第二節(jié)初等函數(shù)

第二節(jié)初等函數(shù)四多普勒效應(yīng)內(nèi)容結(jié)構(gòu)一波動的運動學(xué)規(guī)律(引入運動學(xué)參量、運動學(xué)方程、波動的合成)二波動的動力學(xué)規(guī)律三波動的能量一有關(guān)機械波的基本概念§5-1波動的運動學(xué)規(guī)律：機械振動在介質(zhì)中的傳播過程稱為機械波說明：A.機械波產(chǎn)生的前提條件是：存在波源；存在傳播振動的彈性介質(zhì)（但不是所有的波都需要彈性介質(zhì)）B.波動產(chǎn)生的物理機制：波是振動質(zhì)點帶動鄰近質(zhì)點振動，由近及遠向外傳遞振動的結(jié)果。是振動的向外傳遞，不是介質(zhì)質(zhì)點自身向外運動的結(jié)果。：縱波和橫波縱波：振動方向與波的傳播方向垂直的波，稱為縱波縱波依靠介質(zhì)縱向的彈性使振動由近及遠向外傳播。縱波可在固體、液體、氣體中傳播。影響縱波的傳播速度的因素有：介質(zhì)的密度；介質(zhì)的楊氏彈性模量(Y，固體)，體變模量(B，液體、氣體)等?？v波的特征是有凹凸的波峰、波谷。橫波：振動方向與傳播方向平行的波稱為橫波橫波依靠介質(zhì)切向的彈性使振動由近及遠向外傳播橫波只能在固體中傳播。影響橫波的傳播速度的因素有：介質(zhì)的密度；介質(zhì)的切變彈性摸量(G，固體)。橫波的特征是有稀密相間的不同介質(zhì)區(qū)域。二理想機械波模型——介質(zhì)振動頻率與振源振動頻率相同。A.從機械波產(chǎn)生的物理機制角度理解。B.穩(wěn)定、無阻尼受迫振動的振動頻率與受迫力頻率相等——波在傳遞過程中振幅不變?nèi)枋鰴C械波的物理參量1.描述機械波的解析物理參量——波長、頻率(周期)、波速(1).波長(λ)：沿波傳播直線上兩個相鄰?fù)帱c（相位差為2π）之間的距離。說明：一個波長范圍內(nèi)包含了一個“完整的波”，即包含了質(zhì)點振動的各種可能振動步調(diào)(相位)波數(shù)()：波長的倒數(shù)稱為波數(shù)?；颍簡挝婚L度所包含的完整波的數(shù)目，稱為波數(shù)。(2).頻率()：單位時間內(nèi)給定的完整波的個數(shù)。周期(T)：傳遞一個完整波所需的時間?；颍侯l率的倒數(shù)(3).波速(v)：單位時間波向外傳播完整波數(shù)對應(yīng)的距離說明：波的傳播速度等于振動的相位傳播速度波長、頻率、相位之間的普適關(guān)系2.描述機械波的輔助物理參量——波線、波面、波前(幾何描述)(1).波線：波向外傳播的方向構(gòu)成的曲線，稱為波線。波線上任意一點的切線方向與該點波的傳播方向相同波矢：特定的波線的矢量，稱為波矢其中為波矢的單位矢量波面波前波線(2).波面：介質(zhì)中振動相位相同的點構(gòu)成的曲面，稱為波面不同波面上振動的質(zhì)點有一定的相位差。相距一個波長的兩波面的相位差為2π(3).波前：某時刻介質(zhì)中剛開始振動的點構(gòu)成的曲面，或者位于所有波面之前的波面A.波線與波面、波前一定垂直。B.波向外傳播過程可以看作為波前以波速向前推進的過程C.理想機械波模型中，波前的相位一定等于振源的初相位證明：設(shè)振源的簡諧振動為任意時刻t振源的相位為設(shè)機械波傳遞到波前處所需時間為t，考慮到介質(zhì)質(zhì)點振動頻率與振源振動頻率相等，如所有介質(zhì)質(zhì)點振動采用同一記時起點，則波前的相位比振源相位落后于是，t時刻波前的相位為例：聲音在空氣和水中的波速分別為340m/s，1450m/s。求：(1).頻率分別為200Hz，2000Hz的聲波在空氣、水中的波長(2).說明聲音在空氣和水中的頻率為何保持不變解：(1).空氣中水中(2).在理想機械波模型下，介質(zhì)中質(zhì)點的振動頻率始終與振源振動頻率相等。