第五章相對(duì)論

第２篇機(jī)械振動(dòng)機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)機(jī)械波第5章機(jī)械振動(dòng)§5.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征§

5.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法§

5.3單擺§5.4簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量§5.5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成§5.6阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振教學(xué)基本要求一掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系二掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表示法，并會(huì)用于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論和分析.

三掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征，能建立一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫(xiě)出一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理意義.四理解同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的特點(diǎn).五了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的發(fā)生條件及規(guī)律.機(jī)械振動(dòng)、電磁振蕩機(jī)械波、電磁波德布羅意波——幾率波振動(dòng)學(xué)是波動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)波動(dòng)——振動(dòng)的傳播

振動(dòng)——波動(dòng)的成因振動(dòng)和波動(dòng)的關(guān)系第5章機(jī)械振動(dòng)振動(dòng)：任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化機(jī)械振動(dòng)

物體圍繞一固定位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)可分為直線、平面和空間振動(dòng).簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng).簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成分解§5.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征彈簧振子——理想模型5.1.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征及其運(yùn)動(dòng)方程積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定動(dòng)力學(xué)分析受力分析令可得（動(dòng)力學(xué)方程）解方程得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程微分方程的解：——振動(dòng)表達(dá)式(簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)位移)

任何一個(gè)物理量，如果它隨時(shí)間的變化規(guī)律滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程，或遵從余弦(或正弦)規(guī)律，則廣義地說(shuō)，這一物理量在作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程諧振動(dòng)方程1、運(yùn)動(dòng)方程2、速度方程3、加速度方程圖圖圖取5.1.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程中的三個(gè)基本物理量1.角頻率:2秒內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)；單位：弧度/秒（rad/s)

T:周期：往復(fù)振動(dòng)一次的時(shí)間ν：頻率：位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)；單位：赫茲（Hz）（1/s）僅依賴于系統(tǒng)本身的性質(zhì)，與初始條件無(wú)關(guān)。e.g.彈簧振子：?jiǎn)螖[：２.振幅A:描述物體振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量離開(kāi)平衡位置的最大位移；國(guó)際單位：mA與振動(dòng)的能量有關(guān)。e.g.彈簧振子：３.初相位、相位和相位差存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系;例：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：1

）相位（描述振動(dòng)狀態(tài)的物理量）2）相位在內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無(wú)相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；相差為整數(shù)

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)全同.（周期性）3）初相位

描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).由初始條件決定(取或)振幅：初相位：４.振幅和初相位的求法設(shè)t=0時(shí)不是唯一的與坐標(biāo)正向有關(guān)，需要具體分析。（為什么不取π

？)例1:一輕彈簧，一端固定，另一端連接一定質(zhì)量的物體。整個(gè)系統(tǒng)位于水平面內(nèi)，系統(tǒng)的角頻率為6.0s-1。今將物體沿平面向右拉長(zhǎng)到x0=0.04m處釋放，試求：(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式；(2)物體從初始位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)A/2處時(shí)的速度。解：(1)(2)由(1)中結(jié)果依題意，v＜0旋轉(zhuǎn)矢量的模即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅。旋轉(zhuǎn)矢量

的角速度即為振動(dòng)的角頻率。旋轉(zhuǎn)矢量

與x軸的夾角(t+)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位。t=0時(shí)，與x軸的夾角即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位。§

5.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法5.2.1旋轉(zhuǎn)矢量表示法周期：旋轉(zhuǎn)矢量

旋轉(zhuǎn)一周，P點(diǎn)完成一次全振動(dòng)。結(jié)論：投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。繞O點(diǎn)以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的矢量,在x軸上的投影正好描述了一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2.旋轉(zhuǎn)矢量圖OX旋轉(zhuǎn)矢量長(zhǎng)度＝振幅A角速度＝角頻率初始角＝初相φ5.2.2旋轉(zhuǎn)矢量圖的應(yīng)用１.求初相位向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)。向x軸正向運(yùn)動(dòng)。２.用旋轉(zhuǎn)矢量圖比較各振動(dòng)之間的相位關(guān)系(1)相位差當(dāng)二個(gè)振動(dòng)的頻率相同時(shí)，相位差為xA3.用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫(huà)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖(1)振動(dòng)表達(dá)式；(2)t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；(3)如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。例2一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時(shí),位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求:解：A=12cm，T=2s，x0=6cm且v0＞0(1)xt=0時(shí)，x0=0.06m,6cmv0>0(2)(3)模振幅A角速度角頻率旋轉(zhuǎn)周期振動(dòng)周期T=2/上的投影在oxAr上的投影端點(diǎn)速度在oxAr上的投影端點(diǎn)加速度在oxAr位移速度加速度x=Acos(t+0)v=-

Asin(t+0)a=-

2Acos(t+0)旋轉(zhuǎn)矢量簡(jiǎn)諧振動(dòng)符號(hào)或表達(dá)式初相

0t=0時(shí)，與ox夾角相位t+

0t時(shí)刻，與ox夾角旋轉(zhuǎn)矢量

與諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點(diǎn)：直觀地表達(dá)諧振動(dòng)的各特征量便于解題,特別是確定初相位便于振動(dòng)合成由x、v

的符號(hào)確定

所在的象限：

例3如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)，物體的質(zhì)量.

（1）把物體從平衡位置向右拉到處停下后再釋放，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；（3）如果物體在處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運(yùn)動(dòng)方程.

