn)A、B、C在⊙O上，點(diǎn)D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E點(diǎn)．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，∠BAC＝30°，求線段BE的長(zhǎng)．十九．圓的綜合題（共1小題）31．如圖，以AB為直徑的半圓中，點(diǎn)O是圓心，點(diǎn)C是半圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，滿足ED＝AE，連接CD、BD．（1）求證：四邊形OBDC是菱形；（2）連接BC，交AD于點(diǎn)F．①當(dāng)∠ABC＝度時(shí)，CD是⊙O的切線；②若DF＝2，求EF的長(zhǎng)．二十．作圖—復(fù)雜作圖（共3小題）32．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，DC＝4，AD＝2，AB＝BC，以AB為直徑的圓O交BC于點(diǎn)E．（1）求⊙O的半徑；（2）用無(wú)刻度的直尺在DC邊上作點(diǎn)M，使射線BM平分∠ABC，并求的值．33．如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個(gè)等腰三角形ABC（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．（1）△ABC的底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h；（2）△ABC的腰長(zhǎng)為a，腰上的高為h．34．如圖，在?ABCD中，AB＜BC．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，連接EF，證明四邊形ABEF是菱形．二十一．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共3小題）35．（1）如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，只用不帶刻度的直尺，在AC邊上找一點(diǎn)D，使得D到AB、BC兩邊距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出D到AB的距離為．（2）如圖，已知入是直線l外一點(diǎn)．用兩種不同的方法作⊙O，使⊙O過A點(diǎn)，且與直線l相切．（要求：用直尺和圓規(guī)作圖且保留作圖的痕跡）36．圖①是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)自由式滑雪大跳臺(tái)和單板滑雪大跳臺(tái)的比賽場(chǎng)館，別名“雪飛天”．我們畫出一個(gè)與它類似的示意圖②，其中出發(fā)區(qū)EF、起跳區(qū)CD都與地面AB平行．助滑坡DE與著陸坡AC的長(zhǎng)度之和為80m．已知EF到AB的距離是CD到AB的距離的3倍，∠A＝30°，M為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠EDM＝37°．求EF到AB的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）37．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)A、B在格點(diǎn)上，點(diǎn)C在網(wǎng)格線l上，先完成下面計(jì)算，再僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖．（不要求寫出作圖步驟，但要保留作圖痕跡）（1）AB＝；（2）若AC+BC最小，請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)C；（3）在（2）中，連接AC、BC，請(qǐng)借助已有網(wǎng)格圖，作出△ABC的中線AM．二十二．翻折變換（折疊問題）（共1小題）38．如圖，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD．（1）求證∠CAB＝∠DAB；（2）若將△ADB沿AB的垂直平分線翻折，則得到的三角形和△ACB可以拼成一個(gè)（寫出圖形的形狀）；（3）若將△ADB進(jìn)行一次圖形變化，得到的三角形和△ACB拼成一個(gè)等腰三角形，請(qǐng)寫出圖形變化的過程．二十三．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共1小題）39．圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以線段AB為邊畫個(gè)中心對(duì)稱四邊形ABEF，使其面積為9；（2）在圖②中以線段CD為邊畫一個(gè)軸對(duì)稱三角形CDG，使其面積為7.5．二十四．相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）40．矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，連接BD，點(diǎn)P在線段BD上，連接AP過點(diǎn)P作PE⊥AP，交直線BC于點(diǎn)E，連接AE、PC．（1）若m＝6，n＝6，①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，求線段DP的長(zhǎng)；②當(dāng)EB＝EP時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；（2）若m＝6，n＝8，△PEC面積的最大值為（直接寫出答案）．二十五．相似形綜合題（共1小題）41．閱讀理解：我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形．如圖1，一個(gè)矩形發(fā)生變形后成為一個(gè)平行四邊形，設(shè)這個(gè)平行四邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角中較小的一個(gè)內(nèi)角為α，我們把的值叫做這個(gè)平行四邊形的變形度．（1）若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個(gè)內(nèi)角是120°，則這個(gè)平行四邊形的變形度是；（2）若矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為S2，試猜想S1，S2，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點(diǎn)，且AB2＝AE?AD，這個(gè)矩形發(fā)生變形后為?A1B1C1D1，E1為E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面積為（m＞0），?A1B1C1D1的面積為（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．二十六．解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）42．圖①是一只消毒液噴霧瓶的實(shí)物圖，其示意圖如圖②，AB＝6cm，BC＝4cm，∠ABC＝85°，∠BCD＝120°．求點(diǎn)A到CD的距離．（精確到三位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145，≈1.732）43．如圖1是一種手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．托板AB固定在支撐板頂端的點(diǎn)C處，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)．現(xiàn)量得CD＝10cm，AC＝12cm．（1）當(dāng)支撐板CD與底座DE的夾角（∠CDE）為60°時(shí)，求點(diǎn)C到底座DE的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）小強(qiáng)在使用過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠CDE為60°且∠ACD為105°時(shí)，此支架使用起來(lái)最舒適，求此時(shí)點(diǎn)A到底座DE的距離．（結(jié)果精確到0.1，≈1.41，≈1.73）44．如圖①，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂AB，連桿BC，懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設(shè)備放置在水平桌面l上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，測(cè)量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求攝像頭到桌面l的距離DE的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）45．如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點(diǎn)A，B轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知BC＝10cm，AB＝20cm．當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時(shí)，求點(diǎn)C到AE的距離．