高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念 第一章

新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修1第一章集合與函數(shù)概念1．1集合1．集合的含義與表示第1課時(shí)集合的含義[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.通過(guò)實(shí)例了解集合的含義．(難點(diǎn))2.掌握集合中元素的三個(gè)特性．(重點(diǎn))3.體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))一、元素與集合的相關(guān)概念1．元素：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素．通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集)．通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合．3．集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性．4．集合的相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的．二、元素與集合的關(guān)系1．屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A．2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A．三、常用數(shù)集及符號(hào)表示數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)本班的“帥哥”組成集合．()(2)漂亮的花組成集合．()(3)聯(lián)合國(guó)常任理事國(guó)組成集合．()(4)在一個(gè)集合中可以有兩個(gè)相同的元素．()【解析】(1)不正確，因?yàn)椤皫浉纭睕](méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，即元素不確定，不能組成集合．(2)不正確，因?yàn)槭裁礃拥幕ㄊ瞧恋幕ú淮_定，不能組成集合．(3)正確．因?yàn)槁?lián)合國(guó)常任理事國(guó)是確定的，所以能組成集合．(4)不正確．因?yàn)榧现械脑貪M足互異性，所以一個(gè)集合中沒(méi)有兩個(gè)相同的元素．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2．若a∈R，但a?Q，則a可以是()A．B．－5\f(3,7)\r(7)【解析】由題意知a是實(shí)數(shù)，但不是有理數(shù)，故a為無(wú)理數(shù)．【答案】D3．方程x2－1＝0的解與方程x＋1＝0的解組成的集合中共有________個(gè)元素．【解析】方程x2－1＝0的解是1，－1；x＋1＝0的解是－1，故這兩個(gè)方程的解組成的集合中的元素是1，－1，共有2個(gè)元素．【答案】24．若1∈A，且集合A與集合B相等，則1________B(填“∈”或“?”)．【解析】集合A與集合B相等，則A、B兩集合的元素完全相同，又1∈A，故1∈B.【答案】∈預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)把你認(rèn)為難以解決的問(wèn)題記錄在下面的表格中問(wèn)題1問(wèn)題2問(wèn)題3問(wèn)題4集合的概念(1)下列給出的對(duì)象中，能構(gòu)成集合的是()A．著名數(shù)學(xué)家B．很大的數(shù)C．聰明的人D．小于3的實(shí)數(shù)(2)考查下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合．①不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)；②方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；③某校2023年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；④eq\r(3)的近似值的全體．(3)一元二次方程x2－2x＋1＝0的實(shí)數(shù)解構(gòu)成的集合為A，則A的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【解析】(1)由于只有選項(xiàng)D有明確的標(biāo)準(zhǔn)，能組成一個(gè)集合，故選D.(2)①對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合；②也能構(gòu)成集合；③“高個(gè)子”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)人算不算高個(gè)子無(wú)法客觀地判斷，因此不能構(gòu)成一個(gè)集合；④“eq\r(3)的近似值”不明確精確到什么程度，因此不能判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合．(3)一元二次方程x2－2x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解1，由元素的互異性知，集合A含有一個(gè)元素．【答案】(1)D(2)①②能構(gòu)成集合③④不能構(gòu)成集合(3)11．判斷給定的對(duì)象能不能構(gòu)成集合，就看所給的對(duì)象是不是有確定性．2．互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的．元素與集合的關(guān)系下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為()①eq\r(2)∈Q；②0?N；③π?R；④|－4|∈Z.A．1B．2C．3D．4【思路探究】先明確符號(hào)Q、N、R及Z的含義，再判斷數(shù)eq\r(2)，0，π，|－4|與相應(yīng)數(shù)集的關(guān)系．【解析】①∵eq\r(2)是無(wú)理數(shù)，∴eq\r(2)?Q，故①錯(cuò)誤；②∵0是非負(fù)整數(shù)，∴0∈N故②錯(cuò)誤；③∵π是實(shí)數(shù)，∴π∈R，故③錯(cuò)誤；④∵|－4|＝4是整數(shù)，∴|－4|∈Z，故④正確．【答案】A1．在求解時(shí)常因混淆數(shù)集Q、N、R及Z的含義導(dǎo)致誤解．2．判斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合的元素，關(guān)鍵是判斷這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合的元素的共同特征．用符號(hào)∈或?填空：(1)若A表示由所有質(zhì)數(shù)組成的集合，則1______A，2________A，3________A；(2)eq\r(4)________N*，eq\f(1,3)________Z，eq\r(7)________R.【解析】(1)由2，3為質(zhì)數(shù)，1不是質(zhì)數(shù)得，1?A，2∈A，3∈A.(2)eq\r(4)是正整數(shù)，eq\f(1,3)不是整數(shù)，eq\r(7)是實(shí)數(shù)．【答案】(1)?∈∈(2)∈?∈集合中元素特性的簡(jiǎn)單應(yīng)用已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3∈A，試求實(shí)數(shù)a的值．【思路探究】eq\x(令－3＝a－3或－3＝2a－1)→eq\x(解方程求a)→eq\x(檢驗(yàn)得a的值)【解】∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，則a＝0，此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素－3、－1，符合題意；若－3＝2a－1，則a＝－1，此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意；綜上所述，a＝0或a＝－1.1．由于集合A含有兩個(gè)元素，－3∈A，本題以－3是否等于a－3為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，從而做到“不重不漏”．2．解決含有字母的問(wèn)題，常用到分類討論的思想，在進(jìn)行分類討論時(shí)，務(wù)必明確分類標(biāo)準(zhǔn)．