第五章 數(shù)字高程模型內(nèi)插

第五章數(shù)字高程模型內(nèi)插5.1內(nèi)插方法的分類(lèi)5.2整體內(nèi)插5.3分塊內(nèi)插5.4逐點(diǎn)內(nèi)插5.5關(guān)于內(nèi)插方法的探討5.1內(nèi)插方法的分類(lèi)5.2整體內(nèi)插由研究區(qū)域內(nèi)所有采樣點(diǎn)的觀測(cè)值建立的。主要通過(guò)多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，又稱(chēng)整體函數(shù)法內(nèi)插。常被用于模擬大范圍的宏觀變化趨勢(shì)。取研究范圍內(nèi)不同平面位置的n個(gè)參考點(diǎn)三維坐標(biāo)，帶入方程內(nèi)，使n階線性方程組有唯一解。將待插點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，可得到待定點(diǎn)的高程值。整體內(nèi)插法的優(yōu)缺點(diǎn)。5.3分塊內(nèi)插分塊內(nèi)插是把參考空間分成若干塊，對(duì)各分塊使用不同的函數(shù)。要考慮各相鄰分塊函數(shù)間的連續(xù)問(wèn)題。5.3.1線性內(nèi)插（重點(diǎn)介紹內(nèi)容）首先使用最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)確定一個(gè)平面，繼而求出內(nèi)插點(diǎn)的高程值的方法。（1）概念根據(jù)已知三個(gè)參考點(diǎn)A,B,C雙線性內(nèi)插p點(diǎn)高程值：注意：最鄰近插值一般不連續(xù)．具有連續(xù)性的最簡(jiǎn)單的插值是分片線性插值．最鄰近插值xy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值即為所求．（2）Matlab算法實(shí)現(xiàn)

要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍．z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值點(diǎn)插值方法用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值‘nearest’

最鄰近插值；‘linear’

雙線性插值；‘cubic’

雙三次插值；缺省時(shí)雙線性插值.5.3.2雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插（重點(diǎn)介紹內(nèi)容）使用最靠近插值點(diǎn)的四個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)組成一個(gè)四邊形，進(jìn)而確定一個(gè)雙線性多項(xiàng)式來(lái)內(nèi)插待插點(diǎn)的高程。正方形格網(wǎng)分布的雙線性內(nèi)插公式：（2）Matlab算法實(shí)現(xiàn)雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成．雙線性插值函數(shù)的形式如下：其中有四個(gè)待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個(gè)頂點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）的函數(shù)值，得到四個(gè)代數(shù)方程，正好確定四個(gè)系數(shù)．雙線性插值xy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O

要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍．z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值點(diǎn)插值方法用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值‘nearest’

最鄰近插值；‘linear’

雙線性插值；‘cubic’

