第2章計算機中數(shù)的表示方法

第2章計算機中數(shù)的表示方法張晨曦劉依www.FotoSxzhang2000@163.com2.1 帶符號數(shù)的表示方法2.2 數(shù)的定點表示與浮點表示2.3十進制數(shù)串的表示2.4 數(shù)據(jù)校驗碼計算機中的數(shù)據(jù)信息分為兩大類數(shù)值型數(shù)據(jù)：用來表示具有數(shù)量概念的信息，數(shù)的各位之間有進位關(guān)系。非數(shù)值型數(shù)據(jù)：沒有數(shù)量的大小，各位之間沒有關(guān)聯(lián)。2.1帶符號數(shù)的表示方法機器數(shù)與真值機器數(shù)：用二進制編碼表示的數(shù)據(jù)。真值：與機器數(shù)對應(yīng)的實際數(shù)據(jù)。機器數(shù)包括兩種無符號數(shù)：沒有符號的整數(shù)，即正整數(shù)。例如10010110表示：96H（十進制數(shù)150）字長為n位的無符號數(shù)的表示范圍：0～2n-1帶符號的數(shù)2.1帶符號數(shù)的表示方法2.1帶符號數(shù)的表示方法符號“＋”和“－”的表示“0”：正號“＋”“1”：負號“－”用機器數(shù)的最高位表示符號位帶符號的機器數(shù)表示方法：原碼、補碼和反碼2.1帶符號數(shù)的表示方法原碼的定義

設(shè)X：二進制數(shù)，數(shù)值部分的位數(shù)為n。當X＝±0.X1X2…Xn

（純小數(shù)）當X＝±X1X2…Xn

（純整數(shù)）2.1.1原碼表示法2.1帶符號數(shù)的表示方法例2.1

已知n＝4，求X的原碼[X]原。解：

①

X＝＋0.1101[X]原＝0.1101

②

X＝－0.1101[X]原＝1－X＝1.1101

③

X＝＋1101[X]原＝01101

④X＝－1101[X]原＝24－X＝10000＋1101＝11101原碼的特點原碼表示直觀、易懂，與真值的轉(zhuǎn)換容易。真值0有兩種不同的表示形式

[＋0]原＝000…0[－0]原＝100…0用原碼實現(xiàn)乘、除運算的規(guī)則很簡單，但實現(xiàn)加減運算比較復(fù)雜。2.1帶符號數(shù)的表示方法模和同余模：指一個計量器的容量，可用M表示。例如：大家所熟悉的鐘表，是以12為計數(shù)循環(huán)的，模M＝12

一個4位的二進制計數(shù)器，計數(shù)范圍為0～15，模＝

16同余：指兩整數(shù)A和B除以同一正整數(shù)M，所得余數(shù)相同。這時稱A和B對M同余，即A和B在以M為模時是相等的，可寫成：

A＝B（modM）或

A＝B＋kM(k為整數(shù))2.1.2補碼表示法2.1帶符號數(shù)的表示方法

例如鐘表：模M＝12，故3點和15點、5點和17點是同余的，它們可以寫作：

3＝15（mod12），5＝17（mod12）

3＝3＋12（mod12），5＝17－12（mod12）將減法運算轉(zhuǎn)化成加法運算假設(shè)當前時針停在7點，現(xiàn)在要將時針調(diào)到5點，可以有兩種方法實現(xiàn)：（1）將時針倒撥2格（2小時）：7－2＝5

做減法（2）將時針正撥10格（10小時）：7＋10＝17＝5（mod12）

做加法從上可得：7－2＝7＋10（mod12）

－2與10對模12互補，也可以說－2的補碼是10（以12為模）。2.1帶符號數(shù)的表示方法

例：9－5＝9＋（－5）＝9＋（12－5）＝9＋7＝4（mod12）

7為－5的補碼例：65－25＝65＋（－25）＝65＋（100－25）＝65＋75＝40（mod100）

75為－25的補碼補碼的定義設(shè)X：二進制數(shù)，數(shù)值部分的位數(shù)為n。當X＝±0.X1X2…Xn

（純小數(shù)）2.1帶符號數(shù)的表示方法當X＝±X1X2…Xn

（純整數(shù)）例2.2已知n＝4，求X的補碼[X]補。解：①X＝＋0.1101[X]補＝0.1101②X＝－0.1101[X]補＝2＋X＝1.0011③X＝＋1101[X]補＝01101④X＝－1101[X]補＝25＋X＝100000－1101＝10011補碼的特點由真值求補碼符號位：“0”表示正號“＋”，“1”表示負號“－”。數(shù)值部分正數(shù)：數(shù)值部分與真值形式相同負數(shù)：將真值的數(shù)值部分按位將“1”變?yōu)椤?”，“0”變?yōu)椤?”（按位變反），且在最低位加1。例如：

