第五章數(shù)字控制器的模擬設(shè)計(jì)法

第

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章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的模擬化設(shè)計(jì)本章主要教學(xué)內(nèi)容

1.概述2.傳遞函數(shù)與Z傳遞函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換4.數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)3.數(shù)字濾波器5.1

概述典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)5.1.1

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法圖5.1-1

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)●

數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)方法經(jīng)典法狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法間接設(shè)計(jì)法—模擬化設(shè)計(jì)法直接設(shè)計(jì)法—數(shù)字化設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器：設(shè)計(jì)一個(gè)可靠、實(shí)用、結(jié)構(gòu)簡單并易于實(shí)現(xiàn)的數(shù)字控制器，使上圖所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)既要滿足系統(tǒng)的期望指標(biāo)，又要滿足實(shí)時(shí)控制的要求?！?/p>

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要任務(wù)5.1.2

模擬化設(shè)計(jì)法●

模擬化設(shè)計(jì)法的原理圖5.1-2

連續(xù)控制系統(tǒng)模擬控制器數(shù)字控制器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求離散設(shè)計(jì)模擬系統(tǒng)圖5.1-3

離散閉環(huán)控制系統(tǒng)由于人們對(duì)于連續(xù)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法（如頻率法、根軌跡法等）比較熟悉，因而應(yīng)用模擬方法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器比較易于接受和掌握。但是這種方法并不是按照真實(shí)情況設(shè)計(jì)的，因此又可稱為間接設(shè)計(jì)法。●

模擬控制器D(s)與數(shù)字控制器D(z)的等效原理和圖5.1-4

零階保持器的信息傳遞設(shè)有模擬信號(hào)，零階保持器的輸入為，輸出為。離散信號(hào)的頻譜函數(shù)為—采樣角頻率零階保持器的傳遞函數(shù)為等效條件零階保持器輸出的頻率特性其頻率特性為當(dāng)信號(hào)的截止頻率時(shí)，則于是上式說明，輸出和輸入頻譜的的差別是有零階保持器產(chǎn)生的相位移，如果能補(bǔ)償這一相位移或者大大減小這一相位移對(duì)系統(tǒng)的影響（如前置濾波、超前校正等），就可以保證離散控制器和模擬控制器具有完全一致或非常接近的頻率特性，即實(shí)現(xiàn)二者的完全等效。由以上分析可知，若系統(tǒng)的采樣頻率相對(duì)于系統(tǒng)滯后影響可忽略時(shí)，系統(tǒng)的數(shù)字控制器可用模擬控頻率是足夠高的，以至于采樣保持器所引起的附加制器代替，使整個(gè)系統(tǒng)可采用模擬化方法設(shè)計(jì)。!!等效的必要條件是采樣頻率足夠高。若時(shí)，其滯后相角大約為，于是就有即5.1.3模擬化設(shè)計(jì)法的步驟：（1）在已知被控對(duì)象的傳遞函數(shù)G(s)的情況下，根據(jù)性能指標(biāo)要求，用連續(xù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法確定閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的模擬控制器D(s)。如圖5.1-2所示。（2）選擇適當(dāng)?shù)碾x散化方法將D(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字調(diào)節(jié)（3）用求得的D(z)構(gòu)成圖5.1-3所示的離散控制系統(tǒng)，（4）若滿足要求，設(shè)計(jì)過程結(jié)束，否則進(jìn)行再設(shè)器D(z)。并分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，看其是否滿足要求。計(jì)。（5）將D(z)轉(zhuǎn)化為差分方程，在計(jì)算機(jī)上用數(shù)字算法實(shí)現(xiàn)。為簡便起見，零階保持器的傳遞函數(shù)可近似為5.1.4模擬調(diào)節(jié)器的二階工程設(shè)計(jì)法在經(jīng)典的連續(xù)控制理論中，已詳細(xì)介紹了用根軌二階系統(tǒng)是工業(yè)生產(chǎn)過程中最常見的一種系統(tǒng)。跡法或頻率法設(shè)計(jì)D(s)。這里介紹用二階工程設(shè)計(jì)法來設(shè)計(jì)D(s)。二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式是﹡當(dāng)系統(tǒng)的阻尼比為時(shí)，其性能最好，則或設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，則由得到品質(zhì)最佳的二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)（圖5.1-2）（5.1-1）有式中為系統(tǒng)參數(shù)，且?！?/p>