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，）46．當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等．請(qǐng)用這一結(jié)論解答下列問題．（1）如圖1，入射光線AB經(jīng)過平面鏡OM與ON反射后的反射光線是CD，若CD∥AB，則∠MON的度數(shù)為．（2）如圖2是一種利用平面鏡反射，放大微小變化的裝置．手柄BP上的點(diǎn)C處安裝一平面鏡，BP與屏幕MN的交點(diǎn)為D，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡C反射后，在MN上形成一個(gè)光點(diǎn)E．已知當(dāng)AB⊥BP，MN⊥BP時(shí)，AB＝25，BC＝16，DE＝50．①求BD的長(zhǎng)．②將手柄BP在原有位置繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度α得到BP′（如圖3），點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，BP′與MN的交點(diǎn)為D′，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡C′反射后，在MN上的光點(diǎn)為E′．若，則D′E′的長(zhǎng)為多少？二十七．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）47．如圖，AB是一條筆直的長(zhǎng)為500m的滑雪坡道，某運(yùn)動(dòng)員從坡頂A滑出，沿直線滑向坡底B，她的滑行距離y（單位：m）與滑行時(shí)間x（單位：s）的部分對(duì)應(yīng)值如下表．x01234…y04.51428.548…（1）用所學(xué)過的函數(shù)知識(shí)猜想y是x的什么函數(shù)，并求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）一架無(wú)人機(jī)在AB上空距地面292m的P處懸停，此時(shí)在A處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為53°．無(wú)人機(jī)和該運(yùn)動(dòng)員同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，無(wú)人機(jī)以6.3m/s的速度勻速水平飛行拍攝，離A處越來(lái)越遠(yuǎn)．已知無(wú)人機(jī)（看成一個(gè)點(diǎn)）與AB（看成一條線段）所確定的平面始終垂直于地面，AB與地面MN的夾角為26°．求該運(yùn)動(dòng)員滑行多久時(shí)，她恰在無(wú)人機(jī)的正下方．（參考數(shù)據(jù)：tan53°≈，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．）二十八．頻數(shù)（率）分布直方圖（共2小題）48．某區(qū)組織學(xué)生參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，從中抽取了200名學(xué)生的成績(jī)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)成績(jī)分成如下5組：A.50.5﹣60.5，B.60.5～70.5，C．70.5～﹣80.5，D.80.5～90.5，E．90.5～100.5．并繪制成兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖．（1）求頻數(shù)分布直方圖中的a，b的值；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D組所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為n°，求n的值；（3）求E組共有多少人？（4）該區(qū)共有1200名學(xué)生參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，如果設(shè)定獲得一等獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)不低于91分，那么請(qǐng)你通過計(jì)算估計(jì)全區(qū)獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)是多少？49．某學(xué)校九年級(jí)共有320名學(xué)生．為了解該年級(jí)學(xué)生A，B兩門課程的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取60名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，獲得了他們的成績(jī)（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．I．A課程成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分成6組：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；II．A課程成績(jī)?cè)?0≤x＜80這一組的是：707171717373.574747878.579797979.5Ⅲ．A，B兩門課程成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表：課程平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)A75.3m84.5B72.27083根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）m＝；（2）在此次測(cè)試中，某學(xué)生的A課程成績(jī)?yōu)?5分，B課程成績(jī)?yōu)?1分，這名學(xué)生成績(jī)排名更靠前的課程是（填“A”或“B”），理由是．（3）假設(shè)該年級(jí)學(xué)生都參加此次測(cè)試，估計(jì)A課程成績(jī)超過平均分75.3分的人數(shù)．二十九．條形統(tǒng)計(jì)圖（共2小題）50．某地區(qū)對(duì)學(xué)生業(yè)余愛好進(jìn)行抽樣調(diào)查，被抽取的同學(xué)每人在下面五項(xiàng)：“游戲”，“動(dòng)漫”，“籃球”，“舞蹈”“其它”中選一項(xiàng)最喜歡的活動(dòng)，并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：（1）這次抽樣調(diào)查中，一共抽查了名學(xué)生？（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該地區(qū)5000名學(xué)生中有多少人最喜歡“舞蹈”．51．為積極響應(yīng)“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化”的號(hào)召，某學(xué)校倡導(dǎo)全校開展了以“暢游書海，閱動(dòng)心智”為主題的讀書活動(dòng)．學(xué)校政教處對(duì)本校七年級(jí)學(xué)生四月份“閱讀該主題相關(guān)書籍的讀書量”（下面簡(jiǎn)稱：“讀書量”）進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并對(duì)所有隨機(jī)抽取學(xué)生的“讀書量”（單位：本）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖所示．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖，本次所抽取學(xué)生四月份“讀書量”的眾數(shù)為本；（2）求本次所抽取學(xué)生四月份“讀書量”的平均數(shù)；（3）已知該校七年級(jí)有1200名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生中，四月份“讀書量”為5本的學(xué)生人數(shù)．三十．列表法與樹狀圖法（共8小題）52．湯姆斯杯世界男子羽毛球團(tuán)體賽小組賽比賽規(guī)則：兩隊(duì)之間進(jìn)行五局比賽，其中三局單打，兩局雙打，五局比賽必須全部打完，贏得三局及以上的隊(duì)獲勝．假如甲，乙兩隊(duì)每局獲勝的機(jī)會(huì)相同．（1）若甲隊(duì)在前兩局比賽中已取得2：0的領(lǐng)先，那么甲隊(duì)最終獲勝的概率是多少？（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法給出分析過程）（2）若甲隊(duì)在第一局比賽中已取得1：0的領(lǐng)先，那么甲隊(duì)最終獲勝的概率為．（請(qǐng)值接寫出答案）53．進(jìn)出校園測(cè)量體溫是學(xué)校常態(tài)化疫情防控的重要舉措，學(xué)校有A、B兩個(gè)測(cè)溫通道，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)上學(xué)進(jìn)校園，隨機(jī)選擇一個(gè)通道測(cè)量體溫（1）甲同學(xué)通過A通道進(jìn)入校園的概率是；（2）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)經(jīng)過同一個(gè)通道進(jìn)校園的概率．