高中數(shù)學(xué)北師大版1第二章圓錐曲線

學(xué)業(yè)分層測評(píng)(十)§1截面欣賞§2直線與球、平面與球的位置關(guān)系直線與球的位置關(guān)系平面與球的關(guān)系(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.正方體的表面積是a，它的頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積是()\f(πa,3) \f(πa,2)C.πa πa【解析】設(shè)正方體的棱長為x，則a＝6x2，而球半徑R＝eq\f(\r(3),2)x，∴S球＝4πR2＝3πx2＝eq\f(πa,2).【答案】B2.把一個(gè)半徑為R的實(shí)心鐵球熔化后鑄成兩個(gè)小球(不計(jì)損耗)，兩個(gè)小球的半徑之比為1∶2，則其中較小球半徑為()\f(1,3)R \f(\r(3,3),3)R\f(\r(3,25),5)R \f(\r(3),3)R【解析】設(shè)較小球半徑為r，則另一球半徑為2r，∴eq\f(4,3)πr3＋eq\f(4,3)π(2r)3＝eq\f(4,3)πR3，∴r3＝eq\f(1,9)R3，∴r＝eq\f(\r(3,3),3)R.【答案】B3.(全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：96990046】π \f(9π,2)π \f(32π,3)【解析】設(shè)球的半徑為R，∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為eq\f(6＋8－10,2)＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤eq\f(3,2)，∴Vmax＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π.故選B.【答案】B4.一個(gè)球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐(圓錐軸截面為正三角形)的體積之比為()∶3∶5 ∶3∶4∶5∶8 ∶6∶9【解析】設(shè)球的半徑為1，則球的外切圓柱的底面半徑為1，高為2；球的外切等邊圓錐的底面半徑為eq\r(3)，高為3，所以球的體積為V1＝eq\f(4,3)π，圓柱的體積為V2＝π×12×2＝2π，圓錐的體積為V3＝eq\f(1,3)×π(eq\r(3))2×3＝3π，所以V1∶V2∶V3＝eq\f(4,3)π∶2π∶3π＝4∶6∶9.【答案】D5.球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的eq\f(1,6)，經(jīng)過這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為4π，那么球的半徑為()\r(3) \r(3) \r(3)【答案】B二、填空題6.平面α與球O相交，交線圓圓心為O1，若OO1＝3，交線圓半徑為4，則球O的半徑為________.【解析】設(shè)球O的半徑為R，由題意知R2＝32＋42＝25，∴R＝5.【答案】57.若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為eq\r(3)，則其外接球的表面積是________.【解析】三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，說明三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)其外接球的半徑為R，則有(2R)2＝(eq\r(3))2＋(eq\r(3))2＋(eq\r(3))2＝9，∴外接球的表面積為S＝4πR2＝9π.【答案】9π8.如圖2-1-7所示，已知球O的面上四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(3)，則球O的體積等于________.圖2-1-7【解析】∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，AC?平面ABC，∴DA⊥BC，DA⊥AC.又BC⊥AB，AB∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥DB，則DC的中點(diǎn)即為球心O.又DA＝AB＝BC＝eq\r(3)，∴AC＝eq\r(6)，DC＝3，∴球O的體積V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(9π,2).【答案】eq\f(9π,2)三、解答題9.已知半徑為R的四個(gè)球兩兩相切，下面三個(gè)球與桌面相切，求上面一個(gè)球的球心到桌面的距離.【解】設(shè)四個(gè)球的球心分別為O1，O2，O3，O4，將它們兩兩連接恰好組成一個(gè)正三棱錐，各棱長均為2R，如圖作O1H⊥面O2O3O4，垂足為H，則O1H為棱錐的高.連接O4H，則O4H＝eq\f(2\r(3),3)R.∵△O1HO4為直角三角形，∠O1HO4＝90°，∴O1H＝eq\f(2\r(6),3)R，∴從上面一個(gè)球的球心到桌面的距離為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)＋1))R.10.若正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為36π的一個(gè)球面上，求這個(gè)正四面體的高.【解】如圖，設(shè)正四面體邊長為x，設(shè)球半徑為R.∴AH＝eq\f(\r(3),3)x,4πR2＝36π.∴R＝3，在Rt△AHS中，SH2＝SA2－AH2，∴SH2＝x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)x))2＝eq\f(2,3)x2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2,3))x－R))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)x))2＝9，∴x＝2eq\r(6)∴SH＝4，故正四面體的高為4.能力提升]1.半徑為R的三個(gè)球兩兩外切放置桌面上，與這三個(gè)球都外切的第四個(gè)小球也放在桌面上，則小球的半徑為() \f(1,2)R\f(1,3)R \f(2,3)R【答案】C2.某管理員為加強(qiáng)對(duì)體育組環(huán)境的管理，訂做了半徑為2R，高為20R的圓柱形筐(有蓋也有下底)，用來盛放半徑為R的籃球，則該筐最多可放籃球的個(gè)數(shù)為() 【解析】設(shè)A，B為同一層球的球心，C，D為相鄰一層的球心，這四個(gè)球心A，B，C，D的連線剛好構(gòu)成一個(gè)正四面體，相鄰兩層之間距離即為正四面體對(duì)棱之間的距離EF(如圖所示).易求得EF＝eq\r(2)R，eq\f(20R－2R,\r(2)R)＝.共13個(gè)“間隔”，即共放了13層，∴13×2＝26.∴該筐最多可放籃球的個(gè)數(shù)為26.【答案】D3.如圖2-1-8所示，一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并向容器內(nèi)注水，使水面恰與鐵球相切，將球取出后，則容器內(nèi)的水深是__________.圖2-1-8【解析】由題意，軸截面PAB為正三角形，故當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水深為3r，水面半徑為eq\r(3)r，容器內(nèi)水的體積就是V＝V圓錐－V球＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3.將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面半徑為eq\f(\r(3),3)h.此時(shí)容器內(nèi)水的體積為V′＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))2·h＝eq\f(1,9)πh3.由V＝V′，得h＝eq\r(3,15)r.即鐵球取出后水深為eq\r(3,15)r.4.在球面上有四點(diǎn)P，A，B，C，若PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求這個(gè)球的體積和表面積.【解】由PA⊥PB可知P，A，B確定一個(gè)平面，設(shè)它與球O的交線為⊙O1，由于PA⊥PB，故AB是⊙O1的直徑，且AB＝eq\r(AP2＋BP2)＝eq\r(2)a.∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB.又OO1⊥平面PAB，∴OO1∥PC.過OO1，PC作平面α交球面為大圓O，設(shè)⊙O與⊙O1的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，則直線PQ是平面α與平面PAB的交線，點(diǎn)O1∈PQ，連接CQ，在⊙O中，∵PC⊥PQ，∠CPQ為直角，∴CQ為⊙O的直徑.設(shè)⊙O的半徑為R，即球O的半徑為R，在Rt