若將本例中的條件“－3∈A”換成“a∈A”，求相應(yīng)問(wèn)題．【解】∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，解得a＝1，此時(shí)集合A中有兩個(gè)元素－2，1，符合題意．故所求a的值為1.1．判斷一組對(duì)象的全體能否構(gòu)成集合的依據(jù)是元素的確定性，若考查的對(duì)象是確定的，就能組成集合，否則不能組成集合．2．集合中的元素具有三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性，求解與集合有關(guān)的字母參數(shù)值(范圍)時(shí)，需借助集合中元素的互異性來(lái)檢驗(yàn)所求參數(shù)是否符合要求．3．解答含有字母的元素與集合之間關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)分類討論時(shí)，必須明確分類標(biāo)準(zhǔn)，才能做到不重不漏．忽視集合中元素的互異性致誤已知集合A中含有兩個(gè)元素為a和a2，若1∈A，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______【易錯(cuò)分析】(1)缺乏分類討論的意識(shí)，看到1∈A，就想當(dāng)然地認(rèn)為a＝1，而忽視分類討論；(2)對(duì)元素的互異性缺乏理解，忽視對(duì)a＝1和a＝－1的檢驗(yàn)致誤．【防范措施】(1)解答含有字母的元素與集合之間關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要有分類討論的意識(shí)，如本例中應(yīng)對(duì)何值為1進(jìn)行討論．(2)求解與集合有關(guān)的字母參數(shù)時(shí)，需利用集合元素的互異性來(lái)檢驗(yàn)所求參數(shù)是否符合要求，如本例中需對(duì)求出的a值進(jìn)行檢驗(yàn)．【解析】根據(jù)題意知集合A中含有兩個(gè)元素為a和a2，且1∈A，所以a＝1或a2＝1，即a＝1或a＝－1.當(dāng)a＝1時(shí)，a2＝1，不符合集合元素的互異性，故a≠1.當(dāng)a＝－1時(shí)，集合A的元素是1和－1，符合集合元素的互異性．故a＝－1.綜上所述，a的值為－1.【答案】－1——[類題嘗試]—————————————————已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三個(gè)元素組成的，且－3∈A，則a＝________．【解析】由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，所以a＝－1或a＝－eq\f(3,2).則當(dāng)a＝－1時(shí)，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互異性，故a＝－1應(yīng)舍去．當(dāng)a＝－eq\f(3,2)時(shí)，a－2＝－eq\f(7,2)，2a2＋5a＝－3，所以a＝－eq\f(3,2).【答案】－eq\f(3,2)課時(shí)作業(yè)(一)集合的含義eq\a\vs4\al([學(xué)業(yè)水平層次])一、選擇題1．(2023·遵義高一檢測(cè))以下各組對(duì)象不能組成集合的是()A．中國(guó)古代四大發(fā)明B．地球上的小河流C．方程x2－1＝0的實(shí)數(shù)解D．周長(zhǎng)為10cm的三角形【解析】因?yàn)闆](méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)確定什么樣的河流稱為小河流，故地球上的小河流不能組成集合．【答案】B2．設(shè)集合A只含有一個(gè)元素a，則有()A．0∈AB．a(chǎn)?AC．a(chǎn)∈AD．a(chǎn)＝A【解析】∵集合A中只含有一個(gè)元素a，故a屬于集合A，∴a∈A.【答案】C3．由實(shí)數(shù)x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)所組成的集合，最多含()A．2個(gè)元素B．3個(gè)元素C．4個(gè)元素D．5個(gè)元素【解析】由于|x|＝±x，eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(3,x3)＝－x，并且x，－x，|x|之中總有兩個(gè)相等，所以最多含2個(gè)元素．【答案】A4．集合A中含有三個(gè)元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a為()A．2B．2或4C．4D．0【解析】若a＝2，則6－2＝4∈A；若a＝4，則6－4＝2∈A若a＝6，則6－6＝0?A，故選B【答案】B二、填空題5．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解為元素的集合中共有________個(gè)元素．【解析】方程x2－5x＋6＝0的解是2，3；方程x2－x－2＝0的解是－1，2.由集合元素的互異性知，以這兩個(gè)方程的解為元素的集合中共有3個(gè)元素．【答案】36．(2023·石家莊高一檢測(cè))集合P中含有兩個(gè)元素分別為1和4，集合Q中含有兩個(gè)元素1和a2，若P與Q相等，則a＝________【解析】∵P與Q相等，∴a2＝4，∴a＝±2，經(jīng)檢驗(yàn)知a＝±2滿足題意，故a＝±2，【答案】±27．(2023·天津高一檢測(cè))集合A中的元素y滿足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，則t的值為_(kāi)_______．【解析】因?yàn)閥＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值為0，1，即集合A中的元素為0，1.又t∈A，所以t＝0或1.【答案】0或1三、解答題8．集合A是由形如m＋eq\r(3)n(m∈Z，n∈Z)的數(shù)構(gòu)成的，判斷eq\f(1,2－\r(3))是不是集合A中的元素．【解】由分母有理化，得eq\f(1,2－\r(3))＝2＋eq\r(3).由題意可知m＝2，n＝1，均有m∈Z，n∈Z，∴2＋eq\r(3)∈A，即eq\f(1,2－\r(3))∈A.9．已知集合A含有兩個(gè)元素1，2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解的集合，且集合A與集合B相等，求a，b的值．【解】∵集合A與集合B相等，且1∈A，2∈A，∴1∈B，2∈B，∴1，2是方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－a，,1×2＝b，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2.))eq\a\vs4\al([能力提升層次])1．若一個(gè)集合中的三個(gè)元素a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則此三角形一定不是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【解析】△ABC的三邊長(zhǎng)兩兩不等，故選D.【答案】D2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個(gè)元素組成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m為()A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可【解析】由2∈A可知：若m＝2，則m2－3m＋2＝0，這與m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，則m＝0或m＝3，當(dāng)m＝0時(shí)，與m≠0相矛盾，當(dāng)m＝3時(shí)，此時(shí)集合A的元素為0，3，2，符合題意．【答案】B3．已知集合A中含有兩個(gè)元素1和a2，則a的取值范圍是________．【解析】由集合中元素的互異性，可知a2≠1，所以a≠±1，即a∈R且a≠±1.【答案】a∈R且a≠±14．已知數(shù)集A滿足條件：若a∈A，則eq\f(1,1－a)∈A(a≠1)，如果a＝2，試求出A中的所有元素．【解】∵2∈A，由題意可知，eq\f(1,1－2)＝－1∈A.由－1∈A可知，eq\f(1,1－（－1）)＝eq\f(1,2)∈A；由eq\f(1,2)∈A可知，eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.故集合A中共有3個(gè)元素，它們分別是－1，eq\f(1,2)，2.

