第一章顆粒幾何特性

第一章顆粒幾何特性與表征吉曉莉第一章顆粒幾何特性與表征1.1顆粒的大小與分布2.2顆粒的形狀2.3顆粒的比表面積與理論計(jì)算1.1顆粒的大小與分布

顆粒的幾何特征主要包括顆粒大小(尺寸)、形狀、比表面積和孔徑等，其中，尺寸的大小是顆粒最重要的幾何特征參數(shù)。表征顆粒幾何尺寸的主要參數(shù)有：粒徑、粒度和粒度分布值1.1.1粒徑和粒度粒徑－－以單顆粒為對(duì)象，表示單顆粒的幾何尺寸的大小粒度－－以顆粒群為對(duì)象，表示所有顆粒大小的總體概念1、單顆粒的粒徑

直徑D直徑D、高度H？當(dāng)量直徑——就是通過(guò)測(cè)量某些與顆粒大小有關(guān)的性質(zhì)，推導(dǎo)出與線性量綱有關(guān)的參數(shù)(1)軸徑：用指定的特征線段表示。(2)球當(dāng)量徑：用和顆粒具有相同參量的球體直徑來(lái)表示。(3)圓當(dāng)量徑：用和顆粒具有相同參量（面積、周長(zhǎng)）的圓的直徑表示。(4)統(tǒng)計(jì)徑:是平行于一定方向（用顯微鏡）測(cè)得的線度

高度h：顆粒最低勢(shì)能態(tài)時(shí)正視投影圖的高度寬度b：顆粒俯視投影圖的最小平行線夾距長(zhǎng)度l：顆粒俯視投影圖中與寬度方向垂直的平行線夾距（1）軸徑設(shè)，圖中顆粒處于一水平面上，其正視和俯視投影圖如圖所示。這樣在兩個(gè)投影圖中，就能定義一組描述顆粒大小的幾何量：高、寬、長(zhǎng)，定義規(guī)則如下hbL表1-1顆粒的軸徑名稱(chēng)符號(hào)計(jì)算式物理意義或定義二軸平均徑平面圖形長(zhǎng)徑和短徑的算術(shù)平均值三軸平均徑立體圖形三維尺寸的算術(shù)平均值三軸調(diào)和平均徑同外接長(zhǎng)方體有相同比表面積的球直徑或立方體的一邊長(zhǎng)二軸幾何平均徑平面圖形長(zhǎng)短徑的幾何平均值三軸幾何平均徑同外接長(zhǎng)方體有相同體積的立方體的一邊長(zhǎng)沿一定方向的顆粒的一維尺度。定向徑包括三種2、定向徑S1S2定向最大徑Martin徑Feret徑對(duì)于一個(gè)顆粒，隨方向而異，定向徑可取其所有方向的平均值；對(duì)取向隨機(jī)的顆粒群，可沿一個(gè)方向測(cè)定。等效圓球體積直徑顆粒與球或投影圓有某種等量關(guān)系的球或投影圓的直徑。這些參量包括體積、面積、比表面積、運(yùn)動(dòng)阻力、沉降速度等。3、當(dāng)量徑（球當(dāng)量徑、圓當(dāng)量徑)a、等體積球當(dāng)量徑：與顆粒同體積球的直徑b、等表面積球當(dāng)量徑：與顆粒等表面積球的直徑球當(dāng)量徑：c、比表面球當(dāng)量徑：與顆粒具有相同的表面積對(duì)體積之比，即具有相同的體積比表面積的直徑a、投影圓當(dāng)量徑Heywood徑：與顆粒投影面積相等的圓的直徑b、等周長(zhǎng)圓當(dāng)量徑：與顆粒投影圓形周長(zhǎng)相等的圓的直徑圓當(dāng)量徑：

表1-2顆粒的球當(dāng)量徑名稱(chēng)符號(hào)計(jì)算式物理意義或定義體積直徑（等體積球當(dāng)量徑與顆粒具有相同體積的圓球直徑面積直徑（等面積球當(dāng)量徑）與顆粒具有相同表面積的圓球直徑等比表面積球當(dāng)量（比表面積徑）與顆粒具有相同外表面積和體積比的圓球直徑(阻力當(dāng)量徑)阻力直徑阻力當(dāng)時(shí)在粘度相同的流體中，以同一速度并與顆粒具有相同運(yùn)動(dòng)阻力的球徑（當(dāng)Re很時(shí)，）自由降落直徑自由降落末速度與顆粒同密度球性，在密度和粘度相同的流體中，與顆粒具有相同沉降速度球體的直徑（該球稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)粒子）斯托克斯直徑層流區(qū)（Re小于0.5）顆粒的自由降落直徑