設(shè)計(jì)舉例在實(shí)際的生產(chǎn)過程中，被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型相當(dāng)復(fù)雜，對(duì)應(yīng)的傳遞函熟的階次也比較高。在模擬控制器的設(shè)計(jì)中，一般找出影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的主要環(huán)節(jié)和參數(shù)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簡化，得到二階的開環(huán)傳遞函數(shù)。設(shè)被控對(duì)象規(guī)范化后的傳遞函數(shù)為從快速性和穩(wěn)定性角度來看，用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)校正，就是要求計(jì)算機(jī)與被控對(duì)象一起組成的閉環(huán)系統(tǒng)具有二階最佳設(shè)計(jì)的基本形式。設(shè)被計(jì)算機(jī)取代的模擬控制器的傳遞函數(shù)為D(s)，則因此，D(s)的形式為（5.1-2）（5.1-3）這是一個(gè)PI控制器。將D(s)代入式（5.1-2），則（5.1-4）為使PI控制器能抵消被控對(duì)象中較大的時(shí)間常數(shù)，可選擇（5.1-5）式（5.1-4）兩邊的系數(shù)相等，則有（5.1-6）于是可得（5.1-7）5.2傳遞函數(shù)與Z傳遞函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換方法Z變換法差分法沖激響應(yīng)不變法階躍不變法零階保持器法零極點(diǎn)匹配映射法后向差分法前向差分法雙線性變換法預(yù)防頻率失真的雙線性變換法●從信號(hào)理論角度看，模擬控制器就是把模擬信號(hào)濾波器作為校正裝置。模擬控制器離散化成的數(shù)字控制器，也可以認(rèn)為是數(shù)字濾波器?！耠x散后的數(shù)字控制器與等效前的連續(xù)控制器應(yīng)具有近似相同的動(dòng)態(tài)特性和頻率響應(yīng)特性，但這是不容易實(shí)現(xiàn)的。采用某種離散化技術(shù)可能達(dá)到相同或幾乎相同的脈沖響應(yīng)特性，但不能具有較好的頻率響應(yīng)逼真度，反之亦然?！駥?duì)于大多數(shù)情況，要匹配等效前后的頻率響應(yīng)特性是很困難的。離散后數(shù)字控制器的動(dòng)態(tài)特性取決于采樣頻率和特定的離散化方法。如果采樣頻率足夠高，等效離散的數(shù)字控制器和原連續(xù)控制器具有很近似的特性。5.2.1沖激不變法基本思想：設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器的Z傳遞函數(shù)D(z)的單位沖激響應(yīng)序列d(kT)與其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)D(s)的單位脈沖響應(yīng)d(t)的采樣值相等。即由對(duì)采樣，有來建立D(z)與D(s)的等效關(guān)系。一般連續(xù)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可展成部分分式它的單位脈沖響應(yīng)為式中：為連續(xù)環(huán)節(jié)的參數(shù)。按等效的要求，與對(duì)應(yīng)的為可見，用沖激不變法將D(s)轉(zhuǎn)換為D(z)就是第三章討論過的部分分式法求Z變換。（2）若D(s)穩(wěn)定，則D(z)穩(wěn)定。（4）D(z)將的整數(shù)倍頻率變換到Z平面上的同一個(gè)點(diǎn)的頻率，因而出現(xiàn)了混疊現(xiàn)象。（3）D(z)不能保持D(s)的頻率響應(yīng)。應(yīng)用范圍：連續(xù)控制器D(s)應(yīng)具有部分分式結(jié)構(gòu)或能較容易地分解為并聯(lián)結(jié)構(gòu)。D(s)具有陡的衰減特性，且為有限帶寬信號(hào)的場合。這時(shí)采樣頻率足夠高，可減少頻率混疊影響，從而保證D(z)的頻率特性接近原連續(xù)控制器D(s)。（1）D(z)與D(s)的脈沖響應(yīng)相同。沖激不變法的特點(diǎn)：則與等效。5.2.2階躍不變法基本思想：數(shù)字控制器的Z傳遞函數(shù)D(z)的單位階躍響應(yīng)序列u(kT)等于連續(xù)傳遞函數(shù)D(s)的單位階約響應(yīng)u(t)的采樣值。即，若連續(xù)環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)是離散值按設(shè)計(jì)要求數(shù)字調(diào)節(jié)器串聯(lián)，然后進(jìn)行Z變換離散化為。即要求的5.2.3零階保持器法基本思想：用零階保持器與模擬控制器輸出響應(yīng)序列u(kT)