（2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)處時(shí)的速度；0.05解（1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知解

由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知（負(fù)號(hào)表示速度沿軸負(fù)方向）

（2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)處時(shí)的速度；解（3）如果物體在處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運(yùn)動(dòng)方程.因?yàn)椋尚D(zhuǎn)矢量圖可知

例4一質(zhì)量為的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振幅為，周期為，起始時(shí)刻物體在處，向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（如圖）.試求

（1）時(shí)，物體所處的位置和所受的力；解代入代入上式得（2）由起始位置運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短時(shí)間.解法一

設(shè)由起始位置運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短時(shí)間為解法二起始時(shí)刻時(shí)刻§

5.3單擺Ol

mgT小球受力矩：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律化簡(jiǎn)得當(dāng)θ很小時(shí)，結(jié)論：?jiǎn)螖[的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。θ為振動(dòng)角位移，振幅為θ0單擺運(yùn)動(dòng)方程1、角頻率周期與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)2、振幅3、初相由初始條件確定復(fù)擺*轉(zhuǎn)動(dòng)正向（點(diǎn)為質(zhì)心）力矩令簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述和特征4）加速度與位移成正比而方向相反2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述復(fù)擺彈簧振子單擺1）物體受線性回復(fù)力作用平衡位置§5.4簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量以彈簧振子為例一、能量的時(shí)間函數(shù)由可得（振幅的動(dòng)力學(xué)意義）線性回復(fù)力是保守力，作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量圖4T2T43T能量簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量曲線二、能量的位置函數(shù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量守恒，振幅不變討論：1、振子在振動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變。2、位移最大，勢(shì)能最大，但動(dòng)能最小。在振動(dòng)曲線的峰值。位移為0，勢(shì)能為0，但動(dòng)能最大，在振動(dòng)曲線的平衡位置。

例5質(zhì)量為的物體，以振幅作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為，求：（1）振動(dòng)的周期；（2）通過(guò)平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？解（1）（2）（3）（4）時(shí)，由§5.5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成5.5.1兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成設(shè)：某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)表達(dá)式分別表示為令：則，顯然，兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)的合成仍為諧振動(dòng)。其中，合振幅：合振動(dòng)的初位相：旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)：x由幾何關(guān)系：注意：φ的具體象限要根據(jù)φ1、φ2確定。討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)和減弱討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)和減弱1、位相差△j=j1

-j2

=2kπk=0，±1，±2，±3，……合振幅加強(qiáng)：2、位相差△j=j1-j2=(2k+1)πk=0，±1，±2，±3，……合振幅減弱：3.一般情況例6:兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線(如圖所示)

(1)求合振動(dòng)的振幅。(2)求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。xTt解:(1)

t=0時(shí)，＞0＜0故，互為反相，

合振幅最小(2)t=0時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量圖：x例7:兩個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm，與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為。則(1)第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多少？(2)兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位差為多少？解：(1)依題意根據(jù)余弦定理(2)根據(jù)正弦定理5.5.2同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成拍旋轉(zhuǎn)矢量：相對(duì)于的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為平行四邊形形狀變化，的大小也在變化，合運(yùn)動(dòng)非簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。設(shè)振幅隨時(shí)間變化振動(dòng)項(xiàng)當(dāng)?shù)舜讼嗖詈苄r(shí)，振幅隨時(shí)間變化振動(dòng)項(xiàng)當(dāng)?shù)舜讼嗖詈苄r(shí)，振幅隨時(shí)間緩慢變化簡(jiǎn)諧因子快速變化第一項(xiàng)緩慢變化，第二項(xiàng)快速變化“拍(beat)”——調(diào)制頻率——載頻O合振動(dòng)出現(xiàn)一次最強(qiáng)拍的周期：拍的頻率(簡(jiǎn)稱(chēng)拍頻)：5.5.3相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成1.相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成討論：1、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為直線2、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為正橢圓結(jié)論：

兩相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其振動(dòng)軌跡為一橢圓(又稱(chēng)“橢圓運(yùn)動(dòng)”)。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。2.相互垂直的不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)互相垂直、不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成時(shí)，如果它們的頻率之比為整數(shù)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生的穩(wěn)定的封閉曲線，其形狀與頻率比和相位差有關(guān)，這種圖形叫做李薩如(J.A.Lissajous)圖。在李薩如圖形中：曲線與平行于x軸的直線的切點(diǎn)數(shù)曲線與平行于y軸的直線的切點(diǎn)數(shù)=兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率比

其中頻率為1:1的利薩如圖為橢圓，在一定的相位差條件下，退化為一直線。振動(dòng)系統(tǒng)在回復(fù)力和阻尼力共同作用下發(fā)生的減幅振動(dòng)稱(chēng)為阻尼振動(dòng)(dampedvibration)。在物體速度較小時(shí)，阻尼力的大小與速率成正比，方向與速度相反。為阻尼系數(shù)Oxx根據(jù)牛頓第二定律，

稱(chēng)為阻尼(damping)因子動(dòng)力學(xué)方程：微分方程的特征方程為：討論:§5.6阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振5.6.1阻尼振動(dòng)討論1.小阻尼情況:阻力很小方程解：周期:結(jié)論：阻尼較小時(shí)，振動(dòng)為減幅振動(dòng)，振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減幅越迅速。振動(dòng)周期大于自由振動(dòng)周期。2.過(guò)阻尼(overdamping)情況：阻力很大結(jié)論：阻尼較大時(shí)，振動(dòng)從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。結(jié)論：此時(shí)為“臨界阻尼”的情況。是質(zhì)點(diǎn)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)極限。3.臨界阻尼(criticaldamping)情況方程解得：5.6.2受迫振動(dòng)共振1.受迫振動(dòng)