初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級上冊第4章實數(shù)（全國一等獎）

《第4章實數(shù)》一、選擇題1．25的平方根是（）A．5 B．﹣5 C．± D．±52．下列語句正確的是（）A．9的平方根是﹣3 B．﹣7是﹣49的平方根C．﹣15是225的平方根 D．（﹣4）2的平方根是﹣43．下列說法中，不正確的是（）A．平方根等于本身的數(shù)只有零B．非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍是非負(fù)數(shù)C．任何一個數(shù)都有立方根，且是唯一的D．一個數(shù)的立方根總比平方根小4．若一個數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根的值相同，則這個數(shù)是（）A．1 B．0和1 C．0 D．非負(fù)數(shù)5．估計的值（）A．在3到4之間 B．在4到5之間 C．在5到6之間 D．在6到7之間6．下列各數(shù)精確到萬分位的是（）A． B．0.072 C． D．7．有下列說法：（1）無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)；（2）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；（3）無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù)；（4）無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示．其中正確的說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知：是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為（）A．2 B．3 C．4 D．59．如圖所示，“數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，如圖中數(shù)軸上的點(diǎn)P所表示的數(shù)是”，這種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫做（）A．代入法 B．換元法 C．?dāng)?shù)形結(jié)合 D．分類討論10．在算式（）□（）的□中填上運(yùn)算符號，使結(jié)果最大，這個運(yùn)算符號是（）A．加號 B．減號 C．乘號 D．除號二、填空題11．計算：±=；（﹣）2=．12．計算：=；=．13．的倒數(shù)是，（）3的相反數(shù)是．14．寫出一個介于4和5之間的無理數(shù)：．15．π=…精確到千分位的近似數(shù)是；萬精確到千位表示為．16．﹣的相反數(shù)的絕對值是．17．已知a、b為兩個連續(xù)整數(shù)，且a＜＜b，則a+b=．18．已知實數(shù)x，y滿足+|x﹣2y+2|=0，則2x﹣y的平方根為．三、解答題19．將下列各數(shù)分別填在各集合的大括號里：，，，，，，，﹣，﹣，，0．自然數(shù)集合：{…}；分?jǐn)?shù)集合：{…}；無理數(shù)集合：{…}；實數(shù)集合：{…}．20．計算：（1）+﹣（）2；（2）+|1﹣|﹣；（3）﹣﹣|﹣4|﹣（﹣1）0．21．一個正方體，它的體積是棱長為3的正方體體積的8倍，這個正方體的棱長是多少？22．求下列各式中的未知數(shù)x的值：（1）2x2﹣8=0；（2）（x+1）3=﹣64；（3）25x2﹣49=0；（4）﹣（x﹣3）3=8．23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整數(shù)部分，求a+2b+c的算術(shù)平方根．24．在5×5的正方形方格中，每個小正方形的邊長都為1，請在下圖給定的網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形．（1）從點(diǎn)A出發(fā)，畫一條線段AB，使它的另一個端點(diǎn)B在格點(diǎn)（小正方形的每個頂點(diǎn)都稱為格點(diǎn)）上，且長度為2．（2）畫出所有以（1）中AB為邊的等腰三角形，使另一個頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且另兩邊的長度都是無理數(shù)，并寫出所有滿足條件的三角形．

《第4章實數(shù)》參考答案與試題解析一、選擇題1．25的平方根是（）A．5 B．﹣5 C．± D．±5【考點(diǎn)】平方根．【分析】根據(jù)平方根的定義和性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：∵（±5）2=25，∴25的平方根是±5．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查的是平方根的定義，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．2．下列語句正確的是（）A．9的平方根是﹣3 B．﹣7是﹣49的平方根C．﹣15是225的平方根 D．（﹣4）2的平方根是﹣4【考點(diǎn)】平方根．【專題】計算題．【分析】根據(jù)一個正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)可對A、D進(jìn)行判斷；根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根可對B進(jìn)行判斷；根據(jù)平方根的定義對C進(jìn)行判斷．【解答】解：A、9的平方根是±3，所以A選項錯誤；B、﹣49沒有平方根，所以B選項錯誤；C、﹣15是225的平方根，所以C選項正確；D、（﹣4）2的平方根為±4，所以D選項錯誤．故選C．【點(diǎn)評】本題考查了平方根的定義：若一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫a的平方根，記作±（a≥0）．3．下列說法中，不正確的是（）A．平方根等于本身的數(shù)只有零B．非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍是非負(fù)數(shù)C．任何一個數(shù)都有立方根，且是唯一的D．一個數(shù)的立方根總比平方根小【考點(diǎn)】立方根；平方根；算術(shù)平方根．【專題】計算題．【分析】利用立方根，平方根，以及算術(shù)平方根定義判斷即可．【解答】解：A、平方根等于本身的數(shù)只有零，正確；B、非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍是非負(fù)數(shù)，正確；C、任何一個數(shù)都有立方根，且是唯一的，正確；D、一個數(shù)的立方根不一定比平方根小，錯誤．故選D．【點(diǎn)評】此題考查了立方根，平方根，以及算術(shù)平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．4．若一個數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根的值相同，則這個數(shù)是（）A．