等于帶有零階保持器的連續(xù)傳遞函數(shù)輸出量u(t)

的采樣值，即

，于是或[例5.2-1]

已知，用零階保持器法求?！窘狻靠刂扑惴ǎ毫汶A保持器法的特點(diǎn)：（1）若D(s)穩(wěn)定，則D(z)也穩(wěn)定；（2）D(z)不能保持D(s)的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)。5.2.4零極點(diǎn)匹配法基本思想：S域中零極點(diǎn)的分布直接決定了系統(tǒng)的特性，Z域中亦然。因此當(dāng)S域與Z域時(shí)，應(yīng)當(dāng)保證零極點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系。根據(jù)S域與Z域的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可將S平面的零極點(diǎn)直接一一對(duì)應(yīng)地映射到Z平面上，使D(z)的零極點(diǎn)與D(s)的零極點(diǎn)完全相匹配，這種等效離散法稱為“零極點(diǎn)匹配法”或“根匹配法”。零極點(diǎn)匹配的步驟（規(guī)則）：（1）將D(s)進(jìn)行因式分解(m≦n)（2）將D(s)的零點(diǎn)或極點(diǎn)映射到Z平面，變換關(guān)系為a.實(shí)數(shù)的零點(diǎn)或極點(diǎn)a.可以用或在相對(duì)應(yīng)的某期望特征頻率c.無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)（3）Z傳遞函數(shù)中的增益的確定：b.復(fù)數(shù)的零點(diǎn)或極點(diǎn)點(diǎn)上的值相等來確定。記的頻率特性記的頻率特性選取某一特征點(diǎn)，并使，即幅頻相頻特別地，令，利用或可求得。（為采樣頻率），即D(s)有位于S平面主頻帶之外（4）如果D(s)有的零點(diǎn)，其中零極點(diǎn)匹配法的特點(diǎn)與注意事項(xiàng)：（1）當(dāng)D(s)的零極點(diǎn)已知時(shí)，采用零極點(diǎn)匹配法非常方便；（2）若D(s)穩(wěn)定，則D(z)必穩(wěn)定；（3）有時(shí)D(s)的分母比分子的階數(shù)高（n>m），考慮D(s)有n-m個(gè)無限遠(yuǎn)的零點(diǎn)，在D(z)中用來匹配，因此D(z)

的分母與分子是同階的；的零點(diǎn)，則變換后D(z)的頻率特性將出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，不宜使用此種轉(zhuǎn)換方法。[例5.2-2]

已知求數(shù)字控制器D(z).

【解】于是有所以5.2.5差分變換法（又稱數(shù)值積分法）基本思想：模擬控制器的傳遞函數(shù)D(s)可轉(zhuǎn)換為微分方程，再離散為差分方程，最后求得Z傳遞函數(shù)D(z)。這種方法就是第三章介紹的由積分環(huán)節(jié)求Z傳遞函數(shù)的方法。1.后向差分法微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)差分方程微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)S平面的虛軸，經(jīng)后向差分變換，可見后向差分的變換關(guān)系為或即可推導(dǎo)出映射到Z平面上是一個(gè)圓心在（1/2，j0），半徑為或這是Z平面上的一個(gè)圓?？梢?，S平面上的虛軸，1/2，與單位圓相切的一個(gè)小圓；S的左半平面映射為[S][Z]ReIm圖5.2-1后向差分變換[S]與[Z]的關(guān)系這個(gè)小圓的內(nèi)部，如圖5.2-1所示。因此，若D(s)穩(wěn)定，則D(z)必穩(wěn)定。2