表1-3顆粒的圓當(dāng)量徑名稱(chēng)符號(hào)計(jì)算式物理意義或定義投影面積直徑與顆粒在穩(wěn)定位置投影面積相等的圓直徑隨機(jī)定向投影面積直徑與任意位置顆粒投影面積相等的圓的直徑周長(zhǎng)直徑與顆粒投影外形周長(zhǎng)相等的圓的直徑

以上各種粒徑是純粹的幾何表征量，描述了顆粒在三維空間中的線性尺度。在實(shí)際粉末顆粒測(cè)量中，還有依據(jù)物理測(cè)量原理，例如運(yùn)動(dòng)阻力，介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)速度等獲得的顆粒粒徑，這時(shí)的粒徑已經(jīng)失去了通常的幾何學(xué)大小的概念，而轉(zhuǎn)化為材料物理性能的描述。因此，除球體以外的任何形狀的顆粒并沒(méi)有一個(gè)絕對(duì)的粒徑值，描述它的大小必須要同時(shí)說(shuō)明依據(jù)的規(guī)則和測(cè)量的方法。2、顆粒體（粉體）的平均粒度

粒群—包含不同顆粒的顆粒體粒群的平均粒度可用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的方法求得，即將粒群劃分為若干窄級(jí)別，任意粒級(jí)的粒度為d，設(shè)該粒級(jí)的顆粒個(gè)數(shù)為n或占總粒群質(zhì)量比為W，再用加權(quán)平均法計(jì)算得到總粒群的平均粒度表1-4粒群的平均粒度

名稱(chēng)符號(hào)計(jì)算公式公式編號(hào)算術(shù)平均直徑（2-1）幾何平均直徑（2-2）調(diào)和平均直徑（2-3）個(gè)數(shù)基準(zhǔn)質(zhì)量基準(zhǔn)峰值直徑分布曲線最高頻度點(diǎn)中值直徑（中位直徑）累積分布曲線的中央值（50%）D50

長(zhǎng)度平均直徑（2-4）面積平均直徑（2-5）體積平均直徑（質(zhì)量平均直徑）（2-6）

平均面積直徑（2-7）平均體積直徑（重量平均直徑）（2-8）接上表(3)、計(jì)算平均粒度方法的選擇計(jì)算方法很多，不同方法的平均值不同，有時(shí)相差甚遠(yuǎn)。工程應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)具體的對(duì)象選擇某種適宜的算法。有些可以通過(guò)理論分析確定某種算法圖2-3鉻黃粉粒度分布曲線（并示出各種平均直徑值）

例如，在研究水煤漿的配級(jí)時(shí)，也應(yīng)用體積平均直徑。在研究添加劑和煤粒的作用機(jī)理，礦物表面改性，微細(xì)粒團(tuán)聚等現(xiàn)象時(shí)，應(yīng)用面積平均直徑?？傊?，平均粒度計(jì)算方法的選擇應(yīng)根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)。只有在確定性質(zhì)的基礎(chǔ)上，計(jì)算的結(jié)果才有實(shí)際意義，切不可隨意選用。1.1.2粒度分布1．頻率分布和累積分布①頻率分布在粉體樣品中，某一粒徑（Dp）或某一粒徑范圍內(nèi)（ΔDp）的顆粒在樣品中出現(xiàn)的個(gè)數(shù)分布或質(zhì)量分布（%）（微分型），即為頻率，用f（Dp）或f（ΔDp）表示。

或頻率分布是表示某一粒徑或某一粒徑范圍的顆粒在全部顆粒中所占的比例。②累積分布：累積分布表示大于(或小于)某一粒徑的顆粒在全部顆粒中所占的比例。

累積分布可分為兩種：篩下累積：按粒徑從小到大進(jìn)行累積，稱(chēng)為篩下累積（用“—”號(hào)表示），所得到的累積分布表示小于某一粒徑的顆粒數(shù)（或顆粒質(zhì)量）的百分?jǐn)?shù)，篩下累積分布常用

U（D）表示；篩上累積：從大到小進(jìn)行累積，稱(chēng)為篩上累積（用“+”號(hào)表示），表示大于某一粒徑的顆粒數(shù)（或顆粒質(zhì)量）的百分?jǐn)?shù)，篩上累積分布常用R（D）。③兩者關(guān)系：

U(D)+R(D)=100%

表1-5粒度分析數(shù)據(jù)綜合表(1:1.414=0.7072)粒度范圍組距間隔dD平均粒度D顆粒數(shù)dN頻率f(D)/%篩下累積分布篩上累積分布U（D）/%R(D)/%下1.4~2.0上0.61.710.10.1上限篩

