第7章均勻設(shè)計(jì)

第7章均勻設(shè)計(jì)基本原理一、引言正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)利用：均衡分散：試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)排列規(guī)律整齊整齊可比：試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)散布均勻

正交試驗(yàn)次數(shù)為q2當(dāng)試驗(yàn)中因素?cái)?shù)或水平數(shù)比較大時(shí)，正交試驗(yàn)的次數(shù)也會(huì)很大。如5因素5水平，用正交表需要安排52＝25次試驗(yàn)。這時(shí)，可以選用均勻設(shè)計(jì)法，僅用5次試驗(yàn)就可能得到能滿足需要的結(jié)果1978年，七機(jī)部由于導(dǎo)彈設(shè)計(jì)的要求，提出了一個(gè)五因素的試驗(yàn)，希望每個(gè)因素的水平數(shù)要多于10，而試驗(yàn)總數(shù)又不超過(guò)50，顯然正交設(shè)計(jì)都不能用，方開(kāi)泰與王元經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的共同研究，提出了一個(gè)新的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，即所謂“均勻設(shè)計(jì)”，將這一方法用于導(dǎo)彈設(shè)計(jì)，取得了成效均勻設(shè)計(jì)法與正交設(shè)計(jì)法的不同：均勻設(shè)計(jì)法不再考慮“數(shù)據(jù)整齊可比”性，只考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)充分“均衡分散”均勻設(shè)計(jì)的概念均勻設(shè)計(jì)(UniformDesign)是一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法(ExperimentalDesignMethod)。所有的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法本質(zhì)上都是在試驗(yàn)的范圍內(nèi)給出挑選代表性點(diǎn)的方法，均勻設(shè)計(jì)也不例外，它是只考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。由于均勻設(shè)計(jì)不再考慮正交試驗(yàn)的整齊可比性，因此其試驗(yàn)結(jié)果的處理要采用回歸分析方法—線性回歸或多項(xiàng)式回歸分析。回歸分析中可對(duì)模型中因素進(jìn)行回歸顯著性檢驗(yàn)，根據(jù)因素偏回歸平方和的大小確定該因素對(duì)回歸的重要性；在各因素間無(wú)相關(guān)關(guān)系時(shí)，因素偏回歸平方和的大小也體現(xiàn)了它對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響的重要性。這些一般都要借助計(jì)算機(jī)才能完成。華羅庚王元二、均勻設(shè)計(jì)表均勻設(shè)計(jì)表符號(hào)表示的意義U7(76)均勻表的代號(hào)試驗(yàn)次數(shù)因素的水平數(shù)因素?cái)?shù)如U6(64)表示要做次6試驗(yàn)，每個(gè)因素有6個(gè)水平，該表有4列。

1234112362246533624441535531266541U6(64)列號(hào)試驗(yàn)號(hào)每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表都附有一個(gè)使用表，它指示我們?nèi)绾螐脑O(shè)計(jì)表中選用適當(dāng)?shù)牧?，以及由這些列所組成的試驗(yàn)方案的均勻度。下表是U6(64)的使用表。它告訴我們，若有兩個(gè)因素，應(yīng)選用1，3兩列來(lái)安排試驗(yàn)；若有三個(gè)因素，應(yīng)選用1，2，3三列，…，最后1列D表示刻劃均勻度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均勻度越好。s列

號(hào)