前向差分變換微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)對(duì)于前向差分，當(dāng)時(shí)，，即S平面的由上述差分方程可推得前向差分的D(s)和D(z)的變換關(guān)系或所以虛軸映射到Z平面上，是一條過（1，j0）平行于虛軸的直線。S左半面平面映射到Z平面上，只有一部分在單位圓內(nèi)，因此若D(s)穩(wěn)定，D(z)不一定穩(wěn)定。[S][Z]單位圓圖5.2-2前向差分變換[S]與[Z]的關(guān)系5.2.6雙線性變換法（梯形積分法或Tustin變換）基本思想：根據(jù)定義取z與s的線性近似關(guān)系實(shí)現(xiàn)D(s)與D(z)的轉(zhuǎn)換。則離散化后的Z傳遞函數(shù)于是有或由Z變換的定義及級(jí)數(shù)展開式可知同樣其中T為正數(shù)，令，上式寫成再看映射關(guān)系若Re(s)<0，則上式右邊的實(shí)部，即可見，S平面的負(fù)半平面映射為Z平面中以原點(diǎn)為圓心的單位圓的內(nèi)部，如圖5.2-3所示。[S][Z]ImReImRe001-1j-j圖5.2-3雙線性變換的映射關(guān)系雙線性變換的映射結(jié)果與Z變換的映射結(jié)果總體上是一致的，穩(wěn)定域相同，然而在對(duì)離散控制器的暫態(tài)響應(yīng)和頻率響應(yīng)特性方面，二者卻有很大的差雙線性變換的特點(diǎn)：（1）將S平面的整個(gè)左半平面映射至Z平面的單位圓內(nèi)，沒有混疊效應(yīng)。（2）若D(s)穩(wěn)定，D(z)也穩(wěn)定。（3）D(z)不能保持D(s)的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)。D(s)的頻率和D(z)的頻率之間存在非線性。異。與原連續(xù)控制器相比，用雙線性變換法獲得的離散控制器的暫態(tài)響應(yīng)特性有顯著的畸變，頻率響應(yīng)也有畸變，所以在工程設(shè)計(jì)中常采用雙線性變換法預(yù)防畸變校正設(shè)計(jì)。上式表明了模擬頻率和離散頻率之間的非設(shè)，代入，用歐拉公式化率之間卻存在非線性關(guān)系。5.2.7預(yù)防頻率失真的雙線性變換雙線性變換，將S平面的虛軸變換到Z平面的單位圓周，因而沒有混疊現(xiàn)象。但是在模擬頻率與離散頻簡得到線性關(guān)系。當(dāng)取0～時(shí)，的值為0～.這意味著模擬濾波器的頻率響應(yīng)特性被壓縮到離散濾波器的頻率范圍之內(nèi)。這兩種頻率之間的非線性特性，使得由雙線性變換所得的離散頻率響應(yīng)產(chǎn)生畸變，因此可以采用預(yù)防畸變的辦法來補(bǔ)償頻率特性的畸變?；舅枷耄涸谠O(shè)計(jì)離散數(shù)字調(diào)節(jié)器D(z)代替模擬調(diào)節(jié)器D(s)時(shí)，對(duì)雙線性變換關(guān)系式進(jìn)行修正，其修正準(zhǔn)則是要求在某一關(guān)鍵頻率（如截止頻率）處，使D(s)與D(z)的頻率特性相同。將代入上式求得設(shè)在處D(s)與D(z)的頻率特性相同，按上述準(zhǔn)則，將雙線性變換關(guān)系式修改為則于是數(shù)字調(diào)節(jié)器為在所設(shè)計(jì)的處，必然滿足預(yù)防頻率失真的雙線性變換的特點(diǎn)：（1）具有前述雙線性變換的特點(diǎn)；（2）D(z)不能保持D(s)的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)；（3）在設(shè)計(jì)點(diǎn)所得到的離散頻率響應(yīng)不產(chǎn)生畸變。5.2.8八種離散方法的比較（1）上述各方法，除了前向差分外，若原系統(tǒng)穩(wěn)定，則變換后的離散系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。（2）采樣頻率對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果有影響。當(dāng)采樣頻率遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的截止頻率時(shí)，用任何一種方法所變換的離散系統(tǒng)與原連續(xù)系統(tǒng)相差不大。隨著采樣頻率降低，各方法就有差別。按設(shè)計(jì)結(jié)果的優(yōu)劣排序?yàn)椋弘p線性變換法、零極點(diǎn)匹配法、后向差分、階躍響應(yīng)不變法、沖激不變法。（3）上述個(gè)方法各有自己的特點(diǎn)：階躍不變法和沖激不變法可以保證離散系統(tǒng)的響應(yīng)與連續(xù)系統(tǒng)相同。零極點(diǎn)匹配法能保證變換前后直流增益相同。雙線性變換法可以保證前后特征頻率不變。5.3數(shù)字濾波器濾波：根據(jù)信號(hào)中的有用信號(hào)與噪聲的不同特性，剔除噪聲，提取有用信號(hào)的過程稱為濾波。濾波器：實(shí)現(xiàn)濾波功能的裝置或系統(tǒng)。濾波是一種信號(hào)處理的過程。模擬濾波器：由電阻、電容、電感和運(yùn)算放大器所組成的、可對(duì)模擬信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波功能的硬件裝置?？蓪?duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波的功能。隨著微電子和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)字濾波技術(shù)的應(yīng)用也越來越廣泛。數(shù)字濾波器具有精度高、靈活、方便、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)。數(shù)字濾波器：是一種算法，編程之后，在計(jì)算機(jī)上5.3.1數(shù)字濾波器的基本原理D(s)D(z)e(t)e(k)u(t)u(k)1.描述數(shù)字濾波器的方法●