第2課時(shí)集合的表示[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法，感受集合語(yǔ)言的意義和作用．(重點(diǎn))2.會(huì)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合．(重點(diǎn)、難點(diǎn))一、列舉法把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．二、描述法1．定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．2．具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)由1，1，2，3組成的集合可用列舉法表示為{1，1，2，3}．()(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.()(3)集合A＝{x|x－1＝0}與集合B＝{1}相等．()【解析】(1)由集合元素的互異性知(1)錯(cuò)．(2)集合{(1，2)}中的元素為有序?qū)崝?shù)對(duì)(1，2)，故(2)錯(cuò)．(3)∵A＝{x|x－1＝0}＝{1}＝B，故(3)正確．【答案】(1)×(2)×(3)√2．用列舉法表示方程x2－1＝0的解集為_(kāi)_________．【解析】方程x2－1＝0的解為－1，1，所求集合為{－1，1}．【答案】{－1，1}3．集合{x∈N|x≤6}中的元素為_(kāi)___________．【解析】∵{x∈N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}∴該集合中的元素為0，1，2，3，4，5，6.【答案】0，1，2，3，4，5，64．用描述法表示大于0且小于9的實(shí)數(shù)x的集合為_(kāi)_______【解析】大于0且小于9的實(shí)數(shù)x的集合為{x∈R|0＜x＜9}．【答案】{x∈R|0＜x＜9}預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)把你認(rèn)為難以解決的問(wèn)題記錄在下面的表格中問(wèn)題1問(wèn)題2問(wèn)題3問(wèn)題4用列舉法表示集合用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)方程x2＝2x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(3)直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；(4)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合．【解】(1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0，2，4，6，8，10}．(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解組成的集合為{0，2}．(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0，1)，故交點(diǎn)組成的集合是{(0，1)}．(4)正整數(shù)有1，2，3，…，所求集合為{1，2，3，…}．1．用列舉法表示集合，要分清是數(shù)集還是點(diǎn)集．2．使用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)在元素個(gè)數(shù)較少或有(無(wú))限但有規(guī)律時(shí)用列舉法表示集合，如集合：{1，2，3}，{1，2，3，…，100}，{1，2，3，…}等．(2)“{}”表示“所有”的含義，不能省略，元素之間用“，”隔開(kāi)，而不能用“、”；元素?zé)o順序，滿足無(wú)序性．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：(1)正偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合．【思路探究】用描述法表示集合，解決此類問(wèn)題要清楚集合中代表元素是什么，元素滿足什么條件．【解】(1)偶數(shù)可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定n∈N*，所以正偶數(shù)集可表示為{x|x＝2n，n∈N*}．(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故n∈N，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(x，y)的特點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)為0，即xy＝0，故平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為{(x，y)|xy＝0}．1．用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)代表其元素．2．若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母時(shí)，要對(duì)新字母說(shuō)明其含義或指出其取值范圍，如本例(1)，(2)．說(shuō)明下列各集合表示的含義．(1)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)))))；(2)B＝{(x，y)|y＝x－3}；(3)C＝{(0，1)}；(4)D＝{(x，y)|x＋y＝1，且x－y＝－1}．【解】(1)A表示y的取值集合，由反比例函數(shù)的圖象，知A＝{y∈R|y≠0}．(2)B表示的元素是點(diǎn)(x，y)，B表示直線y＝x－3.(3)C表示一個(gè)單元素集，是一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)，是以一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為元素的集合．(4)D表示一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)集，即方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解，解方程組得其解為(0，1)，D是一個(gè)單元素集．集合表示方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用(1)(2023·衡水高一檢測(cè))已知集合M＝{a，2，3＋a}，集合N＝{3，2，a2}，若M＝N，則a＝()A．1B．3C．0D．0或1(2)已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【思路探究】(1)利用M＝N，兩個(gè)集合中的元素是一樣的，列方程組求解．(2)分a＝0，a≠0兩種情況求解．【解析】(1)因?yàn)榧螹與集合N相等．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,3＋a＝a2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝a2，,3＋a＝3，))對(duì)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,3＋a＝a2，))無(wú)解；對(duì)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝a2，,3＋a＝3，))解得a＝0，綜上可知a＝0.【答案】C(2)當(dāng)a＝0時(shí)，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))；當(dāng)a≠0時(shí)，關(guān)于x的方程ax2－3x－4＝0應(yīng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－eq\f(9,16).故所求的a的取值范圍是a≤－eq\f(9,16)或a＝0.1．若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵．2．若已知集合是用列舉法給出的，整體把握元素的共同特征是解題的關(guān)鍵．題(2)中將條件“至多有一個(gè)元素”改為“有兩個(gè)元素”其他不變，則a的取值是什么？【解】因?yàn)锳中有兩個(gè)元素，所以關(guān)于x的方程ax2－3x－4＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝9＋16a＞0，,a≠0，))即a＞－eq\f(9,16)且a≠0.1．在用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)注意：(1)元素間用逗號(hào)“，”分開(kāi)；(2)元素不重復(fù)；(3)元素?zé)o順序；(4)列舉法可表示有限集，也可以表示無(wú)限集．若元素個(gè)數(shù)比較少用列舉法比較簡(jiǎn)單；若集合中的元素較多或無(wú)限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示．2．在用描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(duì)(點(diǎn))、還是集合或其他形式？(2)(元素具有怎樣的屬性)當(dāng)題目中用了其他字母來(lái)描述元素所具有的屬性時(shí)，要說(shuō)明其含義或指出其取值范圍．