與介質(zhì)結(jié)構(gòu)無關(guān)四平面簡諧波的運動學(xué)描述平面波：波面為平面的波，稱為平面波。簡諧波：傳遞簡諧振動的波，稱為簡諧波1.平面波的運動學(xué)方程——波函數(shù)目的：描述距振源任一距離處質(zhì)點的振動情況設(shè)t時刻x=0的質(zhì)元振動方程為設(shè)平面波的波速為v，則距離振源x點處的相位x點處的振動方程為或者寫為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式討論：波函數(shù)的物理意義A.波函數(shù)表示沿波線方向振動狀態(tài)的周期性分布當(dāng)時，波函數(shù)表示該點質(zhì)點的振動方程任意兩點，的相位差為稱為波程差。相位差與波程差之間的關(guān)系當(dāng)（）時。兩點振動的相位相同當(dāng)（）時。兩點振動的相位相反B.波函數(shù)表示各質(zhì)點相對于各自平衡位置的位移分布當(dāng)時，波函數(shù)表示各質(zhì)點相對于各自平衡位置的位移分布當(dāng)（）時，，波形向前推進的距離(波形向前推進的速度為v)。例：已知平面簡諧波的波動方程求：1.波的振幅、周期、頻率、波長2.距波源處質(zhì)點的振動方程3.距波源x1=0.20m，x2=0.40m兩處的相位差。解：1.由于波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式能直接讀出振幅、周期、波長，因此，在求波函數(shù)的基礎(chǔ)物理量時，一般將波函數(shù)改寫為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式來求解將波函數(shù)改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式為與波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式對比可得2.將代入波動方程可得3.由可得例：一平面簡諧波的波速為20m/s，沿直線傳播。在路徑中A點的振動方程為,如圖求：1.以A為坐標(biāo)原點，寫出波動方程2.以B為坐標(biāo)原點，寫出波動方程3.以B為坐標(biāo)原點，寫出C、D的振動方程及振動速度表達式解：1.由波動方程的普遍形式以A為原點寫波動方程，關(guān)鍵要求出波函數(shù)的基礎(chǔ)物理參量由可得波函數(shù)為2.以B為坐標(biāo)原點時，由于B點比A點坐標(biāo)超前，即因此，只需要將以A為坐標(biāo)原點的波動方程中的記時起點換為以B為坐標(biāo)原點的記時起點即可C、D兩點坐標(biāo)代入上式即可求出C、D兩點的振動方程速度振動方程只需對上面兩式求導(dǎo)例：一平面波沿x軸正向傳播，振幅為A，頻率為ν，波速為v設(shè)t=t’時波形如圖。求：1.x=0分析：求振動方程、波動方程即求已知：A因此，關(guān)鍵求出對處，由振動方程可得由已知，此時波沿x軸正向傳播，理解為波整體向右移動，可知此時振動的速度為負，即于是§5-2波動的動力學(xué)規(guī)律一波的動力學(xué)方程例：推導(dǎo)輕質(zhì)、柔弦的微振動方程如圖，由牛頓定律有微振動時聯(lián)立求解得討論：1.波動動力學(xué)方程的推導(dǎo)步驟取微元對象受力分析列動力學(xué)方程取近似得微分方程二波速由波動方程可得所以對比可知即：波動方程空間二次導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)就是波的傳播速度討論：影響波的傳播速度的因素對其它波動形式的方程作類似推導(dǎo)，可得各種波動的波動方程及傳播速度，由傳播速度的表達式，容易知道影響波傳播速度的因素繩的微振動橫波T：繩的張力桿的縱向微振動波Y：楊氏彈性模量桿的橫向微振動波G：切變彈性摸量聲音在空氣中傳播B：體變模量真空中的電磁波０真空介電常數(shù)，０真空磁導(dǎo)率§5-3波動的能量和能流一簡諧波的能量設(shè)簡諧波為則在點處介質(zhì)內(nèi)的機械能為(1).