上海交通大學大學概率論及數(shù)理統(tǒng)計教學PPT5

第二章隨機變量及其分布為了更好的揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學工具描述其規(guī)律，引入隨機變量來描述隨機試驗的不同結(jié)果例

電話總機某段時間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個變量X

來描述例

拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果

(檢驗產(chǎn)品時出現(xiàn)的是正品或次品)，也可以用一個變量來描述§1隨機變量的概念1隨機變量的概念定義

E是一隨機實驗，是它的樣本空間則稱上的單值實值函數(shù)X()為隨機變量隨機變量一般用X,Y,Z,或小寫希臘字母,,表示若按一定的法則一個實數(shù)X()隨機變量是上的映射，這個映射具有如下的特點：定義域;隨機性

;概率特性;隨機事件

定義域:

隨機性:隨機變量X

的可能取值不止一個，試驗前只能預知它的可能的取值但不能預知取哪個值

概率特性:X

以一定的概率取某個值或某些值

引入隨機變量后，隨機事件--可用隨機變量的等式或不等式表達如，若用X

表示電話總機在9:00~10:00接到的電話次數(shù)，或—某天9:00~10:00接到的電話次數(shù)超過100次則隨機變量的分類離散型隨機變量非離散型隨機變量—其中一種重要的類型為

連續(xù)型隨機變量我們討論：

離散型隨機變量與

連續(xù)型隨機變量2隨機變量的分布函數(shù)定義了一個x的實值函數(shù)，稱為隨機變量X

的分布函數(shù)，記為F(x),即定義

設(shè)X為隨機變量,對每個實數(shù)x,隨機事件的概率為何引入分布函數(shù)?例設(shè)一汽車在開往目的地的途中需經(jīng)過4盞信號燈，每盞信號燈獨立地以概率p允許汽車通過。令

X

表示首次停下時已通過的信號燈的盞數(shù)，求X

的分布函數(shù)。(p=0.4

)利用分布函數(shù)可以計算由上面的幾個式子可知：可以用分布函數(shù)計算

隨機變量取在任意一個區(qū)間,或任意一個點集內(nèi)的概率.]（]ba]分布函數(shù)的性質(zhì)：

F(x)單調(diào)不減，即

且

F(x)右連續(xù)，即§2離散型隨機變量及其概率分布1離散型隨機變量的概念定義若隨機變量X

的可能取值是有限多個或無窮可列多個，則稱X

為離散型隨機變量描述離散型隨機變量的概率特性常用它的

概率分布或分布律，即概率分布的性質(zhì)：

例設(shè)一汽車在開往目的地的途中需經(jīng)過4盞信號燈，每盞信號燈獨立地以概率p允許汽車通過。令

X

表示首次停下時已通過的信號燈的盞數(shù)，求X

的概率分布與p=0.4時的分布函數(shù)。出發(fā)地目的地解當0.60.40.60.420.60.430.60.44kpk

01234?0?1?2?3?4xx]]]?]??

?0?1?2?3?4xF(x)o?o1?o?o?o?分布函數(shù)與分布律之間的關(guān)系：

離散型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值xk處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點，在間斷點處有躍度

pk

0.60.40.60.420.60.430.60.44kpk

01234可以用概率分布或分布函數(shù)計算有關(guān)事件的概率例在上例中，分別用概率分布與分布函數(shù)計算下述事件的概率：對離散型隨機變量用概率分布比用分布函數(shù)計算這些概率更方便注：對離散型隨機變量用概率分布(或分布律)比用分布函數(shù)計算這些概率更方便，所以描述離散性隨機變量通常用概率分布(或分布律)例

對一目標進行射擊，且各次射擊相互獨立，若每次擊中目標的概率為p(0<p<1),一次一次地射擊直到擊中目標為止。求所需射擊次數(shù)X的概率分布。P(X=k)注：此分布稱為幾何分布例一門大炮對目標進行轟擊，假定此目標必須被擊中r

