微積分第一章函數(shù)

§1.1集合集合的概念集合的表示法全集與空集子集集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算律集合的笛卡爾乘積第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日§1.2實(shí)數(shù)集區(qū)間與鄰域(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸.(2)區(qū)間有:開區(qū)間、閉區(qū)間和半開半閉區(qū)間.第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日區(qū)間也可以按其長(zhǎng)度分為:有限區(qū)間和無限區(qū)間.鄰域的概念

定義1.1設(shè)為一實(shí)數(shù),為一正實(shí)數(shù),即則稱集合為點(diǎn)的鄰域.若和均為有限的常數(shù),則區(qū)間均為有限區(qū)間無限區(qū)間有第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日點(diǎn)的鄰域,在幾何上表示的是以為圓心,以為半徑的開區(qū)間其區(qū)間長(zhǎng)度為見下圖所示

注意:一般鄰域內(nèi)的點(diǎn)是指在點(diǎn)附近的點(diǎn),故應(yīng)將理解為比較小的正數(shù).1.3.函數(shù)的定義第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日

定義1.2:設(shè)和分別為兩個(gè)實(shí)數(shù)集合,為一對(duì)應(yīng)關(guān)系,如果對(duì)于中的每一個(gè)元素按照對(duì)應(yīng)關(guān)系在集合中均有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),即則稱變量為變量的函數(shù),記作其中稱為因變量,稱為自變量,稱為對(duì)應(yīng)法則,稱為該函數(shù)的定義域.

關(guān)于該定義應(yīng)注意當(dāng)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則確定了以后,該函數(shù)便被唯一的確定了,因此稱函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則為確定函數(shù)關(guān)系的兩大要素.第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日

例1判斷下列各組函數(shù)是否相同

解(1)

不同.因?yàn)榈亩x域是而的定義域?yàn)?顯然它們的定義域不同.

(2)

相同.因?yàn)樗鼈兊亩x域均為全體實(shí)數(shù)相同,且對(duì)應(yīng)法則也相同第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日

3.函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域,是使函數(shù)有意義的自變量的取值的范圍.求函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意:

(1)考慮自變量與因變量有無實(shí)際意義;

(2)如果一個(gè)函數(shù)是若干項(xiàng)的代數(shù)和,則分別求出每一項(xiàng)的取值范圍后,取其交集即可得定義域;

(3)對(duì)于分段函數(shù)來說,其定義域就是各區(qū)間的并集合.第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日

解(1)要使該函數(shù)有意義,須有解之得故該函數(shù)的定義域?yàn)?故該函數(shù)的定義域?yàn)?

例2求下列函數(shù)的定義域(2)要使該函數(shù)有意義,須有解之得第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日例3.確定函數(shù)的的定義域.第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日(2)圖象法(圖形法).如函數(shù)

的圖象為:

(3)列表法(表格法).

1.4.函數(shù)的表示法(1)解析法(公式法).如函數(shù)注意:有些函數(shù)是多個(gè)(兩個(gè)或兩個(gè)以上)解析式表示一個(gè)函數(shù),數(shù)學(xué)上稱這種函數(shù)為分段函數(shù).第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日1.5.建立函數(shù)關(guān)系的例題解決應(yīng)用問題,首先要建立數(shù)學(xué)模型,也就是建立函數(shù)關(guān)系.在建立過程中,要確定自變量和因變量,還要考慮函數(shù)的定義域.例子:某工廠生產(chǎn)某型號(hào)車床,年產(chǎn)量為a臺(tái),分批生產(chǎn),每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為b元.該產(chǎn)品均勻投入市場(chǎng),且上一批用完后即生產(chǎn)下一批,即平均庫存量為批量的一半.設(shè)每年每臺(tái)庫存費(fèi)為c元.為了選擇最優(yōu)庫存,試求出一年中庫存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和與批量的函數(shù)關(guān)系.第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日解:設(shè)批量為x,庫存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和為P(x).那么我們有:函數(shù)自變量x的定義域?yàn)?0,a],并且x是正整數(shù).1.6.函數(shù)的幾種特性第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日1奇偶性:設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,如果對(duì)于任意,都有,則稱該函數(shù)為奇函數(shù);若對(duì)于任意,都有則稱該函數(shù)為偶函數(shù).例1判斷下列函數(shù)的奇偶性解(1)因?yàn)榈谑摚捕摚?022年，8月28日所以函數(shù)是奇函數(shù).

(3)因?yàn)榈亩x域?yàn)樗院瘮?shù)無奇偶性,是非奇非偶函數(shù).雖然所以是偶函數(shù).(2)因?yàn)榈谑捻摚捕摚?022年，8月28日注:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(4)因?yàn)樗院瘮?shù)是偶函數(shù).