動能(2).彈性介質(zhì)內(nèi)的勢能A.彈性微元的彈性應(yīng)變?nèi)鐖D，取微元初始時刻微元端點坐標(biāo)分別為x，x+x。某一振動時刻兩端點位移分別為y(x,t)和y(x+x,t)B.彈性介質(zhì)內(nèi)的勢能由彈性模量Y的定義可得(其中，)與彈簧諧振子回復(fù)力公式類比，可得桿縱振動的彈性勢能為或于是討論1.能量密度：彈性介質(zhì)單位體積的能量，稱彈性介質(zhì)的能量密度A.能量密度隨時、間變化，不構(gòu)成簡諧波，但傳遞速度仍為vB.能量密度的角頻率為簡諧振動角頻率的二倍，因而周期、波長為簡諧振動的一半C.平均能量密度為2.微元機械能不守恒知：微元的動能、勢能、總機械能同時達到最大或最小。微元的總機械能是不守恒的，這正表明機械波是要向外傳播能量，這一點，剛好與簡諧諧振動機械能守恒相反二簡諧波的能流密度(波的強度)1.能流矢量單位時間通過介質(zhì)中與傳播速度垂直的某一面積的能量2.平均能流矢量3.能流密度矢量（坡印亭矢量）單位時間通過介質(zhì)中與傳播速度垂直的單位面積的能量4.平均能流密度矢量對平面簡諧波例：在各向同性的理想介質(zhì)中求：點波源振幅、強度隨距離的變化關(guān)系解：由能量守恒可得振幅隨距離呈1次方衰減波的強度隨距離呈2次方衰減(1).z-2衰減曲線(2).z-１衰減曲線(3).三角形脈沖(4).高斯脈沖(5).正弦脈沖(6).等腰梯形脈沖(7).矩形脈沖不同波形的衰減特性log(z)log(Gc/g0)1245637例：聲波在液體中的強度：；頻率；液體的密度：聲速：求：液體質(zhì)元振動的振幅解：由可得由此可見，聲波在液體中的振幅實際上是很小的三聲強與聲級人的聽覺與聲強的對數(shù)成正比，于是聲強定義為采用分貝dB單位§5-4波的干涉駐波一惠更斯原理1.惠更斯原理任一時刻波前上各點都可作為子波的波源，向前發(fā)出子波，后一時刻各子波的包跡，就是該時刻新波的波前惠更斯原理的重要性在于：只要知道了某一時刻波的波陣面，就可以用幾何方法決定下一時刻的波陣面及波的傳播方向例：用惠更斯原理解釋平面波、球面波的傳播t時刻波的波陣面t時刻的波面為新的波源，畫出經(jīng)時刻后的t1時刻子波波前t1時刻子波波前的包跡，即為該時刻的波陣面例：用惠更斯原理解釋波的衍射、折射、反射等規(guī)律二波的疊加原理(波的獨立性原理)A.各列波相遇后它們各自原有的特點(頻率、波長、振幅、振動方向等)不變，按各自原有的方向傳播，好象在各自的傳播過程中沒有遇到其他波一樣B.在各列波相遇的區(qū)域里，任意質(zhì)點的振動，為各列波在該點引起的振動的矢量疊加三波的干涉1.波的干涉的相關(guān)概念A(yù).相干波：滿足相差恒定、振動頻率相同、振動方向相同的波B.波的干涉：相干波在其公共區(qū)域內(nèi)疊加，形成公共區(qū)域內(nèi)合成波強度隨空間坐標(biāo)而異的強度穩(wěn)定分布現(xiàn)象，稱波的干涉設(shè)兩列相干波源的振動分別為在空間相遇點P的振動分別為由疊加原理，兩列波在公共區(qū)域內(nèi)的合成振動為其中討論1.相長干涉當(dāng)時即相位差取決于：稱為波程差此時的相長干涉條件為此時的相消干涉條件為例：已知振源S1，S2如圖，PS1=4m，S1S2=3m，兩振動有如下共同物理量：A=5cm，v=330m/s，v=165Hz，2-1=求：在P點的干涉結(jié)果解：求干涉結(jié)果，即求解以下兩個物理量由于2-1=于是四駐波1.駐波的相干條件：兩波振幅相同、頻率相同、振動方向相同、在同一條直線上反向傳播2.駐波的形成及數(shù)學(xué)表達式設(shè)兩列滿足駐波條件的相干波分別為于是，合成波為討論：(1).振幅分布規(guī)律A.振幅只與空間位置有關(guān)，與時間無關(guān)。