99.9下限篩

2.0~2.80.82.440.40.599.52.8~4.01.23.4222.22.797.34.0~5.61.64.8696.99.690.45.6~8.02.46.813413.423.077.48.0~11.23.29.624924.947.952.111.2~16.04.813.625925.973.8

26.216.0~22.46.419.216016.089.810.222.4~32.09.627.2737.397.12.932.0~44.812.838.4212.199.20.844.8~64.019.254.460.699.80.264.0~89.625.676.820.2100.0合計(jì)N=1000100(1)列表法2.粒度分布的表示方法例：表1-6以顯微鏡觀察測(cè)量粉體的Feret徑（測(cè)量總數(shù)為1000個(gè)）

①頻率矩形圖（直方圖）每一個(gè)直方圖的底邊長(zhǎng)是組距，縱坐標(biāo)表示各粒級(jí)尺寸顆粒的相對(duì)分布頻率（相對(duì)含量）

圖2-5粒度分布矩形圖（2）作圖法（圖解法）優(yōu)點(diǎn)是一目了然的看出各級(jí)粒度的相對(duì)含量變化及主導(dǎo)級(jí)別等情況；缺點(diǎn)是非連續(xù)分布，缺少各粒級(jí)范圍內(nèi)的信息，因而不能完整反映粒群的粒度特性。②分布曲線a.頻率連續(xù)分布曲線：將矩形直方圖底邊組距中點(diǎn)連成一條光滑的曲線，便形成頻率分布曲線。粒度分布的縱坐標(biāo)不限于用顆粒個(gè)數(shù)表示，也可以使用顆粒質(zhì)量表示，這時(shí)所得到的分布，稱(chēng)為質(zhì)量粒度分布。b.累積分布曲線：

圖中，橫坐標(biāo)為粒群直徑，縱坐標(biāo)是大于或小于某指定粒度的累積頻率（或產(chǎn)率）的百分?jǐn)?shù)。前者稱(chēng)作篩上（正）累積分布曲線R(D),后者稱(chēng)作篩下(負(fù))累積分布曲線U(D)。根據(jù)頻率分布函數(shù)f（D）的概念，可求得任意粒級(jí)Di～Di+1范圍內(nèi)顆粒的相對(duì)百分含量：若從最小粒徑Dmin到某一粒徑D（D﹥Dmin)范圍內(nèi)對(duì)f（D）進(jìn)行積分，可獲得Dmin～D粒徑范圍內(nèi)的顆粒相對(duì)累積百分含量：顆粒篩下累積分布函數(shù)U(D)：若從最大粒徑D到某一粒徑Dman（D﹤Dman)范圍內(nèi)對(duì)f（D）進(jìn)行積分，可獲得D～Dman粒徑范圍內(nèi)的顆粒相對(duì)累積百分含量：顆粒篩上累積分布函數(shù)R(D)：累積分布曲線關(guān)系（3）矩值法

矩值法就是以數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理來(lái)計(jì)算粒群（即樣本）粒度分布的特征值，如平均粒度、方差等。設(shè)觀測(cè)數(shù)D1、D2···Dn為取自某整體（粒群）的一個(gè)容量（級(jí)別數(shù)\顆粒數(shù)量）為n的隨機(jī)樣本，則定義第k階樣本的原點(diǎn)矩為：a=k,k=1，2，····

=

k=1,2，······（2-19）k=1時(shí)，得到樣本的平均數(shù)為：

=

（2-20）

第k階樣本的中心矩則定義為：（2-21）顯然，k=1時(shí)，有(2-22)中心矩和原點(diǎn)矩的關(guān)系為：K=1,2，。。。(2-23)(2-24)(2-25)對(duì)于凡是可以用矩表示的總體數(shù)字特征，都可以寫(xiě)出與其相應(yīng)的樣本數(shù)字特征，如：

樣本方差方差大小表征粒度分布的離散程度

樣本標(biāo)準(zhǔn)方差

樣本偏倚系數(shù)

（2-28）該值表示粒度分布偏離對(duì)稱(chēng)分布的程度

（2-26）（2-27）

樣本峰凸系數(shù)

（2-29）這是衡量分布曲線形狀峰度或陡峭度的指標(biāo)

當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本數(shù)字特征的計(jì)算十分繁雜，此時(shí)可將測(cè)值適當(dāng)分組，用每組的中值，即粒級(jí)的平均粒度，代替該組的所有測(cè)值進(jìn)行計(jì)算，則k階原點(diǎn)矩定義為：