差分方程：e(k)～u(k)●Z傳遞函數(shù)：D(z)●

頻率特性函數(shù)：2.數(shù)字濾波器的分類●

遞歸式數(shù)字濾波器—無限沖激響應(yīng)濾波器IIR●

非遞歸式數(shù)字濾波器—有限沖激響應(yīng)濾波器FIR按結(jié)構(gòu)分按頻帶分：低通、高通、帶通、帶阻濾波器5.3.2數(shù)字濾波器的頻率特性D(s)D(z)連續(xù)系統(tǒng)：

e(t)u(t)e(k)u(k)輸入穩(wěn)態(tài)輸出離散系統(tǒng)：●

線性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的頻率相同E(z)U(z)Z變換的定義：，令數(shù)字濾波器的頻率特性可用來描述：幅頻特性相頻特性●

頻率特性的幾何確定將D(z)的分子分母分解成因式將復(fù)變量寫成極坐標(biāo)形式則幅頻特性和相頻特性為[例5.3-1]

已知數(shù)字濾波器的Z傳遞函數(shù)，試用幾何法求其頻率特性，并說明零、極點(diǎn)的位置對(duì)頻率特性的影響。幅頻特性相頻特性當(dāng)頻率較低時(shí)，當(dāng)頻率較高時(shí)，

取值很大；

取值很小?！瘛裼缮蠄D及上述分析可知：若D(z)的零點(diǎn)，極點(diǎn)，則數(shù)字濾波器具有低通特性。反之，若零點(diǎn)，極點(diǎn)，則數(shù)字濾波器具有高通特性。5.3.3數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)●

設(shè)計(jì)模擬濾波器D(s)→數(shù)字濾波器D(z)●

根據(jù)數(shù)字濾波器零極點(diǎn)的分布對(duì)頻率特性的影響，通過適當(dāng)配置D(z)的零、極點(diǎn)，就能構(gòu)成具有所期望的頻率特性的數(shù)字調(diào)節(jié)器【例5.3-2】

已知低通濾波器Z傳遞函數(shù)的形式為

，試設(shè)計(jì)低通濾波器D(z)，要求帶寬為0～250πrad/s.當(dāng)時(shí)，，具有最大值【解】D(z)的零點(diǎn)，極點(diǎn)，頻率特性設(shè)帶寬截止頻率為，若采樣周期T=1ms，帶寬rad/s，可算得5.4數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)▲

什么是PID控制器？按偏差的比例（Proportional）、積分（Integral）、微分（Differential）進(jìn)行控制。自20世紀(jì)30年代出現(xiàn)以來，在工業(yè)控制領(lǐng)域得到很大發(fā)展和廣泛應(yīng)用。▲

PID控制器的特點(diǎn)結(jié)構(gòu)簡單，可靈活改變（如PI，PD…），參數(shù)易于調(diào)整。特別是在工業(yè)過程控制中，由于被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型難以建立，系統(tǒng)的參數(shù)經(jīng)常發(fā)生變化，運(yùn)用控制理論進(jìn)行分析綜合，不僅耗費(fèi)很大代價(jià)，且難以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的控制。在用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)控制的系統(tǒng)中，用計(jì)算機(jī)算法（數(shù)字PID調(diào)節(jié)器）代替模擬式PID調(diào)節(jié)器，很容易通過編程實(shí)現(xiàn)。5.4.1模擬PID調(diào)節(jié)器的數(shù)學(xué)模型1.實(shí)際工業(yè)控制的特點(diǎn)●

在能量和信息的傳輸過程中，由于管道和傳輸通道等原因會(huì)引入時(shí)間上的滯后，往往導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)變差，甚至不穩(wěn)定●