54．如圖，高鐵車廂一排有5個(gè)座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被過道隔開．甲、乙兩人各買了一張同班次高鐵的車票，假設(shè)系統(tǒng)已將兩人分配到同一排，且在同一排分配各個(gè)座位的機(jī)會(huì)是均等的．（1）甲的座位靠窗的概率是；（2）求甲、乙兩人座位相鄰（座位C、D不算相鄰）的概率．55．農(nóng)歷正月十五是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日—元宵節(jié)，這一天人們有吃湯圓的習(xí)俗．今年的元宵節(jié)，圓圓爸爸給圓圓準(zhǔn)備了一碗湯圓，其中一個(gè)湯圓是花生餡的，一個(gè)湯圓是豆沙餡的，還有兩個(gè)湯圓是芝麻餡的，這四個(gè)湯圓除了餡不同以外，其他都一樣．（1）圓圓吃了其中兩個(gè)湯圓，求這兩個(gè)湯圓都是芝麻餡的概率；（2）圓圓吃了三個(gè)湯圓后，剩下的湯圓是芝麻餡的概率是．56．小明在學(xué)習(xí)完電學(xué)知識(shí)后，用四個(gè)開關(guān)A、B、C、D，一個(gè)電源和一個(gè)燈泡設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的電路圖．（1）在開關(guān)A閉合的情況下，任意閉合B、C、D中的一個(gè)開關(guān)，則燈泡發(fā)光的概率等于；（2）任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求出燈泡發(fā)光的概率．57．一個(gè)不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．（1）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，不放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球．求兩次摸出的球都是紅球的概率．（2）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的是紅球得6分，黃球得4分，白球得2分．甲同學(xué)從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后放回并搖勻，乙同學(xué)再隨機(jī)摸出1個(gè)球．則甲，乙兩位同學(xué)所得分?jǐn)?shù)之和不低于10分的概率是．58．為做好新冠疫情大規(guī)模人群核酸檢測(cè)工作，確保在規(guī)定時(shí)間內(nèi)保質(zhì)保量完成劃定區(qū)域范圍內(nèi)全員核酸檢測(cè)任務(wù)，檢測(cè)機(jī)構(gòu)在某小區(qū)設(shè)立A、B、C三個(gè)檢測(cè)點(diǎn)進(jìn)行核酸檢測(cè)，該小區(qū)業(yè)主可在A、B、C三個(gè)檢測(cè)點(diǎn)隨機(jī)進(jìn)行檢測(cè)，張三和李四均按規(guī)定完成了核酸檢測(cè)．（1）張三在檢測(cè)點(diǎn)A做核酸檢測(cè)的概率為；（2）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求張三和李四在同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)做核酸檢測(cè)的概率．59．一個(gè)不透明的盒子中放有四張分別寫有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和三張分別寫有數(shù)字1，2，3的藍(lán)色卡片，卡片除顏色和數(shù)字外完全相同．（1）從中任意抽取一張卡片，求該卡片上寫有數(shù)字1的概率；（2）將3張藍(lán)色卡片取出后放入另外一個(gè)不透明的盒子內(nèi)，然后在兩個(gè)盒子內(nèi)各任意抽取一張卡片，以紅色卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)，藍(lán)色卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)不大于32的概率．三十一．游戲公平性（共1小題）60．如圖，有四張正面標(biāo)有數(shù)字﹣2，﹣1，0，1，背面顏色一樣的卡片，正面朝下放在桌面上，小紅從四張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片記下數(shù)字，小明再?gòu)挠嘞碌娜龔埧ㄆ须S機(jī)抽取一張卡片記下數(shù)字．設(shè)小紅抽到的數(shù)字為x，小明抽到的數(shù)字為y，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）．（1）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法列出點(diǎn)A所有結(jié)果；（2）若點(diǎn)A在坐標(biāo)軸上，則小紅勝；反之，則小明勝．請(qǐng)你用概率的相關(guān)知識(shí)解釋這個(gè)游戲是否公平？參考答案與試題解析一．解一元二次方程-公式法（共1小題）1．（1）解不等式組：；（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝1．【解答】解：（1）解不等式4（x﹣1）＞x+2，得：x＞2，解不等式＞x，得：x＜3.5，∴不等式組的解集為2＜x＜3.5；（2）將方程整理為一般式為x2﹣2x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，則x＝＝＝1，∴x1＝1+，x2＝1﹣．二．一次函數(shù)的應(yīng)用（共5小題）2．為豐富學(xué)生的業(yè)余生活，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種暢銷圖書．經(jīng)調(diào)查，甲種圖書的總費(fèi)用y（元）與購(gòu)進(jìn)本數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙種圖書每本20元．（1）直接寫出當(dāng)0≤x≤100和x＞100時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買300本圖書，且兩種圖書均不少于80本，該如何購(gòu)買，才能使總費(fèi)用最少？最少的總費(fèi)用為多少元？【解答】解：（1）當(dāng)0≤x≤100時(shí)，設(shè)y＝kx，把（100，2500）代入得，k＝25，當(dāng)x＞100時(shí)，設(shè)y＝kx+b，把（100，2500）和（150，3450）代入得，，解得，所以y與x的關(guān)系式為y＝；（2）設(shè)總費(fèi)用為w元，由題意得，80≤x≤220，當(dāng)80≤x≤100時(shí)，w＝25x+20（300﹣x）＝5x+6000，∵k＞5，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝80時(shí)，w最少＝5×80+6000＝6400；當(dāng)100＜x≤220時(shí)，w＝19x+600+20（300﹣x）＝﹣x+6600，∵k＜0，w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝220時(shí)，w最少＝﹣220+6600＝6380，∵6380＜6400，∴當(dāng)x＝220時(shí)，總費(fèi)用最少是6380元．此時(shí)乙種圖書是80本，答：應(yīng)購(gòu)買甲種圖書220本，乙種圖書80本，才能使總費(fèi)用最少，最少是6380元．3．某個(gè)體服裝店從批發(fā)商處了解到甲、乙、丙三種運(yùn)動(dòng)套裝的部分價(jià)格如表：價(jià)格甲乙丙批發(fā)價(jià)（元/套）170150200零售價(jià)（元/套）250245290（1）已知服裝店第一次批發(fā)只購(gòu)進(jìn)乙20套，丙30套，共花費(fèi)9000元，且乙每套的批發(fā)價(jià)比丙低50元，求乙、丙每套的批發(fā)價(jià)．（2）由于銷量好，第一次購(gòu)進(jìn)的運(yùn)動(dòng)套裝以零售價(jià)的價(jià)格全部售完，服裝店用第一次的全部銷售收入再批發(fā)購(gòu)進(jìn)甲、乙，丙三種運(yùn)動(dòng)套裝，且購(gòu)進(jìn)乙，丙套裝的數(shù)量相等，但乙的批發(fā)價(jià)每套比原來(lái)提高α%，丙的批發(fā)價(jià)每套比原來(lái)下降α%．①若服裝店第二次批發(fā)購(gòu)進(jìn)乙，丙兩種套裝分別花費(fèi)3600元、3200元，求a的值．②在a的值不變的前提下，服裝店把第一次的銷售收入全用于第二次批發(fā)，若第二次以零售價(jià)的價(jià)格銷售完這三種運(yùn)動(dòng)套裝所得利潤(rùn)為w元，當(dāng)甲的數(shù)量不少于23套時(shí)，求w的最大值．