(2-30)

式中n為組數(shù)（級(jí)別數(shù)）；Dj為第j組的中值；組的頻率數(shù)（產(chǎn)率）為fj，則有：（j=1，2······）（2-31）

a1即為該粒群的平均粒度。同理可得到：

(2-32)(2-33)

··········同理，還可以計(jì)算出樣本各階中心矩

（4）函數(shù)法(粒度特性方程)

函數(shù)法就是用數(shù)學(xué)方法將物料粒度分析數(shù)據(jù)歸納，整理并建立能反映物料粒度分布規(guī)律的數(shù)學(xué)模型——粒度特性方程。到目前為止，粒度特性方程均為經(jīng)驗(yàn)式。①正態(tài)分布其頻率分布函數(shù)為正態(tài)分布是一條鐘形對(duì)稱(chēng)曲線式中： －平均粒徑

σ－分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即粒徑Di對(duì)于平均徑的二次矩的平方根σ表征粒度分布的寬窄程度篩下累積分布為正態(tài)分布的頻率分布曲線關(guān)于坐標(biāo)：a.常規(guī)的算術(shù)坐標(biāo)；b.橫坐標(biāo)為算術(shù)坐標(biāo)，縱坐標(biāo)則按粒徑的對(duì)數(shù)表示（正態(tài)概率紙）；c.橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為對(duì)數(shù)坐標(biāo)；(對(duì)數(shù)正態(tài)概率紙)利用正態(tài)概率紙標(biāo)繪正態(tài)分布曲線和求取決定曲線的平均直徑和標(biāo)準(zhǔn)偏差非常方便正態(tài)分布在正態(tài)概率紙上作圖呈一直線。D84.13,D15.87表示小于該D的累積百分?jǐn)?shù)分別為84.13%和15.67%累積篩下百分?jǐn)?shù)②

對(duì)數(shù)正態(tài)分布許多細(xì)磨產(chǎn)物的粒度組成，通常都服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其頻率曲線不對(duì)稱(chēng)，偏向小粒徑一側(cè)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：密度函數(shù)式篩下累積分布函數(shù)式式中Ｄg——幾何平均直徑，

——幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差，可按下式計(jì)算：

如果粒群的粒度組成符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，在對(duì)數(shù)正態(tài)概率紙上作圖，其測(cè)值必定分布在一條直線附近，即為直線的斜率。粒群的平均粒度在累積分布曲線圖上對(duì)應(yīng)于50％處,它等于幾何平均直徑。而幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差為:或D84.13表示小于該D的累積百分?jǐn)?shù)分別84.13%;D15.37表示小于該D的累積百分?jǐn)?shù)分別15.87%Dg=D50圖2-9在對(duì)數(shù)-概率紙上點(diǎn)繪的對(duì)數(shù)正態(tài)分布D15.87D84.13D50橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為對(duì)數(shù)坐標(biāo)小于某一尺寸的累積百分?jǐn)?shù)對(duì)數(shù)正態(tài)概率紙的縱坐標(biāo)與正態(tài)概率紙一樣，橫坐標(biāo)用對(duì)數(shù)標(biāo)尺舉例1：三種曲線都符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其幾何平均徑即中位徑均為10um,幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為：

1.26;2.00;3.16;按對(duì)數(shù)正態(tài)分布示例則相應(yīng)的(lnD的標(biāo)準(zhǔn)偏差）各為0.1;0.3;0.5;

通常某指定變量顆粒個(gè)數(shù)符合某種分布規(guī)律時(shí)，其質(zhì)量分布就不符合該規(guī)律，反之亦然。但對(duì)數(shù)分布不同，如果顆粒個(gè)數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其它如顆粒面積、質(zhì)量分布也是如此，而且有相同的偏差。凡符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布的粒群，由解析法可得各種平均粒徑。當(dāng)顆粒群符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，個(gè)數(shù)基準(zhǔn)分布和質(zhì)量基準(zhǔn)分布符合以下?lián)Q算關(guān)系：質(zhì)量基準(zhǔn)中位徑=個(gè)數(shù)基準(zhǔn)中位徑質(zhì)量基準(zhǔn)幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差=個(gè)數(shù)基準(zhǔn)幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差

表2-7對(duì)數(shù)正態(tài)分布各種平均直徑的計(jì)算公式名稱(chēng)符號(hào)個(gè)數(shù)基準(zhǔn)計(jì)算公式公式編號(hào)算術(shù)平均直徑（2-43）長(zhǎng)度平均直徑（2-44）面積平均直徑（2-45）質(zhì)量平均直徑（2-46）平均面積直徑（2-47）平均體積直徑（2-48）調(diào)和平均直徑（2-49）