分類討論思想在集合表示法中的應(yīng)用(12分)集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A.【思路探究】eq\x(明確集合A的含義)→eq\x(對(duì)k加以討論)→eq\x(求出k值)→eq\x(寫出集合A)【滿分樣板】(1)當(dāng)k＝0時(shí)，原方程變?yōu)椋?x＋16＝0，x＝分此時(shí)集合A＝{2}.4分(2)當(dāng)k≠0時(shí)，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)相等實(shí)根.6分只需Δ＝64－64k＝0，即k＝分此時(shí)方程的解為x1＝x2＝4，集合A＝{4}，滿足題意.10分綜上所述，實(shí)數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k＝0時(shí)，A＝{2}；當(dāng)k＝1時(shí)，A＝{4}.12分1．解答與描述法有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，明確集合中代表元素及其共同特征是解題的切入點(diǎn)．2．本題因kx2－8x＋16＝0是否為一元二次方程而分k＝0和k≠0而展開(kāi)討論，要做到不重不漏．——[類題嘗試]—————————————————(2023·山東高考)設(shè)集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是()A．1B．3C．5D．9【解析】因?yàn)锳＝{0，1，2}，又集合B中元素為x－y且x∈A，y∈A，所以x的可能取值為0，1，2；y的可能取值為0，1，2.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0或1或2，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x－y的值為0，－1，－2.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0或1或2，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x－y的值為1，0，－1.當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0或1或2，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x－y的值為2，1，0.綜上可知，集合B＝{－2，－1，0，1，2}，所以集合B中的元素的個(gè)數(shù)為5.【答案】C課時(shí)作業(yè)(二)集合的表示eq\a\vs4\al([學(xué)業(yè)水平層次])一、選擇題1．(2023·石家莊高一檢測(cè))用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為()A．{1，1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}【解析】方程x2－2x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解1，根據(jù)集合元素的互異性知B正確．【答案】B2．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列結(jié)論正確的是()A．0∈AB．1?AC．－1∈AD．0?A【解析】∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，∴0∈A.【答案】A3．(2023·河北衡水中學(xué)期末)下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是()A．{x|x＝1}B．{x|x2＝1}C．{1}D．{y|(y－1)2＝0}【解析】{x|x2＝1}＝{－1，1}，另外三個(gè)集合都是{1}，故選B.【答案】B4．(2023·大綱全國(guó)卷)設(shè)集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中元素的個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．5D．6【解析】1，2，3與4，5分別相加可得5，6，6，7，7，8，根據(jù)集合中元素的互異性可得集合M中有4個(gè)元素．【答案】B二、填空題5．已知A＝{－1，－2，0，1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，則B＝________．【解析】∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互異性，所以B＝{0，1，2}．【答案】{0，1，2}6．方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))的解構(gòu)成的集合用列舉法表示是______．【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))∴集合為{(5，－4)}．【答案】{(5，－4)}7．設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，則集合A用列舉法表示為_(kāi)_______．【解析】∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．【答案】{－1，4}三、解答題8．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8))的解集；(2)所有的正方形；(3)拋物線y＝x2上的所有點(diǎn)組成的集合．【解】(1)解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))故解集為{(4，－2)}；(2)集合用描述法表示為{x|x是正方形}，簡(jiǎn)寫為{正方形}；(3)集合用描述法表示為{(x，y)|y＝x2}．9．(2023·福州高一檢測(cè))設(shè)集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,2＋x)∈N)))).(1)試判斷元素1和2與集合B的關(guān)系．(2)用列舉法表示集合B.【解】(1)當(dāng)x＝1時(shí)，eq\f(6,2＋1)＝2∈N；當(dāng)x＝2時(shí)，eq\f(6,2＋2)＝eq\f(3,2)?N，所以1∈B，2?B.(2)令x＝0，1，4代入eq\f(6,2＋x)∈N檢驗(yàn)，可得B＝{0，1，4}．eq\a\vs4\al([能力提升層次])1．已知A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，定義集合A、B間的運(yùn)算A*B＝{x|x∈A且x?B}，則集合A*B等于()A．{1，2，3}B．{2，4}C．{1，3}D．{2}【解析】因?yàn)閷儆诩螦的元素是1，2，3，但2屬于集合B，所以A*B＝{1，3}．【答案】C2．(2023·山東壽光一中期末)已知集合{x|mx2＋2x－1＝0}有且只有一個(gè)元素，則m的值是()A．0B．1C．0或1D．0或－1【解析】由題意知，m＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝0，))∴m＝0或m＝－1，選D.【答案】D3．已知集合A＝{x|2x＋a＞0}，且1?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】∵1?A，∴2＋a≤0，∴a≤－2?！敬鸢浮縜≤－24．集合M＝{x|ax2－2x＋2＝0，a∈R}中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解】(1)當(dāng)a＝0時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為－2x＋2＝0，解得x＝1，此時(shí)M＝{1}，滿足條件；(2)當(dāng)a≠0時(shí)，方程為一元二次方程，由題意得Δ＝4－8a≤0，即a≥eq\f(1,2)，此時(shí)方程無(wú)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．綜合(1)(2)可知，集合M中至多有一個(gè)元素時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,2)))或a＝0)).1．集合間的基本關(guān)系[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解集合之間的包含與相等的含義．(重點(diǎn))2.能識(shí)別給定集合的子集、真子集，會(huì)判斷集合間的關(guān)系．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))3.在具體情境中，了解空集的含義．(難點(diǎn))一、子集與真子集1．子集與真子集概念定義符號(hào)表示圖形表示子集如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集A?B(或B?A)真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，則稱集合A是集合B的真子集.AB(或BA)2．Venn圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．3．子集的性質(zhì)(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A.(2)對(duì)于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C．二、集合的相等1．條件：A?B，且B?A.2．表示：A＝B.3．Venn圖：三、空集1．定義：不含任何元素的集合，叫做空集．2．符號(hào)表示為：?．3．規(guī)定：空集是任何集合的子集．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1){0}＝?.()(2)正整數(shù)集是自然數(shù)集的子集．()(3)空集是任何集合的真子集．()【解析】集合{0}是以0為元素的集合，是非空集，故(1)錯(cuò)．(2)∵對(duì)任意x∈N＋，都有x∈N，∴N＋?N，故(2)正確．(3)∵空集不是空集的真子集，∴(3)錯(cuò)．【答案】(1)×(2)√(3)×2．集合{1，2}的子集有()A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)【解析】集合{1，2}的子集有?，{1}，{2}、{1，2}共4個(gè)．【答案】A3．集合{1}與集合{x|x2－1＝0}的關(guān)系是________．【解析】∵{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，∴1∈{x|x2－1＝0}，又∵－1∈{x|x2－1＝0}，且－1?{1}，∴{1}{x|x2－1＝0}．【答案】{1}{x|x2－1＝0}4．若集合A＝{1，a}，B＝{3，b}，且A＝B，則a＋b＝________．【解析】∵A＝B，∴集合A，B中的元素相同，故a＝3，b＝1，則a＋b＝4.