【解答】解：（1）設(shè)乙每套的批發(fā)價(jià)為x元，則丙每套的批發(fā)價(jià)為（x+50）元，根據(jù)題意得：20x+30（x+50）＝9000，解得x＝150，∴x+50＝150+50＝200（元），答：乙每套的批發(fā)價(jià)為150元，則丙每套的批發(fā)價(jià)為200元；故答案為：150，200；（2）①由題意得：＝，解得a＝20，答：a的值為20；②第一次的銷售收入為20×245+30×290＝13600（元），設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)甲種套裝m套，則購(gòu)進(jìn)乙、丙兩種套裝各＝（40﹣m）套，依題意得：w＝（250﹣170）m+[245﹣150×（1+20%）]（40﹣m）+[290﹣200×（1﹣20%）]（40﹣m）＝﹣m+7800，∵﹣＜0，∴w隨m的增大而減小，又∵m≥23，且（40﹣m）為正整數(shù)，∴m的最小值為24，∴當(dāng)m＝24時(shí)，w取得最大值，最大值＝﹣×24+7800＝7380（元）．答：w的最大值為7380元．4．甲、乙兩人從A地前往B地，先到終點(diǎn)的人在原地休息．已知甲先出發(fā)30s后，乙才出發(fā)．在運(yùn)動(dòng)過程中，甲、乙兩人離A地的距離分別為y1（單位：m）、y2（單位：m），都是甲出發(fā)時(shí)間x（單位：s）的函數(shù)，它們的圖象如圖①．設(shè)甲的速度為v1m/s，乙的速度為v2m/s．（1）v1：v2＝5：6，a＝75；（2）求y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）在圖②中畫出甲、乙兩人之間的距離s（單位：m）與甲出發(fā)時(shí)間x（單位：s）之間的函數(shù)圖象．【解答】解：（1）由圖可得，180v1＝（180﹣30）v2，解得v1：v2＝5：6，乙的速度為：1200÷（430﹣30）＝3（m/s），∴甲的速度為：3×＝2.5（m/s），∴a＝30×2.5＝75，故答案為：5：6，75；（2）設(shè)y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y2＝kx+b，∵點(diǎn)（30，0）和點(diǎn)（430，1200）在該函數(shù)圖象上，∴，解得，即y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y2＝3x﹣90；（3）由題意可得，當(dāng)x＝30時(shí)，此時(shí)s＝75；當(dāng)x＝180時(shí)，s＝0，當(dāng)x＝430時(shí)，s＝（430﹣180）×（3﹣2.5）＝125，當(dāng)x＝1200÷2.5＝480時(shí)，s＝0，由圖①和題意可知：當(dāng)0≤x≤30時(shí)，s隨x的增大而增大，符合正比例函數(shù)；當(dāng)30＜x≤180時(shí)，s隨x的增大而減小，符合一次函數(shù)；當(dāng)180＜x≤430時(shí)，s隨x的增大而增大，符合一次函數(shù)；當(dāng)430＜x≤480時(shí)，s隨x的增大而減小，符合一次函數(shù)；圖象如右圖所示．5．某游泳館推出了A、B兩種季度套餐，選擇這兩種套餐消費(fèi)時(shí)，一個(gè)季度的費(fèi)用y（元）與該季度游泳時(shí)長(zhǎng)x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）分別求出這兩種套餐消費(fèi)時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)通過計(jì)算說明，一個(gè)季度的游泳時(shí)長(zhǎng)少于多少時(shí)選擇A套餐更省錢；（3）小明估計(jì)了自己本季度的游泳時(shí)長(zhǎng)后，選擇了B套餐，因?yàn)檫@樣可比選擇A種套餐游泳平均小時(shí)節(jié)省5元，求小明估計(jì)自己本季度的游泳時(shí)長(zhǎng)．【解答】解：（1）設(shè)yA＝k1x，根據(jù)題意得6k1＝180，解得k1＝30，∴yA＝30x；設(shè)yB＝k2x+b，根據(jù)題意得：，解得，∴yB＝20x+100；（2）由題意，得30x＜20x+100，解得x＜10，答：當(dāng)時(shí)長(zhǎng)小于10時(shí)，選擇A套餐更省錢；（3）由題意，得30x﹣（20x+100）＝5x，解得x＝20，答：小明估計(jì)自己本季度的游泳時(shí)長(zhǎng)為20小時(shí)．6．2022年3月以來(lái)，我國(guó)新冠疫情發(fā)生頻次明顯增加，感染人數(shù)快速增長(zhǎng)，波及范圍不斷擴(kuò)大．疫情防控形勢(shì)變得嚴(yán)峻復(fù)雜，全社會(huì)要有長(zhǎng)期抗疫準(zhǔn)備，堅(jiān)信經(jīng)過全人類共同努力，一定能夠戰(zhàn)勝疫情．為此某市應(yīng)急管理主管部門積極儲(chǔ)備防疫物資，在一次采購(gòu)方案中，準(zhǔn)備租用A、B兩種型號(hào)貨車共20輛，把醫(yī)用物資380噸，生活物資324噸全部運(yùn)到應(yīng)急物資儲(chǔ)備中心．已知一輛A型貨車可同時(shí)裝醫(yī)用物資20噸，生活物資15噸；一輛B型貨車可同時(shí)裝醫(yī)用物資18噸，生活物資18噸，設(shè)租用A型貨車x輛．（1）若將這次采購(gòu)物資一次性運(yùn)到應(yīng)急物資儲(chǔ)備中心，有哪幾種租車方案；（2）若A型貨車每輛需付燃油費(fèi)2000元，B型貨車每輛需付燃油費(fèi)1800元，設(shè)所付燃油總費(fèi)用為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪種租車方案燃油總費(fèi)用最少，最少為多少元？【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，解得：10≤x≤12，∵x為正整數(shù)，∴x可以取10、11、12，共三種方案，方案一：租用A型貨車10輛，B型貨車10輛，方案二：租用A型貨車11輛，B型貨車9輛，方案三：租用A型貨車12輛，B型貨車8輛．（2）所付燃油總費(fèi)用為y＝2000x+1800（20﹣x）＝200x+36000，∵200＞0，∴y隨x增大而增大，∴當(dāng)x＝10時(shí)，y最小，最小值為200×10+36000＝38000元，答：租用A型貨車10輛，B型貨車10輛，費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為38000元．三．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共1小題）7．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（，4）、B（n，2）兩點(diǎn)．（1）求m、n的值；（2）求一次函數(shù)的解析式；（3）求△AOB的面積．【解答】解：（1）將A點(diǎn)代入y＝得，m＝6．∴反比例函數(shù)解析式為：y＝，將B（n，2）代入y＝得，n＝3．（2）∵一次函數(shù)y＝kx+b經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，∴，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：．（3）設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為C，把y＝0代入，則﹣x+6＝0，解得x＝，∴C（，0），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×4×﹣×2×＝．四．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）8．如圖，直線y＝2x+6與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于點(diǎn)A（m，8），與x軸交于點(diǎn)B，平行于x軸的直線y＝n（0＜n＜6）交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，連接BM．（1）求m的值和反比例函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出當(dāng)x＞0時(shí)不等式2x+6﹣＞0的解集；（3）直線y＝n沿y軸方向平移，當(dāng)n為何值時(shí)，△BMN的面積最大？最大值是多少？【解答】解：（1）∵直線y＝2x+6經(jīng)過點(diǎn)A（m，8），∴2×m+6＝8，解得m＝1，∴A（1，8），∴m＝2×1+6＝8，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．（2）不等式2x+6﹣＞0的解集為x＞1．（3）由題意，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)為M（，n），N（，n），∵0＜n＜6，∴＜0，∴﹣＞0∴S△BMN＝|MN|×|yM|＝×（﹣）×n＝﹣（n﹣3）2+，∴n＝3時(shí)，△BMN的面積最大，最大值為．五．二次函數(shù)與不等式（組）（共1小題）9．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2（p+1）x+q的圖象經(jīng)過（1，0）、（0，﹣5）兩點(diǎn)．（1）求p、q的值；（2）點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是該函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，若x1+x2＝2，求證y1+y2＞0．【解答】解：（1）將（1，0）、（0，﹣5）代入y＝x2﹣2（p+1）x+q得，解得．