例題1.2：下表是根據(jù)某淀粉的光學(xué)顯微鏡測(cè)定的Feret徑的匯總表。將2747個(gè)測(cè)定值按20um以上者間隔10um，20um以下者間隔5um分組。試用將這些數(shù)值在對(duì)數(shù)概率紙上作圖，并求D50，σg的值。其次，求各種平均徑，而且換算成質(zhì)量基準(zhǔn)分布，畫(huà)在分布線圖上。已知淀粉的密度為1400kg/m3（lg60）（lg50）（lg40）（lg30）（lg20）（lg15）（lg10）44∕2747=1.6%103∕2747=3.8%2465∕2747=89.7%594∕2747=21.6%1482∕2747=54%2040∕2747=74.2%259∕2747=9.4%篩下累積篩上累積解：如圖所示，作圖得各平均徑如下表

③.蓋茨（Gates）-高登（Gaudin）-舒茲曼（Schutzmann）粒度特性方程，簡(jiǎn)稱(chēng)GGS方程，即式中U（D）—篩下物（負(fù)累計(jì)產(chǎn)率）%,Dmax—顆粒群中尺寸最大顆粒粒徑；D—粒度；m—分布模數(shù)，與物料性質(zhì)，設(shè)備性能有關(guān)將上式兩邊取對(duì)數(shù)得：m表征粒群粒度分布范圍的寬窄程度。m越大表示粒度分布范圍越窄圖2-7典型的GGS質(zhì)量粒度分布圖解方程在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上是一條直線。過(guò)縱坐標(biāo)1.0處，平行橫坐標(biāo)直線和粒度分布線交點(diǎn)對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)上的值即為Dmaxm直線斜率篩下累積U0.8413U0.1587D84.13%D15.87%U0.5D50

④.羅辛（Rosion）—拉姆勒（Rmmler）方程RRSB

式中R（D）—正累積產(chǎn)率，%；U（D）—負(fù)累積產(chǎn)率，%D—粒度；

De——臨界粒度，即R（D）=36.8%（D=De）或U（Ｄ）＝63.2%時(shí)，對(duì)應(yīng)的粒度；

n----方程模數(shù)，也稱(chēng)均勻性系數(shù)，表示粒度范圍的寬窄。n大表示粒度分布范圍窄，n小則相反?；?/p>

若對(duì)上式兩邊除以100，并對(duì)其倒數(shù)取二重對(duì)數(shù)得：以為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，則得斜率為n的一條直線，其截距為K。由R(D)=36.8％處可得De當(dāng)Ｄ和Ｄe的比值小于１時(shí)RRSB方程和GGS方程一致。而且實(shí)踐證明：在較粗的粒度范圍時(shí)，方程有驚人的重現(xiàn)性，特別是Ｒ—Ｒ紙的應(yīng)用，使RRSB方程在實(shí)踐中很受歡迎。

圖2-8RRSB分布圖例題2用沖擊磨粉碎啤酒瓶，試料全部通過(guò)3.36mm的標(biāo)準(zhǔn)篩，用標(biāo)準(zhǔn)篩測(cè)定的粒度結(jié)果如表所列。試用這些數(shù)值在R-R圖上作圖，并求De;n值，寫(xiě)出R-R分布式。如取啤酒瓶的密度為2600kg/m3，試計(jì)算其比表面積Sw。解：如取mm作為粒度的單位，由表作圖得De=1.9mm,n=1.1;SVDe=28.17

顆粒的形狀對(duì)粉體的物理性能、化學(xué)性能、輸運(yùn)性能和工藝性能有很大的影響。例如，球形顆粒粉體的流動(dòng)性、填充性好，粉末結(jié)合后材料的均勻性高。涂料中所用的粉末則希望是片狀顆粒，這樣粉末的覆蓋性就會(huì)較其他形狀的好。科學(xué)地描述顆粒的形狀對(duì)粉體的應(yīng)用會(huì)有很大的幫助。

2.2顆粒的形狀

同顆粒大小相比，描述顆粒形狀更加困難些。為方便和歸一化起見(jiàn)，人們規(guī)定了某種方法，使形狀的描述量化，并且是無(wú)量綱的量。這些形狀表征量可統(tǒng)稱(chēng)為形狀因子.顆粒的形狀------顆粒的輪廓邊界或表面上各點(diǎn)的圖象.

