第1,2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ).1ppt

數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)

第五版清華大學(xué)電子學(xué)教研組主編閻石第一章數(shù)制和碼制

§1.1概述1.數(shù)字信號(hào)和模擬信號(hào)電子電路中的信號(hào)模擬信號(hào)數(shù)字信號(hào)時(shí)間連續(xù)的信號(hào)時(shí)間和幅度都是離散的例：正弦波信號(hào)、鋸齒波信號(hào)等。例：產(chǎn)品數(shù)量的統(tǒng)計(jì)、數(shù)字表盤的讀數(shù)、數(shù)字電路信號(hào)等。模擬信號(hào)tV(t)tV(t)數(shù)字信號(hào)高電平上跳沿2.數(shù)字電路——處理數(shù)字信號(hào)的電路

現(xiàn)代數(shù)字電路是用半導(dǎo)體工藝制成的若干數(shù)字集成器件構(gòu)造而成。邏輯門是其基本單元。存儲(chǔ)器是用來(lái)存儲(chǔ)二值數(shù)據(jù)的數(shù)字電路。從整體來(lái)看，數(shù)字電路可分為組合電路和時(shí)序電路兩大類。

3.數(shù)字電路的發(fā)展與分類

數(shù)字電路的結(jié)構(gòu)是以二值數(shù)字邏輯為基礎(chǔ)的,其中的工作信號(hào)是離散的數(shù)字信號(hào)。電路中的電子器件，如二極管、三極管處于開(kāi)關(guān)狀態(tài)。

集成度規(guī)格三極管數(shù)/片

典型應(yīng)用

小規(guī)模100以下

門電路

中規(guī)模100~幾千個(gè)

計(jì)數(shù)器

大規(guī)模104~105

各種專用芯片

超大規(guī)模

105~106

存儲(chǔ)器甚大規(guī)模

106以上可編程邏輯器件數(shù)字集成電路分為：SSI、MSI、LSI、VSI、USI等五類。集成度：每一芯片所包含的三極管的個(gè)數(shù)。1.2幾種常用的數(shù)制

1.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換1.十—二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換整數(shù)轉(zhuǎn)換—“除2取余法”兩邊除2，余第0位K0商兩邊除2，余第1位K1……例1：十進(jìn)制數(shù)25轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換過(guò)程：

225余1K0122余0K162余1K312余1K40(25)D=(11001)B2余0K23

例2：十進(jìn)制數(shù)0.8125轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換過(guò)程：

小數(shù)轉(zhuǎn)換—“乘2取整法”0.8125×2=1.6250……1()0.6250×2=1.2500……1()0.2500×2=0.5000……0()0.5000×2=1.0000……1()(0.8125)D=(0.1101)B2.十六進(jìn)制及其與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換(0101

1001)B=(59)H每四位2進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一位16進(jìn)制數(shù)(1011100101101001000.0010111)B=從末位開(kāi)始四位一組(0101

1100

1011

0100

1000.00101110)B84BC5=(5CB48.2E)H2E從首位開(kāi)始四位一組

3.八進(jìn)制及其與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換：從末位開(kāi)始三位一組(10011

100101

101001

000)B

()O01554=(2345510)O32八進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7(7)O(111)B說(shuō)明：八進(jìn)制的一位對(duì)應(yīng)二進(jìn)制的三位。(10011100101101001000)B=1.4二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算

在數(shù)字電路中，1位二進(jìn)制數(shù)碼的0和1不僅可以表示數(shù)量的大小，而且可以表示兩種不同的邏輯狀態(tài)。當(dāng)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)碼表示兩個(gè)數(shù)量大小時(shí)，它們之間的運(yùn)算就是算術(shù)運(yùn)算；當(dāng)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)碼表示的是事物的邏輯關(guān)系時(shí)，它門之間的運(yùn)算只能是邏輯運(yùn)算。1.4.1二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算：1、一位二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