為改善系統(tǒng)的調(diào)節(jié)品質(zhì)，常引入偏差的比例調(diào)節(jié)●

大多數(shù)被控對(duì)象有儲(chǔ)能元件存在，造成系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)有一定的慣性以保證系統(tǒng)的快速性，引入偏差的積分調(diào)節(jié)以控式中為比例系數(shù)；為積分時(shí)間常數(shù)；為微分制精度，引入偏差的微分調(diào)節(jié)來消除系統(tǒng)的慣性的影響。2.數(shù)學(xué)模型時(shí)間常數(shù)。取拉氏變換（5.4-1）（5.4-2）模擬PID調(diào)節(jié)器的微分方程為

為微分系數(shù)。其中：為積分系數(shù)；傳遞函數(shù)為+-圖5.4-1模擬PID控制系統(tǒng)（5.4-3）PID調(diào)節(jié)器的控制作用有如下幾點(diǎn)：（1）比例調(diào)節(jié)器：對(duì)偏差的反應(yīng)是即時(shí)的，使輸出量朝著減少偏差的方向變化。比例調(diào)節(jié)雖然簡單快速，但對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)為有限值的控制對(duì)象存在穩(wěn)態(tài)誤差。加大比例系數(shù)可以減小穩(wěn)態(tài)誤差，但是過大，會(huì)使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)質(zhì)量變壞，引起輸出量振蕩，甚至導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）比例積分調(diào)節(jié)器：在比例調(diào)節(jié)的基礎(chǔ)上加上積分調(diào)節(jié)，可以消除系統(tǒng)的殘余穩(wěn)態(tài)誤差。只要偏差不為零，積分調(diào)節(jié)通過累積作用影響控制量u(t)，從而減小偏差，直到偏差為零。增大積分時(shí)間常數(shù)，將減慢消除穩(wěn)態(tài)誤差的過程，但可見效超調(diào)，提高穩(wěn)定性。引入積分的代價(jià)是降低系統(tǒng)的快速性。（3）微分調(diào)節(jié)：為加快控制過程，有必要在偏差出現(xiàn)或變化的瞬間，按偏差變化的趨向進(jìn)行控制，使偏差消滅在萌芽狀態(tài)。微分作用的加入，有助于減少超調(diào)，克服振蕩，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。提高系統(tǒng)響應(yīng)速度。其不足之處是放大了噪聲。5.4.2數(shù)字PID的控制算法最常見的離散化方法：若采樣周期T足夠小，令（1）數(shù)字PID的位置式算法（5.4-4）上列諸式代入式（5.4-1）得

為積分系數(shù)；對(duì)上式作Z變換因而可得數(shù)字PID的Z傳遞函數(shù)式中：為比例系數(shù)；

為微分系數(shù)。（5.4-5）（5.4-6）+++圖5.4-2

數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的方框圖式（5.4-4）給出的輸出量u(kT)對(duì)應(yīng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)應(yīng)該到達(dá)的位置（如閥門開度），因此稱為位置式數(shù)字PID算法。當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)需要的控制量不是絕對(duì)值，而是其增量時(shí)，可用增量式算法。（2）數(shù)字PID增量式控制算法由式（5.4-4）得（5.4-7）將上式中同一時(shí)刻的輸入值合并，則（5.4-8）式中增量式數(shù)字PID控制器的優(yōu)點(diǎn)：（1）計(jì)算機(jī)只輸出控制增量，即執(zhí)行機(jī)構(gòu)位置的變化部分，因而誤動(dòng)作影響小。（2）在計(jì)算k時(shí)刻的輸出增量△u(kT)時(shí)，只需要用到此時(shí)刻的偏差e(kT)以及前一時(shí)刻的偏差e(kT-T)、前兩時(shí)刻的偏差e(kT-2T)，這就大大節(jié)約了內(nèi)存和計(jì)（4）在進(jìn)行手動(dòng)-自動(dòng)切換時(shí)，控制量沖擊小，能夠較平滑地過渡。算時(shí)間。（3）位置式算法由于積分項(xiàng)可能使控制量超出執(zhí)行機(jī)構(gòu)的線性區(qū)，產(chǎn)生積分飽和引起非線性。而增量式算法的輸出量可改善此類情形，超調(diào)量減少，過渡過程時(shí)間縮短，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有所提高。

；將被控對(duì)象與零階保持器串聯(lián)后離5.4.3數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的Z域設(shè)計(jì)法●

