第七章-相關(guān)分析

第七章相關(guān)和回歸分析PowerPoint統(tǒng)計(jì)學(xué)開篇案例

一家大型商業(yè)銀行在多個(gè)地區(qū)設(shè)有分行，其業(yè)務(wù)主要是進(jìn)行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、國家重點(diǎn)建設(shè)和固定資產(chǎn)投資等項(xiàng)目的貸款。近年來，隨著經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變化，該銀行的貸款額平穩(wěn)增長，但不良貸款額也有較大比例的提高，這給銀行業(yè)務(wù)帶來較大的壓力。開篇案例

為弄清楚不良貸款形成的原因，銀行行長除了對(duì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境做了廣泛的調(diào)研外，還希望利用銀行業(yè)務(wù)的有關(guān)數(shù)據(jù)做些定量分析，以便找出控制不良貸款的辦法。

為此，有關(guān)人員收集了該銀行所屬的25家分行2010年的有關(guān)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)（如下表7—1）某商業(yè)銀行2010年的主要業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)分行編號(hào)各項(xiàng)貸款余額（億元）貸款項(xiàng)目個(gè)數(shù)（個(gè)）固定資產(chǎn)投資額（億元）不良貸款（億元）167.3551.90.92111.31690.91.13173.01773.74.8480.81014.53.25199.71963.27.8616.212.22.77107.41720.21.68185.41843.812.5996.11055.91.11072.81464.32.61164.21142.70.312132.22376.74.0表7—1：銀行業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)1續(xù)表：分行編號(hào)各項(xiàng)貸款余額（億元）貸款項(xiàng)目個(gè)數(shù)（個(gè)）本年固定資產(chǎn)投資額（億元）不良貸款（億元）1358.61422.80.814174.626117.13.515263.534146.710.21679.31529.93.01714.8242.10.21873.51125.30.41924.7413.41.020139.42864.36.821368.232163.911.62295.71044.51.623109.61467.91.224196.21639.77.225102.21097.13.2銀行業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)2

行長想知道，不良貸款是否與貸款余額、貸款項(xiàng)目的多少、固定資產(chǎn)投資等因素有關(guān)？如果有關(guān)系，它們之間是一種什么樣的關(guān)系？關(guān)系強(qiáng)度如何？此外，能否將不良貸款與其它幾個(gè)因素之間的關(guān)系用一定的數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)出來，并利用所建立的關(guān)系式來預(yù)測(cè)不良貸款？行長的要求回歸分析理論回歸計(jì)算公式相關(guān)計(jì)算案例思考?

如果你是這家銀行的一位統(tǒng)計(jì)人員，怎樣幫助行長解決這些問題？？？案例思考?問題剖析：

解決這些問題所需要用到的統(tǒng)計(jì)知識(shí)就是相關(guān)與回歸分析。案例中提出的問題有兩類：找出不良貸款與貸款余額、貸款項(xiàng)目數(shù)及固定資產(chǎn)投資等幾個(gè)因素之間的關(guān)系；將它們之間的關(guān)系用一定的數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)出來，并通過這一關(guān)系式來預(yù)測(cè)不良貸款。問題剖析延伸思考......

在生產(chǎn)和經(jīng)營活動(dòng)中，還有很多此類的問題。比如:在企業(yè)生產(chǎn)中，我們要對(duì)影響生產(chǎn)成本的各種因素進(jìn)行分析，以達(dá)到控制成本的目的；在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，我們需要研究農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系，以便分析施肥量對(duì)產(chǎn)量的影響，進(jìn)而確定合理的施肥量；在商業(yè)活動(dòng)中，我們需要分析廣告費(fèi)支出與銷售量之間的關(guān)系，進(jìn)而通過廣告費(fèi)支出來預(yù)測(cè)銷售量，等等……延伸思考