0+0=0，0+1=10-0=0，0-1=-11+0=1，1+1=101-0=1，1-1=00×0=0，0×1=01×0=0，1×1=1

2、多位二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算例如，兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)1001和0101的算術(shù)運(yùn)算有：

加法運(yùn)算

1001+01011110

減法運(yùn)算

1001-01010100乘法運(yùn)算

1001×010110010000100100000101101

除法運(yùn)算010110010101

10000101

01100101

0010

111…1.4.2二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)1.逢二進(jìn)一2.二進(jìn)制數(shù)的乘法運(yùn)算可以通過(guò)若干次的“被乘數(shù)（或零）左移1位”和“被乘數(shù)（或零）與部分積相加”這兩種操作完成；二進(jìn)制數(shù)的除法運(yùn)算能通過(guò)若干次“除數(shù)右移1位”和“從被除數(shù)或余數(shù)中減去除數(shù)”這兩種操作完成。

如果將減法操作轉(zhuǎn)化為某種形式的加法操作，那么加、減、乘、除運(yùn)算就全部可以用“移位”和“相加”這兩種操作實(shí)現(xiàn)了。利用這一特點(diǎn)能使運(yùn)算電路的結(jié)構(gòu)大為簡(jiǎn)化。數(shù)值—有一定大小含義的數(shù)。（如某人體重80公斤）代碼—

不再具有大小含義的，但與數(shù)值、文字、符號(hào)有某種對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)。（如某個(gè)運(yùn)動(dòng)員是80號(hào)，這里同樣是80，但它不代表運(yùn)動(dòng)員的身高、體重等特征，并無(wú)大小的概念）編碼—建立這種代碼與數(shù)值、文字、符號(hào)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的過(guò)程。

1.4.2.原碼、反碼、補(bǔ)碼和補(bǔ)碼運(yùn)算

1、數(shù)值、代碼與編碼的概念二進(jìn)制碼—由二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成的代碼。

原碼：二進(jìn)制中以數(shù)碼的最高位作為符號(hào)位，并以0表示正，1表示負(fù)。以下各位用0或1表示數(shù)值。用這種方式表示的數(shù)碼稱為原碼。

例如：（０１０１１００１）２＝（＋８９）１０

符號(hào)位

（１１０１１００１）２＝（－８９）１０+0的原碼為：00000000，-0的原碼為：10000000顯然，+0和-0表示的是同一個(gè)數(shù)，而在內(nèi)存中卻有兩個(gè)不同表示。也就是說(shuō)，0的表示不唯一。若所需編碼的信息有N項(xiàng)，則需用的二進(jìn)制碼的位數(shù)n應(yīng)滿足如下關(guān)系：

2n≥N反碼：一個(gè)數(shù)如果值為正，則它的反碼與原碼相同，如+7的反碼為00000111（8位機(jī)）；一個(gè)數(shù)的值如為負(fù)，則符號(hào)位為1，其余各位是對(duì)原碼取反，如-7的反碼為：11111000。

+0的反碼為：00000000；-0的反碼為：11111111同樣，0的表示不唯一。

補(bǔ)碼：

原碼和反碼都不便于數(shù)字系統(tǒng)（計(jì)算機(jī)）內(nèi)的運(yùn)算，因?yàn)?的表示不唯一，且在運(yùn)算中要單獨(dú)處理其符號(hào)。