（2）由（1）得y＝x2+4x﹣5，∵點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是該函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，∴y1＝x+4x1﹣5，y2＝x+4x2﹣5，∴y1+y2＝x+x+4（x1+x2）﹣10，∵x1+x2＝2，∴x2＝2﹣x1，∴y1+y2＝x+（2﹣x1）2﹣2＝2x﹣4x1+2＝2（x1﹣1）2，∵點(diǎn)A，B是圖象上兩點(diǎn)，∴x1≠x2≠1，∴y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．六．二次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）10．北京冬奧會(huì)推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人們的喜愛，銷售火爆，某經(jīng)銷商以60元/個(gè)的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了一批“冰墩墩”擺件，打算采取線下和線上兩種方式銷售，調(diào)查發(fā)現(xiàn)線下每周銷量y個(gè)與售價(jià)x元/個(gè)（x＞60）滿足一次函數(shù)關(guān)系：售價(jià)x（元/個(gè)）…8090100…銷量y（個(gè)）…400300200…線下銷售，每個(gè)擺件的利潤(rùn)不得高于進(jìn)價(jià)的80%；線上售價(jià)為100元/個(gè)，供不應(yīng)求．（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）若該經(jīng)銷商共購(gòu)進(jìn)“冰墩墩”1000個(gè)，一周內(nèi)全部售完．如何分配線下和線上的銷量，可使全部售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（不計(jì)其它成本）【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得：，∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣10x+1200；（2）當(dāng)線下銷量為（﹣10x+1200）個(gè)時(shí)，線上銷量為1000﹣（﹣10x+1200）＝（10x﹣200）個(gè)，設(shè)全部售完后獲得的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得：w＝（x﹣60）（﹣10x+1200）+（100﹣60）（10x﹣200）＝﹣10x2+2200x﹣80000＝﹣10（x﹣110）2+41000，∵線下銷售，每個(gè)擺件的利潤(rùn)不得高于進(jìn)價(jià)的80%，∴x﹣60≤60×80%，解得：x≤108，∵﹣10＜0，對(duì)稱軸為x＝110，∴當(dāng)x＝108時(shí)，w有最大值，最大值為40960，此時(shí)線下銷售量為﹣10x+1200＝120（個(gè)），線上銷售量為1000﹣120＝880（個(gè)）．答：線下銷售120個(gè)，線上銷售880個(gè)時(shí)可使全部售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是40960元．11．2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市場(chǎng)對(duì)口罩的需求量仍然較大．某公司銷售一種進(jìn)價(jià)為12元/袋的口罩，其銷售量y（萬(wàn)袋）與銷售價(jià)格x（元/袋）的變化如表：價(jià)格x（元/袋）…14161820…銷售量y（萬(wàn)袋）…5432…另外，銷售過程中的其他開支（不含進(jìn)價(jià)）總計(jì)6萬(wàn)元．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)變化規(guī)律及學(xué)過的“一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)”知識(shí)，請(qǐng)判斷銷售量y（萬(wàn)袋）與價(jià)格x（元/袋）滿足什么函數(shù)？并求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)該公司銷售這種口罩的凈利潤(rùn)為w（萬(wàn)元），當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)凈利潤(rùn)最大，最大值是多少？【解答】解：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得出：y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)解析式為：y＝ax+b，則，解得：a＝﹣，b＝12，故函數(shù)解析式為：y＝﹣x+12．（2）根據(jù)題意得出：w＝（x﹣12）y﹣6，＝（x﹣12）（﹣x+12）﹣6＝﹣x2+18x﹣150＝﹣（x2﹣36x）﹣150＝﹣（x﹣18）2﹣150+162＝﹣（x﹣18）2+12，故銷售價(jià)格定為18元/袋時(shí)凈得利潤(rùn)最大，最大值是12萬(wàn)元．七．二次函數(shù)綜合題（共3小題）12．閱讀下面的問題及其解決途徑．問題：將函數(shù)y＝2x﹣3的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是什么？結(jié)合閱讀內(nèi)容，完成下面的問題．（1）填寫下面的空格．問題：將函數(shù)y＝的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是什么？（2）將函數(shù)y＝﹣2x2+3x+1的圖象沿y軸翻折，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x2﹣3x+1．（3）將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的圖象先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸翻折，最后繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，求所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【解答】解：（1）將P（x，y）向右平移1個(gè)單位后，P′坐標(biāo)為（x+1，y），平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝，故答案為：x+1，y；．（2）設(shè)函數(shù)y＝﹣2x2+3x+1的圖象的任意點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），將P關(guān)于y軸翻折后得到P′（﹣x，y），∴平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．故答案為：y＝﹣2x2﹣3x+1．（3）方法一設(shè)變換后新的函數(shù)圖像上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．將點(diǎn)P（x，y）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得點(diǎn)P'（﹣x，﹣y）．將點(diǎn)P'（﹣x，﹣y）沿y軸翻折，得點(diǎn)P''（x，﹣y）．將點(diǎn)P''（x，﹣y）向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得點(diǎn)P'''（x+1，﹣y）．因?yàn)辄c(diǎn)P'''在函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像上，所以﹣y＝a（x+1）2+b（x+1）+c．即所得到的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y＝﹣ax2﹣（2a+b）x﹣a﹣b﹣c．方法二原函數(shù)可化為y＝a（x+）2+．將函數(shù)y＝a（x+）2+的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù)y＝a（x++1）2+的圖像．將函數(shù)y＝a（x++1）2+的圖像沿y軸翻折，得函數(shù)y＝a（x﹣﹣1）2+的圖像．將函數(shù)y＝a（x﹣﹣1）2+的圖像繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得函數(shù)y＝﹣a（x++1）2﹣的圖像．∴所得到的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y＝﹣a（x++1）2﹣．13．已知二次函數(shù)y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m為常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)M，N，與y軸交于點(diǎn)P，若△MNP是等腰直角三角形，則m的值為﹣1；（3）點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函數(shù)的圖象上，當(dāng)y1?y2?y3＜0時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．【解答】（1）證明：令y＝0，則（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝0．