【答案】4預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)把你認(rèn)為難以解決的問(wèn)題記錄在下面的表格中問(wèn)題1問(wèn)題2問(wèn)題3問(wèn)題4子集、真子集問(wèn)題(1)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，則P與T的關(guān)系為()A．PTB．PTC．P＝TD．P?T(2)(2023·濟(jì)南高一檢測(cè))已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}則()A．A＞BB．ABC．BAD．A?B(3)滿足{x|x2＋1＝0}A?{x|x2－1＝0}的集合A的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【解析】(1)由x2－1＝0，得x＝±1，∴P＝{－1，1}，因此PT，故選A.(2)∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，∴對(duì)任意x∈B，都有x∈A，又∵0∈A.而0?B，∴BA.(3){x|x2＋1＝0}＝?，{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，故集合A是集合{－1，1}的非空子集，所以A的個(gè)數(shù)為22－1＝3，故選C.【答案】(1)A(2)C(3)C1．寫有限集合的所有子集，首先要注意兩個(gè)特殊的子集，?和自身；其次按含一個(gè)元素的子集，含兩個(gè)元素的子集…依次寫出，以免重復(fù)或遺漏．2．若集合A含n個(gè)元素，那么它子集個(gè)數(shù)為2n；真子集個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集個(gè)數(shù)為2n－2.集合的相等已知集合M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，求a、b的值．【思路探究】可據(jù)集合相等的定義，結(jié)合集合中元素的互異性，分類討論，列出方程組求解．【解】由集合相等的定義和集合中元素的互異性得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，,))解方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))再根據(jù)集合中元素的互異性，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))1．解答此類題目的基本方法為：利用集合中元素的特征性質(zhì)列出方程組求解，求出解后注意檢驗(yàn)，看所得結(jié)果是否符合元素的互異性．2．根據(jù)集合相等的定義，要證明A＝B，應(yīng)分兩步，第一步證明A?B，轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意x∈A都有x∈B；第二步證明B?A，轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意x∈B都有x∈A，因此，集合與集合之間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素與集合之間的從屬關(guān)系，這就是“元素分析法”．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，a，\f(b,a)))＝{0，a2，a＋b}，則a2023＋b2023的值為()A．0B．1C．－1D．±1【解析】∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，a，\f(b,a)))＝{0，a2，a＋b}，又a≠0，∴eq\f(b,a)＝0，∴b＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.又a≠1，∴a＝－1，∴a2023＋b2023＝(－1)2023＋02023＝1.【答案】B由集合間的關(guān)系求參數(shù)(1)已知集合A＝{－1，3，m2}且B＝{3，4}，B?A，則m＝________．(2)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【思路探究】(1)由B?A知集合B的元素都是集合A的元素，從而求出m的值．(2)以集合B是否為空集為標(biāo)準(zhǔn)分類求解．【解析】(1)由于B?A，則有m2＝4，解得m＝±2.(2)當(dāng)B＝?時(shí)，只需2a>a＋3，即a>3；當(dāng)B≠?時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,a＋3<－1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,2a>4，))解得a<－4，或2<a≤3.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a<－4，或a>2}．【答案】(1)±2(2){a|a<－4，或a>2}．1．利用數(shù)軸處理不等式表示的集合間的關(guān)系問(wèn)題，可化抽象為直觀，要注意端點(diǎn)值的取舍，“含”用實(shí)心點(diǎn)表示，“不含”用空心點(diǎn)表示．2．涉及到“A?B”或“AB且B≠?”的問(wèn)題，一定要分A＝?和A≠?兩種情況討論，不要忽視空集的情況．把例3(2)中的集合A換成“A＝{x|－1<x<2}”，集合B不變，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【解析】∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若A?B，如圖，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≤－1，,a＋3>2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a<－1，,a＋3≥2，))∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤a≤－\f(1,2))))).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤a≤－\f(1,2)))))1．元素、集合間的關(guān)系用符號(hào)“∈”或“?”表示，集合、集合間的關(guān)系用“?”、“＝”或“”等表示．2．處理集合間的關(guān)系時(shí)要注意以下三點(diǎn)：(1)A?B且B≠?隱含著A＝B和AB兩種關(guān)系．(2)注意空集的特殊性，在解題時(shí)，若未指明集合非空，則要考慮集合為空集的可能性．(3)要注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想在集合關(guān)系問(wèn)題中的應(yīng)用．

忽視空集求參數(shù)范圍致誤已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________【易錯(cuò)分析】解答本題易忽視以下兩種情況：一是B＝A，二是B＝?.【防范措施】在求解集合關(guān)系問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意以下兩種情況：一是任何一個(gè)集合是它本身的子集，二是空集是任何集合的子集．【解析】A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{0，－4}，因?yàn)锽?A，所以B＝A或BA.當(dāng)B＝A時(shí)，B＝{－4，0}，即－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩根，代入得a＝1，此時(shí)滿足條件，即a＝1符合題意．當(dāng)BA時(shí)，分兩種情況：若B＝?，則Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.若B≠?，則方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時(shí)B＝{0}，符合題意．綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤－1或a＝1}．【答案】{a|a≤－1或a＝1}——[類題嘗試]—————————————————已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，那么a的取值是________．【解析】由題意得P＝{－1，1}，又因?yàn)镼?P，若Q＝?，則a＝0，此時(shí)滿足Q?P，若Q≠?，則Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a)))))，由題意知，eq\f(1,a)＝1或eq\f(1,a)＝－1，解得a＝±1.綜上可知，a的取值是0，±1.【答案】0，±1課時(shí)作業(yè)(三)集合間的基本關(guān)系eq\a\vs4\al([學(xué)業(yè)水平層次])一、選擇題1．已知集合A＝{0，1}，則下列式子錯(cuò)誤的是()A．0∈AB．{1}∈AC．??AD．{0，1}?A【解析】∵{1}?A，∴{1}∈A錯(cuò)誤，其余均正確．【答案】B2．集合M＝{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的子集個(gè)數(shù)是()A．9B．8C．7D．6【解析】由題意知集合M＝{1，3，5}，故其子集的個(gè)數(shù)是23＝8.【答案】B3．(2023·河北衡水中學(xué)期末)已知集合A＝{2，0，1}，集合B＝{x||x|＜a，且x∈Z}，則滿足A?B的實(shí)數(shù)a可以取的一個(gè)值是()A．0B．1C．2D．3【解析】集合B＝{x||x|＜a，且x∈Z}，∴B＝{x|－a＜x＜a，x∈Z}，又A＝{2，0，1}，故滿足A?B的實(shí)數(shù)a可以取的一個(gè)值是3，選D.【答案】D4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【解析】由題意知：A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}．又A?C?B，則集合C可能為{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．【答案】D二、填空題5．集合?和{0}的關(guān)系表示正確的有______．(把正確的序號(hào)都填上)①{0}＝?②{0}∈?③{0}??④?{0}【解析】?沒(méi)有任何元素，而{0}中有一個(gè)元素，顯然?