因此，最好能做到將符號(hào)位統(tǒng)一處理，且0的表示唯一，對(duì)減法也按加法處理。這就導(dǎo)出了補(bǔ)碼。補(bǔ)碼的原理可以用時(shí)鐘來(lái)說(shuō)明。如果要將時(shí)鐘從9點(diǎn)撥到4點(diǎn)，可以向前撥，也可以向后撥。其表示如下：1269310118124579-5=4（向后撥5個(gè)字）9+7=16（向前撥7個(gè)字）從圖上看向后撥5個(gè)字和向前撥7個(gè)字都是指向4點(diǎn)。因?yàn)殓娛且粋€(gè)12進(jìn)制的計(jì)數(shù)體制，在這個(gè)計(jì)數(shù)體制下，十進(jìn)制的16應(yīng)表示為14，高位不保留，在時(shí)鐘上就是4。也就是9+7=14，這里高位的1表示十進(jìn)制的12。所以我們可以說(shuō)7是5對(duì)12的補(bǔ)碼。顯然這里已將9-5變成了9+7。二進(jìn)制的補(bǔ)碼是這樣定義的：最高位為符號(hào)位，正數(shù)為０，負(fù)數(shù)為１；正數(shù)的補(bǔ)碼和它的原碼相同；負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼可通過(guò)將原碼的數(shù)值位逐位求反，然后在最低位上加１得到。例如計(jì)算（１００１）２－（０１０１）２在采用補(bǔ)碼運(yùn)算時(shí)，首先求出它們的補(bǔ)碼：[+1001]補(bǔ)=01001[-0101]補(bǔ)=11011

01001+11011

1

00100舍去補(bǔ)碼的0就是00000000（8位機(jī)）二—十進(jìn)制碼（BCD碼）Binary-Coded-Decimal

用4位二進(jìn)制數(shù)b3b2b1b0

來(lái)表示十進(jìn)制數(shù)中的0~9十個(gè)數(shù)碼。

4位二進(jìn)制數(shù)它共有16個(gè)不同的組合，即它們可代表16個(gè)數(shù)或狀態(tài)，而十進(jìn)制數(shù)只有十個(gè)數(shù)碼，取哪十個(gè)組合來(lái)代表十進(jìn)制數(shù)，這就是編碼的任務(wù)。取代形式很多。1.5幾種常見(jiàn)的二進(jìn)制碼：習(xí)題：1.1、1.2、1.3、1.7、1.9、1.10、1.15不同的表示法便形成了各種編碼。這里主要介紹：8421碼5421碼余3碼(無(wú)權(quán)碼）2421碼首先以十進(jìn)制數(shù)為例，介紹權(quán)重的概念。(3256)D=3103+2102+5101+6100個(gè)位(D0)的權(quán)重為100

，十位(D1)的權(quán)重為101

，百位(D2)的權(quán)重為102

，千位(D3)的權(quán)重為103……十進(jìn)制數(shù)(N)D二進(jìn)制編碼(K3K2K1K0)B(N)D=W3K3+W2K2+W1K1+W0K0W3~W0為二進(jìn)制各位的權(quán)重8421碼，就是指W3=8、W2=4、W1=2、W0=1。用四位二進(jìn)制數(shù)表示0~9十個(gè)數(shù)碼，該四位二進(jìn)制數(shù)的每一位也有權(quán)重。2421碼，就是指W3=2、W2=4、W1=2、W0=1。5421碼，就是指W3=5、W2=4、W1=2、W0=1。K3~K0為二進(jìn)制數(shù)，取值1或0000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制8421碼2421碼5421碼余三碼四位循環(huán)碼(Graycode:格雷碼）:

（無(wú)權(quán)碼）特點(diǎn)：相鄰兩個(gè)編碼之間，只有一位變量的狀態(tài)取值不同。相鄰相鄰相鄰相鄰字符編碼(美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼ASCIICODE)b3b2b1b0b6b5=00b6b5=01b6b5=10b6b5=11b4=0b4=1b4=0b4=1b4=0b4=1b4=0b4=1.0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

控制符間隔!“#$%&,()“+‘-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\],abcdefghijlkmnopqrstuvwxyz|||~DEL在分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路時(shí),所使用的數(shù)學(xué)工具是邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)是按一定的邏輯規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)。邏輯代數(shù)中，有與、或、非3種基本邏輯運(yùn)算。1.與運(yùn)算只有當(dāng)一件事的幾個(gè)條件全部具備之后，這件事才發(fā)生，這種關(guān)系稱為與邏輯。第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算2.1概述ABVL（a）電路圖100ABL=AB000010111（c）