次才能被摧毀。若每次擊中目標的概率為p(0<p<1),且各次轟擊相互獨立，一次一次地轟擊直到摧毀目標為止。求所需轟擊次數(shù)X的概率分布。解P(X=k)注：此分布稱為巴斯卡分布=P(前k–1次擊中r–1次，第k

次擊中目標)注利用冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可諸項求導的性質(zhì)當歸納地令作業(yè)習題二3,4,5,9、2常見的離散型隨機變量(1)0–1分布（兩點分布）X=xk

10Pkp1-p0<p<

1凡是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果，常用0–1分布描述如拋硬幣、新生兒的性別、電力消耗是否超負荷注其分布律可寫成(2)二項分布背景：n

重Bernoulli試驗中，每次試驗感興趣的事件A

在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)—X

是一離散型隨機變量若P(A)=p,則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項分布，記作注：0–1分布是n=1的二項分布，即(Binomaildistribution)二項分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.0000012345678

xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8(n+1)p=3設(shè).01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8?9?10??????????20(n+1)p=4.2

當(n+1)p=整數(shù)時，在k=[(n+1)p]與

[(n+1)p]–1處的概率取得最大值當(n+1)p

整數(shù)時，在k=[(n+1)p]處的概率取得最大值稱

k

為二項分布的最可能取值

對固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對稱分布；固定p,隨著

n

的增大，其取值的分布趨于對稱證明

得由此知，當k<(n+1)p時，數(shù)列p(X=k)單增，當k>(n+1)p時，數(shù)列p(X=k)單減。結(jié)論得證例獨立射擊5000次，每次的命中率為0.001,求命中次數(shù)不少于2次的概率解令X表示命中次數(shù)，則X~B(5000,0.001)Possion定理則對固定的

k設(shè)Poisson定理說明：若X~B(n,p),則當n

較大，p

較小，而適中，則可以用近似公式證

記在實際計算中，當n

20,p0.05時，可用上述公式近似計算；而當n

100,np10時,精度更好

00.3490.3580.3690.3660.368

10.3050.3770.3720.3700.368

20.1940.1890.1860.1850.184

30.0570.0600.0600.0610.061

40.0110.0130.0140.0150.015

按二項分布按Possion公式

k

n=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1例獨立射擊5000次，每次的命中率為0.001,求命中次數(shù)不少于2次的概率解令X表示命中次數(shù)，則X~B(5000,0.001)令與查P378附表2Poisson分布表得的結(jié)果非常接近在Poisson定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機變量的概率分布—Poisson分布(3)Poisson分布或若其中是常數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為或的Poisson分布，記作在一定時間間隔內(nèi)：電話總機接到的電話次數(shù)；紗錠的斷頭數(shù)；商店的顧客數(shù)；容器中的細菌數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；一本書中的印刷錯誤數(shù)；某路段交通事故的次數(shù).可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機質(zhì)點流,若它們滿足一定的條件則稱為Poisson流,在長為

t

的時間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)Xt~P(t)已知運載火箭在飛行中進入其儀器艙的宇宙粒子數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布。而進入儀器艙的粒子隨機的落到儀器重要部位的概率為0.1，求落到儀器重要部位的粒子數(shù)的概率分布例設(shè)有同類型設(shè)備90臺，每臺工作相互獨立，每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設(shè)備發(fā)生故障可由一個人獨立維修，每人同時也只能維修一臺設(shè)備.(1)問至少要配備多少維修工人，才能保證當設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?(2)問3個人共同負責90臺還是3個人各自獨立負責30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率低？解(1)設(shè)需要配備N

個維修工人X~B(90,0.01)設(shè)X

為90臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)令則查附表2得N=4三個人共同負責90臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率為設(shè)30臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)為

Y~B(30,0.01)設(shè)每個人獨立負責30臺設(shè)備，第i個人負責的30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件Ai

則三個人各獨立負責30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件故

三個人共同負責90臺設(shè)備好！例設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機變量

X~P(),