集合的含義與表示(1)資料講解

集合的含義與表示(1)1.集合的相關(guān)概念(1)元素.①定義:指的是_________.②表示:用小寫的_________________表示.研究對(duì)象拉丁字母a,b,c,…(2)集合.①含義:指的是_________組成的總體.②表示:用大寫的_________________表示.(3)集合相等:指構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是_____的.(4)集合中元素的特性:_______、_______和無序性.一些元素拉丁字母A,B,C,…一樣確定性互異性2.元素與集合的關(guān)系關(guān)系

屬于：a是集合A的元素，記作_____不屬于：a不是集合A的元素，記作____a∈Aa?A3.常見的數(shù)集及表示符號(hào)數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集_______有理數(shù)集_______符號(hào)________Z__R整數(shù)集實(shí)數(shù)集NN*或N+Q1.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)本班的高個(gè)子同學(xué)組成集合.()(2)漂亮的花組成集合.()(3)聯(lián)合國(guó)常任理事國(guó)組成集合.()(4)在一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素.()2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)用“∈”和“?”填空:-2

N*;π

Q;3.14

R.(2)方程x2-1=0的解與方程x+1=0的解組成的集合中共有

個(gè)元素.(3)若a2=3,則a

R,若a2=-1,則a

R.【解析】1.(1)不正確.因?yàn)楦邆€(gè)子沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn),即元素不確定,不能組成集合.(2)不正確.因?yàn)槭裁礃拥幕ㄊ瞧恋幕ú淮_定,所以漂亮的花不能組成集合.(3)正確.因?yàn)槁?lián)合國(guó)常任理事國(guó)是確定的,所以能組成集合.(4)不正確.因?yàn)榧现械脑貪M足互異性,所以一個(gè)集合中沒有兩個(gè)相同的元素.答案:(1)×(2)×(3)√(4)×2.(1)本題主要考查元素與數(shù)集之間的關(guān)系,明確說出各數(shù)集的含義是解答本題的關(guān)鍵.由題意可知,-2?N*;π?Q;3.14∈R.答案:??∈(2)方程x2-1=0的解是1,-1;x+1=0的解是-1.故這兩個(gè)方程的解組成的集合中的元素是1,-1,共有2個(gè)元素.答案:2(3)因?yàn)閍2=3,所以a=±,此時(shí)a∈R.因?yàn)閍2=-1,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解,所以a?R.答案:∈?【要點(diǎn)探究】知識(shí)點(diǎn)1集合的含義1.對(duì)集合相關(guān)概念的三點(diǎn)說明(1)集合的含義:集合是數(shù)學(xué)中不加定義的原始概念,我們只對(duì)它進(jìn)行描述性說明,其本質(zhì)是某些確定元素組成的總體.(2)元素:集合中的“元素”所指的范圍非常廣泛,現(xiàn)實(shí)生活中我們看到的、聽到的、所觸摸到的、所能想到的各種各樣的事物或一些抽象符號(hào)等,都可以看作集合的元素.(3)整體:集合是一個(gè)整體,已暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對(duì)象一旦組成集合,那么這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體,而非個(gè)別對(duì)象.2.集合中元素的三個(gè)特性特性意義作用確定性集合中的元素是確定的,任何一個(gè)對(duì)象都必須明確它是或不是某個(gè)集合的元素,兩者必居其一判斷涉及的總體是否組成集合互異性集合中的元素必須是互異的,對(duì)于一個(gè)給定的集合,它的任何兩個(gè)元素都是不同的求集合元素中的參數(shù)或排除參數(shù)的取值無序性集合與其中元素的排列順序無關(guān),如由元素a,b,c與由元素b,a,c組成的集合是相等的集合判斷兩個(gè)集合的關(guān)系【知識(shí)拓展】集合的常見分類依據(jù)集合中所含元素的個(gè)數(shù),集合可分為兩類:(1)有限集:含有有限個(gè)元素的集合是有限集,如中國(guó)古代四大發(fā)明組成的集合,其元素個(gè)數(shù)為有限個(gè),是有限集.(2)無限集:含有無限個(gè)元素的集合是無限集,如所有自然數(shù)組成的集合,其元素個(gè)數(shù)為無限個(gè),是無限集.【微思考】(1)接近0的實(shí)數(shù)能夠組成一個(gè)集合嗎?為什么?提示:不能.接近0的實(shí)數(shù)與0接近到什么程度不確定,所以不能組成集合.(2)判斷一組確定的對(duì)象能否組成集合的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是判斷這些對(duì)象是否滿足互異性.【即時(shí)練】1.下列各組對(duì)象不能組成集合的是()A.著名的中國(guó)數(shù)學(xué)家B.北京四中2014級(jí)新生C.全體奇數(shù)D.2016年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)的所有比賽項(xiàng)目2.判斷下列說法是否正確,并說明理由.(1)1,0.5,,組成的集合含有四個(gè)元素.(2)方程x2+2x+1=0的解集中有兩個(gè)元素.(3)組成單詞china的字母組成一個(gè)集合.【解析】1.選A.根據(jù)集合元素的確定性來判斷是否能組成集合.因?yàn)锽,C,D中所給的對(duì)象都是確定的,從而可以組成集合;而A中所給對(duì)象不確定,原因是沒有具體的標(biāo)準(zhǔn)來衡量一位數(shù)學(xué)家怎樣才算著名,故不能組成集合.2.(1)不正確.對(duì)一個(gè)集合,它的元素必須是互異的,由于0.5=,在這個(gè)集合中只能作為一個(gè)元素,故這個(gè)集合含有三個(gè)元素.(2)不正確.因?yàn)榉匠屉m有兩個(gè)相等的實(shí)根,但其解集中只有一個(gè)元素-1.(3)正確.因?yàn)榻M成單詞china的字母是確定的.知識(shí)點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系、常用的數(shù)集及其記法1.對(duì)元素與集合關(guān)系的兩點(diǎn)說明(1)根據(jù)集合中元素的確定性可知,對(duì)任何元素a和集合A,在a∈A和a?A兩種情況中有且只有一種成立.(2)符號(hào)“∈”和“?”只是元素與集合之間的關(guān)系,并且這兩個(gè)符號(hào)的左邊是元素,右邊是集合,具有方向性,左右兩邊不能互換.2.常用數(shù)集及其符號(hào)表示的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)準(zhǔn):對(duì)常用數(shù)集的符號(hào)要記憶準(zhǔn)確,書寫規(guī)范,并且要明確各數(shù)集所含的元素.(2)記:要記住0是最小的自然數(shù).【微思考】N與N*有何區(qū)別?提示:N*是所有正整數(shù)組成的集合,而N是由0和所有的正整數(shù)組成的集合,所以N比N*多一個(gè)元素0.【即時(shí)練】1.設(shè)集合A只含一個(gè)元素a,則下列表示正確的是()A.A≠aB.a∈AC.a?A