真值表（b）功能表AB燈不通不通不亮不通通不亮通不通不亮

通通亮＆（d）與邏輯門符號(hào)ABL=AB2.或運(yùn)算當(dāng)一件事情的幾個(gè)條件只要有一個(gè)以上條件得到滿足，則該事就發(fā)生。這種關(guān)系稱為或邏輯。

vABL（a）電路圖

AB燈不通不通不亮不通通亮通不通亮通通亮（b）功能圖≥1ABL=A+B（d）符號(hào)ABL=A+B

000

0

1

1101

111（c）真值表3.非運(yùn)算一件事情的發(fā)生與其相反的條件為依據(jù)。這種邏輯關(guān)系稱為非邏輯。AVLA（a）繼電器A燈不通電亮

通電不亮（b）

AL=A

01

10（c）AL負(fù)邏輯符號(hào)11AL正邏輯符號(hào)

4.邏輯函數(shù)與邏輯問(wèn)題的描述

邏輯函數(shù)——邏輯運(yùn)算，如與、或、非運(yùn)算。例現(xiàn)設(shè)要設(shè)計(jì)一照明系統(tǒng)：由兩個(gè)開(kāi)關(guān)控制一盞燈，要求開(kāi)關(guān)A、B均能控制燈L的滅與亮。試用邏輯函數(shù)描述之。電路示意圖如下

L~220VABabcd確定輸入、輸出變量：燈L為輸出變量，即反映事物結(jié)果的因數(shù)；開(kāi)關(guān)A、B為輸入變量，即決定事物發(fā)生與否的條件。

4.邏輯函數(shù)與邏輯問(wèn)題的描述

邏輯函數(shù)——邏輯運(yùn)算，如與、或、非運(yùn)算。例現(xiàn)設(shè)要設(shè)計(jì)一照明系統(tǒng)：由兩個(gè)開(kāi)關(guān)控制一盞燈，要求開(kāi)關(guān)A、B均能控制燈L的滅與亮。試用邏輯函數(shù)描述之。電路示意圖如下

L~220VABabcd確定輸入、輸出變量：燈L為輸出變量，即反映事物結(jié)果的因數(shù)；開(kāi)關(guān)A、B為輸入變量，即決定事物發(fā)生與否的條件。

ABL向上向上亮向上向下滅

向下向上滅

向下向下亮邏輯賦值：令開(kāi)關(guān)向上為0開(kāi)關(guān)向下為1，燈亮為1，燈滅為0功能表真值表邏輯函數(shù)表達(dá)式：L=AB+AB

010ABL

001100

111顯然,該邏輯函數(shù)并不是前面所描述的基本邏輯運(yùn)算,它是一種復(fù)合邏輯關(guān)系。ABCDY與或非≥1&常見(jiàn)的復(fù)合邏輯運(yùn)算有：與非、或非、與或非、異或、同或等。其實(shí)與非就是“與”和“非”的簡(jiǎn)單復(fù)合；或非就是“或”和“非”的簡(jiǎn)單復(fù)合；與或非就是“與”和“或”及“非”的簡(jiǎn)單復(fù)合。與非&ABY≥1ABY或非異或邏輯實(shí)際是一種排他邏輯，即兩個(gè)邏輯變量相同則結(jié)果為0，否則結(jié)果為1。

異或邏輯真值表

ABY000110110110邏輯表達(dá)式：Y=AB+AB=A+B同或邏輯真值表ABY000110111001Y=AB+AB=A⊙B=1ABY=ABY2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1基本公式數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個(gè)值（二值變量），即0和1，中間值沒(méi)有意義。0和1表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。

2.3.1邏輯代的基本公式

恒等式：AB+AC+BC=AB+AC

摩根定理

9

A(+B)=AB

A+B=A+B吸收率

8

=A非非率

7

A·A=A

A+A=A重疊率

6

A·=0

A+=1

互補(bǔ)率

5

1+A=1

0·A=0

0+A=A

1·A=A0-1率

4

A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)

