直線與平面垂直的判定線面夾角

2.3.1線面垂直的判定②—線面所成的夾角一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。線面垂直的判定線線垂直垂直面內(nèi)相交線面垂直a一條直線PA

和一個(gè)平面a

相交,但不垂直,lA其交點(diǎn)A

叫做斜足。

這條直線叫做這個(gè)平面的斜線

PTSRQ平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段有無(wú)數(shù)條但是該點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段有且只有一條斜線與斜足如圖,

直線l

與平面a

斜交于一點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A

在平面a

內(nèi)作直線l1,l2,l3,…,這些直線與直線l

的夾角中,你認(rèn)為哪個(gè)角最小?怎樣確定這個(gè)最小的角?lal4Al3l1l2P過(guò)l

上任一點(diǎn)P

作平面a

的O垂線PO,垂足為O,連結(jié)AO,則∠PAO

就是那個(gè)最小的角.直線和平面所成的角aPO過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面引垂線PO直線和平面所成的角lA平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角

叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.過(guò)垂足O

和斜足A

的直線AO

叫斜線在平面上的射影

OPaQPO∩a=O,O為斜足PQ⊥a,Q

為垂足OQ

是PO

在平面a上的射影∠POQ是斜線PQ

與平面

a

所成的角.特例1:

如果直線垂直平面,

直線和平面所成的角為直角;特例2:

如果直線和平面平行或在平面內(nèi),

就說(shuō)直線和平面所成的角是0o的角.直線和平面所成的角已知直線l1、l2和平面a

所成的角相等,能否判斷l(xiāng)1∥l2?反之,如果l1∥l2,l1,l2

與平面a

所成的角是否相等?如圖aABCDOAB⊥a,CD⊥a∠AOB=∠COD而AO

與CO

不平行.和同一平面所成的角相等的兩條斜線不一定平行.aABCDO1O2如圖AB∥CD,AO1⊥a,CO2⊥a,則AO1∥CO2,于是得∠BAO1=∠DCO2在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2已知直線l1、l2和平面a

所成的角相等,能否判斷l(xiāng)1∥l2?反之,如果l1∥l2,l1,l2

與平面a

所成的角是否相等?兩條平行線和同一個(gè)平面所成的角一定相等.1、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面ABCD

所成的角。ABCA1B1C1D1D2、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面B1D1D

B所成的角。ABCA1B1C1D1D3、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角。ABCA1B1C1D1D1、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面ABCD

所成的角。ABCA1B1C1D1D分析:需在平面ABCD上找到直線A1B的射影.∠BA1O就是所要求的線面角,A是垂足，B是斜足AB是A1B在平面ABCD上的射影∠BA1O=45°2、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面B1D1D

B所成的角。ABCA1B1C1D1D分析:需在平面B1D1D

B上找到直線A1B的射影.∠A1BO就是所要求的線面角,B是斜足，找

A1在面B1D1D

B的垂足O是垂足，OB是A1B在面B1D1D

B上的射影OA1O⊥B1D1A1O⊥B1B

A1O⊥面B1D1D

BABCA1B1C1D1DO2、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面B1D1D

B所成的角?！螦1BO就是所要求的線面角,OA1B3、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角。ABCA1B1C1D1DO分析:需在平面A1B1CD

上找到直線A1B的射影.∠OA1B就是所要求的線面角,A1是斜足，找

B在面A1B1CD的垂足O是垂足，A1O是A1B在面A1B1CD上的射影BO⊥B1CBO⊥A1B1

BO⊥面A1B1CD∠OA1B就是所要求的線面角,ABCA1B1C1D1DOOA1B3、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角。ABCA1B1C1D1DO3、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角。求線面角的要點(diǎn):(1)找斜線在平面上的射影,確定線面角.(2)構(gòu)造含線面角的三角形,通常構(gòu)造直角三角形.(3)在三角形中求角的大小.練習(xí)(補(bǔ)充).

已知PQ是平面a的垂線段,PA

是平面a

的斜線段,直線la.求證：(1)若l⊥PA,則l⊥QA;(2)若l⊥QA,則l⊥PA.alPQA證明:(1)PQ⊥a,laPQ⊥ll⊥PAl⊥平面PQAQA平面PQAl⊥QAPQ⊥a,laPQ⊥ll⊥QAl⊥平面PQAPA平面PQAl⊥PA練習(xí)(補(bǔ)充).