2.1帶符號數(shù)的表示方法真值0的表示形式是唯一的

[＋0]補＝[－0]補＝000…00補碼的加減運算規(guī)則簡單符號位與數(shù)值位部分一樣參加運算。運算后如有進位產(chǎn)生，則把這個進位舍去不要，相當于舍去一個模。

[X＋Y]補＝[X]補＋[Y]補

[X—Y]補＝[X]補＋[—Y]補已知[Y]補，求[—Y]補。將[Y]補按位變反，且在最低位加1。2.1帶符號數(shù)的表示方法

例2.3已知①Y＝＋0.1101；②Y＝－0.1101；③Y＝＋1101；④Y＝－1101。n＝4；求[—Y]補。解：①[Y]補＝0.1101[—Y]補＝1.0011②[Y]補＝1.0011[—Y]補＝0.1101③[Y]補＝01101[—Y]補＝10011④[Y]補＝10011[—Y]補＝011002.1帶符號數(shù)的表示方法反碼的定義

設(shè)X：二進制數(shù)，數(shù)值部分的位數(shù)為n。當X＝±0.X1X2…Xn

（純小數(shù)）當X＝±X1X2…Xn

（純整數(shù)）2.1.3反碼表示法2.1帶符號數(shù)的表示方法

例2.4已知①X＝＋0.1101；②X＝－0.1101；③X＝＋1101；④X＝－1101。n＝4；求X的反碼[X]反。解：①[X]反＝0.1101②[X]反＝2－2-4＋X＝1.0010③[X]反＝01101④[X]反＝25－1＋X＝100000－1－1101＝10010

2.1帶符號數(shù)的表示方法反碼的特點由真值求反碼符號位：“0”表示正號“＋”，“1”表示負號“－”。數(shù)值部分正數(shù)：數(shù)值部分與真值形式相同負數(shù)：將真值的數(shù)值部分按位變反真值0有兩種不同的表示形式

[＋0]反＝000…0[－0]反＝111…1反碼的加減運算比補碼的復(fù)雜8位二進制整數(shù)的無符號數(shù)、原碼、補碼、反碼表示的真值

2.1帶符號數(shù)的表示方法二進制表示無符號數(shù)原碼補碼反碼000000000＋0＋0＋0000000011＋1＋1＋1……………01111111127＋127＋127＋12710000000128－0－128－12710000001129－1－127－126……………11111110254－126－2－111111111255－127－1－02.1帶符號數(shù)的表示方法移碼的定義（只討論純整數(shù)移碼）設(shè)X：n位的二進制數(shù)真值為＋X1X2…Xn或－X1X2…Xn純整數(shù)移碼的定義：[X]移＝2n＋X－2n≤X＜2n

移碼就是在真值的基礎(chǔ)上加一常數(shù)（2n）這個常數(shù)稱為偏移值相當于X在數(shù)軸上向正方向偏移了若干單位

2.1.4移碼表示法2.1帶符號數(shù)的表示方法

例2.5已知①X＝＋1101；②X＝－1101；n＝4；求X的移碼[X]移。解：①[X]移＝24＋X＝10000＋1101＝11101②[X]移＝24＋X＝10000－1101＝00011移碼和真值的映射