D.a=A2.設(shè)集合M中的元素為平行四邊形,p表示某個(gè)矩形,q表示某個(gè)梯形,則p

M,q

M.【解析】1.選B.本題考查元素與集合之間的關(guān)系,顯然A,C,D不正確,由題意知B正確.2.矩形是平行四邊形,梯形不是平行四邊形,故p∈M,q?M.答案:∈?【題型示范】類型一元素與集合的關(guān)系【典例1】(1)已知①∈R;②∈Q;③0?N;④-3∈Z.正確的是

.(2)如果具有下述性質(zhì)的x都是集合M中的元素,其中:x=a+b(a,b∈Q),則下列元素中屬于集合M的是

.①x=0,②x=,③x=3-2π,④x=,⑤x=【解題探究】1.題(1)中數(shù)集R，Q，N，Z的含義各是什么？2.題(2)中集合M中的元素有什么特征？【探究提示】1.數(shù)集R表示實(shí)數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，N表示非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，Z表示整數(shù)集.2.集合M中的元素是由一個(gè)有理數(shù)與另一個(gè)有理數(shù)的倍的和組成的.【自主解答】(1)③0∈N;①②④正確.答案:①②④(2)①當(dāng)a=b=0時(shí),x=0,①正確;②當(dāng)a=0,b=1時(shí),x=,②正確;③當(dāng)a=3,b=-2π時(shí),b?Q,x=3-2π?M,③不正確;④當(dāng)a=3,b=2時(shí),x=3+2=,④正確;⑤x=當(dāng)a=4,b=0時(shí),x=4,⑤正確.答案:①②④⑤【方法技巧】判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法:①使用前提:集合中的元素是直接給出的.②判斷方法:判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.此時(shí)應(yīng)首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成.(2)推理法:①使用前提:對(duì)于某些不便直接表示的集合.②判斷方法:判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合的元素具有什么特征,即該集合中元素要符合哪種表達(dá)式或滿足哪些條件.【變式訓(xùn)練】(2014·濟(jì)南高一檢測(cè))設(shè)直線y=2x+3上的點(diǎn)組成的集合為P,點(diǎn)(2,7)與點(diǎn)集P的關(guān)系為(2,7)

P(填“∈”或“?”).【解題指南】判斷一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合,關(guān)鍵是看這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合中元素的特征,若具備就是,否則不是.【解析】直線y=2x+3上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y具有y=2x+3的關(guān)系,即只要具備此關(guān)系的點(diǎn)就是集合P的元素.由于當(dāng)x=2時(shí),y=2×2+3=7,故(2,7)∈P.答案:∈【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014·廣州高一檢測(cè))集合A的元素y滿足y=x2+1,集合B的元素(x,y)滿足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).選項(xiàng)中元素與集合的關(guān)系都正確的是()A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈B

