彈性力學(xué)第八章空間問題的解答

彈性力學(xué)第八章空間問題的解答第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間問題（1）第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間問題（2）代入平衡微分方程第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間問題（3）得到按位移求解空間問題時需要的基本微分方程：其中：第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間軸對稱問題（1）同樣方法，運用以下三組方程可以得到按位移求解空間軸對稱問題時需要的基本微分方程：第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間軸對稱問題（1）同樣方法，運用以下三組方程可以得到按位移求解空間軸對稱問題時需要的基本微分方程：第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間軸對稱問題（2）同樣方法，運用以下三組方程可以得到按位移求解空間軸對稱問題時需要的基本微分方程：第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日半空間體受重力及均布壓力（1）qoρgh設(shè)有半空間體，密度為ρ，在水平邊界上受均布壓力q,以邊界面為xy面，z軸鉛直向下。試求解半空間體的位移以及應(yīng)力分量。第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日abcFρo第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日應(yīng)力狀態(tài)（1）xzyPpxpypzn’空間問題平面問題第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日應(yīng)力狀態(tài)（2）xzyPpxpypzn’注：如果已知空間中一點的六個應(yīng)力分量，就可以得到任一斜面上的正應(yīng)力以及切應(yīng)力，因此可以說六個應(yīng)力分量決定了一點的應(yīng)力狀態(tài)。第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日應(yīng)力邊界條件xzyPn’若圖示實線斜面是受有面力作用的邊界面，則：上式為空間問題的應(yīng)力邊界條件。第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日主應(yīng)力（1）若某一斜面上只有正應(yīng)力，于是該面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)上的投影成為：于是：又有：因此可求解主應(yīng)力大小及方向：。第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日代入原方程求解主應(yīng)力的方向。主應(yīng)力（2）若有非零解，則：第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日主應(yīng)力的存在（3）注：該方程的三個解一定為實數(shù)，即總存在三個互相垂直的主應(yīng)力。第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日主應(yīng)力（4）1）在受力物體內(nèi)任意一點，一定存在三個互相垂直的應(yīng)力主面以及對應(yīng)的三個主應(yīng)力。2）在受力物體內(nèi)的任意一點，三個互相垂直的面上的正應(yīng)力之和是不變量（不隨坐標(biāo)系變化），并且等于該點的三個主應(yīng)力之和。3）三個主應(yīng)力中最大的一個就是該點的最大正應(yīng)力，最小的一個就是該點的最小正應(yīng)力。4）最大與最小的切應(yīng)力，在數(shù)值上等于最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力之差的一半，作用在通過中間主應(yīng)力并且“平分最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力的夾角”的平面上。第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日幾何方程及位移邊界條件采用與平面問題的幾何方程一致的推導(dǎo)方法，可以得到：位移邊界條件：第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日體應(yīng)變單位體積的改變稱為體應(yīng)變，用θ表示：體應(yīng)變與位移的關(guān)系：第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日物理方程（1）：體積應(yīng)力體積模量第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日物理方程（2）用應(yīng)變表達應(yīng)力：第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日空間問題小結(jié)對于空間問題，一共有15個未知函數(shù)，它們是6個形變分量，6個應(yīng)力分量，3個位移分量。而我們也有15個基本方程，它們是6個幾何方程，6個物理方程，3個平衡方程。此外，求出的解還必須滿足位移邊界條件以及應(yīng)力邊界條件。第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日軸對稱問題在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀，約束情況以及所受的外力作用都是對稱于某一軸（通過這個軸的任一平面都是對稱面），則所有的應(yīng)力，形變以及位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。在描述軸對稱問題中的應(yīng)力，形變及位移時，宜采用圓柱坐標(biāo)ρ，φ，z。這樣可以使得應(yīng)力分量，應(yīng)變分量，位移分量都是ρ，z

的函數(shù)，不隨φ

變化。另外，所有物理量必須對稱過z軸的任何平面，凡不符合對稱性的物理量為零。xzyPCAB第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日軸對稱問題的平衡方程與幾何方程xzyPCAB第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日軸對稱問題的平衡方程與幾何方程