≠{0}，又?是任何非空集合的真子集，故有?{0}，所以④正確，①②③不正確．【答案】④6．設(shè)集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M與P的關(guān)系為_(kāi)_______．【解析】因?yàn)閤y＞0，所以x，y同號(hào)，又x＋y＜0，所以x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限內(nèi)的點(diǎn)，而集合P表示第三象限內(nèi)的點(diǎn)，故M＝P.【答案】M＝P7．已知?{x|x2－x＋a＝0}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】∵?{x|x2－x＋a＝0}，∴Δ＝(－1)2－4a≥0，∴a≤eq\f(1,4).【答案】eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,4)))))三、解答題8．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，試寫出A的所有子集．【解】因?yàn)锳＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．所以A的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．9．設(shè)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求實(shí)數(shù)a、b的值．【解】∵A＝B且1∈A，∴1∈B.若a＝1，則a2＝1，這與元素互異性矛盾，∴a≠1，若a2＝1，則a＝－1或a＝1(舍)，∴A＝{1，－1，b}，∴b＝ab＝－b，即b＝0，若ab＝1，則a2＝b，得a3＝1，即a＝1(舍去)，故a＝－1，b＝0.eq\a\vs4\al([能力提升層次])1．(2023·湖北孝感期中)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))))，則下列結(jié)論中正確的是()A．1∈AB．B?AC．(1，1)?BD．?∈A【解析】B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))))＝{(1，1)}，故選B.【答案】B2．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(ax－2＝0))))，若B?A，則a的值不可能是()A．0B．1C．2D．3【解析】由題意知，a＝0時(shí)，B＝?，滿足題意；a≠0時(shí)，由eq\f(2,a)∈A?a＝1，2，所以a的值不可能是3.【答案】D3．已知：A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，定義某種運(yùn)算：A*B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B))))，則A*B中最大的元素是________，集合A*B的所有子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【解析】由題意知A*B＝{2，3，4，5}，∴A*B中最大的元素是5，集合A*B有4個(gè)元素，∴所有子集個(gè)數(shù)為24＝16.【答案】5164．設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B?A.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)x∈N時(shí)，求集合A的子集的個(gè)數(shù)．【解】(1)①當(dāng)m－1>2m＋1，即m<－2時(shí)，B＝?符合題意；②當(dāng)m－1≤2m＋1，即m≥－2時(shí)，B≠?.由B?A，借助數(shù)軸如圖所示，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq\f(5,2).所以0≤m≤eq\f(5,2).綜合①②可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2，或0≤m≤\f(5,2))))).(2)∵當(dāng)x∈N時(shí)，A＝{0，1，2，3，4，5，6}，∴集合A的子集的個(gè)數(shù)為27＝128.1．集合的基本運(yùn)算第1課時(shí)并集、交集[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義．會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集和交集．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用．(難點(diǎn))一、并集1．定義自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫A與B的并集，記作A∪BA∪B＝{x|x∈A或x∈B}2.性質(zhì)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A?A∪B二、交集1．定義自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言對(duì)于兩個(gè)給定的集合A、B，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫A與B的交集，記作A∩BA∩B＝{x|x∈A且x∈B}2.性質(zhì)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B?A1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)集合M＝{直線}與集合N＝{圓}無(wú)交集．()(2)兩個(gè)集合并集中元素的個(gè)數(shù)一定大于這兩個(gè)集合交集中元素的個(gè)數(shù)．()(3)若A∩B＝C∩B，則A＝C.()【解析】(1)∵M(jìn)∩N＝?，∴(1)錯(cuò)．(2)∵A∪A＝A∩A，∴(2)錯(cuò)．(3)設(shè)A＝{0，1}，B＝{1}，C＝{1，2}，則A∩B＝C∩B，但A≠C，故(3)錯(cuò)．【答案】(1)×(2)×(3)×2．(2023·廣東高考)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，則M∪N＝()A．{0，1}B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2}D．{－1，0，1}【解析】M∪N＝{－1，0，1}∪{0，1，2}＝{－1，0，1，2}．【答案】C3．(2023·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＝0))))，則A∩B＝()A．?B．{2}C．{0}D．{－2}【解析】∵B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＝0))))＝{－1，2}，又A＝{－2，0，2}，∴A∩B＝{2}．【答案】B4．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＞1))))，集合N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜2))))，則M∪N＝________，M∩N＝________．【解析】由數(shù)軸得M∪N＝R，M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1＜x＜2)))).【答案】Req\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1＜x＜2))))預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)把你認(rèn)為難以解決的問(wèn)題記錄在下面的表格中問(wèn)題1問(wèn)題2問(wèn)題3問(wèn)題4求并集(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－16＝0))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－x－12＝0))))，則A∪B＝()A．{4}B．{－3}C．{－4}D．{－4，－3，4}(2)(2023·成都高一檢測(cè))滿足A∪{－1，1}＝{－1，0，1}的集合A共有()A．2個(gè)B．4個(gè)C．8個(gè)D．16個(gè)(3)已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，則A∪B＝________．【解析】(1)因?yàn)锳＝{－4，4}，B＝{－3，4}，所以A∪B＝{－4，－3，4}．(2)因?yàn)锳∪{－1，1}＝{－1，0，1}，所以0∈A，所以A＝{0}或{－1，0}或{0，1}或{－1，0，1}共4個(gè)．(3)將x≤－2或x>5及1<x≤7在數(shù)軸上表示出來(lái)．據(jù)并集的定義，圖中陰影部分即為所求，∴A∪B＝{x|x≤－2，或x>1}．【答案】(1)D(2)B(3){x|x≤－2，或x>1}1．兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合，但應(yīng)注意集合元素的互異性．2．求涉及不等式表示的集合的并集時(shí)，常借助數(shù)軸直觀求解，此時(shí)應(yīng)特別關(guān)注端點(diǎn)值的取舍．求交集(1)(2023·廣東高考)設(shè)集合S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＝0，x∈R))))，T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－2x＝0，x∈R))))，則S∩T＝()A．{0}B．{0，2}C．{－2，0}D．{－2，0，2}(2)(2023·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜3))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜1))))，則M∩N＝________A．(－2，1)B．(－1，1)C．(1，3)D．(－2，3)【思路探究】(1)求出集合S，T的元素，再根據(jù)交集的定義求解．(2)借助數(shù)軸求解．【解析】(1)集合S＝{－2，0}，T＝{0，2}，則S∩T＝{0}，故選A.