立體及其表面上的點和線

立體及其表面上的點和線一、立體的三視圖及其投影規(guī)律二、平面立體及其表面上的點和線三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線平面立體曲面立體一、立體的三視圖及其投影規(guī)律依據(jù)表面性質(zhì)不同，立體可分為：平面立體和曲面立體。平面立體：表面全是平面的立體。曲面立體：表面全是曲面或既有曲面又有平面的立體。在工程上，將立體的三面投影稱為三視圖。V一、立體的三視圖及其投影規(guī)律a'

b'

s'

b

a

c

s

b”s”

a”(c”)投影過程：(1)建立坐標系;(一)三棱錐的三視圖主視圖：從前向后做正投射得到的圖形。俯視圖：從上向下做正投射得到的圖形。左視圖：從左向右做正投射得到的圖形。(2)作正投影;(3)投影面展開;主視圖左視圖俯視圖各點投影符合三面投影特性S

A

C

B

OXZYV一、立體的三視圖及其投影規(guī)律a'

b'

s'

b

a

c

s

b”s”

a”(c”)投影過程：(1)建立坐標系;(2)作正投影;(3)投影面展開;c'

(一)三棱錐的三視圖OXZYa'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影過程：(1)建立坐標系;(2)作正投影;(3)投影面展開;一、立體的三視圖及其投影規(guī)律b

a

c

s

(一)三棱錐的三視圖OXYWZYHVWa'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影過程：(1)建立坐標系;(2)作正投影;(3)投影面展開;一、立體的三視圖及其投影規(guī)律a

s

b

c

(一)三棱錐的三視圖OXYWZYHVHWa'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影過程：(1)建立坐標系;(2)作正投影;(3)投影面展開;一、立體的三視圖及其投影規(guī)律b

a

c

s

XYWZYH(4)整理圖形。(一)三棱錐的三視圖Oa'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影過程：(1)建立坐標系;(2)作正投影;(3)投影面展開;一、立體的三視圖及其投影規(guī)律b

a

c

s

(4)整理圖形。(一)三棱錐的三視圖a'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)b

a

c

s

上下上下左右后前左右后前一、立體的三視圖及其投影規(guī)律(二)三視圖中的方位關(guān)系及投影規(guī)律三視圖投影規(guī)律：(1)主、俯視圖長對正;一、立體的三視圖及其投影規(guī)律高平齊長對正寬相等(2)主、左視圖高平齊;(3)俯、左視圖寬相等。三視圖投影規(guī)律：a'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)b

a

c

s

(二)三視圖中的方位關(guān)系及投影規(guī)律(一)平面立體投影圖的特點二、平面立體及其表面上的點和線步驟：

1.畫圖——畫出棱線和頂點的投影(1)畫底面△ABC

的三投影;(2)畫頂點S

的三投影;(3)畫左棱面△SAB

的三投影；(4)畫右棱面△SBC

的三投影；(5)畫后棱面△SAC

的三投影。XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”A

C

B

S

S

A

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B

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A

C

B

XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”二、平面立體及其表面上的點和線

2.投影分析

(1)底面△ABC

：一個三角形、兩條直線。(水平面)

注意：一個粗實線封閉的線框，表示一個面的投影，通常又是兩個表面的重影。

(2)左棱面△SAB

：三個三角形。(一般位置平面)

(3)右棱面△SBC

：三個三角形。(一般位置平面)

(4)后棱面△SAC

：兩個三角形、一條直線。(側(cè)垂面)(一)平面立體投影圖的特點XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

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s'

s”XOYWYHZa

c

b

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b'

c'

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s'

s”XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”VOXZY(二)立體的無軸投影圖二、平面立體及其表面上的點和線 立體投影的形狀以及投影之間的關(guān)系與軸無關(guān)，因此，可以不必畫出投影軸。VOXZY二、平面立體及其表面上的點和線 在立體是無軸三投影圖上，可以假想選取立體的對稱面、端面、軸線或某一點的投影作為坐標軸或坐標原點。s”b'

a'

c'

b”a”c”acbss'

o”o'

o

以S點的投影作為坐標原點以底面對稱中心作為坐標原點(二)立體的無軸投影圖(三)平面立體的畫法二、平面立體及其表面上的點和線 棱線的可見投影畫成粗實線，棱線的不可見投影畫成細虛線。注意：

1.所有投影的邊緣輪廓線都是可見的，要用粗實線畫出。

2.邊緣輪廓線內(nèi)直線的可見性，要利用交叉兩直線上的重影點來判斷。1(2)1'