移碼的特點移碼與補碼的關(guān)系移碼與補碼數(shù)值部分相同，符號位相反。即只需將[X]補的符號位變反，就得到[X]移。

當0≤X＜2n時，[X]移＝[X]補＋2n

當－2n≤X＜0時，[X]移＝[X]補－2n

例：①X＝＋1101；[X]補＝01101；[X]移＝11101②X＝－1101；[X]補＝10011；[X]移＝00011

移碼表示法中，數(shù)的最高位（符號位）：如果為“0”，表示該數(shù)為負數(shù)；如果為“1”，表示該數(shù)為正數(shù)。采用移碼的目的：為了能夠從機器數(shù)的形式上直接判斷兩數(shù)真值的大小。小數(shù)點的位置是固定不變的定點小數(shù)（純小數(shù)）：把小數(shù)點固定在數(shù)值部分的最高位之前。定點整數(shù)（純整數(shù)）：把小數(shù)點固定在數(shù)值部分的最低位之后。2.2數(shù)的定點表示與浮點表示2.2.1數(shù)的定點表示▲2.2數(shù)的定點表示與浮點表示數(shù)值部分為n位的機器數(shù)的表示范圍（不包含符號位）定點小數(shù)原碼：－（1－2-n）～（1－2-n）定點小數(shù)補碼：－1～（1－2-n）定點整數(shù)原碼：－（2n－1）～（2n－1）定點整數(shù)補碼：－2n～（2n－1）2.2數(shù)的定點表示與浮點表示小數(shù)點的位置不固定，視需要而浮動。浮點數(shù)的一般表示形式

X＝M×2E其中：E：階碼，用定點整數(shù)表示。階碼的值決定了數(shù)中小數(shù)點的實際位置。M：尾數(shù)或有效值，用定點小數(shù)表示。階碼和尾數(shù)可以采用原碼、補碼、反碼中任意一種編碼方法來表示，但階碼通常采用移碼。2.2.2數(shù)的浮點表示2.2數(shù)的定點表示與浮點表示例如：

X＝＋0.01100101×2-101

階碼：－101；尾數(shù)＋0.01100101Y＝－0.11010011×2+110

階碼：＋110；尾數(shù)－0.11010011用4部分來表示一個浮點數(shù)

2.2數(shù)的定點表示與浮點表示規(guī)格化浮點數(shù)用浮點表示法表示一個數(shù)時，表示形式不唯一。例如X＝＋0.01100101×2-101X＝＋0.11001010×2-110X＝＋0.001100101×2-100規(guī)格化浮點數(shù)當浮點數(shù)的基數(shù)為2時，如果其尾數(shù)M滿足：則該浮點數(shù)為規(guī)格化浮點數(shù)。否則稱其為非規(guī)格化浮點數(shù)。2.2數(shù)的定點表示與浮點表示

例2.6分別將十進制數(shù)－54、轉(zhuǎn)換成規(guī)格化浮點數(shù)表示。階碼用移碼，尾數(shù)用補碼。其浮點數(shù)格式如下所示：

其中Mf為數(shù)符，Ef為階符。解：（－54）10＝（－110110）2＝－0.1101100000×2110

（）10＝（+0.0001101000）2＝+0.1101000000×2-112.2數(shù)的定點表示與浮點表示浮點數(shù)的表示范圍設(shè)浮點數(shù)的階碼為m位，尾數(shù)為n位，數(shù)符和階符各一位，則浮點數(shù)的表示范圍：

浮點數(shù)所能表示數(shù)的范圍處于最大正數(shù)到最小正數(shù)、最大負數(shù)到最小負數(shù)之間。

階碼采用移碼，尾數(shù)采用補碼，浮點表示所對應(yīng)的最大正數(shù)、最小正數(shù)、最大負數(shù)、最小負數(shù)典型數(shù)據(jù)浮點形式數(shù)符

階符

階碼

尾數(shù)真值非規(guī)格化最小正數(shù)0000…000…01規(guī)格化最小正數(shù)0000…010…00最大正數(shù)0111…111…11非規(guī)格化最大負數(shù)1000…011…11規(guī)格化最大負數(shù)1000…001…11最小負數(shù)1011…100…002.2數(shù)的定點表示與浮點表示如果一個數(shù)超出了數(shù)的表示范圍，則稱為溢出。若該數(shù)處于最小正數(shù)和最大負數(shù)之間，稱為下溢。若該數(shù)大于最大正數(shù)或小于最小負數(shù)，稱為上溢。尾數(shù)的位數(shù)決定了數(shù)據(jù)表示的精度，增加其位數(shù)可以增加有效數(shù)字的位數(shù)；而階碼的位數(shù)決定了數(shù)據(jù)表示的范圍。

IEEE754標準每個浮點數(shù)由3部分組成數(shù)符S

階碼E

尾數(shù)M

兩種基本浮點格式單精度浮點格式雙精度浮點格式兩種擴展浮點格式擴展單精度浮點格式擴展雙精度浮點格式基本格式

數(shù)符位數(shù)