(2)由圖知M∩N＝(－1，1)，選B.【答案】(1)A(2)B1．兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合，當(dāng)兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說(shuō)兩個(gè)集合沒(méi)有交集．2．求涉及不等式表示的集合的交集時(shí)，借助數(shù)軸求解可化抽象為直觀．(2023·福建高考)若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}則A∩B的子集個(gè)數(shù)為()A．2B．3C．4D．16【解析】A∩B＝{1，2，3}∩{1，3，4}＝{1，3}，其子集有?，{1}，{3}，{1，3}，共4個(gè)．【答案】C并集、交集運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用(1)(2023·鄭州高一檢測(cè))已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥m))))，且A∪B＝A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．(2)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∩B＝A，求a的取值范圍．【思路探究】(1)由A∪B＝A，得B?A，可求出m的取值范圍．(2)由于A∩B＝A，∴A?B.結(jié)合數(shù)軸分A＝?與A≠?兩種情況分別求解．【解析】(1)A∪B＝A，即B?A，所以m≥2.【答案】m≥2(2)∵A∩B＝A，∴A?B.①若A＝?，則2a>a＋3，a>3；②若A≠?，如圖所示：則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋3，,a＋3<－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋3，,2a>5，))解得a<－4或eq\f(5,2)<a≤3.綜上所述，a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<－4或a>\f(5,2))))).1．在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，若條件中出現(xiàn)A∩B＝A或A∪B＝B，應(yīng)轉(zhuǎn)化為A?B，然后用集合間的關(guān)系解決問(wèn)題，并注意A＝?的情況．2．集合運(yùn)算常用的性質(zhì)：(1)A∪B＝B?A?B；(2)A∩B＝A?A?B；(3)A∩B＝A∪B?A＝B等．把本例(2)條件“A∩B＝A”換成“A∩B＝?”如何求解？【解】A∩B＝?，A＝{x|2a≤x≤a＋3}；(1)若A＝?，有2a>a＋3，∴a>3.(2)若A≠?，如圖所示．則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得－eq\f(1,2)≤a≤2.綜上所述，a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))≤a≤2，或a>3)).1．在解決有關(guān)集合運(yùn)算的題目時(shí)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題目中符號(hào)語(yǔ)言的含義，善于將其轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言．2．集合的運(yùn)算可以用Venn圖幫助思考，實(shí)數(shù)集合的交集、并集運(yùn)算可借助數(shù)軸求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．對(duì)于給出集合是否為空集，集合中的元素個(gè)數(shù)是否確定，都是常見(jiàn)的討論點(diǎn)，解題時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用．轉(zhuǎn)化思想在集合運(yùn)算中的應(yīng)用(12分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求實(shí)數(shù)a組成的集合C.【思路探究】eq\x(A∪B＝A)→eq\x(B?A)→eq\x(討論集合B)→eq\x(列方程)→eq\x(求a)【滿分樣板】由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}.3分又A∪B＝A，∴B?A.①若B＝?，即方程ax－2＝0無(wú)解，此時(shí)a＝分②若B≠?，則B＝{1}或B＝{2}．當(dāng)B＝{1}時(shí)，有a－2＝0，即a＝2；當(dāng)B＝{2}時(shí)，有2a－2＝0，即a＝分綜上可知，適合題意的實(shí)數(shù)a所組成的集合C＝{0，1，2}.12分1．等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．涉及到A∩B＝A，A∪B＝B等這類問(wèn)題的運(yùn)算時(shí)，常借助于交、并集的定義及集合間的關(guān)系等價(jià)變形．如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B.2．分類討論思想．若B?A且A≠?，而集合B受參變量的影響不確定時(shí)，應(yīng)分B＝?，B≠?兩種情況求解．——[類題嘗試]—————————————————設(shè)集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0}，若A∩B＝B，求實(shí)數(shù)a的值．【解】因?yàn)锳∩B＝B，所以B?A.因?yàn)锳＝{－2}≠?，所以B＝?或B≠?.當(dāng)B＝?時(shí)，則關(guān)于x的方程ax＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)解，此時(shí)a＝0.當(dāng)B≠?時(shí)，此時(shí)a≠0，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))又－eq\f(1,a)∈A，所以－eq\f(1,a)＝－2，解得a＝eq\f(1,2).綜上所述，所求a的值為0或eq\f(1,2).課時(shí)作業(yè)(四)并集、交集eq\a\vs4\al([學(xué)業(yè)水平層次])一、選擇題1．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，則集合A∪B是()A．{－1，2，3}B．{－1，－2，3}C．{1，－2，3}D．{1，－2，－3}【解析】A＝{1，－2}，B＝{－2，3}，∴A∪B＝{1，－2，3}．【答案】C2．(2023·大綱全國(guó)卷)設(shè)集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，則M∩N中元素的個(gè)數(shù)為()A．2B．3C．5D．7【解析】根據(jù)題意畫出Venn圖，如圖所示，則M∩N＝{1，2，6}，有3個(gè)元素，故選B【答案】B3．(2023·浙江高考)設(shè)集合S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2))))，T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤5))))，則S∩T＝()A．(－∞，5]B．[2，＋∞)C．(2，5)D．[2，5]【解析】因?yàn)镾＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2))))，T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤5))))，所以S∩T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2且x≤5))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2≤x≤5)))).【答案】D4．(2023·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1}B．{－3，－2，－1，0}C．{－2，－1，0}D．{－3，－2，－1}【解析】M∩N＝{－2，－1，0}，故選C.【答案】C二、填空題5．已知A＝{x|x是銳角三角形}，B＝{x|x是鈍角三角形}，則A∩B＝________，A∪B＝________．【解析】∵A＝{x|x是銳角三角形}，B＝{x|x是鈍角三角形}，∴A∩B＝?，A∪B＝{x|x是斜三角形}．【答案】?{x|x是斜三角形}6．若集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤2))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥a))))，且滿足A∩B＝{2}，則實(shí)數(shù)a＝________．【解析】當(dāng)a＞2時(shí)，A∩B＝?；當(dāng)a＜2時(shí)，A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤2))))；當(dāng)a＝2時(shí)，A∩B＝{2}．綜上：a＝2.【答案】27．設(shè)集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是________________________________________________________________________．【解析】利用數(shù)軸分析可知，a＞－1.【答案】{a|a>－1}三、解答題8．已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋(a＋2)x＋5＋b＝0}，且A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，求A∪B.【解】∵A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，∴eq\f(1,2)∈A，且eq\f(1,2)∈B.