顆粒的形狀是繼顆粒大小之后又一重要的幾何特征。顆粒形狀的分析有定性和定量?jī)煞矫妗?.2.1顆粒形狀的定性分析通常用一些定性的術(shù)語(yǔ)描述顆粒的形狀。顆粒形狀的定性分析非常粗糙，不夠確切。它難于確切描述顆粒的形狀，更不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。因此，定量分析顆粒形狀一直是人們悉心研究，期待解決的課題。

表2-8顆粒形狀的定義名稱(chēng)定義形狀球形圓形球體滾圓形表面比較光滑近似橢圓形多角形具有清晰邊緣或粗糙的多面體不規(guī)則體無(wú)任何對(duì)稱(chēng)的形狀粒狀體具有大致相同的量綱的不規(guī)則體片狀體板片狀形體枝狀體形狀似樹(shù)枝體纖維狀規(guī)則或不規(guī)則的線粒體多孔體表面或體內(nèi)有發(fā)達(dá)的孔隙2.2.2顆粒形狀的定量分析定量描述顆粒形狀的方法，大致可以分為兩類(lèi)：⑴.用一組數(shù)來(lái)表示，而且按照這一組數(shù)據(jù)可以再現(xiàn)顆粒的形狀，如付立葉定律、神經(jīng)回路網(wǎng)絡(luò)法等，這類(lèi)方法需要處理大量的數(shù)據(jù)，必須借助于計(jì)算機(jī)圖象處理技術(shù)才行。⑵用一個(gè)數(shù)從不同的角度來(lái)表示顆粒的形狀，利用顆粒的各種特征粒徑與其表面積、體積之間的關(guān)系，來(lái)定義各種形狀系數(shù)，也可以與其某一基準(zhǔn)（通常是球）相比較，來(lái)定義各種形狀系數(shù)，在工程上后者用的較多。

對(duì)規(guī)則形狀的顆粒而言，其表面積、體積分別和線性尺寸成平方或三次方的關(guān)系。比例關(guān)系被定義為形狀系數(shù)顆粒的直徑為d，體積為V，面積為S，按上述定義得：表面積形狀系數(shù)

體積形狀系數(shù)

比表面形狀系數(shù)因單位體積顆粒的比表積

Carman形狀系數(shù)所以有1.規(guī)則形狀的單顆粒2.2.2.1形狀系數(shù)以顆粒幾何參量的比例關(guān)系來(lái)表示顆粒與規(guī)則體的偏離程度Carman形狀系數(shù)φc是與顆粒層流動(dòng)阻力有關(guān)的形狀系數(shù)，被定義為2.不規(guī)則單顆粒對(duì)于不規(guī)則顆粒，其形狀系數(shù)隨粒度計(jì)算方法而變，例如用投影面積直徑表示時(shí)，上述三種形狀系數(shù)分別為：式中符號(hào)含義同前，而下標(biāo)a表示測(cè)得的直徑是投影面積直徑。3.顆粒群如果研究對(duì)象是粒群，求其相應(yīng)的系數(shù)時(shí)，分別要用平均值，即：

表2-9顆粒的形狀系數(shù)形狀類(lèi)型球形（l=b=h=d）6圓錐體（l=b=h=d）9.7立方體（l=b=h=d）616圓板（l=b,h=d）

6方柱體（l=b=h）61

6規(guī)則顆粒形狀類(lèi)型與實(shí)例渾圓體：經(jīng)水沖蝕的沙子，熔凝煙灰，霧化金屬2.7~3.40.32~0.418.34~8.29粉磨的角狀礦粒：煤，石灰石，砂子2.5~3.20.2~0.2812.5~11.43片狀礦粒：石墨粉，滑石，石膏2.0~2.80.12~0.1616.67~17.5薄板片：云母，石墨，鋁片1.6~1.70.01~0.03160~56.67不規(guī)則顆粒請(qǐng)同學(xué)課后自己計(jì)算由圖可見(jiàn)，隨粒度的減小，顆粒的形狀近似不變，而且各種礦物細(xì)顆粒的形狀越發(fā)接近。為什么？2.2.2.2形狀指數(shù)

形狀指數(shù)：以顆粒外截形體幾何參量的無(wú)因次數(shù)組來(lái)表示顆粒的形狀特征。⑴球形度

一些規(guī)則形狀體的球形度：

一個(gè)任意形狀的顆粒，測(cè)得該顆粒的長(zhǎng)、寬、高為l、b、h，定義方法與前面討論顆粒大小的三軸徑規(guī)定相同，則：扁平度伸長(zhǎng)度（2）扁平度m與伸長(zhǎng)度n形狀系數(shù)和形狀指數(shù)區(qū)別？將粒子的各種無(wú)因次組合稱(chēng)為形狀指數(shù)，將立體幾何各變量的關(guān)系定義為形狀系數(shù)。

