第5章特征值與相似

線性代數(shù)

LinearAlgebra

第五

章矩陣的相似對(duì)角化1在第3章中,利用矩陣的初等變換,引入了矩陣等價(jià)的概念及等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形(等價(jià)類中最簡單的代表),秩為矩陣等價(jià)下的不變量.以此處理某些矩陣問題行之有效.方陣的特征值、特征向量是方陣的一個(gè)重要屬性(如同秩).是線性代數(shù)理論中的重要內(nèi)容,且在數(shù)學(xué)(如解微分方程組、矩陣級(jí)數(shù)的收斂性、層次分析法etc.)及工程技術(shù)中有著廣泛應(yīng)用.本章將介紹一種新的矩陣變換(相似變換)，研究矩陣相似對(duì)角化的條件，在矩陣相似下，秩不變且特征值不變

.本章介紹的內(nèi)容僅對(duì)方陣而言第五章矩陣的相似對(duì)角化2§1

特征值與特征向量第五章矩陣的相似對(duì)角化Definition1一、特征值與特征向量的概念及求法

設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)和n維非零向量x使關(guān)系式（1）成立，則稱為A的特征值，非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.Theorem

1如果

x1，x2

都是A的屬于特征值的特征向量，則也是A的屬于特征值的特征向量.（其中k1，k2是任意常數(shù)，）3§1

特征值與特征向量說明特征向量不是被特征值所唯一確定，相反，特征值卻是被特征向量所唯一確定.一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值若非零向量x是屬于兩個(gè)特征值的特征向量,則有即于是又因?yàn)樗?

A的屬于特征值的全體特征向量，構(gòu)成向量空間嗎？

不！因?yàn)椴缓阆蛄俊?第五章矩陣的相似對(duì)角化由(1)可得(2)顯然，（2）有非零解的充要條件是即稱一元n次方程為A的特征方程;稱為方陣A的特征多項(xiàng)式；稱(2)為特征方程組.求特征值與特征向量即為求的根與的解（1）、（2）式都很重要，一般證明用（1），計(jì)算用（2）說明滿足的是A的特征值.反之也然.5§1

特征值與特征向量Example1

求的特征值與特征向量.Solution:特征值是當(dāng)解方程組即解得基礎(chǔ)解系

A對(duì)應(yīng)于全部特征向量為

(k1，k2

是不同時(shí)為零的任意常數(shù))當(dāng)，解方程組解得基礎(chǔ)解系

A對(duì)應(yīng)于全部特征向量為（k3

是不為零的任意常數(shù)）未必有兩個(gè)6第五章矩陣的相似對(duì)角化二、特征值與特征向量的性質(zhì)

Theorem

2設(shè)A是n階方陣，則AT

與A有相同的特征值.ProofTheorem

3設(shè)n階方陣A=(aij)

的n個(gè)特征值為，則其中是

A

的主對(duì)角元之和，稱為方陣

A

的跡，記作

tr(A)Proof

Corollary

n階方陣A可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零.根與系數(shù)的關(guān)系Goon

，則一定是A的特征值特征向量未必相同7§1

特征值與特征向量Proof:Theorem2

的證明有相同的特征多項(xiàng)式，故有相同的特征值.8第五章矩陣的相似對(duì)角化Theorem3

的證明Proof:又因?yàn)槭茿的全部特征值，故比較得9§1

特征值與特征向量Theorem4設(shè)是方陣A的特征值，x是A的屬于的特征向量，則（1）k

是kA的特征值（k是

任意非零常數(shù)）（2）是Al

的特征值（l是正整數(shù)）；（3）

是的特征值（m是正整數(shù));且x仍是矩陣kA，Al，的分別屬于特征值，，的特征向量.即有相同的特征向量.ProofNote:為

A，B

的特征值

未必是

A+B，AB

的特征值。(特征向量不同)GoonProof10第五章矩陣的相似對(duì)角化Theorem4

的證明Proof:由有所以，是

kA的特征值，且x也是

kA屬于的特征向量.Proof:因?yàn)間(A)x=(a0E+a1A+a2A2+…+amAm)x

=a0(Ex)

+a1

(Ax)

+a2(A2x)+…+am(Amx)=a0x+a1

x+a2x+…+amx=g()x所以，是

g(A)的特征值，且x也是

g(A)

屬于的特征向量.11§1

特征值與特征向量(1)

是A-1

的特征值，且A與A-1

有相同的特征向量;Theorem5設(shè)是可逆矩陣

A的特征值，則是A

的伴隨矩陣A*

的特征值，且A

與A*有相同的特征向量.Proof:當(dāng)

A

可逆時(shí)，由Th3

的Co

得因此，設(shè)

x是A的屬于的特征向量，即所以，是的特征值，且A與A-1有相同的特征向量.(1)12(2)第五章矩陣的相似對(duì)角化由A*(Ax)=A*(x)x=(A*x)即A*x=x結(jié)論成立.Example2

Solution:設(shè)3階矩陣A

的特征值為1，-1，2.求

B=A*+3A–2E

特征值，并計(jì)算行列式的值.因A

特征值全不為零，故A可逆且.又Bx=(A*+3A–2E)x設(shè)

x是A的屬于的特征向量，即得是B

的特征值.則B

的特征值為：g(1)=-1，g(-1)=-3，g(2)=3;且=(-1)(-3)3=9.13§1

特征值與特征向量Theorem

6不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān).ProofTheorem

7

若是方陣A

的不同的特征值，而xi1，xi2，…，xiri(i=1,2,…,m)是屬于特征值(i=1,2,…,m)的線性無關(guān)的特征向量，則向量組是線性無關(guān)的.Theorem