1 B．0和1 C．0 D．非負(fù)數(shù)【考點(diǎn)】立方根；算術(shù)平方根．【分析】根據(jù)立方根和平方根的性質(zhì)可知，立方根等于它本身的實數(shù)0、1或﹣1，算術(shù)平方根等于它本身的實數(shù)是0或1，由此即可解決問題．【解答】解：∵立方根等于它本身的實數(shù)0、1或﹣1；算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是0和1．∴一個數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根的值相同的是0和1．故選B．【點(diǎn)評】此題主要考查了立方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的立方根式正數(shù)，一個負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)．5．估計的值（）A．在3到4之間 B．在4到5之間 C．在5到6之間 D．在6到7之間【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小．【專題】計算題．【分析】應(yīng)先找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的整數(shù)之間，然后判斷出所求的無理數(shù)的范圍．【解答】解：∵5＜＜6，∴在5到6之間．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)的那就，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．6．下列各數(shù)精確到萬分位的是（）A． B．0.072 C． D．【考點(diǎn)】近似數(shù)和有效數(shù)字．【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度進(jìn)行判斷．【解答】解：精確到萬分位；精確到千分位；精確到百分位；精確到千分位．故選A．【點(diǎn)評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法；從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．7．有下列說法：（1）無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)；（2）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；（3）無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù)；（4）無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示．其中正確的說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】無理數(shù)．【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義以及實數(shù)的分類即可作出判斷．【解答】解：（1）π是無理數(shù)，而不是開方開不盡的數(shù)，則命題錯誤；（2）無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，則命題正確；（3）0是有理數(shù)，不是無理數(shù)，則命題錯誤；（4）正確；故選B．【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．8．已知：是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】二次根式的定義．【分析】因為是整數(shù)，且==2，則5n是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)n為5．【解答】解：∵==2，且是整數(shù)；∴2是整數(shù)，即5n是完全平方數(shù)；∴n的最小正整數(shù)值為5．故本題選D．【點(diǎn)評】主要考查了乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．二次根式的運(yùn)算法則：乘法法則=．除法法則=．解題關(guān)鍵是分解成一個完全平方數(shù)和一個代數(shù)式的積的形式．9．如圖所示，“數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，如圖中數(shù)軸上的點(diǎn)P所表示的數(shù)是”，這種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫做（）A．代入法 B．換元法 C．?dāng)?shù)形結(jié)合 D．分類討論【考點(diǎn)】實數(shù)與數(shù)軸．【分析】本題利用實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)思想即可求解答．【解答】解：如圖在數(shù)軸上表示點(diǎn)P，這是利用直觀的圖形﹣﹣數(shù)軸表示抽象的無理數(shù)，∴說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫做數(shù)形結(jié)合，∴A，B，D的說法顯然不正確．故選C．【點(diǎn)評】本題考查的是數(shù)學(xué)思想方法，做這類題可用逐個排除法，顯然A，B，D所說方法不對．10．在算式（）□（）的□中填上運(yùn)算符號，使結(jié)果最大，這個運(yùn)算符號是（）A．加號 B．減號 C．乘號 D．除號【考點(diǎn)】實數(shù)的運(yùn)算；實數(shù)大小比較．【專題】計算題．【分析】分別把加、減、乘、除四個符號填入括號，計算出結(jié)果即可．【解答】解：當(dāng)填入加號時：（）+（）=﹣；當(dāng)填入減號時：（）﹣（）=0；當(dāng)填入乘號時：（）×（）=；當(dāng)填入除號時：（）÷（）=1．∵1＞＞0＞﹣，∴這個運(yùn)算符號是除號．故選D．【點(diǎn)評】本題考查的是實數(shù)的運(yùn)算及實數(shù)的大小比較，根據(jù)題意得出填入加、減、乘、除四個符號的得數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題11．計算：±=±3；（﹣）2=3．【考點(diǎn)】實數(shù)的運(yùn)算；平方根．【專題】計算題．【分析】原式利用平方根定義計算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=±3；原式=3，故答案為：±3；3【點(diǎn)評】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．12．計算：=﹣4；=4．【考點(diǎn)】立方根；算術(shù)平方根．【專題】計算題．【分析】原式利用立方根，算術(shù)平方根的定義計算即可得到結(jié)果．【解答】解：=﹣4；=|﹣4|=4，故答案為：﹣4；4．