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)－\f(1,2)a＋b＝0，,b·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2)（a＋2）＋5＋b＝0，))解之得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(43,9)，,b＝－\f(26,9)，))∴A＝{x|18x2＋43x－26＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(26,9))).B＝{x|26x2＋25x－19＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(19,13))).∴A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(26,9)，－\f(19,13))).9．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，(1)若A∩B＝?，求a的取值范圍；(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范圍．【解】(1)如下圖所示：A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∩B＝?，∴數(shù)軸上點(diǎn)x＝a在x＝－1左側(cè)．∴a≤－1.(2)如圖所示：A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}且A∪B＝{x|x<1}，∴數(shù)軸上點(diǎn)x＝a在x＝－1和x＝1之間．即a的范圍為{a|－1<a≤1}．eq\a\vs4\al([能力提升層次])1．已知方程x2－px＋15＝0與x2－5x＋q＝0的解集分別為A與B，且A∩B＝{3}，則p＋q＝()A．14B．11C．7D．2【解析】∵A∩B＝{3}，∴3∈A，3∈B，∴32－p×3＋15＝0，32－5×3＋q＝0，解得p＝8，q＝6，∴p＋q＝14.【答案】A2．若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，則滿足條件的實(shí)數(shù)x有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【解析】∵A∪B＝A，∴B?A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或eq\r(2)或－eq\r(2)或1.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x＝eq\r(2)或－eq\r(2)時(shí)滿足題意，故選B.【答案】B3．(2023·成都高一檢測(cè))某班共30人，其中15人喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛(ài)，則喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為_(kāi)_______．【解析】設(shè)所求人數(shù)為x人，則只喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8?x＝12.【答案】124．設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)a的取值集合．【解】A＝{1，2}，∵A∪B＝A，∴B?A，故分B＝?和B≠?兩種情況討論．(1)B＝?時(shí)，方程x2－4x＋a＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則Δ＝16－4a<0，解得a>4.(2)B≠?時(shí)，當(dāng)Δ＝0時(shí)，a＝4，B＝{2}?A滿足條件；當(dāng)Δ>0時(shí)，若1，2是方程x2－4x＋a＝0的根，由根與系數(shù)的關(guān)系知矛盾，無(wú)解，所以a＝4.所以a的取值集合為{a|a≥4}．第2課時(shí)補(bǔ)集及綜合應(yīng)用[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解全集的含義及其符號(hào)表示．(易混點(diǎn))2.理解給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，并會(huì)求給定子集的補(bǔ)集．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.會(huì)用Venn圖、數(shù)軸進(jìn)行集合的運(yùn)算．(重點(diǎn))一、全集1．定義：如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．2．記法：全集通常記作U．二、補(bǔ)集文字語(yǔ)言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作?UA符號(hào)語(yǔ)言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語(yǔ)言三、補(bǔ)集的性質(zhì)?UU＝?，?U?＝U，?U(?UA)＝A．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)一個(gè)集合的補(bǔ)集一定含有元素．()(2)集合?ZN與集合?ZN＋相等．()(3)集合A與集合A在集合U中的補(bǔ)集沒(méi)有公共元素．()【解析】(1)∵?UU＝?，∴(1)錯(cuò)；(2)∵0??ZN，而0∈?ZN＋，∴(2)錯(cuò)；(3)由補(bǔ)集定義知(3)正確．【答案】(1)×(2)×(3)√2．(2023·大綱全國(guó)卷)設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，則?UA＝()A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．?【解析】∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴?UA＝{3，4，5}．【答案】B3．已知全集U＝R，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜2))))，則?UA等于()．\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＞2))))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜2))))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2))))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤2))))【解析】∵全集為R，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜2))))，∴?UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2)))).【答案】C4．已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若?AB＝{5}，則實(shí)數(shù)m＝________．【解析】∵?AB＝{5}，∴5∈A，∴m＝5.【答案】5預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)把你認(rèn)為難以解決的問(wèn)題記錄在下面的表格中問(wèn)題1問(wèn)題2問(wèn)題3問(wèn)題4求補(bǔ)集(1)若全集U＝{0，1，2，3}且?UA＝{2}，則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為()A．3B．5C．7D．8(2)(2023·成都高一檢測(cè))已知A＝{0，2，4，6}，?SA＝{－1，－3，1，3}，?SB＝{－1，0，2}，則B＝________．(3)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5|}，則?UA＝________．【解析】(1)∵U＝{0，1，2，3}，?UA＝{2}，∴A＝{0，1，3}，∴集合A的真子集共有23－1＝7個(gè)．(2)由題意知S＝AU(?SA)＝{－1，－3，0，1，2，3，4，6}，又?SB＝{－1，0，2}，所以B＝{－3，1，3，4，6}．(3)將集合U和集合A分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．由補(bǔ)集定義可得?UA＝{x|x<－3或x＝5}．【答案】(1)C(2){－3，1，3，4，6}(3){x|x<－3或x＝5}如果全集及其子集是用列舉法表示的，根據(jù)補(bǔ)集的定義，常借助Venn圖求補(bǔ)集；如果全集及其子集是用不等式表示的，常借助數(shù)軸求補(bǔ)集．補(bǔ)集的應(yīng)用(2023·廣州高一檢測(cè))設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＋m≥0))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜4))))，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【思路探究】由條件(?UA)∩B＝?知兩個(gè)非空集合(?UA)和B沒(méi)有公共元素，可以利用數(shù)軸求解．【解】因?yàn)锳＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥－m))))，所以?UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜－m))))，又B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜4))))，(?UA)∩B＝?，結(jié)合數(shù)軸分析可知－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范圍是m≥2.已知補(bǔ)集之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí)，常根據(jù)補(bǔ)集的定義及集合之間的關(guān)系，并借助于數(shù)軸列出參數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系式求解，具體操作時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍．本題中將條件“(?UA)∩B＝?”，改為“(?UB)∪A＝R”，