第九章矩陣的特征值與特征向量數(shù)值

第九章矩陣的特征值與特征向量

/*Eigen-valuesandEigen-vectorsofmatrix*/

待求解的問題：矩陣的特征值和特征向量x

0，滿足:Ax=xor(I-A)x=0Eigen-valueEigen-vector工程技術(shù)中的許多問題例如電磁振蕩、橋梁振動、機械振動等，都歸結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量問題----代數(shù)計算中的重要課題。②特征向量:已知A的特征值，求齊次線性方程組

的非零解x,（,所以有非零解。）為A對應于的特征向量。

如何求解?特征值：已知A=(aij)nn，求A的特征多項式的根有n個零點（實或復，計重數(shù)）：即求解代數(shù)方程從理論上講，可利用代數(shù)方程求根求出特征值，再利用線性方程組的解法，求出特征向量。

缺點：工作量大且特征向量對矩陣的依賴很高；當矩陣階數(shù)較高時，高次代數(shù)方程求根的計算穩(wěn)定性較差。另外，實際問題中的具體要求不同，有時只要求A的絕對值最大的特征值（主特征值）及相應的特征向量；有時又要求全部的特征值及特征向量。根據(jù)這兩種不同要求，求矩陣的特征值與特征向量的方法也大致分為兩類：迭代法（冪法反冪法）、變換法。關(guān)于矩陣特征值及特征向量的一些結(jié)論：

Th1.（i=1,…,n）為A的特征值，則有1.2.det(A)=Th2、AB(相似)，即存在可逆陣T，使B=T-1AT,則

1.A與B有相同的特征值。

2.設x是B的關(guān)于的特征向量,則Tx是A的關(guān)于

的特征向量。Th3、（Gershgorin’s定理,圓盤定理）：A=(aij),則A的每個特征值必在下述某個園盤中：

A的每行元素確定一個圓盤，共n個。Th3表明A的任一特征值必在這n個圓盤中的某一個內(nèi)。證明：設為A的任一特征值，x0為對應特征向量，則有(I-A)x=0,設|xi|=max|xj|,顯然xi0,第i個方程：Th3的證明過程表明A的任一特征值必在其對應特征向量模最大的分量的指標所對應的圓盤中。

稱為A對應于向量x的Rayleigh商。

Def1.Ann

—實對稱陣，0xRn,Th4.Ann

—實對稱陣，其特征值依次排序為,對應特征向量組成規(guī)范正交系，即，則1.0xRn,2.3.Proof.0xRn,formsanorthogonalbasisofRn,soitispossibletowritexaswherenotallcouldbezero.Thuswehave====2.From1weknow

soweonlyneedtoprovethereexistsan

x0suchthat

Takingx=x1,weget3.Proofissimilarto2.§1冪法與反冪法（按模最大與最小特征值的求法）

冪法：求模最大的特征值—主特征值及相應特征向量的迭代法。用A的乘冪構(gòu)造迭代序列，因此稱為冪法。

條件：ARnn具有線性初等因子

A有n個線性無關(guān)的特征向量。

優(yōu)點：簡單，適合稀疏矩陣。

缺點：有時收斂速度很慢。Algorithm1.supposeAhaseigen-values(Thisimpliesisasinglerealrootofthecharacteristicpolynomial;else)，andnindependenteigen-vectors.Takeaninitialvectorstarttheiterationsystem

ConvergenceanalysisofAlgorithm1....

isaneigen-vectorofA,and

isalsoaneigen-vectorcorrespondingtoofA.ThesameisEigen-vectorEigenvalue1Th5.ARnn有n個線性無關(guān)特征向量主特征值1滿足則做迭代有Principaleigenvalue1summaryiterationsystemeigen-vectorcorrespondingto1收斂速度：主要由來確定，r越小，收斂越快。時收斂可能很慢。2.若有，說明10，

以及都不能作為近似特征向量，需要重新取初始向量再迭代。3.用冪法進行計算時，若

在計算機中會產(chǎn)生“溢出”或“機器零”的情況（超過計算機字長所能表示的精度）noteAlgorithm2(improvementofA.1).ConvergenceanalysisofA.2.Max(x)取出向量x中模最大的分量對應1的特征向量x1的規(guī)范化向量Th6.ARnn有n個線性無關(guān)特征向量主特征值1滿足則做迭代有§2雅可比法的基本思想（教材中例子）設法用一系列簡單的正交陣Rk,逐步地將A

化為近似對角陣(非對角元近似化為0)。即選擇Rk,令A的全部特征值問題的關(guān)鍵：如何構(gòu)造正交陣Rk？

平面旋轉(zhuǎn)變換§3初等反射陣Def方陣B若滿足：當i>j+1時，bij=0,則稱B為上Hessenberg陣(或準上三角陣)，即i=j+1i>j+1理論基礎(chǔ)：A是n階實矩陣，存在正交陣P，s.t.是1階或2階方陣。若Aii是1階的，則它是A的一個實特征值；若Aii是2階的，則它的兩個特征值是A的一對共軛復特征值。定理說明：用正交陣相似變換可將一般實矩陣約化為上Hessenberg陣，將實對稱陣約化為對稱三對角陣。正交相似變換不改變特征值和特征向量，因此求原矩陣的特征值問題就轉(zhuǎn)化為求上Hessenberg陣或?qū)ΨQ三對角陣的特征值問題。問題的關(guān)鍵：如何將一般實矩陣正交約化為上Hessenberg陣，將實對稱陣約化為對稱三對角陣？初等反射陣§