∴x1＝m，x2＝m+2．∵m≠m+2，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴不論m為何值，該函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．（2）由（1）知M（m+2，0），N（m+2，0），令x＝0，得y＝m2+2m，∴P（0，m2+2m）．由題意得，△MNP是等腰直角三角形，∴m2+2m＝﹣1，解得m＝﹣1．故答案為：﹣1；（3）法一：根據(jù)題意可知，需要分三種情況：①當(dāng)有1個(gè)點(diǎn)在x軸下方時(shí)，有m＜1＜m+2＜2＜3或1＜2＜m＜3＜m+3，解得﹣1＜m＜0或2＜m＜3；②當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)在x軸下方時(shí)，∵m+2﹣m＝2＜3，∴此種情況不存在；綜上可知，m的取值范圍為：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．法二：由題意可知，y1＝（1﹣m）（1﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m+1），y2＝（2﹣m）（2﹣m﹣2）＝m（m﹣2），y3＝（3﹣m）（3﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m﹣3），∵y1?y2?y3＜0，∴（m﹣1）（m+1）?m?（m﹣2）?（m﹣1）（m﹣3）＜0，即m（m+1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣1）2＜0，∵（m﹣1）2≥0，∴m，（m+1），（m﹣2），（m﹣3）的負(fù)數(shù)有奇數(shù)個(gè)，且m+1＞m＞m﹣2＞m﹣3，當(dāng)負(fù)數(shù)有1個(gè)時(shí)，m﹣3＜0且m﹣2＞0，∴2＜m＜3；當(dāng)負(fù)數(shù)有3個(gè)時(shí)，m+1＞0且m＜0，∴﹣1＜m＜0，∴m的取值范圍為：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．14．已知拋物線y＝x2﹣x﹣6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）①點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣6；②如圖1，若點(diǎn)D是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合），求△DAC面積的最大值；（2）如圖2，若點(diǎn)M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），點(diǎn)N是線段AB上一點(diǎn)，設(shè)AN＝t，當(dāng)t在何范圍取值時(shí)，點(diǎn)M總存在兩個(gè)不同的位置使∠BMN＝∠BAM；（3）如圖3，點(diǎn)G是x軸上方的拋物線上一點(diǎn)，若∠AGB+2∠BAG＝90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為．【解答】解：（1）①點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣6；②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，△DAC面積的最大值＝1．（2）如圖2，過點(diǎn)M作MT⊥x軸于T，∵直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣6，點(diǎn)M是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)M（m，﹣3m﹣6），且﹣2＜m＜0，則T（m，0），∴OT＝﹣m，MT＝3m+6，BT＝3﹣m，∵∠BMN＝∠BAM，∠MBN＝∠ABM，∴△BMN∽△BAM，∴，∴BM2＝BA?BN，Rt△BMT中，BM2＝MT2+BT2＝（3m+6）2+（3﹣m）2＝10m2+30m+45，∵AN＝t，AB＝5，∴10m2+30m+45＝5（5﹣t），∴10m2+30m+20+5t＝0，∵點(diǎn)M總存在兩個(gè)不同的位置使∠BMN＝∠BAM，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝302﹣4×10?（20+5t）＞0，解得：t＜，∴t滿足的條件為：0＜t＜．（3）點(diǎn)E橫坐標(biāo)為．如圖3，設(shè)G（n，n2﹣n﹣6），過點(diǎn)G作GH⊥x軸于H，連接GB，作∠AGB的平分線交x軸于E，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AG于F，則∠AGE＝∠BGE＝∠AGB，∵∠AGB+2∠BAG＝90°，∴∠AGB+∠BAG＝45°，∴∠AGE+∠BAG＝45°，∴∠GEH＝45°，∵∠EHG＝90°，∴△EHG是等腰直角三角形，∴∠EGH＝45°，GH＝EH＝n2﹣n﹣6，∵BH＝n﹣3，∴BE＝EH﹣BH＝n2﹣n﹣6﹣（n﹣3）＝n2﹣2n﹣3，∵EF⊥x軸，HG⊥x軸，∴EF∥HG，∴∠FEG＝∠EGH＝45°，∴∠FEG＝∠BEG，∴△GFE≌△GBE（ASA），∴EF＝EB＝n2﹣2n﹣3，AH＝n+2，∴AE＝AB﹣EB＝5﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+2n+8，∵EF∥GH，∴△AEF∽△AHG，∴，∴EF?AH＝AE?HG，∴（n2﹣2n﹣3）（n+2）＝（﹣n2+2n+8）（n2﹣n﹣6），∵G是x軸上方的拋物線上一點(diǎn)，∠BAG為銳角，∴點(diǎn)G在第一象限的拋物線上，∴n＞3，∴n2﹣n﹣7＝0，解得：，∵n＝3，不符合題意，舍去，∴點(diǎn)E橫坐標(biāo)為．八．三角形綜合題（共1小題）15．【問題背景】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小軍對(duì)蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)教材第42頁(yè)的第4題很感興趣．教材原題：如圖1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)B、C、D、E是否在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上？為什么？小軍在完成此題解答后提出：如圖2，若BD、CE的交點(diǎn)為點(diǎn)O，則點(diǎn)A、D、O、E四點(diǎn)也在同一個(gè)圓上．（1）請(qǐng)對(duì)教材原題或小軍提出的問題進(jìn)行解答．（選擇一個(gè)解答即可）【直接應(yīng)用】當(dāng)大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級(jí)通過畫圖歸納出的一個(gè)結(jié)論：三角形的三條高所在直線交于同一點(diǎn)，可通過上面的結(jié)論加以解決．（2）如圖3，△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F．求證：AF為△ABC的邊BC上的高．【拓展延伸】在大家完成討論后，曾老師根據(jù)大家的研究提出一個(gè)問題：（3）在（2）的條件下連接DE、EF、FD（如圖4），設(shè)∠DEF＝α，則∠AOB的度數(shù)為90°+．（用含α的式子表示）【解答】解：（1）選擇教材原題，點(diǎn)B、C、D、E是否在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上．如圖，連接ME、MD，∵BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點(diǎn)，∴ME＝MB＝MC＝MD，∴點(diǎn)B、C、D、E是否在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上．（2）如圖，連接DE，由點(diǎn)B、C、D、E四點(diǎn)共圓得∠BDE＝∠ECB，由點(diǎn)A、D、O、E四點(diǎn)共圓得∠BDE＝∠BAF，∴∠ECB＝∠BAF，∵∠BEC＝90°，∴∠ECB+∠ABF＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠BFA＝90°，∴AF為△ABC的邊BC上的高．（3）如圖，∵∠BEO＝∠BFO＝90°，∴點(diǎn)B、F、O、E在以點(diǎn)N為圓心的同一個(gè)圓上，∴∠FBO＝∠FEO，∵由（1）證得點(diǎn)B、C、D、E在同一個(gè)圓上，∴∠FBO＝∠CED，∴∠FEO＝∠CED，同理可證：∠EFO＝∠AFD，∠EDO＝∠FDO，∴點(diǎn)O是△DEF的內(nèi)心．∴∠AOB＝90°+．九．平行四邊形的判定（共1小題）16．已知：如圖，點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE．（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）求證：四邊形AEDF是平行四邊形．