即對一確定的空間位置，振幅是一定的B.當(dāng)，即時，此時對應(yīng)的坐標(biāo)點點稱為波腹相鄰波腹的距離為當(dāng)即時，此時對應(yīng)的坐標(biāo)點點稱為波節(jié)相鄰波節(jié)的距離為(2).相位分布規(guī)律每一波節(jié)兩側(cè)半個波長內(nèi)的質(zhì)點振動的相位相反，相鄰兩波節(jié)之間的質(zhì)點振動相位相同因當(dāng)時，即相鄰兩波節(jié)之間的質(zhì)點振動相位相同當(dāng)時，即每一波節(jié)兩側(cè)半個波長內(nèi)的質(zhì)點振動的相位相反(3).駐波的能量：由形成駐波的條件可知，駐波并不傳遞能量(4).半波損失的概念實驗發(fā)現(xiàn)，對于繩子的固定端，該點是入射波與反射波在繩上形成的駐波之波節(jié)。由振動的合成可知，該點的入射波與反射波的相位一定相差半個周期(入射波在該點反射時有的相位突變或半個波長)。稱該現(xiàn)象為半波損失對繩子的自由端，入射波與反射波沒有相位突變，或不構(gòu)成駐波波節(jié)。因此，沒有半波損失一般情況下，入射波在反射時是否存在半波損失，取決于介質(zhì)密度、入射角等因素對于兩端固定繩子上形成的駐波，由于在兩個端點必然是駐波節(jié)點，因而，可能的駐波波長必須滿足或即：可能的駐波必須是某一基波的整數(shù)倍。m=1的頻率稱基頻其它的波稱為諧波。所有這些振動稱為簡正振動。所有的頻率構(gòu)成弦振動的本征頻率當(dāng)外界激發(fā)頻率等于振動系統(tǒng)的本征頻率時，就會引起駐波，這種現(xiàn)象也稱為共振例：波源位于O點處，振動方程為：，在處的Q點有一反射墻壁。求：(1).沿x軸正向、負向傳播的波動方程(2).反射的波動方程(3).OQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程(4).x>0區(qū)域內(nèi)的合成波動方程解：(1).沿x軸正向傳播的波動方程沿x軸負向傳播的波動方程(2).反射的波動方程，入射到Q點的振動方程為考慮到墻壁引起的相位突變，Q點的振動方程為故QO區(qū)域內(nèi)反射波的方程為在x>0區(qū)域內(nèi)反射波的方程為即，反射波波動方程可以統(tǒng)一表示為(3).OQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程(4).x>0區(qū)域內(nèi)的合成波動方程例：長為l的繩兩端固定，線密度為，張力為T求：此弦中的振動頻率（固有振動的本征頻率）解：弦兩端固定，端點應(yīng)為節(jié)點。而駐波相鄰兩點的距離為的整數(shù)倍。于是其中于是基頻為，基頻取決于繩子的長度、密度、張力例：假定原子中核外電子繞核運動遵守某種簡諧波的波動規(guī)律求：原子中電子的軌道半徑必須滿足的條件解：原子必須是穩(wěn)定的，由波的干涉情況可知：只有當(dāng)電子的波形成穩(wěn)定駐波時，原子才可能穩(wěn)定。由駐波條件，軌道周長必須為電子波長的整數(shù)倍，于是§5-5多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)：當(dāng)波源與觀察者發(fā)生相對運動時，觀察者測得的波的頻率發(fā)生變化一波源與觀察者均相對于媒質(zhì)靜止情況當(dāng)波源與觀察者保持相對靜止時，觀察者測得波的頻率為單位時間內(nèi)經(jīng)過觀察者所在觀察點的完整波數(shù)即觀察者測得的頻率等于振源的振動頻率二波源不動，觀察者以速度vR運動當(dāng)波源與觀察者保持相對靜止時，觀察者測得波的頻率為當(dāng)觀察者以速度相向光源運動時，他將多測到經(jīng)過觀察點的波數(shù)為，觀察者測得波的頻率為vR即，觀察者測得的波的頻率為靜止時的倍當(dāng)觀察者以速度遠離光源運動時三觀察者不動，波源相對于