已知PQ是平面a的垂線段,PA

是平面a

的斜線段,直線la.求證：(1)若l⊥PA,則l⊥QA;(2)若l⊥QA,則l⊥PA.alPQA證明:(2)Q

為垂線段PQ

的垂足.A

為斜線段PA

的斜足.QA

為斜線PA

在平面a

上的射影.有三條線:①平面的斜線,②斜線在平面上的射影,③平面內(nèi)的一條直線l.結(jié)論:如果l⊥斜線,則l⊥射影;如果l⊥射影,則l⊥斜線.(三垂線定理)練習(xí)(補(bǔ)充).

已知PQ是平面a的垂線段,PA

是平面a

的斜線段,直線la.求證：(1)若l⊥PA,則l⊥QA;(2)若l⊥QA,則l⊥PA.alPQA【課時(shí)小結(jié)】1.

直線和平面所成的角(1)平面的斜線與平面所成的角斜線與射影的夾角(銳角).(2)平面的垂線與平面所成的角為90.(3)平面的平行線或在平面內(nèi)的直線與平面所成的角為0.

斜線和平面所成的角是斜線和平面內(nèi)所有直線所成角中最小的.兩條平行線和同一個(gè)平面所成的角相等.【課時(shí)小結(jié)】2.求線面角的要點(diǎn)(1)找斜線在平面上的射影,確定線面角.(2)構(gòu)造含角的三角形,用三角函數(shù)求解.練習(xí)(補(bǔ)充)ABCA1B1C1D1D如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)

求對(duì)角線A1C與平面B1BCC1所成角的正切值;(2)

求AA1與平面A1BD所成角的正切值.解:(1)∵A1C是平面B1BCC1的斜線,A1B1是平面B1BCC1的垂線,∴B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,則∠A1CB1為所求的線面角.在Rt△A1B1C中,即

A1C與平面B1BCC1所成角的正切值為練習(xí)(補(bǔ)充)ABCA1B1C1D1DO如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)

求對(duì)角線A1C與平面B1BCC1所成角的正切值;(2)

求A1A

與平面A1BD所成角的正切值.解:(2)取

BD的中點(diǎn)O,連結(jié)AO,A1O,過(guò)點(diǎn)A

作AE⊥A1O,垂足為E.∵AB=AD,A1B=A1D,E∴BD⊥AO,BD⊥A1O,則BD⊥平面A1AO,得BD⊥AE.①②由①②得AE⊥平面A1BD.∴A1E是A1A在平面A1BD上的射影,ABCA1B1C1D1DOE練習(xí)(補(bǔ)充)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)

求對(duì)角線A1C與平面B1BCC1所成角的正切值;(2)

求A1A

與平面A1BD所成角的正切值.解:(2)取

BD的中點(diǎn)O,連結(jié)AO,A1O,過(guò)點(diǎn)A

作AE⊥A1O,垂足為E.∵AB=AD,A1B=A1D,∴BD⊥AO,BD⊥A1O,則BD⊥平面A1AO,得BD⊥AE.①②由①②得AE⊥平面A1BD.∴A1E是A1A在平面A1BD上的射影,則∠AA1E

為所求的線面角.在Rt△A1AO

中,即

A1A與平面A1BD所成角的正切值為練習(xí)(補(bǔ)充)2.

已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)都等于2,底面是等邊三角形,側(cè)棱與底面所的角為60o,求三棱錐的體積.1.

若一直線與平面所成的角為則此直線與該平面內(nèi)任一直線所成的角的取值范圍是

.3.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線A1B與平面BC1D1所成的角為

.CDABC1D1A1B11.

若一直線與平面所成的角為則此直線與該平面內(nèi)任一直線所成的角的取值范圍是

.aABCDP解:如圖,直線AB是直線PC在平面a內(nèi)的射影,直線PC與平面a

內(nèi)的直線所成的角中,∠PCA最小,直角最大.則PC與平面內(nèi)任一直線所成的角的范圍是2.

已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)都等于2,底面是等邊三角形,側(cè)棱與底面所成的角為60o,求三棱錐的體積.OABCP解:作PO⊥底面ABC,垂足為O,如圖,∴

O為底面正三角形的中心,則∠PAO=∠PBO=∠PCO=60o,PA=PB=PC=2.得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,于是得OA=OB=OC.得AO=1,