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵BF＝CE，∴BF﹣EF＝CE﹣EF，即BE＝CF，在△ABE與△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）證明：∵△ABE≌△DCF，∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，∴∠AEF＝∠DFE，∴AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形．一十．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）17．在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，連接BF，DE，M，N分別是BF，DE的中點(diǎn)，連接EM，F(xiàn)N．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，則四邊形ABCD的面積為96．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC．∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴BE＝AB，DF＝DC，∴BE＝DF，∵BE∥DF∴四邊形BFDE是平行四邊形；（2）解：連接EF，∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴DE＝BF，∵M(jìn)，N分別是BF，DE的中點(diǎn)，∴EN＝DN＝BM＝FM＝BF，∵EM＝EN＝5，∴EM＝BF，∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，∵AB＝12，∴BE＝6，∴EF＝＝8，∴四邊形ABCD的面積為AB?EF＝12×8＝96，故答案為：96．十一．菱形的性質(zhì)（共1小題）18．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）若AC＝12，BD＝9，求△ADE的周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四邊形ACDE是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝9，∴AO＝AC＝6，DO＝BD＝，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴CD＝AD＝＝＝，由（1）得：四邊形ACDE是平行四邊形，∴AE＝CD＝，DE＝AC＝12，∴△ADE的周長(zhǎng)＝AD+AE+DE＝++12＝27．十二．菱形的判定（共1小題）19．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）以下條件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一個(gè)替換（1）中的“AD∥BC”，也可以證明四邊形ABCD是菱形，那么可以選擇的條件是①②（填寫滿足要求的所有條件的序號(hào)）．【解答】（1）證明：∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°．∴∠C+∠B＝180°．∴AB∥CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．∵①∠BAD＝∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．連接BD，∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，又∵②AB＝CD，∴AB＝AD＝BC＝CD，∴四邊形ABCD是菱形，故答案為：①②．十三．矩形的判定（共1小題）20．如圖，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求證：（1）△ABF≌△DEC；（2）四邊形BCEF是矩形．【解答】證明：（1）∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，在△ABF與△DEC中，，∴△ABF≌△DEC（SAS）；（2）∵△ABF≌△DEC，∴EC＝BF，∠ECD＝∠BFA，∴∠ECF＝∠BFC，∴EC∥BF，∴四邊形BCEF是平行四邊形，∵∠CEF＝90°，∴四邊形BCEF是矩形．十四．四邊形綜合題（共1小題）21．如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝5，∠B＝90°．點(diǎn)M在邊AD上，AM＝2，點(diǎn)N是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)．以MN為斜邊作Rt△MNP，若點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上，則稱點(diǎn)P是線段MN的“勾股點(diǎn)”．（1）如圖①，線段MN的中點(diǎn)O到BC的距離是C．A．B．C．3D．2（2）如圖②，當(dāng)AP＝2時(shí)，求BN的長(zhǎng)度．（3）是否存在點(diǎn)N，使線段MN恰好有兩個(gè)“勾股點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)直接寫出BN的長(zhǎng)度或取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)M作MQ⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為E，過點(diǎn)M作MF⊥BC于點(diǎn)F，連接AC，∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B＝90°，∵AD＝5，DC＝5，∴AC＝＝＝10，∴∠DAC＝∠BAC＝∠QAM＝60°，∠DCA＝∠BCA＝∠QMA＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠DCA＝∠BCA＝30°，∴QA＝1，QM＝，∵M(jìn)Q⊥AB，OE⊥BC，∠B＝90°，∴四邊形MQBF是矩形，∴MF＝QB＝AB+QA＝5+1＝6，∵M(jìn)F⊥CB，OE⊥BC，∴OE∥MF，∴，∵OM＝ON，∴NE＝EF，∴OE＝MF＝3，故選：C；（2）過點(diǎn)M作MQ⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，∵點(diǎn)P是線段MN的“勾股點(diǎn)”，∴∠MPN＝90°，∴∠QPM＝∠BNP，又∵∠Q＝∠B＝90°，∴△QPM∽△BNP，∴，∴，∴BN＝3；（3）①如圖，以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)線段MN恰好有兩個(gè)“勾股點(diǎn)”，∵∠NAM＝∠D＝90°，∴AN∥CD，∴∠C＝∠BNM＝60°，∴BN＝＝＝，如圖，當(dāng)BN＝時(shí)，線段MN有一個(gè)“勾股點(diǎn)”，∴當(dāng)0＜BN＜且BN≠時(shí)，線段MN恰好有兩個(gè)“勾股點(diǎn)”；②如圖，當(dāng)以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C和D時(shí)，此時(shí)線段MN恰好有兩個(gè)“勾股點(diǎn)”，∴BN＝BC＝5．綜上所述，當(dāng)0＜BN＜且BN≠或BN＝5時(shí)，線段MN恰好有兩個(gè)“勾股點(diǎn)”．十五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）22．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E．（1）若∠BAC＝40°，則∠ADC＝110°；∠DAC＝20°（2）求證：∠BAC＝2∠DAC；（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°；∵AC⊥BD，∴∠CBD＝90°﹣∠ACB＝20°，∴∠DAC＝∠DBC＝20°；故答案為：110，20；（2）證明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（3）解：過A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，過C作CG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于G，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴＝＝，∴，設(shè)BH＝k，AH＝2k，∴AB＝＝k＝10，∴k＝2，∴BC＝2k＝4．十六．三角形的外接圓與外心（共1小題）23．如圖①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圓⊙O上一點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BE∥CD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形DEFC是平行四邊形；（2）如圖②，若AB為⊙O直徑，AB＝7，BF＝1，求CD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵BE∥CD，∴∠ADC＝∠E，∵AC＝BC，∴＝，∴∠ADC＝∠BFC，∴∠BFC＝∠E，∴ED∥FC，∴四邊形DEFC是平行四邊形；（2）解：如圖②，連接AF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠AFB＝∠AFE＝90°，∵AB＝7，BF＝1，∴AF＝＝＝4，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠BFC＝∠BAC＝45°，∵DE∥CF，∴∠E＝∠BFC＝45°，∴△AFE是等腰直角三角形，∴EF＝AF＝4，∵四邊形DEFC是平行四邊形，∴CD＝EF＝4．