【點(diǎn)評】此題考查了立方根，以及算術(shù)平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．13．的倒數(shù)是﹣3，（）3的相反數(shù)是9．【考點(diǎn)】立方根．【專題】計算題．【分析】原式利用立方根性質(zhì)，相反數(shù)，以及倒數(shù)的定義計算即可得到結(jié)果．【解答】解：=﹣，﹣的倒數(shù)為﹣3；（）3=﹣9，﹣9的相反數(shù)為9，故答案為：﹣3；9【點(diǎn)評】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關(guān)鍵．14．寫出一個介于4和5之間的無理數(shù)：（答案不唯一）．【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大?。粺o理數(shù)．【專題】應(yīng)用題．【分析】由于4=，5=，所以被開方數(shù)只要在16和25之間即可；【解答】解：∵4=，5=，∴在4與5之間的無理數(shù)為（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的估算，解決本題的關(guān)鍵是得到最接近無理數(shù)的有理數(shù)的值．15．π=…精確到千分位的近似數(shù)是；萬精確到千位表示為4×103．【考點(diǎn)】近似數(shù)和有效數(shù)字．【分析】對于π=，把萬分位上的數(shù)字5進(jìn)行四舍五入即可；對于萬，把百位上的數(shù)字3進(jìn)行四舍五入即可．【解答】解：π=…精確到千分位的近似數(shù)是；萬精確到千位表示為4×103．故答案為3，1424×103．【點(diǎn)評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法；從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．16．﹣的相反數(shù)的絕對值是﹣．【考點(diǎn)】實數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可的相反數(shù)，根據(jù)差的絕對值是大數(shù)減小數(shù)，可得答案．【解答】解：﹣的相反數(shù)是﹣，﹣的相反數(shù)的絕對值是﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，先求相反數(shù)，再求絕對值．17．已知a、b為兩個連續(xù)整數(shù)，且a＜＜b，則a+b=9．【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大?。緦ｎ}】計算題．【分析】由于4＜＜5，由此即可找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的整數(shù)之間，然后即可求解．【解答】解：∵4＜＜5，∴a=4，b=5，∴a+b=9．故答案為：9．【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的大小的比較．現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備的數(shù)學(xué)能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．18．已知實數(shù)x，y滿足+|x﹣2y+2|=0，則2x﹣y的平方根為±2．【考點(diǎn)】解二元一次方程組；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根．【專題】計算題．【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可確定出原式的平方根．【解答】解：∵+|x﹣2y+2|=0，∴，解得：，則2x﹣y=16﹣4=12，12的平方根為±2，故答案為：±2【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．三、解答題19．將下列各數(shù)分別填在各集合的大括號里：，，，，，，，﹣，﹣，，0．自然數(shù)集合：{，0…}；分?jǐn)?shù)集合：{…}；無理數(shù)集合：{，，，﹣，﹣…}；實數(shù)集合：{，，，，，，，﹣，﹣，，0…}．【考點(diǎn)】實數(shù)．【分析】根據(jù)實數(shù)的分類方法，分別判斷出自然數(shù)集合、分?jǐn)?shù)集合、無理數(shù)集合、實數(shù)集合各包含哪些數(shù)即可．【解答】解：自然數(shù)集合：{，0…}；分?jǐn)?shù)集合：{，…}；無理數(shù)集合：{，，，﹣，﹣…}；實數(shù)集合：{，，，，，，，﹣，﹣，，0…}．故答案為：，0；；，，，﹣，﹣；，，，，，，，﹣，﹣，，0．【點(diǎn)評】此題主要考查了實數(shù)的分類方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)、實數(shù)的含義和特征．20．計算：（1）+﹣（）2；（2）+|1﹣|﹣；（3）﹣﹣|﹣4|﹣（﹣1）0．【考點(diǎn)】實數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪．【專題】計算題．【分析】（1）原式利用算術(shù)平方根，立方根以及二次根式性質(zhì)計算即可得到結(jié)果；（2）原式利用二次根式性質(zhì)，絕對值的代數(shù)意義化簡，合并即可得到結(jié)果；（3）原式利用二次根式性質(zhì)，立方根，絕對值的代數(shù)意義，以及零指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式=3﹣4﹣3=﹣4；（2）原式=2+﹣1﹣=1；（3）原式=3﹣2﹣4+﹣1=﹣2+．【點(diǎn)評】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．21．一個正方體，它的體積是棱長為3的正方體體積的8倍，這個正方體的棱長是多少？【考點(diǎn)】立方根．【專題】計算題．【分析】根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：=6，則這個正方體的棱長為6．【點(diǎn)評】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關(guān)鍵．22．求下列各式中的未知數(shù)x的值：（1）2x2﹣8=0；（2）（x+1）3=﹣64；（3）25x2﹣49=0；（4）﹣（x﹣3）3=8．【考點(diǎn)】立方根；平方根．【專題】計算題．【分析】各方程整理后，利用平方根或立方根定義開方（開立方）即可求出解．【解答】解：（1）方程整理得：x2=4，開方得：x=±2；（2）開立方得：x+1=﹣4，解得：x=﹣5；（3）方程整理得：x2=，開方得：x=±；（4）開立方得：x﹣3=﹣2，解得：x=1．【點(diǎn)評】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關(guān)鍵．23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b