8

設(shè)為

n

階方陣

A

的

r重特征值，則對(duì)應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量最多只有

r個(gè).Goon14第五章矩陣的相似對(duì)角化Proof:設(shè)是方陣

A的互不相同特征值,x1，x2，…，xm

是分別屬于它們的特征向量.對(duì)特征值的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)m=1時(shí)，由于特征向量是非零向量，所以必線性無關(guān)；假定屬于m-1個(gè)不同特征值的特征向量線性無關(guān)；設(shè)有數(shù)

k1，k2，…，km，使k1x1+k2x2+…+kmxm=0（1）則A(k1x1+k2x2+…+kmxm)=0即Theorem6的證明15§1

特征值與特征向量另一方面，（1）式兩端乘以，有（3）式減去（2）式，得由歸納假設(shè)，x1，x2，…，xm-1

是線性無關(guān)的，于是但是所以于是（1）式變成

kmxm=0又

所以km=0

即x1，x2,…,xm

是線性無關(guān)的，根據(jù)歸納法定理成立.16第五章矩陣的相似對(duì)角化Example3

設(shè)和是矩陣A

的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為x1

和x2，證明x1+x2

不是A的特征向量.Proof:由題設(shè)故用反證法使于是假設(shè)x1+x2

是A的特征向量，則應(yīng)存在數(shù)即因,由Th.6

知x1，x2

線性無關(guān)，故由上式得即與題設(shè)矛盾因此，x1+x2

不是A的特征向量.17第五章矩陣的相似對(duì)角化§2

相似矩陣有了特征值與特征向量的概念，進(jìn)一步討論新的矩陣變換，使之對(duì)角化.一、相似矩陣的概念與性質(zhì)

Definition2設(shè)A和B都是n階方陣，若存在n階可逆矩陣P，使

P-1AP=B

成立，則稱B是A

的相似矩陣，或稱矩陣A與B相似.對(duì)

A

進(jìn)行運(yùn)算

P-1AP

，稱為對(duì)

A

進(jìn)行相似變換，可逆矩陣

P

稱為

A

變成

B的相似變換矩陣.18§2

相似矩陣顯然，矩陣的相似具有如下性質(zhì)：（1）反身性

A

與

A相似；（2）對(duì)稱性

若

A

與B

相似，則

B

與A也相似；（3）傳遞性

若

A與B

相似，B與C相似，則A與C相似

.彼此相似的矩陣具有一些共性，也稱為相似不變性：Theorem

9若

n

階方陣

A和

B

相似，則（1）R(A)=R(B)；（2）

A

與

B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值；Proof

Note:1、Th9

（2）中特征向量未必相同；2、Th9

（2）中逆命題是不成立的.

如：（3）

tr(A)=tr(B),.

P-1AP=BA=PBP-1P=Q-1Q-1BQ=A

P-1AP=BQ-1BQ=CQ-1P-1APQ=C（1）R(A)=R(B)；（2）

A

與

B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值；

矩陣相似關(guān)系是一種特殊的等價(jià)關(guān)系19第五章矩陣的相似對(duì)角化Theorem9

的證明Proof:（1）由相似定義知，A與B

等價(jià)，從而R(A)=R(B).（2）由相似定義知，所以，A

與

B

有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值.（3）由（2）與Th3

即可得到.20§2

相似矩陣Theorem

10設(shè)n

階矩陣A

和B

相似，函數(shù)g(x)是一個(gè)多項(xiàng)式，則g(A)和g(B)相似.Proof:設(shè)g(x)=amxm+…+a1x+a0則g(A)=amAm+…+a1A+a0E.由于A

和B

相似，即存在n

階可逆矩陣P,使得P-1AP=B，則P-1AkP=Bk，其中k為正整數(shù).Bk=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1AkP故所以，g(A)和g(B)相似.Note:如果B為對(duì)角陣，則可利用該結(jié)果計(jì)算

Ak21第五章矩陣的相似對(duì)角化主要問題：把方陣

A對(duì)角化，即尋找相似變換矩陣

P

使（對(duì)角陣）

二、矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件先討論必要條件:已知存在可逆矩陣

P,使為對(duì)角陣由Th9知對(duì)角線元素是

A的特征值把

P用列向量表示由得即于是有可見,是

A

的特征值，而

P

的列向量

pi就是

A

的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.

反之，A

恰好有

n

個(gè)特征值（復(fù)數(shù)域中），并對(duì)應(yīng)求得

n

個(gè)特征向量。這

n個(gè)特征向量即可構(gòu)成矩陣P

使

Note:P

是不唯一問題是：P

是否可逆？即p1，p2，…，pn

是否線性無關(guān)?22§2

相似矩陣Example4

設(shè)

求可逆矩陣

P使

P-1AP為對(duì)角陣.如果存在，對(duì)角元素的特點(diǎn)？Solution:A

的特征值為當(dāng)由即得基礎(chǔ)解系

當(dāng)由得由前述23第五章矩陣的相似對(duì)角化Example5求矩陣的特征值和特征向量.Solution:A

的特征值為當(dāng)解方程組得基礎(chǔ)解系當(dāng)解方程組得基礎(chǔ)解系在此例中，找不到三個(gè)線性無關(guān)的特征向量雖然但