D.(3,10)∈A,且2∈B【解析】選C.集合A中元素y是實(shí)數(shù),不是點(diǎn),故選項(xiàng)B,D不對(duì).集合B的元素(x,y)是點(diǎn)而不是實(shí)數(shù),2∈B不正確,所以A錯(cuò).故選C.類型二集合元素特性的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例2】(1)(2014·天津高一檢測(cè))已知集合A由元素1和a2組成,實(shí)數(shù)a不能取的值是

.(2)已知集合A含有兩個(gè)元素a-3和2a-1,若-3∈A,試求實(shí)數(shù)a的值.【解題探究】1.題(1)中的1和a2能相等嗎?2.題(2)集合A中含有元素-3,則-3是a-3還是2a-1?【探究提示】1.集合A中元素是不能相同的,即a2≠1.2.由于A中含有兩個(gè)元素,因此-3=a-3和-3=2a-1都有可能,需分類討論.【自主解答】(1)由互異性知a2≠1,即a≠±1,故實(shí)數(shù)a不能取的值是1和-1.答案:1和-1(2)因?yàn)?3∈A,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,則a=0.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-3,-1,符合題意.若-3=2a-1,則a=-1,此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-4,-3,符合題意,綜上所述,滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或-1.【延伸探究】題(2)中將條件“-3∈A”改為“a∈A”,其他條件不變,則a的值是什么?【解析】因?yàn)閍∈A,所以,a=a-3或a=2a-1,解得a=1.【方法技巧】1.集合元素互異性的應(yīng)用及其解題策略(1)應(yīng)用:利用其可以解決一些實(shí)際問題,如三角形中的邊長(zhǎng)問題及元素能否組成集合問題.(2)策略:對(duì)集合中的元素進(jìn)行驗(yàn)證,保證集合內(nèi)的元素不重復(fù).2.含有字母問題的求解步驟(1)根據(jù)已知條件和集合的確定性,求出集合中字母的所有可能的值或范圍.(2)根據(jù)集合元素的互異性對(duì)集合中的元素進(jìn)行檢驗(yàn).【變式訓(xùn)練】(2014·石家莊高一檢測(cè))集合A中有且僅有三個(gè)數(shù)1,0,a,若a2∈A,求a的值.【解題指南】令a2分別為1,0,a,求出a的值后再利用集合元素的互異性檢驗(yàn).【解析】若a2=0,則a=0,不符合集合中元素的互異性,所以a2≠0.若a2=1,則a=±1,由元素的互異性知a≠1,a=-1.若a2=a,則a=0或1,由上面討論知均不符合集合中元素互異性的要求.綜上可知a=-1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知集合A中有1,3,a2+a,a+1四個(gè)元素,若a∈A,試求實(shí)數(shù)a的值.【解析】因?yàn)閍∈A,A={1,3,a2+a,a+1},由于a≠a+1,所以a的取值為1或3或a2+a.當(dāng)a=1時(shí),a2+a=2,a+1=2,這與集合元素的互異性矛盾,故舍去;當(dāng)a=3時(shí),a2+a=12,a+1=4,符合題意;當(dāng)a=a2+a時(shí),a=0,此時(shí)a+1=1,與集合元素的互異性矛盾,故舍去.綜上可知,所求的a值為3.【易錯(cuò)誤區(qū)】忽視集合元素的互異性致錯(cuò)【典例】已知集合A中含有兩個(gè)元素為a和a2,若1∈A,則實(shí)數(shù)a的值為

.【解析】根據(jù)題意知集合A中含有兩個(gè)元素為a和a2，且1∈A，所以a=1或a2=1，①即a=1或a=-1.當(dāng)a=1時(shí)，a2=1，不符合集合元素的互異性②.故a≠1.當(dāng)a=-1時(shí)，集合A的元素是1和-1，符合集合元素的互異性.②故a=-1.綜上所述，a的值為-1.答案:-1【常見誤區(qū)】錯(cuò)解錯(cuò)因剖析1缺乏分類討論意識(shí),看到1∈A,就自然而然地認(rèn)為a=1,而忽略①處的討論1或-1對(duì)元素互異性缺乏理解,忽視對(duì)②處a=1和a=-1的檢驗(yàn)而致錯(cuò)【防范措施】1.分類討論的意識(shí)解答含有字母的元素與集合之間關(guān)系的問題時(shí),要有分類討論的意識(shí),如本例中應(yīng)對(duì)a的取值討論.2.利用互異性檢驗(yàn)求解與集合有關(guān)的字母參數(shù)時(shí),需利用集合元素的互異性來檢