相關(guān)關(guān)系的概念和種類

相關(guān)分析的方法

回歸分析本章內(nèi)容本章內(nèi)容現(xiàn)象之間的關(guān)系表現(xiàn)為：1、函數(shù)關(guān)系：2、相關(guān)關(guān)系：1）現(xiàn)象之間確實(shí)存在數(shù)量上的相互依存關(guān)系；第一節(jié)相關(guān)關(guān)系的概念和種類一、相關(guān)關(guān)系的概念幾個(gè)變量之間關(guān)系的例子……一種確定性、嚴(yán)格的依存關(guān)系，可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式準(zhǔn)確表示出來?，F(xiàn)象之間確實(shí)存在的、數(shù)量上的非確定性的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2）這種依存關(guān)系的具體關(guān)系值不是固定的?！纠?.1】在銷售價(jià)格不變的情況下，某種產(chǎn)品的銷售額與銷售量之間的關(guān)系?！纠?.2】園的面積與半徑之間的關(guān)系。變量間的關(guān)系：【例7.3】一個(gè)人的收入水平同其受教育水平之間的關(guān)系。【例7.4】從遺傳學(xué)的角度看，子女的身高與其父母身高之間的關(guān)系?！纠?.5】學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與學(xué)習(xí)時(shí)間之間的關(guān)系?！纠?.6】商品的銷售量與廣告費(fèi)之間的關(guān)系。變量間的關(guān)系由于觀察或測(cè)量等原因，函數(shù)關(guān)系在實(shí)際中往往通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來；在研究相關(guān)關(guān)系時(shí)，常借助函數(shù)關(guān)系加以分析說明；從某種角度說，函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的特例。函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系之間的聯(lián)系：二、相關(guān)關(guān)系的種類按相關(guān)涉及的因素多少分類單相關(guān)：兩個(gè)因素之間的相關(guān)關(guān)系復(fù)相關(guān)：三個(gè)或三個(gè)以上因素之間的相關(guān)關(guān)系按相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式分類直線相關(guān)（線性相關(guān)）：表現(xiàn)近似直線曲線相關(guān)：表現(xiàn)近似曲線按相關(guān)的程度分類完全相關(guān)：實(shí)質(zhì)就是確定性的函數(shù)關(guān)系不完全相關(guān)：介于上述之間無相關(guān)：因素之間完全沒有關(guān)系正相關(guān)：變量同向變化負(fù)相關(guān)：變量反向變化按相關(guān)的方向分類相關(guān)表：是指將相關(guān)變量的數(shù)值，按標(biāo)志值的大小順序一一對(duì)應(yīng)而平行排列起來的統(tǒng)計(jì)表。第二節(jié)相關(guān)分析的方法一、相關(guān)表和相關(guān)圖相關(guān)分析的方法：定性分析（圖表法）和定量分析（相關(guān)系數(shù)）；定性分析一般只適用于兩個(gè)變量。例（續(xù)前例1）相關(guān)圖：在平面直角坐標(biāo)系中，以橫軸表示變量X,縱軸表示變量Y，將相關(guān)變量的資料數(shù)值在坐標(biāo)圖中表示出來（能較直觀地看出兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的粗略形式），也稱散點(diǎn)圖、散布圖。（1）正線性相關(guān)（2）負(fù)線性相關(guān)（3）完全正線性相關(guān)············X·Y······X··Y··（4）完全負(fù)線性相關(guān)XY··········（5）非線性相關(guān)XY·················（6）不相關(guān)XY····································X·····Y·····相關(guān)圖例（續(xù)前例2）二、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用相關(guān)系數(shù)：用于測(cè)定兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度和相關(guān)方向的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)（用r表示）。1、積差法計(jì)算r：2、簡捷計(jì)算方法1.特點(diǎn)：2.判斷標(biāo)準(zhǔn)：相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)和相關(guān)程度的判斷標(biāo)準(zhǔn)

相關(guān)系數(shù)取值及其意義-1.0+1.00-0.5+0.5完全負(fù)相關(guān)無線性相關(guān)完全正相關(guān)負(fù)相關(guān)程度增加r正相關(guān)程度增加舉例回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的變量，根據(jù)其關(guān)系形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型（稱為回歸方程式），用以近似地表示變量之間的數(shù)學(xué)變化關(guān)系。第三節(jié)回歸分析一、回歸分析的概念直線回歸（線性回歸）曲線回歸（非線性回歸）簡單直線回歸（一元線性回歸）多元線性回歸回歸分析的種類：回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別和聯(lián)系：1）2）

相關(guān)分析的兩個(gè)變量是對(duì)等的，不必區(qū)分自變量和因變量；回歸分析必須根據(jù)研究目的具體確定自變量和因變量。3）

相關(guān)分析的兩個(gè)變量都是隨機(jī)變量；回歸分析中，自變量是可控制的量（給定的值），因變量是隨機(jī)變量（隨x而變動(dòng)）。

相關(guān)分析中，改變x,y位置不影響相關(guān)系數(shù)r的數(shù)值；回歸分析中，改變x,y位置，則回歸方程會(huì)發(fā)生變化。聯(lián)系：1）相關(guān)分析是回歸分析的前提和基礎(chǔ)；2）回歸分析是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。區(qū)別：二、簡單直線回歸（一元線性回歸）