2.2.3.1傅立葉（Fourier）分析法

先進(jìn)的圖象處理技術(shù)，為顆粒形態(tài)研究提供了現(xiàn)代，科學(xué)和方便的方法。傅立葉分析法就是其中的一種。美國(guó)，加拿大，德國(guó)等一些學(xué)者，自20世紀(jì)70年代開(kāi)始，著重對(duì)它進(jìn)行研究，結(jié)果表明，各階Fourier系數(shù)可作為形狀指數(shù)來(lái)看待。如前述球形度，粗糙度等形狀指數(shù)都可從Fourier系數(shù)求出。

Fourier分析法有極坐標(biāo)法（R，）法，用于無(wú)凸形顆粒分析，

和切線法（，L)法，用于凹形顆粒分析。2.2.3顆粒形狀的數(shù)學(xué)分析一、極坐標(biāo)法（R,θ）:步驟：先在顆粒輪廓上取點(diǎn)，測(cè)量出每個(gè)點(diǎn)的（x,y）坐標(biāo)，求出面積質(zhì)心作為質(zhì)點(diǎn)，然后以該質(zhì)心為極坐標(biāo)點(diǎn)，把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成（R,θ）極坐標(biāo)，再將（R,θ）函數(shù)按Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)如下：

式中式中是Fourier系數(shù)；是相角

n是展開(kāi)系數(shù),R隨θ的變化以2π為周期。Fourier分析法顆粒邊界線所包圍圖形的面積質(zhì)心坐標(biāo)為由于極角θ與顆粒投影圖的位置有關(guān)，規(guī)定投影輪廓最大長(zhǎng)度方向?yàn)闃O半徑θ=0的位置A0

下列各式計(jì)算：分別為由若干點(diǎn)的（R、θ）得出Fourier系數(shù)、、這些數(shù)值便含有顆粒形狀與尺寸的所有信息。若各、都等于零，則圖形為圓，其半徑為A0。零階系數(shù)。

如將各階系數(shù)都用A0去除，便得到歸一化系數(shù)。這些歸一化系數(shù)就反映顆粒的形狀。其中低階系數(shù)（n較小時(shí)）反映顆粒的主要特征，（n較大時(shí)）高階系數(shù)、反映顆粒形狀的細(xì)節(jié)二維情況下，球形度就是圓形度，即：伸長(zhǎng)度在這里是過(guò)重心的長(zhǎng)寬比；過(guò)重心的最大尺寸等于R(0)+R(180)二、切線法對(duì)于某些具有凹形特征的顆粒，若采用極坐標(biāo)法，Ri可能會(huì)產(chǎn)生多值問(wèn)題，這時(shí)可采用切線法對(duì)顆粒投影輪廓進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)表征Ri多值問(wèn)題設(shè)變量,L表示顆粒輪廓線的總周長(zhǎng)，則顆粒投影輪廓線可用Fourier級(jí)數(shù)表征：)12......,3.2.1(2cos12sin11sinKt)cos()(122121111010+=D+D==D=D=D-=++=??????=+====￥=KNyxllLLKlKbLKlKalLbKtatNiiiiKiiiNiiKiNiiKiNiiKKKpfppfpfpfff2.2.3.2分?jǐn)?shù)維法Mandelbrot在對(duì)皺折曲線進(jìn)行廣泛研究后，引入分?jǐn)?shù)維（Fractaldimension）來(lái)描述沒(méi)有單一周長(zhǎng)的曲線。最早是Richardson對(duì)粗糙皺折邊界進(jìn)行了研究。他用腳規(guī)沿著地圖上的海岸線一步步地估算出各國(guó)海岸線長(zhǎng)度。發(fā)現(xiàn)當(dāng)減小步長(zhǎng)時(shí)，估算的周長(zhǎng)將傾向于無(wú)限地增大，即海岸線長(zhǎng)度隨量度單元減小而趨于無(wú)限地增大。他得出結(jié)論：與n多邊形（n為步長(zhǎng)數(shù)）近似的海岸線具有的周長(zhǎng)周長(zhǎng)可按下式估算：

顯然，在ln與ln圖中的曲線斜率為1-D。參數(shù)D表示被測(cè)海岸線的特性。Mandelbrot發(fā)現(xiàn)許多天然的粗糙邊界都具有類(lèi)似的性質(zhì)，并按下式定義了粗糙邊界的分?jǐn)?shù)維：式中，即圖上所得的斜率，＜0，故D∈（1，2）。維數(shù)D越大，表明曲線越粗糙，填充空間的能力也越強(qiáng)。分?jǐn)?shù)維可以作為粗糙曲線的粗糙定量化的表征。