分配率

3

A(BC)=(AB)C

A+(B+C)=(A+B)+C

結(jié)合率

2

AB=BA

A+B=B+A交換率

1

對(duì)偶式

基本公式名稱序號(hào)

要證明以上定律是否成立最有效的方法是檢驗(yàn)等式兩邊的函數(shù)真值表是否吻合。摩根定律的證明：AB=A+B，A+B=AB

01100011

100100111100000000110+0=11*1=10*0=11

ABABA+BA*BA*BA+B左邊右邊左邊右邊代數(shù)運(yùn)算：邏輯運(yùn)算：0+0=0，0+1=10+0=0，0+1=11+0=1，1+1=101+0=1，1+1=10×0=0，0×1=00∧0=0，0∧1=01×0=0，1×1=11∧0=0，1∧1=1

一、交換律二、結(jié)合律三、分配律A+B=B+AA?B=B?AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA?(B?C)=(A?B)?CA(B+C)=A?B+A?CA+B?C=(A+B)(A+C)普通代數(shù)不適用!2.3.2基本定律及常用公式求證:

（分配律第2條）A+BC=(A+B)(A+C)右邊=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;結(jié)合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;結(jié)合律=A?1+BC;1+B+C=1=A+BC;A?1=1=左邊四、吸收規(guī)則1.原變量的吸收：A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A利用運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。例如：被吸收吸收是指吸收多余（冗余）項(xiàng)，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。長(zhǎng)中含短，留下短。2.反變量的吸收：證明：長(zhǎng)中含反，去掉反。例如：被吸收C3.混合變量的吸收：證明：例如：正負(fù)相對(duì)，余全完。2.4邏輯代數(shù)的基本規(guī)則(定理)

1)代入定理任何一個(gè)含有變量A的等式,如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)式,則等式成立。例如：中B用BC代入，則可得：ABC=A+BC=A+B+C

2）對(duì)偶定理對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)式Y(jié)，若將其中的“×”，換成“+”，“+”換成“×”，1換成0，0換成1，則得出一個(gè)新的函數(shù)式W，把W稱為函數(shù)式Y(jié)的對(duì)偶式。原函數(shù)式Y(jié)與對(duì)偶函數(shù)式W互為對(duì)偶函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶式必相等。如上表中的基本公式和對(duì)偶式。3）反演定理對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)式Y(jié)，若將其中的“×”換成“+”，“+”換成“×”，1換成0，0換成1，并將原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得出的新的邏輯函數(shù)式即為原函數(shù)式的反函數(shù)Y’。反演定理應(yīng)用中要注意的兩個(gè)問(wèn)題：

1、運(yùn)算順序不能變；

2、不是一個(gè)變量上的非號(hào)不變。例1：與或式注意括號(hào)用反演定理=AB·CD·0=(A+B)(C+D)·1用摩根定理例2：與或式反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.1邏輯函數(shù)如果以邏輯變量作為輸入，以運(yùn)算結(jié)果作為輸出，那么當(dāng)輸入變量的取值確定后，輸出的取值便隨之而定。因此，輸出與輸入之間乃是一種函數(shù)關(guān)系。這種函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，寫作