階碼位數(shù)（含1位符號位）

尾數(shù)位數(shù)

總位數(shù)單精度浮點數(shù)182332雙精度浮點數(shù)1115264擴展單精度浮點數(shù)1≥1131≥43擴展雙精度浮點數(shù)1≥15≥63≥79

IEEE754標準浮點數(shù)基本格式

2.2數(shù)的定點表示與浮點表示以單精度浮點數(shù)格式為例數(shù)符S：0表示正數(shù)，1表示負數(shù)。階碼E：由1位符號位和7位數(shù)值組成。

采用偏移值為127的移碼，即:階碼=127+數(shù)值規(guī)定階碼的取值范圍為：1～254階碼值0和255用于表示特殊數(shù)值尾數(shù)M：23位，采用原碼，規(guī)格化表示。由于對于規(guī)格化數(shù)原碼來說，其尾數(shù)的最左邊一位必定為1(特殊值和非規(guī)格化數(shù)除外)，所以可以把這個1丟掉，而把其后的23位放入尾數(shù)字段中。IEEE754中的23位尾數(shù)實際上是表示了24位的有效數(shù)字。2.2數(shù)的定點表示與浮點表示IEEE754單精度浮點數(shù)的特征參數(shù)

特征參數(shù)特征值特征參數(shù)特征值符號位數(shù)1尾數(shù)位數(shù)23階碼位數(shù)8尾數(shù)個數(shù)223階碼偏移值127最大規(guī)格化數(shù)2128階碼取值范圍（移碼）1～254最小規(guī)格化數(shù)2-126階碼取值范圍（真值）-126～127可表示十進制數(shù)范圍10-38～1038階碼個數(shù)254最小非規(guī)格化數(shù)2-149≈10-452.2數(shù)的定點表示與浮點表示+19.5的單精度浮點數(shù)格式（二進制表示為10011.1或1.00111×24）0、±∞

和NaN（非數(shù)）幾個特別值的表示數(shù)值符號尾數(shù)階碼+19.500011100000000000000000010000011000000000000000000000000000000000±∞0或10000000000000000000000011111111NaN0或1非0的任意值11111111非規(guī)格化數(shù)0或1非0的任意值00000000字符串形式把一個十進制數(shù)看作一個字符串，每一個字符用一個字節(jié)表示，采用ASCⅡ碼。兩種表示形式前分隔數(shù)字串符號位占用單獨一個字節(jié)，且位于數(shù)字位之前。正號“＋”：2BH負號“－”：2DH2.3十進制數(shù)串的表示2.3十進制數(shù)串的表示

例如：＋147

－2356后嵌入數(shù)字串符號位不單獨占用一個字節(jié)，而是與最低數(shù)位一起編碼。若符號為“＋”，則最低數(shù)位0～9的編碼不變，仍然為其ASCⅡ碼；若符號為“－”，則最低數(shù)位0～9的編碼為40H加上其ASCⅡ碼，變?yōu)?0H～79H。2.3十進制數(shù)串的表示

例如：＋147

－2356壓縮十進制數(shù)串用一個字節(jié)表示兩位十進制數(shù)，每一位十進制用BCD碼表示，符號當作數(shù)位一樣看待，放在最低數(shù)值位之后。正號“＋”用1100表示，負號“－”用1101表示。2.3十進制數(shù)串的表示要求數(shù)的總位數(shù)（包含一位符號）必須為偶數(shù)，否則在最高位之前補一個“0”。

例如：＋147

－2356數(shù)據(jù)校驗碼：指那些能夠發(fā)現(xiàn)錯誤或自動糾正錯誤的數(shù)據(jù)編碼，又叫“檢錯糾錯編碼”。實現(xiàn)原理在正常編碼的基礎(chǔ)上，按某種規(guī)則增加一些校驗位來形成校驗碼，因此形成的校驗碼會滿足一定的規(guī)律。如果檢測到某一編碼不滿足這個規(guī)律了，那它肯定出錯了。常用的數(shù)據(jù)校驗碼奇偶校驗碼、海明校驗碼、循環(huán)冗余校驗碼2.4數(shù)據(jù)校驗碼2.4數(shù)據(jù)校驗碼奇偶校驗碼的編碼方法在n位有效信息位的最前面或最后面增加一位二進制校驗位P，形成n＋1位的奇偶校驗碼。如果n＋1位的奇偶校驗碼中“1”的個數(shù)為奇數(shù)，則稱為奇校驗。如果“1”的個數(shù)為偶數(shù)，則稱為偶檢驗。例如：①8位二進制信息00101011