2.單調(diào)性

設(shè)函數(shù)在上有定義,對(duì)任意如果,則必有,則稱函數(shù)在上單調(diào)遞增;如果,則必有,則稱函數(shù)在上單調(diào)遞減.注:單調(diào)遞增的函數(shù)其圖象從左到右是上升的,第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日而單調(diào)遞減的函數(shù)其圖象從左到右是下降的.見下圖yyxxoo

例如函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;而函數(shù)在定義域上均單調(diào)遞增.其圖象如下:

單調(diào)遞增單調(diào)遞減yxoyxo單調(diào)性遞增開始演示!演示單調(diào)性遞減開始演示第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日

3.周期性

注意:(1)說函數(shù)遞增還是遞減時(shí),應(yīng)明確指出在哪一個(gè)區(qū)間上.因同一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上單調(diào)性可能不同.如函數(shù)(2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)在其定義域上均單調(diào)遞增(或遞減)時(shí),才稱該函數(shù)為單調(diào)函數(shù).如是單調(diào)函數(shù).設(shè)函數(shù)在上有定義,如果存在正常數(shù)使得對(duì)于中的任意,都有則稱該函數(shù)為周期函數(shù),且稱最小的為該函數(shù)的周期.如函數(shù)也是周期函數(shù),其周是周期函數(shù),其周期為而期為第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日

4.有界性

設(shè)函數(shù)在上有定義,如果存在正數(shù),使得對(duì)于任意,都有恒成立.則稱該函數(shù)在區(qū)間上有界.否則,稱該函數(shù)在區(qū)間上無界.如函數(shù)在區(qū)間上有界,因在該區(qū)間上恒有成立;在區(qū)間上無界.而函數(shù)在其定義域R有界.因?yàn)榭傆械谑隧?，共二十六頁?022年，8月28日注意:(1)說一個(gè)函數(shù)是否有界,一般要指出區(qū)間.因同一個(gè)函數(shù),在某區(qū)間上可能有界,而在另一個(gè)區(qū)間上可能會(huì)無界.(2)若一個(gè)函數(shù)在其定義域上有界時(shí),可以不說區(qū)間,這時(shí)稱函數(shù)是有界函數(shù).

反函數(shù)1.反函數(shù)的定義B

定義1.3

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧螦,其值域?yàn)锽,如果對(duì)于B中的每一個(gè)元素,在集合A中都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則說在集合B上定義了一個(gè)函數(shù),稱該函數(shù)為的反函數(shù),記作,第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日

注1:易見反函數(shù)的定義域B即是原來函數(shù)的值域,而其值域即是原來函數(shù)的定義域.

注2:為了合呼我們的習(xí)慣,常把中的換為,把換為,從而的得.由于并不改變其定義域和對(duì)應(yīng)法則,所以它們是相同的函數(shù).

注3:函數(shù)與互為反函數(shù)

2.反函數(shù)的性質(zhì)第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日

(1)單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且其反函數(shù)的單調(diào)性與原來函數(shù)的單調(diào)性一致.(2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.3.反函數(shù)的求法例4求的反函數(shù)

反函數(shù)的求法分三步:

①從中解出;②判斷中的與是否一一對(duì)應(yīng);③若一個(gè)對(duì)應(yīng)唯一一個(gè),則將其換為,換為,即得函數(shù)的反函數(shù).第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日

解從中解出,得顯然,每一個(gè)均對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè),所以交換變量得其反函數(shù)為基本初等函數(shù)

1.常量函數(shù)2.冪函數(shù)

3.指數(shù)函數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)6.反三角函數(shù)第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日1.常函數(shù)yxoxoy3.指數(shù)函數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)oyxoyx

基本初等函數(shù)圖象如下2.冪函數(shù)第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日5.三角函數(shù)x

yyx第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日6.反三角函數(shù)因?yàn)樵谄涠x域內(nèi)不單調(diào),因此在整個(gè)定義域內(nèi)沒有反函數(shù).為了求其反函數(shù),我們需要縮小定義范圍,所定義的新區(qū)間應(yīng)滿足以下三個(gè)條件:①在所定義的區(qū)間上必須單調(diào);②所定義的區(qū)間應(yīng)盡可能的大一些;③所定義的區(qū)間要包含坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)(或盡可能靠近坐標(biāo)原點(diǎn)).于是,選擇區(qū)間最合適y因?yàn)樯鲜讲惶虾舸蠹业牧?xí)慣,所以常做變量的更換,得由反函數(shù)的圖象對(duì)稱性可做出其圖象為:第二十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日初等函數(shù)

注1:條件非常重要,只