2'

s”a'

c'

b”a”c”acbss'

b'

二、平面立體及其表面上的點和線 棱線的可見投影畫成粗實線，棱線的不可見投影畫成細虛線。注意：

3.在每一個投影的封閉輪廓線內(nèi)，如有相交于一點的三條直線，如果交點可見，則直線也可見；它們或者全部都不可見，或者全部都可見。c”b'

a”b”c'

a'

c1”cabb1'

c1'

a1'c1b1a1YHOXb1”a1”YW(三)平面立體的畫法(四)平面立體表面上的點二、平面立體及其表面上的點和線 平面立體表面上取點的方法與平面內(nèi)取點方法完全相同。 點的可見性由點所屬面的可見性決定。例1已知點K及無名點的正面投影，求其余兩面投影。K

S

A

C

B

分析：k’

可見，則點K位于左棱面SAB上；另一點未標注可見性，則該點可能位于右棱面或后棱面上。k'

b”s”

a”(c”)a'

b'

c'

s'

b

a

c

s

b”s”

a”(c”)a'

b'

c'

s'

b

a

c

s

k'

例1已知點K及無名點的正面投影，求其余兩面投影。二、平面立體及其表面上的點和線作圖：

(1)求取過K直線SM的投影

;m'

m

(2)按投影規(guī)律找到k和k”

;

kk”

(3)過無名點正面投影做一平行線，并求取其水平投影；n'

n()

(5)第二種可能性。

(4)根據(jù)投影規(guī)律找到無名點的水平投影和側(cè)面投影；SABC二、平面立體及其表面上的點和線(五)平面立體表面上的線作圖方法：與立體表面取點相同。注意：

只有在同一表面內(nèi)的相鄰兩點的同面投影才可以相連！1'

2'

空間為一折線Ⅰ

Ⅱ

組成折線的兩條線段的共有點（轉(zhuǎn)折點）在兩個面的交線（棱線）上。轉(zhuǎn)折點s'

a'

b'(d')c'

adcbs

s'

a'

b'(d')c'

adcbs

例2已知四棱錐表面上線段的正面投影，求其水平投影。二、平面立體及其表面上的點和線1'

2'

3'

3f'

fh'

g'gh12作圖：

(1)求取過Ⅲ的直線ⅢF

的投影

;

(2)延長1’2’，分別交s’a’、s’c’于g’、h’;

(3)作GⅢ與ⅢH

的水平投影；

(4)求點Ⅰ和點Ⅱ的水平投影；

(5)判斷可見性并連線。三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線 在工程上，回轉(zhuǎn)體應(yīng)用較為廣泛。常見的回轉(zhuǎn)體包括：圓柱體圓錐體 回轉(zhuǎn)面是一類特殊的曲面，是由母線繞固定軸線旋轉(zhuǎn)得到的。表面是回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面和平面的立體，稱為回轉(zhuǎn)體。圓球體圓環(huán)體三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線(一)回轉(zhuǎn)體的形成方法母線上任意一點的軌跡是一個圓周(緯圓)；其圓心是軌跡平面和軸線的交點，半徑是點到軸線的距離。名稱回轉(zhuǎn)面形成方法和簡圖一般性質(zhì)直母線繞和它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成圓錐面圓錐體直母線繞和它平行的軸線回轉(zhuǎn)而成圓柱面圓柱體由圓錐面和一個圓平面圍成的實體由圓柱面和兩個圓平面圍成的實體OOAA1形體構(gòu)成OO圓母線繞以它的直徑為軸線回轉(zhuǎn)而成圓球面圓球體由圓球面圍成的實體圓環(huán)體OOSAOO圓母線繞和它的共面但不過圓心的軸線回轉(zhuǎn)而成圓環(huán)面由圓環(huán)面圍成的實體(二)圓柱體三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線圓柱面最左、最右素線投影左右分界線前后分界線以軸線為鉛垂線的圓柱體為例投影圖：空間分析：圓柱面最前、最后素線投影各面投影特點：

(1)圓柱面：一個圓周與兩個矩形；

(2)上下底面：一個圓與兩條直線。YZXV三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線圓柱體的投影特點：