奇校驗碼：001010111

偶校驗碼：001010110②8位二進制信息00101010

奇校驗碼：001010100

偶校驗碼：0010101012.4.1奇偶校驗碼2.4數(shù)據(jù)校驗碼

設(shè)n位有效信息位：XnXn-1…X2X1

其后增加一位二進制校驗位：P

那么它們之間的關(guān)系為：

奇校驗：

偶校驗：奇偶校驗碼的校驗方法如果奇校驗碼中“1”的個數(shù)為偶數(shù)，或者偶校驗碼中“1”的個數(shù)為奇數(shù)，則編碼出錯了。

2.4數(shù)據(jù)校驗碼校驗方程奇校驗：

偶校驗：如果E＝0，則編碼正確；如果E＝1，則編碼出錯。

奇偶校驗碼只能發(fā)現(xiàn)一位或奇數(shù)個位出錯，不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)個位同時出錯。不能糾正錯誤。2.4數(shù)據(jù)校驗碼實現(xiàn)原理在n位有效信息位中增加k位校驗位，形成一個n＋k位的編碼；把編碼中的每一位分配到k個奇偶校驗組中；每一組只包含一位檢驗位，組內(nèi)按照奇校驗或偶校驗的規(guī)則求出該組中的校驗位。在海明校驗碼中，有效信息位的位數(shù)n與校驗位數(shù)k滿足如下關(guān)系：

2k－1≥n＋k2.4.2海明校驗碼2.4數(shù)據(jù)校驗碼海明校驗碼中有效信息位數(shù)與校驗位數(shù)的關(guān)系n最小k值n最小k值1～45～1112～2634527～5758～119672.4數(shù)據(jù)校驗碼校驗碼的編碼方法海明校驗碼的編碼過程可分3個步驟進行。確定有效信息位與校驗位在編碼中的位置最終形成的n＋k位海明校驗碼

Hn＋kHn＋k-1…H2H1各位的位號按從右到左的順序

1，2，…，n＋k

每個校驗位Pi所在的位號：2i-1

（i＝1，2,…，k）有效信息位按原排列順序依次安排在其它位置上2.4數(shù)據(jù)校驗碼例如：設(shè)7位有效信息位：X7X6X5X4X3X2X1

n＝7校驗位位數(shù)k＝4

構(gòu)成的海明校驗碼：11位

4個校驗位P4P3P2P1應(yīng)分別位于位號為2i-1的位置上，i＝1，2,3，4，即位號為20、21、22、23。11位海明校驗碼的編碼排列為：位號：111098765432

1

編碼：H11H10H9H8H7H6H5H4H3H2H1X7X6X5P4X4X3X2P3X1P2

P12.4數(shù)據(jù)校驗碼將n＋k位海明校驗碼中的每一位分到k個奇偶校驗組中。分組的方法如下：將校驗碼中的每一位的位號M寫成k位二進制數(shù)的形式：Mk-1Mk-2…M1M0對于編碼中的任何一位HM，依次按從右至左（即從低位到高位）的順序查看其Mk-1Mk-2…M1M0的每一位Mj(j＝0，1,…k-1)，若該位為“1”，則將HM分到第j組。上面的例子共分為4組。2.4數(shù)據(jù)校驗碼11位海明校驗碼的分組結(jié)果

位號1110987654321位號對應(yīng)的二進制數(shù)10111010100110000111011001010100001100100001編碼X7X6X5P4X4X3X2P3X1P2P1第0組X7X5X4X2X1P1第1組X7X6X4X3X1P2第2組X4X3X2P3第3組X7X6X5P42.4數(shù)據(jù)校驗碼根據(jù)分組結(jié)果，每一組按奇校驗或偶校驗求出校驗位，形成海明校驗碼。若采用奇校驗，則每一組中“1”的個數(shù)為奇數(shù)；若采用偶校驗，則每一組中“1”的個數(shù)為偶數(shù)。