δ1）分形與分?jǐn)?shù)維將一維的單位長(zhǎng)度直線分為N等份，每個(gè)線段的長(zhǎng)度為r，則有：將二維的單位面積正方形分為N等份，每個(gè)小正方形的的邊長(zhǎng)為r，則有：將三維的單位面積正方體分為N等份，每個(gè)小正方體的的邊長(zhǎng)為r，則有：2.2.3.2分?jǐn)?shù)維法r的冪次就是該幾何體能得到度量的歐氏空間的維數(shù)d，則有N-小幾何體的數(shù)目r-小幾何體尺度所縮小的倍數(shù)（每個(gè)小幾何體的線度是原幾何體的1／rd=1為直線，d=2為正方體，d=3為立方體。d為整數(shù)滿足歐氏幾何圖形.d不為整數(shù)就不滿足歐氏幾何圖形，稱(chēng)為分形。用分?jǐn)?shù)維D表示上式取對(duì)數(shù)后即可得到歐氏維數(shù)的對(duì)數(shù)表達(dá)式分形分為：自相似分形自仿射分形：自仿射分形曲線、魔鬼臺(tái)階、股票和期貨指數(shù)函數(shù)自嚴(yán)格分形：如Kock雪花曲線、自相交分形曲線、Z字形分形曲線、分形樹(shù)等近似自相形分形：如海岸線、孤島外形、顆粒輪廓線、材料中的結(jié)晶分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科。分形的概念是美籍?dāng)?shù)學(xué)家曼德布羅特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1904年，瑞典數(shù)學(xué)家柯赫構(gòu)造了“Koch曲線”幾何圖形數(shù)學(xué)家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了連續(xù)空間的概念,也就是空間維數(shù)是可以連續(xù)變化的,它可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù),稱(chēng)為豪斯道夫維數(shù)。Kock雪花形成：分形樹(shù)的生成：2）分形的定義：①具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即有任意小比例的細(xì)節(jié)；②是不規(guī)則的，無(wú)論是整體還是局部均不能用歐氏幾何描述；③有某種形式的自相似性，這種自相似可以是嚴(yán)格的自相似，也可以是近似的或統(tǒng)計(jì)意義上的自相似；④一般情況下，形體的分形維數(shù)大于其拓?fù)渚S數(shù)；⑤大多數(shù)情況下，形體可以用簡(jiǎn)單方法形成。分形：組成部分以自相似的方式與整體相似的形體。3）分?jǐn)?shù)維的計(jì)算維數(shù)D越大，表明曲線越粗糙，填充空間的能力也越強(qiáng)。分?jǐn)?shù)維可以作為粗糙曲線的粗糙定量化的表征。

4）顆粒形狀的分?jǐn)?shù)維計(jì)算顆粒形狀可以用分?jǐn)?shù)維來(lái)表征其不規(guī)則的程度。顆粒在平面上的投影輪廓線圖形，其分?jǐn)?shù)維值的范圍為1＜D＜2，分?jǐn)?shù)維值越高，表示顆粒形狀越不規(guī)則。（1）嚴(yán)格等步長(zhǎng)法如圖1.18（a）所示，給定起點(diǎn)、步長(zhǎng)及計(jì)算方向后，由步長(zhǎng)控制的多邊形的下一個(gè)頂點(diǎn)或恰好落在某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上、或落在兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間，沿邊界輪廓一直延續(xù)到最后一個(gè)數(shù)據(jù)。這一算法由于按等步長(zhǎng)行走，所以精度較高。但要求計(jì)算確定頂點(diǎn)位置而占用較多機(jī)時(shí)。(2)變點(diǎn)數(shù)法如圖1.18（b）所示，步長(zhǎng)由每步中所跨過(guò)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)決定。這種算法簡(jiǎn)捷快速，但可引起一定的誤差。(3)混合算法如圖1.18（c）所示，這種算法結(jié)合了I、II兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，即從起點(diǎn)算起，多邊形下一個(gè)頂點(diǎn)為最接近給定步長(zhǎng)的那個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。既簡(jiǎn)便快捷，又能避免步長(zhǎng)變化太大引起的誤差。5）嚴(yán)格等步長(zhǎng)法的分?jǐn)?shù)維計(jì)算法設(shè)顆粒投影輪廓線的計(jì)算周長(zhǎng)為P，則：