一般根據(jù)問題的性質(zhì)、相關(guān)理論和常識(shí)確定。如果不能確定，或者兩個(gè)變量互為根據(jù)，則可以有兩個(gè)回歸方程：確定自變量x和因變量y:②y為自變量，x為因變量（x倚y）的回歸方程：①x為自變量，y為因變量（y倚x）的回歸方程：

注：兩個(gè)現(xiàn)象之間的相關(guān)系數(shù)r只有一個(gè)，但回歸方程（回歸系數(shù)）可能有兩個(gè)。（這里采用第一個(gè)模型）

a的經(jīng)濟(jì)含義一般不作解釋，b的經(jīng)濟(jì)含義是自變量變動(dòng)一個(gè)單位，因變量平均變動(dòng)b個(gè)單位。簡單線性回歸方程的建立及應(yīng)用

計(jì)算待估參數(shù)a和b：一般根據(jù)最小平方法（最小二乘法）計(jì)算，推導(dǎo)如下：

1）根據(jù)最小平方法原理，參數(shù)要使得理論值與實(shí)際值的離差平方和最小：計(jì)算待估參數(shù)a、b2）假設(shè)Q是連續(xù)可微，將代入Q，得，分別求一階偏導(dǎo)：整理得到二元一次方程：3）從中可以解出：舉例這樣就得到了直線回歸方程：回歸方程

鏈接開篇案例

回歸直線或曲線是用來代表變量之間關(guān)系的一般水平。根據(jù)回歸線推測(cè)的因變量顯然與實(shí)際值有差異，這種差異大小說明推算的準(zhǔn)確性以及回歸線代表性的大小。·········yx回歸線回歸方程的評(píng)價(jià)常用的評(píng)價(jià)回歸方程的指標(biāo)有：估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差和判定系數(shù)

另外一個(gè)公式（簡捷計(jì)算）：1.估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差——因變量實(shí)際值（觀測(cè)值）y和估計(jì)值

（簡稱：估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤）

yc的平均離差。用來代表回歸直線

代表性大小的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。Syx越小觀測(cè)值離回歸直線越近，回歸直線代表性越大；Syx越大觀測(cè)值離回歸直線越遠(yuǎn)，回歸直線代表性越??；Syx=0所有相關(guān)點(diǎn)都落在回歸直線上，估計(jì)結(jié)果完全準(zhǔn)確。例2.判定系數(shù)R2——用來度量回歸直線與樣本觀察值擬合優(yōu)劣的程度。R2越接近1，說明回歸直線擬合程度越好；R2越接近0，說明回歸直線擬合程度越差；R2為相關(guān)系數(shù)r的平方，但兩者表示意義不同：r——說明兩變量之間的相關(guān)程度大??；R2——說明直線回歸方程的代表性大小。R2的實(shí)際意義是，在因變量的總變動(dòng)中，可以由回歸直線來解釋的比率。或者說，在因變量的總變動(dòng)中，可以由自變量所決定的百分比。例1、越大，越小。極端時(shí)，，此時(shí)，實(shí)際值與理論值完全相等，完全相關(guān)。2、越小，越大。極端時(shí)，,

此時(shí)，兩變量不相關(guān)。

相關(guān)系數(shù)與估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤的關(guān)系：可見：r與Syx在數(shù)值大小上表現(xiàn)為相反的關(guān)系。r與Syx從不同角度說明了相關(guān)密切與否，由于r表明了關(guān)系程度更明確，并且能說明相關(guān)的方向（正相關(guān)或負(fù)相關(guān)），故一般情況下使用r。相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)及估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤的關(guān)系可見：r與b一定同符號(hào)。

相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系利用回歸方程進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)