在上面的例子中：

采用奇校驗采用偶校驗

2.4數(shù)據(jù)校驗碼例2.7在上面的例子中，若7位有效信息位為

X7X6X5X4X3X2X1＝1001101求其海明校驗碼。解：若采用奇校驗，則：將這些校驗位與有效信息位一起排列，可得11位海明校驗碼為：

100011011102.4數(shù)據(jù)校驗碼若采用偶校驗，則：將這些校驗位與有效信息位一起排列，可得11位海明校驗碼為：

100111001012.4數(shù)據(jù)校驗碼檢驗碼的校驗方法校驗的方法將n＋k位海明校驗碼按編碼時采用的方法，重新再分成k個組。奇校驗：每一組中“1”的個數(shù)應(yīng)該為奇數(shù)偶校驗：每一組中“1”的個數(shù)應(yīng)該為偶數(shù)如果不滿足，則表示該校驗碼出錯了。具體實現(xiàn)在分成的k個組中，將每一組中所有的信息位異或起來，得到k位校驗結(jié)果Ek-1Ek-2…E1E0。（指誤字）2.4數(shù)據(jù)校驗碼若奇校驗中＝00…00

或偶校驗中

Ek-1Ek-2…E1E0

＝00…00

則該校驗碼正確，沒有出錯。否則結(jié)果有錯，這時或Ek-1Ek-2…E1E0代碼所對應(yīng)的十進制數(shù)就是校驗碼中出錯信息位的位號。糾正方法將出錯信息位變反即可。2.4數(shù)據(jù)校驗碼上面例子中的11位校驗碼進行校驗：

2.4數(shù)據(jù)校驗碼

例2.8在例2.7中，采用奇校驗的11位海明校驗碼應(yīng)為：10001101110。若接收到的代碼為10001101110和10001111110，分別檢驗它們有無錯誤？若有，判別出錯位置。解：①若接收到的代碼為10001101110，則得到檢驗結(jié)果為：因為＝0000

，所以收到的海明校驗碼沒有錯。

②若接收到的代碼為10001111110，則得到檢驗結(jié)果為：

因為＝0101，不為全“0”，表示收到的校驗碼有錯。因為為0101，指出是第5位信息出錯，將第5位信息（即X2）變反，就得到正確的代碼。2.4數(shù)據(jù)校驗碼2.4數(shù)據(jù)校驗碼改進上述海明校驗碼只能發(fā)現(xiàn)一位錯誤，并指出是哪一位錯了。在前面講的海明校驗碼的基礎(chǔ)上，再增加一位校驗位，使得有效信息位的位數(shù)n與校驗位數(shù)k滿足如下關(guān)系：

2k-1≥n＋k稱為擴展的海明校驗碼

能發(fā)現(xiàn)并糾正一位出錯，還能發(fā)現(xiàn)兩位出錯，但不能指出是哪兩位。2.4數(shù)據(jù)校驗碼簡稱CRC碼（CyclicRedundancyCheck）

在n位有效信息位后拼接k位校驗位構(gòu)成，通過數(shù)學(xué)運算建立有效信息位與校驗位之間的關(guān)系，形成一個n+k位的代碼。常被稱為（n＋k，n）碼

2.4.3循環(huán)冗余校驗碼循環(huán)冗余校驗碼的格式

2.4數(shù)據(jù)校驗碼模2運算以按位模2相加的四則運算，運算時不考慮進位和借位。模2加減：就是按位作異或運算，模2加與模2減的結(jié)果一樣。運算規(guī)則為：

0±0＝00±1＝1±0＝11±1＝0

例2.9按模2加減規(guī)則，求1100＋1010；1010－0111；1010＋1010。解：1100＋1010＝01101010－0111＝11011010＋1010＝00002.4數(shù)據(jù)校驗碼模2乘：與一般二進制乘法唯一不同的就是最后按模2加求部分積之和。例2.10按模2乘規(guī)則，求1010×101。解：1010×101＝1000102.4數(shù)據(jù)校驗碼模2除每一次都是按模2減求余數(shù)。若余數(shù)（初始為被除數(shù)）最高位為1，則商“1”；若余數(shù)最高位為0，則商“0”。當余數(shù)的位數(shù)小于除數(shù)位數(shù)時，除法結(jié)束。例2.11按模2除規(guī)則，求10010÷101。解：10010÷101＝101余數(shù)為11CRC的編碼方法設(shè)待編碼的n位有效信息位：CnCn-1…C2C1

循環(huán)冗余校驗碼的編碼步驟如下：

2.4數(shù)據(jù)校驗碼將n位有效信息位表示為多項式M（x）的形式：