雙三次插值；缺省時(shí)雙線性插值.5.3.3反距離權(quán)重插值算法一種局部插值方法，假設(shè)未知值的點(diǎn)受較近控制點(diǎn)的影像比較遠(yuǎn)控制點(diǎn)的影響更大。Z0為點(diǎn)0的估計(jì)值；zi為控制點(diǎn)i的z值；di為控制點(diǎn)i與點(diǎn)0間的距離；s為在估算中用到的控制點(diǎn)的數(shù)目；K為指定的冪。課下練習(xí)：編寫(xiě)C語(yǔ)言程序?qū)崿F(xiàn)該插值算法。5.3.4二元樣條函數(shù)內(nèi)插為保證各分塊曲面間的光滑性，按照彈性力學(xué)條件使所確定的n次多項(xiàng)式曲面與其相鄰分塊的邊界上所有n-1次導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，這n次多項(xiàng)式就稱(chēng)為樣條函數(shù)。方程的16個(gè)待定系數(shù)，需要建立16個(gè)方程。四角點(diǎn)高程ZA,ZB,ZC,ZD，以及它們的導(dǎo)數(shù)值RA,RB,RC,RD,SA,SB,SC,SD和TA,TB,TC,TD。優(yōu)點(diǎn)：保留了微地物特征；內(nèi)插速度快；保證了分塊間連接處為平滑聯(lián)系的曲面。缺點(diǎn)：采樣了彈性力學(xué)條件，而地表分塊不是狹義的彈性殼體。5.3.5多面疊加內(nèi)插法（多面函數(shù)法）基本思想是任何一個(gè)規(guī)則的或不規(guī)則的連續(xù)曲面均可以由若干個(gè)簡(jiǎn)單面（或稱(chēng)單值數(shù)學(xué)面）來(lái)疊加逼近。具體做法是在每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上建立一個(gè)曲面，然后在Z方向上將各個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面按一定比例疊加成一張整體的連續(xù)曲面，使之嚴(yán)格的通過(guò)各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。Q為簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)面，又稱(chēng)多面函數(shù)的核函數(shù)；n為簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)面的張數(shù)，其值與分塊擴(kuò)充范圍內(nèi)參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等；Ki為待定參數(shù)，代表了第i個(gè)核函數(shù)對(duì)多層疊加面的貢獻(xiàn)。5.3.6最小二乘配置法（自學(xué)）某一個(gè)測(cè)量值包含三部分：與某些參數(shù)有關(guān)的值。測(cè)量值是這些參數(shù)的函數(shù)，而這個(gè)函數(shù)在空間是一個(gè)曲面，故稱(chēng)為趨勢(shì)面。不能簡(jiǎn)單用某個(gè)函數(shù)表達(dá)的值，稱(chēng)為系統(tǒng)的信號(hào)部分。隨機(jī)噪聲。去掉趨勢(shì)面后，如果觀測(cè)值包含信號(hào)和噪聲兩部分（且信號(hào)和噪聲期望均為0，兩者的協(xié)方差也為零），則可獲得信號(hào)估值的殘差平方和為最小的線性內(nèi)插方法，包括內(nèi)插、濾波和推估，統(tǒng)稱(chēng)最小二乘配置。5.3.7有限元法（了解）以離散方式處理連續(xù)量的一種數(shù)學(xué)方法，它的思路是將一定范圍的連續(xù)整體分割為有限個(gè)單元（如三角形、正方形等）的集合。5.4逐點(diǎn)內(nèi)插法逐點(diǎn)內(nèi)插法是以待插點(diǎn)為中心，定義一個(gè)局部函數(shù)去擬合周?chē)臄?shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)的范圍隨待插點(diǎn)位置的變化而移動(dòng)，又稱(chēng)移動(dòng)曲面法。5.4.1移動(dòng)擬合法移動(dòng)擬合法關(guān)鍵在于解決下面兩個(gè)問(wèn)題：（1）如何確定待插點(diǎn)的最小鄰域范圍以保證有足夠的參考點(diǎn)；（2）如何確定各參考點(diǎn)的權(quán)重。選擇鄰近點(diǎn)要考慮的因素：（1）范圍；（2）點(diǎn)數(shù)。動(dòng)態(tài)圓半徑方法：考慮距離和方位向的權(quán)重。5.4.2加權(quán)平均法加權(quán)平均法是移動(dòng)擬合法的特例，是在解算待定點(diǎn)p的高程時(shí)，使用加權(quán)平均值代替誤差方程：5.4.3Voronoi圖法由Voronoi多邊形的定義可知，相鄰兩個(gè)多邊形的邊界是相鄰兩點(diǎn)連線的垂直平分線，因此借助Voronoi多邊形，可以找出與待插點(diǎn)相鄰的點(diǎn)集。選點(diǎn)定權(quán)之后，進(jìn)行加權(quán)平均的計(jì)算。一維線性的Voronoi圖內(nèi)插5.4.4考慮地貌特征的逐點(diǎn)內(nèi)插5.5關(guān)于內(nèi)插方法的探討大范圍地形比較復(fù)雜，因此一般不采樣整體內(nèi)