Y=F（A，B，C，…）如前述的基本邏輯運(yùn)算（Y=AB，Y=A⊙B等）也就是邏輯函數(shù)。2.5.2邏輯函數(shù)的表示方法

常用的邏輯函數(shù)表示方法有邏輯真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖和卡諾圖等。一、邏輯真值表將描述某一邏輯關(guān)系的輸入變量所有的取值下對(duì)應(yīng)的輸出值求出，并列成表格形式，該表格即為邏輯真值表。如前述照明系統(tǒng)的邏輯真值表。ABL000110111001二、邏輯函數(shù)式把輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系寫成與、或、非等運(yùn)算的組合式，即邏輯函數(shù)式。如由左邊的真值表可寫出邏輯函數(shù)式：L=AB+AB=A⊙B或L=AB+AB即L=AB+AB邏輯表達(dá)式不是唯一的。三、邏輯圖將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用圖形符號(hào)表示出來(lái)，就可以畫出表示邏輯關(guān)系的邏輯圖。如邏輯函數(shù) L=AB+AB的邏輯圖。11＆＆≥1ABL四、各種表示方法間的互相轉(zhuǎn)換1、從邏輯式畫出邏輯圖（如上）。2、由邏輯圖寫出表達(dá)式（從輸入到輸出逐級(jí)寫出各門電路的輸出）。ABABABAB+AB3、真值表與邏輯函數(shù)式之間的轉(zhuǎn)換例1、描述某邏輯函數(shù)的真值表如下，請(qǐng)寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式，并指出其邏輯功能。ABCY00000011010101101001101011001111解：在真值表中現(xiàn)假設(shè)，變量為1時(shí)表示原變量；變量為0時(shí)表示反變量。（正邏輯）則由真值表可見(jiàn)，函數(shù)Y只有以下四種情況時(shí)為1：ABC=1或ABC=1或ABC=1或ABC=1。Y=ABC+ABC+ABC+ABC同時(shí)由真值表亦可看到：函數(shù)Y只有輸入變量的組合為奇數(shù)個(gè)1時(shí)，才為1。由此可判定該邏輯函數(shù)具有判奇功能。例2、已知邏輯函數(shù)Y=A+BC+ABC，求它的真值表。解：將A、B、C的各取值逐一代入Y式中計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果列表，即可得真值表。但對(duì)于初學(xué)者，為了避免出錯(cuò)，可增設(shè)適當(dāng)?shù)倪^(guò)度項(xiàng)，如下表。ABCBCABCY000001010011100101110111

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0011011112.5.3邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式兩種標(biāo)準(zhǔn)形式——最小項(xiàng)之和及最大項(xiàng)之積一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)1、最小項(xiàng)在n個(gè)變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng),而且這n個(gè)變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項(xiàng)中出現(xiàn),且僅出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項(xiàng)。例如，A、B、C三個(gè)變量的最小項(xiàng)有ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC共8個(gè)最小項(xiàng)。n個(gè)變量的最小項(xiàng)應(yīng)有8個(gè)。最小項(xiàng)ABC十進(jìn)制數(shù)編號(hào)ABCABCABCABCABCABCABCABC00000101001110010111011101234567m0m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7輸入變量的每一組取值都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的值等于1。例如在三變量A、B、C的最小項(xiàng)中，當(dāng)A=1、B=0、C=1時(shí)，ABC=1。如果把ABC的取值101看作一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，那么它所表示的十進(jìn)制數(shù)就是5。為了今后使用的方便，將ABC這個(gè)最小項(xiàng)記作m5。3個(gè)變量有8個(gè)且只有8個(gè)最小項(xiàng)。以下乘積項(xiàng)均不是3變量的最小項(xiàng)：AB、A（B+C）、AC、ABCA。最小項(xiàng)的性質(zhì)：ＡＢＣＡＢＣＡＢＣＡＢＣＡＢＣＡＢＣＡＢＣＡＢＣＡＢＣ０００１

０００００００００１０１０００００００１０００１００００００１１０００１００００１００００００１０００１０１０００００１００１１０００００００１０１１１０００００００１（1）對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使得它的值為1；（2）不同的最小項(xiàng)，使它的值為1的那一組變量取值也不同；（3）任意一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0；（4）任意一組取值，全體最小項(xiàng)之和為1。（5）兩個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)，并消去一對(duì)因子。邏輯相鄰：若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量以原、反區(qū)別，其他變量均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰。2、最大項(xiàng)ABC+ABC=A（B+B）C=AC