D213

0.18753123

0.2656412340.2990U6(64)的使用表均勻設(shè)計(jì)有其獨(dú)特的布（試驗(yàn)）點(diǎn)方式：每個(gè)因素的每個(gè)水平做一次且僅做一次試驗(yàn)任兩個(gè)因素的試驗(yàn)點(diǎn)點(diǎn)在平面的格子點(diǎn)上，每行每列有且僅有一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。以上兩個(gè)性質(zhì)反映了均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)安排的“均衡性”，即對(duì)各因素，每個(gè)因素的每個(gè)水平一視同仁。均勻設(shè)計(jì)表任兩列組成的試驗(yàn)方案一般并不等價(jià)例如用U6(64)的1，3和1，4列分別畫(huà)圖，得到下面的圖(a)和圖(b)。我們看到，(a)的點(diǎn)散布比較均勻，而(b)的點(diǎn)散布并不均勻。均勻設(shè)計(jì)表的這一性質(zhì)和正交表有很大的不同，因此，每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表必須有一個(gè)附加的使用表。三、試驗(yàn)結(jié)果分析均勻設(shè)計(jì)的結(jié)果沒(méi)有整齊可比性，分析結(jié)果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回歸分析或逐步回歸分析的方法：回歸模型建立回歸模型可分為線性回歸模型和非線性模型等。1線性回歸模型分為一元線性回歸模型和多元線性回歸模型。(1)一元線性回歸模型模型為y=a+bx,線性相關(guān)的程度常用相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量，在某一顯著性水平α下，當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大于相關(guān)系數(shù)臨界值時(shí)才可以認(rèn)為x和y有線性相關(guān)關(guān)系。線性回歸模型(2)多元線性回歸模型當(dāng)影響因變量ｙ的自變量不止一個(gè)時(shí)，比如有ｍ個(gè)x1,…,xm這時(shí)ｙ和ｘ之間的線性回歸方程為：y=a+b1x1+b2x2+,…,+bmxm,非線性回歸模型如三因素時(shí):當(dāng)各因素與響應(yīng)值關(guān)系是非線性關(guān)系時(shí)，或存在因素的交互作用時(shí)，可采用多項(xiàng)式回歸分析的方法例如各因素與響應(yīng)值均為二次關(guān)系時(shí)的回歸方程為：回歸模型建立回歸模型的建立過(guò)程在很大程度上需要結(jié)合專業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。2應(yīng)用舉例利用均勻設(shè)計(jì)表來(lái)安排試驗(yàn)的步驟：（1）根據(jù)試驗(yàn)的目的，選擇合適的因素和相應(yīng)的水平。（2）選擇適合該試驗(yàn)的均勻設(shè)計(jì)表，然后根據(jù)該表的使用表從中選出列號(hào)，將因素分別安排到這些列號(hào)上，并將這些因素的水平按所在列的指示分別對(duì)號(hào)，則試驗(yàn)就安排好了我們通過(guò)制藥工業(yè)中的一個(gè)實(shí)例,來(lái)看均勻設(shè)計(jì)表的使用方法。例1

:阿魏酸的制備

這就是說(shuō)以阿魏酸的產(chǎn)量作為目標(biāo)Y。

阿魏酸是某些藥品的主要成分，在制備過(guò)程中，我們想增加其產(chǎn)量。全面交叉試驗(yàn)要N=73=343次,太多了。使用正交設(shè)計(jì)?建議使用均勻設(shè)計(jì)。有現(xiàn)成的均勻設(shè)計(jì)表，提供使用。

經(jīng)過(guò)分析研究，挑選出因素和試驗(yàn)區(qū)域，為原料配比:1.0---3.4吡啶總量:10----28反應(yīng)時(shí)間:0.5---3.5確定了每個(gè)因素相應(yīng)的水平數(shù)為7。如何安排試驗(yàn)?zāi)?第1步:將試驗(yàn)因素的水平列成下表：表1:第2步:選擇相應(yīng)的均勻設(shè)計(jì)表.每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表有一個(gè)記號(hào)，它有如下的含義:Un(qs)均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)水平數(shù)因素的最大數(shù)例如:表2:表3:每個(gè)表還有一個(gè)使用表，將建議我們?nèi)绾芜x擇適當(dāng)?shù)牧?。其中‘偏差’為均勻性的度量值，?shù)值小的設(shè)計(jì)表示均勻性好。例如

U7(74)的使用表為,表4:表2:第3步:

應(yīng)用選擇的

UD表,做出試驗(yàn)安排。1.將x1,x2和

x3放入列1,２和3.x1x2x3

2．用x1的７個(gè)水平替代第一列的1到7.1.01.41.82.22.63.03.43.對(duì)第二列，第三列做同樣的替代.131.5193.0251.0102.5160.5222.0283.54.完成該設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)，得到７個(gè)結(jié)果，將其放入最后一列.表5:第4步:

用回歸模型匹配數(shù)據(jù)首先，考慮線性回歸模型:這個(gè)結(jié)果與人們的經(jīng)驗(yàn)不符。使用回歸分析中變量篩選的方法，得到推薦的模型為：然后，我們嘗試用二次回歸模型來(lái)匹配這些數(shù)據(jù)：使用‘向前’的變量選擇法，我們發(fā)現(xiàn)適宜的模型：26表6:

方差分析（ANOVA）表狀態(tài)是正常的，所以模型(4)是可接受的。圖1:模型中的三項(xiàng)，在5%的水平下是顯著的。第5步:

優(yōu)化--尋找最佳的因素水平組合表5的設(shè)計(jì)是73=343個(gè)全面試驗(yàn)的部分實(shí)施,其中最好的試驗(yàn)點(diǎn)是值為Y=48.2%的#7。它不一定是全局最好的。人們想找到滿足下式的x1*和

x3*:這里求取max的區(qū)域?yàn)椋簒1x3的回歸系數(shù)是正的，x3的回歸系數(shù)也是正的,x1*=3.4.在x3*=2.7575達(dá)到最大值