回歸分析的目的是根據(jù)所建立的回歸方程來進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)（控制）。不良貸款倚貸款余額的直線回歸方程：[分析]:b（回歸系數(shù)）的經(jīng)濟(jì)含義：表示貸款余額每增加1億元，不良貸款平均增加0.0379億元。[預(yù)測(cè)]:當(dāng)貸款余額增加到500億元時(shí)，則可以預(yù)測(cè)不良貸款為：[續(xù)前例]鏈接到相關(guān)表練習(xí)題三、多元線性回歸（介紹）模型：同樣采用最小平方法求解，得到多元線性回歸方程：常數(shù)項(xiàng)偏回歸系數(shù)隨機(jī)誤差項(xiàng)一般先將曲線用代換法線性化，再按照最小平方法進(jìn)行處理。指數(shù)模型：四、曲線回歸(非線性）例題貸款余額和不良貸款的相關(guān)表各項(xiàng)貸款余額（億元）不良貸款（億元）14.80.216.22.724.71.058.60.864.20.367.30.972.82.673.50.479.33.080.83.295.71.696.11.0102.23.2各項(xiàng)貸款余額（億元）不良貸款（億元）107.41.6109.61.2111.31.1132.24.0139.46.8173.04.8174.63.5185.412.5196.27.2199.77.8263.510.2368.211.6————返回返回至回歸分析和預(yù)測(cè)不良貸款與貸款余額的相關(guān)圖返回鏈接到相關(guān)系數(shù)的計(jì)算不良貸款與貸款項(xiàng)目數(shù)的相關(guān)圖返回不良貸款與固定資產(chǎn)投資額的相關(guān)圖返回分行編號(hào)貸款余額（億元）不良貸款（億元）167.30.92111.31.13173.04.8480.83.25199.77.8616.22.7.........合計(jì)3006.793.20.811.2123.0410.2460.847.29...4529.2912387.6929929.006528.6439880.09262.44...516543.4660.160.57122.43830.4258.561557.6643.74...17080.1即不良貸款和貸款余額之間為高度的正相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)的計(jì)算舉例返回返回至行長要求【續(xù)例】：同理，我們可以計(jì)算出：相關(guān)系數(shù)的計(jì)算舉例2

不良貸款與貸款項(xiàng)目數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)為

0.7003，屬顯著正相關(guān)；

不良貸款與固定資產(chǎn)投資額之間的相關(guān)系數(shù)為0.5158，屬顯著正相關(guān)；從上面計(jì)算可看出，在不良貸款與其它幾個(gè)變量的關(guān)系中，與貸款余額的相關(guān)系數(shù)最大，而與固定資產(chǎn)投資額的相關(guān)系數(shù)最小。返回回歸方程建立的舉例分行編號(hào)貸款余額（億元）不良貸款（億元）167.30.92111.31.13173.04.8480.83.25199.77.8616.22.7.........合計(jì)3006.793.24529.2912387.6929929.006528.6439880.09262.44...516543.460.57122.43830.4258.561557.6643.74...17080.1返回直線回歸方程的建立

這樣得出不良貸款倚貸款余額的直線回歸方程：返回b（回歸系數(shù)）的經(jīng)濟(jì)含義：表示貸款余額每增加1億元，不良貸款平均增加0.0379億元。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算分行編號(hào)貸款余額（億元）不良貸款（億元）167.30.92111.31.13173.04.8480.83.25199.77.8616.22.7.........合計(jì)3006.793.20.811.2123.0410.2460.847.29...660.160.57122.43830.4258.561557.6643.74...17080.1續(xù)前例：返回估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算這就是說，根據(jù)貸款余額來估計(jì)不良貸款時(shí)，平均的估計(jì)誤差為1.98億元。

不良貸款和貸款余額之間的相關(guān)系數(shù)為:判定系數(shù)的計(jì)算返回[續(xù)前例]

由此，可計(jì)算出回歸方程的判定系數(shù)為:

也就是說，在不良貸款的總變動(dòng)中，有71.17％是由貸款余額所決定的?？梢?，不良貸款與貸款余額之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系。

同時(shí)，也說明了不良貸款與貸款余額之間的線性回歸方程具有較強(qiáng)的代表性。例1產(chǎn)量（公斤）生產(chǎn)費(fèi)用（萬元）20042204.52504.72704.82805.2合計(jì)122023.2某企業(yè)產(chǎn)量和生產(chǎn)費(fèi)用資料如下：計(jì)算產(chǎn)量和生產(chǎn)費(fèi)用的相關(guān)系數(shù)。19365763667612960.40960.01960.00360.02560.31360.772452028.163.360.364.1620.1656.2積差法：簡捷法：產(chǎn)量（公斤）生產(chǎn)費(fèi)用（萬元）20042204.52504.72704.82805.2合計(jì)122023.21620.2522.0923.0427.044000048400625007290078400302200108.428009901175129614565717返回即產(chǎn)量和生產(chǎn)費(fèi)用之間為高度的正相關(guān)關(guān)系。例2根據(jù)例1中的資料，配合生產(chǎn)費(fèi)用倚產(chǎn)量的直線回歸方程，說明回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義，并預(yù)測(cè)當(dāng)產(chǎn)量為300公斤時(shí)的生產(chǎn)費(fèi)用。產(chǎn)量（公斤）生產(chǎn)費(fèi)用（萬元）20042204.52504.72704.82805.2合計(jì)122023.240000484006250072900784003022005717800990117512961456這樣得出生產(chǎn)費(fèi)用倚產(chǎn)量的直線回歸方程：b（回歸系數(shù)）的經(jīng)濟(jì)含義表示產(chǎn)量增加一公斤，生產(chǎn)費(fèi)用平均增加0.0124萬元。