十七．直線與圓的位置關(guān)系（共2小題）24．如圖，△ABD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，E是上一點(diǎn)，且DE＝DA，連接AE交BD于F，在BD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C，使得∠CAD＝∠EAD．（1）試判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半徑長(zhǎng)．【解答】解：（1）直線AC與⊙O相切，理由：∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∵AD＝DE，∴∠E＝∠EAD，∵∠E＝∠B，∠CAD＝∠EAD，∴∠CAD＝∠B，∴∠B+∠C＝90°∴∠BAC＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴直線AC與⊙O相切；（2）過D作DH⊥AE于H，∵DE＝DA，∴AH＝EH＝AE＝12，∵tanE＝tan∠EAD＝＝，∴DH＝9∴AD＝＝＝15，∵∠B＝∠E，∴tanB＝＝，∴BD＝20，∴AB＝＝25，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E．（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）直線DE與⊙O的位置關(guān)系是相切，理由是：連接AD，OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝BO，∴DO∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴直線DE與⊙O的位置關(guān)系是相切；（2）∵⊙O的半徑為5，∴AC＝AB＝10，∵BC＝16，BD＝CD，∴CD＝8，在Rt△ACD中，AD＝＝＝6，∵S△ADC＝AC?DE＝AD?CD，∴DE＝＝＝．十八．切線的判定與性質(zhì)（共5小題）26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若EB＝1，且sin∠CFD＝，求DF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OD，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC＝∠B，∴AB∥OD，∴∠BED＝∠EDO＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ODF中，sin∠CFD＝，∴設(shè)OD＝3a，OF＝5a，∴AF＝OA+OF＝8a，在Rt△AEF中，sin∠CFD＝，∴AE＝AF＝a，∵AB＝AC＝2OD＝6a，∴AB﹣AE＝BE，∴，∴a＝，∴AE＝4，AF＝，OD＝，∴EF＝，∵AB∥OD，∴△ODF∽△AEF，∴，即解得DF＝．27．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，∠BAC＝∠DAC，過點(diǎn)C作直線EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵∠AEC＝90°，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴EF是⊙O的切線；（2）解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CAO＝30°，BC＝2，∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，∴OB＝AB＝2，∴的長(zhǎng)＝＝π．28．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，直線l過點(diǎn)C，AD⊥l，交⊙O于點(diǎn)F，垂足為D，BE⊥l，垂足為E，且＝．（1）求證：l與⊙O相切；（2）當(dāng)AD＝4cm，BE＝1.5cm時(shí)，⊙O的半徑為cm．【解答】（1）證明：連接OC．BF，∵＝，OC是⊙O的半徑，∴OC⊥BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，即AF⊥BF，∵AD⊥l，∴BF∥DE，∴OC⊥DE，∵OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線，即直線l是⊙O的切線；（2）∵OC⊥DE，AD⊥DE，BE⊥DE，∴OC∥AD∥BE，∵OA＝OB，∴DC＝EC，∴OC是梯形ABED的中位線，∴OC＝（AD+BE）＝（4+1.5）＝，故答案為：．29．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點(diǎn)C的直線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，給出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切線；③OB＝BD．（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結(jié)論．你選擇的條件是①②，結(jié)論是③（只要填寫序號(hào)）．判斷結(jié)論是否正確，并說明理由；（2）在（1）的條件下，若CD＝3，求的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）選擇的條件是①②，結(jié)論是③，理由：連接OC，∵∠A＝30°，∴∠COB＝60°，∵CD是⊙O的切線；∴∠OCD＝90°，∴∠D＝30°，∴OC＝OD，∵OB＝OC＝OD，∴OB＝BD，故答案為：①②，③；（2）在Rt△OCD中，∵CD＝3，∠COD＝60°，∴OC＝CD＝3，∴的長(zhǎng)度為＝π．30．如圖，已知點(diǎn)A、B、C在⊙O上，點(diǎn)D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E點(diǎn)．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，∠BAC＝30°，求線段BE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于F點(diǎn)，連接BF，∴∠A＝∠F，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠F，∵CF為⊙O直徑，∴∠CBF＝90°，∴∠F+∠BCO＝90°，∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵CF是⊙O的直徑，∴CD是EO的切線；（2）解：連接BO，OC交BE于點(diǎn)G，∵BE∥CD，∴∠OGB＝∠OCD＝90°，∵OB＝OE，∴BE＝2BG，∵同對(duì)，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，在Rt△BOG中，BO＝5，∴，∴．十九．圓的綜合題（共1小題）31．如圖，以AB為直徑的半圓中，點(diǎn)O是圓心，點(diǎn)C是半圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，滿足ED＝AE，連接CD、BD．（1）求證：四邊形OBDC是菱形；（2）連接BC，交AD于點(diǎn)F．①當(dāng)∠ABC＝45度時(shí)，CD是⊙O的切線；②若DF＝2，求EF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，∴EC＝EO，∵ED＝AE，∴四邊形AODC是平行四邊形，∴CD∥AB，CD＝OA，∵OB＝OA，∴CD＝OB，∴四邊形OBDC是平行四邊形，∵OC＝OB，∴平行四邊形OBDC是菱形；（2）解：①∠ABC＝45°時(shí)，CD是⊙O的切線，理由：∵四邊形OBDC是菱形，∴∠OBD＝∠OCD＝2∠ABC，∵∠ABC＝45°，∴∠OBD＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC為半圓的半徑，∴CD是⊙O的切線，故答案為：45；②∵CD∥OB，∴△CDF∽△BAF，∴＝，由（1）知，CD＝OA＝OB，∴CD＝AB，∴＝，∵AE＝DE＝EF+DF，F(xiàn)D＝2，∴AF＝AE+EF＝2EF+2，＝，∴EF＝1．二十．作圖—復(fù)雜作圖（共3小題）32．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，DC＝4，AD＝2，AB＝BC，以AB為直徑的圓O交BC于點(diǎn)E．（1）求⊙O的半徑；（2）用無(wú)刻度的直尺在DC邊上作點(diǎn)M，使射線BM平分∠ABC，并求的值．【解答】解：（1）連接AE．∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠ADC＝∠DCE＝∠AEC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AE＝CD＝4，AD＝CE＝2，設(shè)AB＝BC＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+EB2，∴x2＝42+（x﹣2）2，∴x＝5，∴⊙O的半徑為.（2）連接AC，