。

圖3等值線圖(x1*,x3*)在x1*=3.4和

x3*=2.7575處估計(jì)響應(yīng)的最大值是51.85%。它比７個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的最好值48.2%還大。討論:因素

x2

沒(méi)有給響應(yīng)Y予顯著的貢獻(xiàn)，我們可以選x2為其中點(diǎn)x2=19ml.求出的x1*=3.4在邊界上,我們需要擴(kuò)大x1的試驗(yàn)上限。在x1=3.4和

x3=2.7575的鄰域,追加一些試驗(yàn)是必要的。30在第５步，一些優(yōu)化算法是很有用的。例2均勻設(shè)計(jì)法在全光亮鍍鎳研究中的應(yīng)用1.均勻設(shè)計(jì)表的選取本實(shí)驗(yàn)的目的是提高鍍層光亮性?？疾煲蛩貫榉€(wěn)定劑，主光亮劑，輔助光亮劑，潤(rùn)濕劑4個(gè)因素，每個(gè)因素取值范圍為t個(gè)水平（t為實(shí)驗(yàn)次數(shù)），4個(gè)因素的一次項(xiàng)及二次項(xiàng)各有4項(xiàng)，4項(xiàng)因素間的兩兩交互作用設(shè)有6項(xiàng)，共14項(xiàng)，實(shí)驗(yàn)數(shù)不能小于14，本實(shí)驗(yàn)選用U17（178）表。均勻表U17（178）U17（178）表的使用表本實(shí)驗(yàn)為4因素，這4個(gè)因素安排在均勻表的1，5，7，8列，實(shí)驗(yàn)方案及結(jié)果見(jiàn)下表。2.指標(biāo)的選擇和優(yōu)化指標(biāo)是回歸方程中的響應(yīng)函數(shù)，在本實(shí)驗(yàn)中即是鍍件質(zhì)量。根據(jù)我們對(duì)鍍件的要求，定義一個(gè)綜合指標(biāo)z，z的分值由外觀評(píng)分R，沉積速度評(píng)分V，耐腐蝕性評(píng)分Q乘以不同的權(quán)重構(gòu)成，z=0.5R+0.2V+0.3Q。R，V，Q的分值分別為0－100。3.實(shí)驗(yàn)方法試樣為10cm×5cm×0.2cm的低碳鋼板，在88－90℃的恒溫水浴槽內(nèi)施鍍，鍍液pH值控制在4.5-5.0。鍍前處理按常規(guī)進(jìn)行，按均勻設(shè)計(jì)表中確定的組成分別配成16種化學(xué)鍍液，掛鍍法施鍍1h，清洗，晾干，對(duì)試樣進(jìn)行外觀的評(píng)定。沉積速度測(cè)定：沉積速度，樣片增加的重量/樣片的面積(g/cm2)耐腐蝕性測(cè)定：10％硫酸浸泡24h，根據(jù)失重及腐蝕后外觀評(píng)分4.結(jié)果處理及分析

實(shí)驗(yàn)結(jié)果用計(jì)算機(jī)處理，主要運(yùn)用軟件為SPSS和Matlab。4.1建立數(shù)學(xué)模型及篩選變量考慮到可能有的數(shù)學(xué)關(guān)系，將各因素的一次項(xiàng)，二次項(xiàng)，兩因子間的交互作用項(xiàng)均作為考察對(duì)象，回歸方程模型為：R=b0+∑bixi+∑bijxixj+∑biixi2(i=1,2,3,4;i≠j)b為各項(xiàng)系數(shù)。將給因素的值及綜合指標(biāo)輸入計(jì)算機(jī)，用自后淘汰變量法(backwardselection)進(jìn)行回歸分析和變量篩選，sigF＞0.10的變量被淘汰，最后得到指標(biāo)與相關(guān)組成的回歸方程。Z=86.726+6.555×d－4.554×p2＋1.384×c2＋0.01641×ω2－3.177×p×c＋0.1932×p×ω－0.1209×c×ω－0.3779×d×ω

c為主光亮劑；d為輔助光亮劑；ω為潤(rùn)濕劑；p為穩(wěn)定劑。4.2對(duì)回歸方程的優(yōu)化處理用求條件極值的強(qiáng)約束優(yōu)化法對(duì)回歸方程進(jìn)行優(yōu)化，用Matlab語(yǔ)言編程，用BFGS擬牛頓(Quasi-