在n個(gè)變量邏輯函數(shù)中，若M為n個(gè)變量之和，而且這n個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項(xiàng)。例如，三變量A、B、C的最大項(xiàng)有（A+B+C）、

（A+B+C）、（A+B+C）、（A+B+C）、（A+B+C）、（A+B+C）、（A+B+C）、（A+B+C）共８?jìng)€(gè)。

輸入變量的每一組取值都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)的值為０。例如在三變量Ａ、Ｂ、Ｃ的最大項(xiàng)中，當(dāng)Ａ＝0、Ｂ＝1、Ｃ＝0時(shí)，（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝０。若將最大項(xiàng)為０的ＡＢＣ取值視為一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，并以其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)給最大項(xiàng)編號(hào)則（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）可記作Ｍ2。

最大項(xiàng)ＡＢＣ十進(jìn)制編號(hào)Ａ＋Ｂ＋ＣＡ＋Ｂ＋ＣＡ＋Ｂ＋ＣＡ＋Ｂ＋ＣＡ＋Ｂ＋ＣＡ＋Ｂ＋ＣＡ＋Ｂ＋ＣＡ＋Ｂ＋Ｃ1

111101011

0

00

1

10

1

00

0

10

0

0

7

6

5

4

3

2

1

0Ｍ7

Ｍ6

Ｍ5

Ｍ4

Ｍ3

Ｍ2

Ｍ1

Ｍ0最大項(xiàng)的主要性質(zhì)：①在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最大項(xiàng)，而且只有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0；②全體最大項(xiàng)之積為0；③任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1④只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和（即可消去不相同的那個(gè)變量）。3、最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系：Mi=mi例如：ｍ７＝ＡＢＣ，則ｍ７＝ＡＢＣ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ｍ７二、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式利用基本公式Ａ＋Ａ＝１可以把任何一個(gè)邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。例如，給定邏輯函數(shù)為Ｙ＝ＡＢＣ＋ＢＣ則可化為：Ｙ＝ＡＢＣ＋（Ａ＋Ａ）ＢＣ＝ＡＢＣ＋ＡＢＣ＋ＡＢＣ＝ｍ３＋ｍ６＋ｍ７＝∑ｍ（３，６，７）三、邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積形式任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可化成最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式。同時(shí)，從最小項(xiàng)的性質(zhì)知“全部最小項(xiàng)之和為１，故若Ｙ＝∑ｍｉ，則∑ｍｉ以外的那些最小項(xiàng)之和必為Ｙ，即Ｙ＝∑ｍｋ（ｋ≠ｉ）故得到Y(jié)=∑mk（k≠i）利用反演定理可將上式變換為最大項(xiàng)乘積的形式這就是說(shuō)，如果已知邏輯函數(shù)Y=∑mi時(shí)，一定能將Y化成編號(hào)為i以外的那些最大項(xiàng)的乘積。例如，將Y=ABC+BC化成最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式。

前已求得最小項(xiàng)之和的形式為：Y=∑m（3，6，7）所以由上面的結(jié)論直接寫出：Y=∏M（0，1，2，4，5）=（A+B+C）（A+B+C）（A+B+C）（A+B+C）（A+B+C）1.邏輯函數(shù)的變換例如求同或函數(shù)的非函數(shù)最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多種不同的邏輯表達(dá)式，如與-或式、或-與式、與非-與非式以及與-或-非式等。不同形式有不同的標(biāo)準(zhǔn)，但它們很容易轉(zhuǎn)換。所以我們主要介紹最簡(jiǎn)與或式。2.邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或式的標(biāo)準(zhǔn)：

1、與項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少；

2、每個(gè)乘積項(xiàng)中的因子也最少2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.6.1邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法(合并項(xiàng))（長(zhǎng)中含短，留下短）(長(zhǎng)中含反,去掉反)吸收消去吸收消去(正負(fù)相對(duì),余全完)吸收消去（最簡(jiǎn)與或式）DEF:冗余因子DEFG:冗余項(xiàng)3、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)方法例1：例2：摩根定律配項(xiàng)被吸收被吸收用卡若圖表示邏輯函數(shù)用卡若圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

