第五章 第二節(jié) Gauss-Seidel迭代法

第二節(jié)迭代法一、迭代格式二迭代法的收斂性

三、小結(jié)一、迭代格式考慮方程組(2.1)即以后，把它們代入（2.1）中第一個(gè)方程算出對(duì)方程組（2.1）作迭代時(shí)，取定初始近似值顯然，迭代格式收斂的話，則比更接近于的第一個(gè)分量所以在計(jì)算時(shí)，我們不再像迭代法那樣以代入(2.1)中第二式的右邊，而是把新算出的及代入該式右邊，得到即計(jì)算下一個(gè)分量時(shí)，要用到剛算出的新分量。這樣或許能收到更好的效果。按這樣方式建立的迭代格式稱為迭代格式，其一般形式為(2.2)

用矩陣表示就是

(2.3)

其中，

由（2.3）式可知，因存在，所以迭代格式（2.3）也可表示為

(2.4)我們稱為迭代法的迭代矩陣。

由（2.4）式可見(jiàn)，對(duì)方程組作迭代，等價(jià)于對(duì)方程組

(2.5)作迭代。

二迭代法的收斂性

定理3對(duì)于任意右端向量和初始向量，迭代法收斂的充要條件是

其中由于對(duì)方程組作簡(jiǎn)單迭代是一回事，故由定理1有作迭代同對(duì)方程組即特征方程的根的絕對(duì)值小于1。

而由于類似于定理2，我們還可以給出如下收斂的充分條件。

(2.6)所以在實(shí)際問(wèn)題中，只需求出方程的根。

定理4對(duì)于任意右端向量初始向量，迭代法收斂的充分條件是

由此定理可知，條件(1）或(2）被滿足時(shí)，則迭代法與迭代法都收斂。

可以證明，當(dāng)條件(2）被滿足時(shí)，迭代法比迭代法收斂得快些。

例4

分別用和迭代法解方程組解由于，故迭代法迭代法都收斂。取，首先采用迭代格式，計(jì)算求得與其精確解相比，其誤差為

再利用迭代格式，計(jì)算求得

其誤差為

從此例可以看出，當(dāng)充分條件(2）被滿足時(shí)，迭代法確實(shí)比迭代法收斂快些。

然而，迭代法并不總比迭代法好。有時(shí)迭代法還比迭代法收斂得慢些，有時(shí)甚至在迭代法收斂時(shí)，它卻不收斂。例5設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為

試證明迭代法收斂，而迭代法不收斂。

證明顯然，迭代法的迭代矩陣為

因?yàn)橛啥ɡ?可知，迭代法收斂。

，則有

令又，其中

令

則有

故迭代法不收斂。

類似地方法，可以證明，若系數(shù)矩陣為

時(shí)，迭代法不收斂，而迭代法收斂。

這個(gè)問(wèn)題留給同學(xué)做練習(xí)。下面我們給出判斷Gauss-Seidel迭代法收斂的其它方法。定理5設(shè)方程組為（1）如果矩陣是對(duì)稱正定的，則迭代法收斂。

（2）如果是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，則迭代法收斂。

證略。

由上可見(jiàn)，迭代法的使用與問(wèn)題的特點(diǎn)有著密切的關(guān)系，使用時(shí)應(yīng)