數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)法模擬化設(shè)計(jì)法（間接法）—先按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)出模擬PID控制器D(s)，然后用差分法或雙線性離散化設(shè)計(jì)法（直接法）—也稱為Z域設(shè)計(jì)法。變換法轉(zhuǎn)換為D(z)；將PID控制器離散化，然后待定系數(shù)散化，得到廣義對(duì)象的Z傳遞函數(shù)；然入為單位階躍信號(hào)，采樣周期試設(shè)計(jì)數(shù)字后，根據(jù)系統(tǒng)性能要求，分別試用比例（P）、比例+積分（PI）和比例+積分+微分（PID）等結(jié)構(gòu)形式的控制規(guī)律進(jìn)行分析計(jì)算，確定各參數(shù)；最后，通過計(jì)算機(jī)仿真檢驗(yàn)系統(tǒng)性能是否滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)?！纠?.4-1】單位負(fù)反饋系統(tǒng)，已知被控對(duì)象的的傳遞函數(shù)為采用零階保持器。輸PID調(diào)節(jié)器?！窘狻肯到y(tǒng)的廣義對(duì)象的Z傳遞函數(shù)為控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖5.1-3所示，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（5.4-9）（5.4-10）1.選用比例控制，確定將調(diào)節(jié)器和代入式（5.4-10），得單位階躍輸入時(shí)，輸出Y(z)為由Z變換的終值定理可求出輸出序列y(kT)的穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)誤差0.50.7170.28310.8350.16520.910.0940.9530.04780.9760.024由右表可見，加大時(shí)，可使系統(tǒng)動(dòng)作靈敏，速度加快；若系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差將減小，但不能完全消除。太大時(shí)系統(tǒng)會(huì)趨于不穩(wěn)定。圖5.4-3

取不同值時(shí)的輸出波形設(shè)，并設(shè)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞2.選用比例+積分控制（PI），確定為消除穩(wěn)態(tài)誤差，需要使用積分控制。函數(shù)和輸出的Z變換分別為圖5.4-4取不同值時(shí)輸出波形

！取不同值時(shí)的輸出波形不同。結(jié)論：積分作用能消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高控制的精度。但系統(tǒng)引入積分作用提高了系統(tǒng)輸出的超調(diào)量，偏大時(shí)系統(tǒng)的振蕩次數(shù)較多；太大時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為可見系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0。●

可采用零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)銷的方法來確定。PI調(diào)節(jié)器給增加了一個(gè)積分環(huán)節(jié)PI調(diào)節(jié)器的的Z傳遞函數(shù)（差分變換）（5.4-11）

，可以消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。同時(shí)也增加了一個(gè)零點(diǎn)?？梢杂盟鼇淼窒胁环€(wěn)定的極點(diǎn)或遠(yuǎn)離原點(diǎn)的極點(diǎn)，令（5.4-12）聯(lián)立式（5.4-12）和（5.4-13），可解出和。通常比例系數(shù)根據(jù)式來確定，其中是系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)。（5.4-13）在本例中有若選取，則由上式可以求出，于是在單位階躍輸入時(shí)，輸出量的Z變換、輸出量的穩(wěn)態(tài)值分別為穩(wěn)態(tài)誤差為0。但是從輸出響應(yīng)曲線可以看出，超調(diào)量達(dá)到45%。為減小超調(diào)量，可以減小，但引起上升時(shí)間增加。3.采用比例+積分+微分控制（PID），確定設(shè)，并設(shè)、，則當(dāng)取不同值時(shí)的輸出波形不同。圖5.4-5

取不同值時(shí)的輸出波形

。

●

同樣可采用零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)銷的方法來確定和（5.4-14）由上式可見，D(z)給系統(tǒng)的開環(huán)Z傳遞函數(shù)D(z)HG(z)增加了一個(gè)積分環(huán)節(jié)；D(z)的分子為二階，有兩個(gè)零點(diǎn)，可以用來抵消HG(z)中兩個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)或遠(yuǎn)離

，可以解得原點(diǎn)的極點(diǎn)、。令得到方程（5.4-15）（5.4-16）在本例中，代入上兩個(gè)方程，并設(shè)則數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的Z傳遞函數(shù)為采用PID后由Y(z)可以求出輸出響應(yīng)y(kT)。輸出量的穩(wěn)態(tài)值為可見由于積分的作用，輸出的穩(wěn)態(tài)誤差為0。結(jié)論：由輸出曲線圖5.4-6可以看出，由于微分的控制作用，不僅降低了超調(diào)量，而且縮短了上升時(shí)間，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。圖