1、化簡(jiǎn)的依據(jù)

2、化簡(jiǎn)的步驟

3、無(wú)關(guān)項(xiàng)和約束條件2.6.2邏輯函數(shù)的卡若圖化簡(jiǎn)法一.卡諾圖的引出

一個(gè)邏輯函數(shù)的卡諾圖就是將此函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中的各最小項(xiàng)相應(yīng)地填入一個(gè)特定的方格圖內(nèi),此方格圖稱為卡諾圖?？ㄖZ圖是為化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)而導(dǎo)出的，又n個(gè)變量的邏輯函數(shù)最多有2n個(gè)最小項(xiàng)，所以n個(gè)變量的卡諾圖亦有2n個(gè)方格。邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法卡諾圖中每一個(gè)小方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)。為了圖形化簡(jiǎn)的需要，卡諾圖中小方格的編排是按邏輯上相鄰的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰的規(guī)律（或稱循環(huán)碼）來(lái)進(jìn)行。從這個(gè)意義上說(shuō)卡諾圖是一個(gè)上、下、左、右封閉的圖形。邏輯相鄰兩個(gè)邏輯相鄰的項(xiàng)可以合并，消去一個(gè)因子AB0101輸入變量二輸入變量卡諾圖ABABABAB邏輯相鄰AB01010123三輸入變量卡諾圖0100011110

ABC01324576輸入變量ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號(hào):

二.已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖AB01010111例1：二輸入變量邏輯函數(shù)L=AB+AB+AB0100011110

ABC00000111例2：三輸入變量邏輯函數(shù)L=ABC+ABC+ABC四變量卡諾圖例3：四輸入變量邏輯函數(shù)ABCD000111100001111000L=∑m（0，1，2，4，6，8，9，10，14）1.化簡(jiǎn)的依據(jù)若卡諾圖中兩個(gè)相鄰的方格均為1,則這兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并,并消去一個(gè)(互為相反的)變量。如ABCD+ABCD=ABC（D+D）=ABC2.化簡(jiǎn)的步逐⑴將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式⑵按最小項(xiàng)表達(dá)式填卡諾圖,凡式中有的最小項(xiàng),其對(duì)應(yīng)方格中填1,其余的填0。⑶合并最小項(xiàng),即將相鄰的1方格圈成一組,每一組含2n個(gè)方格。每個(gè)包圍圈可寫成一個(gè)新的乘積項(xiàng)，且消掉n個(gè)變量。⑷將所有包圍圈對(duì)應(yīng)的乘積項(xiàng)相加，即得化簡(jiǎn)了的邏輯函數(shù)。用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)畫包圍圈時(shí)應(yīng)遵循以下原則：①包圍的方格數(shù)應(yīng)為2n個(gè)，n等于0，1，2，3…。②同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍，但新增包圍圈中一定要有新的方格，否則該圈是多余的。③圈內(nèi)方格數(shù)要盡可能多，圈數(shù)要盡可能的少。④獨(dú)立的1方格，要單獨(dú)圈起來(lái)，不能遺漏任何一個(gè)。要特別注意卡諾圖的閉合性，即記住圖中最上行和最下行、最左列和最右列及四個(gè)角均是相鄰的。ABC0001111001該方框中邏輯函數(shù)的取值與變量A無(wú)關(guān)，當(dāng)B=1、C=1時(shí)取“1”?；?jiǎn)舉例例1：例2：化簡(jiǎn)F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A例3：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式

首先：邏輯代數(shù)式卡諾圖

ABC010001111010101100AB例4：化簡(jiǎn)ABCD0001111000011110ABD

2.7.1邏輯函數(shù)中的約束條件、無(wú)關(guān)項(xiàng)或任意項(xiàng)

在邏輯函數(shù)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣一些問(wèn)題，某些邏輯變量的組合（