當(dāng)產(chǎn)量增加到300公斤時(shí)，則可以預(yù)測(cè)生產(chǎn)費(fèi)用為：返回例3計(jì)算例2回歸直線的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：產(chǎn)量（公斤）生產(chǎn)費(fèi)用（萬元）20042204.52504.72704.82805.2合計(jì)122023.21620.2522.0923.0427.044.09444.34244.71444.96245.0864108.4257178009901175129614560.0089110.0248380.0002070.0263730.0129050.073234根據(jù)回歸方程計(jì)算出每個(gè)產(chǎn)量對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)費(fèi)用的理論值另一種公式：返回練習(xí)題收入（元）支出（元）500300800500100060012007001500900合計(jì)500030009000025000036000049000081000025000064000010000001440000225000055800002000000334000015000040000060000084000013500001）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并判斷相關(guān)程度和相關(guān)方向。2）配合值線回歸方程，并說明回歸系數(shù)（斜率）的經(jīng)濟(jì)含義3）估計(jì)收入為2000元時(shí)的支出1、某收入與支出的調(diào)查結(jié)果如下：參考答案12.

對(duì)某省六個(gè)地區(qū)的國內(nèi)生產(chǎn)總值和財(cái)政收入進(jìn)行調(diào)查分析。設(shè)國內(nèi)生產(chǎn)總值為（億元），財(cái)政收入為（億元），調(diào)查資料經(jīng)整理和計(jì)算后的結(jié)果如下：要求：（1）計(jì)算國內(nèi)生產(chǎn)總值與財(cái)政收入的相關(guān)系數(shù)，并說明其相關(guān)程度；（2）建立國內(nèi)生產(chǎn)總值與財(cái)政收入的直線回歸方程，并說明回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)涵義；（3）估計(jì)國內(nèi)生產(chǎn)總值為5億元時(shí)的財(cái)政收入。

參考答案23.

已知、兩變量的有關(guān)資料如下：要求：（1）計(jì)算兩變量之間的相關(guān)系數(shù)，并說明其相關(guān)程度；（2）建立倚的直線回歸方程，并說明回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)涵義；

參考答案34.某地區(qū)家計(jì)調(diào)查資料得到，每戶人均年收入為6800元，標(biāo)準(zhǔn)差為800元，每戶人均年消費(fèi)支出為5200元，方差為40000，支出對(duì)于收入的回歸系數(shù)為0.2。根據(jù)上述資料要求：（1）計(jì)算收入與支出的相關(guān)系數(shù)；（2）擬合支出對(duì)于收入的線性回歸方程；（3）估計(jì)年收入在7300元時(shí)的消費(fèi)支出（4）收入每增加1元時(shí)，支出平均增加多少元。參考答案41）可見，收入和支出之間為高度正相關(guān)參考答案12）模型為則回歸系數(shù)b的經(jīng)濟(jì)含義是，當(dāng)收入增加1元時(shí)，支出平均增加0.586元。3）當(dāng)收入達(dá)到2000元時(shí)，支出為1186元返回參考答案2（1）國內(nèi)生產(chǎn)總值與財(cái)政收入的相關(guān)系數(shù)：（2）設(shè)國內(nèi)生產(chǎn)總值與財(cái)政收入的直線回歸方程為：

故所求回歸直線方程為：回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)涵義：當(dāng)國內(nèi)生產(chǎn)總值每增加1億元時(shí)，財(cái)政收入

平均增加0.911億元?？梢姡瑖鴥?nèi)生產(chǎn)總值與財(cái)政收入之間為高度的線性相關(guān)。（1分）（4分）（2分）（2分）（1分）