1.在與軸線垂直的投影面上，圓柱體的投影為圓。

2.在與軸線平行的兩個投影面上，圓柱體的投影為全等的矩形。注意：

1.圓與矩形需要用細點畫線畫出對稱中心線；矩形的對稱中心線是軸線的投影，圓的圓心是軸線的積聚性投影。

2.圓柱面有積聚性，在其有積聚性的投影（圓周）上，任何一點都是相應(yīng)位置直素線的投影。(二)圓柱體三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線例3已知圓柱面上的點A的正面投影，求其余兩面投影。(a')aa”作圖：

(1)過(a’)作投影線，找到直線與圓周的交點;分析：由于圓柱面的水平投影有積聚性，則a必在圓周上;而(a’)不可見，則點A必在后半個圓柱面上；A點在左半個圓柱面上，故a”可見。

(2)根據(jù)投影規(guī)律求出a”。(二)圓柱體三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線例4已知圓柱面上線段的水平投影，求其余兩面投影。a”a'

c'

c”b”(b')d”f”dd'

ACB的側(cè)面投影acbff'

分析：線段的側(cè)面投影隨圓柱面積聚為一段圓弧，可利用積聚性作圖。作圖：(1)取特殊點;(2)取一般點；(3)判斷可見性，光滑連線。(二)圓柱體三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線(三)圓錐體以軸線為鉛垂線的圓錐體為例投影圖：空間分析：各面投影特點：圓錐面最左、最右素線投影圓錐面最前、最后素線投影前后分界線左右分界線

(1)圓錐面：一個圓與兩個等腰三角形；

(2)底面：一個圓與兩條直線。YZXV三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線圓錐體的投影特點：

1.在與軸線垂直的投影面上，圓錐體的投影為圓。

2.在與軸線平行的兩個投影面上，圓錐體的投影為全等的等腰三角形。注意：

1.圓與等腰三角形需要用細點畫線畫出對稱中心線，等腰三角形的對稱中心線是軸線的投影。

2.圓是錐面的投影，也是底面的投影；圓的圓心既是軸線的積聚性投影，也是錐頂?shù)耐队啊?三)圓錐體三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線例5已知圓錐面上的點A的正面投影，求其余兩面投影。a”(a')amm'm”ss's”作圖：

(1)過(a’)作直素線s’m’;分析：圓錐面的投影沒有積聚性，a在圓內(nèi)的某點處，但A必過圓錐面內(nèi)的一條素線;(a’)不可見，則點A必在后半個圓錐面上；A點在左半個圓錐面上，故a”可見。

(2)求出sm和s”m”；

(3)在sm和s”m”上求得a和a”。(三)圓錐體例6已知圓錐面上的點A的水平投影，求其余兩面投影。三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線am'(a”)mPVa'PW作圖：

(1)以s為圓心，sa

的距離為半徑作緯圓，找到緯圓與圓錐最左素線的交點m，并求其正面投影m’

;分析：

A在圓錐面上，則過A必存在圓錐面內(nèi)的一個緯圓;A在前半個圓錐面上，則a’可見；A點在右半個圓錐面上，故a”不可見。ss's”

(2)作過M點的水平面P的跡線；

(3)在平面P的跡線上求得a’與a”。(三)圓錐體三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線例7已知圓錐面上曲線的側(cè)面投影，求其余兩面投影。abc(d)a'b'c'd'e'ss's”(e)km”n”n'k”b”d”k'm'a”c”e”分析：可用緯圓法或直素線法求解;水平投影ac可見,ce不可見；線段正面投影全可見。作圖：(1)特殊點；(2)一般點；(3)判斷可見性，連線。(三)圓錐體三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線(四)圓球體投影圖：空間分析：圓球面平行V面的圓素線投影圓球面平行W面的圓素線投影上下分界線左右分界線圓球面平行H面的圓素線投影圓球面：前后分界線三個全等的圓YZXV例8已知圓球面上點的正面投影，求其余兩面投影。三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線a(b)mm'a'b'n”n'a”b”作圖：

(1)過a(b)作正面緯圓的水平投影，并求其另兩面投影；分析：點在圓球面上，則過點必存在圓球面內(nèi)的一個緯圓;點在前左半圓球面上，則其正面投影和側(cè)面投影都是可見的。

(2)在緯圓的投影(圓與直線)上求得點的兩面投影。(四)圓球體例9已知圓球面上曲線的正面投影，求其余兩面投影。三、回轉(zhuǎn)體及其表面上的點和線b'c'a'c(c”)aa”bb”e'e(e”)d'dd”分析：只能用緯圓法作圖；線段在上半圓球面上，則其水平投影可見；點A在與W面平行的圓素線上，它將線段的側(cè)面投影分為