高中數(shù)學(xué)北師大版第二章平面向量3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量

課時(shí)提升作業(yè)數(shù)乘向量一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2023·開(kāi)遠(yuǎn)高一檢測(cè))0AB→=( C.AB→ D.【解析】選AB→=02.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),點(diǎn)F為BC上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn),則EF→=(1214C.13AB12【解析】選D.在正方形ABCD中,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),點(diǎn)F為BC上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn),故EF→=EC→+CF→=12AB→+3.如圖,在正方形ABCD中,下列描述中正確的是()A.AB→=BC→ B.ABC.AC→=2AB→ D.|AB→+BC→【解析】選D.在正方形ABCD中,設(shè)邊長(zhǎng)等于1,因?yàn)锳B→+BC→=AC→,所以|AB→+BC→|AB→-BC→|=|AB→-AD→|=|所以|AB→+BC→|=|AB→-BC4.已知O,A,B是平面上不共線的三點(diǎn),若點(diǎn)C滿足AC→=CB→,則向量OC→等于OA→OB→ B.OAC.12(OA→-OB→) D.12(【解題指南】由于O,A,B是平面上不共線的三點(diǎn),若點(diǎn)C滿足AC→=CB→,可得C是AB【解析】選D.由已知OC→=OA→+AC→,又AC→=CB→,所以O(shè)C→=OA→+CB→=OA→+OB→-OC→,故2OC→=OA→5.設(shè)M是?ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),O為任意一點(diǎn)(且不與M重合),則OA→+OB→+OC→+OD→A.OM→ OM→ OM→ 【解析】選D.因?yàn)镺為任意一點(diǎn),不妨把A點(diǎn)看成O點(diǎn),則OA→+OB→+OC→+OD→=0+AB→因?yàn)镸是?ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),所以0+AB→+AC→+AD→=2AC→=46.已知OM→=23OA→+13OB→,設(shè)AM→=λA.16 B.15 C.14 【解析】選D.因?yàn)锳M→=λAB所以O(shè)M→-OA→=λ(OB→因?yàn)镺M→=23OA所以-13OA→+13OB即13(OB→-OA→)=λ(OB→-OA→二、填空題(每小題4分,共12分)7.如圖所示,已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為BC邊的中點(diǎn),且2OA→+OC→+OB→=0,則OA→=【解析】因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以O(shè)C→+OB→=2OD→,即2OA→+2OD→=0,答案:-8.(2023·如東高一檢測(cè))已知向量e1≠0,e2≠0,μ∈R.向量a=μe1+e2,b=2e2,若a與b共線,則下列關(guān)系中一定成立的是.①μ=0;②e1∥e2;③e1∥e2或μ=0【解析】當(dāng)μ=0時(shí),顯然a與b共線;當(dāng)e1∥e2時(shí)也有a與b共線,故③一定成立.答案:③【誤區(qū)警示】本題容易出現(xiàn)錯(cuò)選①②的情況,當(dāng)①②成立時(shí)向量共線,但向量共線①②不一定成立,應(yīng)理清其中的邏輯關(guān)系.9.(2023·宜昌高一檢測(cè))已知O,A,M,B為平面上四點(diǎn),且OM→=λOB→+(1-λ)OA→,λ∈(1,2),則A,B,M【解析】由OM→=λOB→+(1-λ)OA→可得AM→=λAB→,因?yàn)棣恕?1,2),因此點(diǎn)答案:B在線段AM上三、解答題(每小題10分,共20分)10.計(jì)算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b).(2)QUOTE12(3a+2b)-23a-b-7612a+37b(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).【解析】(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.(2)原式=QUOTE1273a+bQUOTE76a+37=76a+12b-76a-12(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6-4+4)a+(-6+8)b+(6-4-2)c=6a+2b.【拓展提升】向量的數(shù)乘運(yùn)算的求解(1)向量的加、減法以及實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算可類比實(shí)數(shù)的加、減法與乘法滿足的運(yùn)算法則.因此,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在向量的數(shù)乘運(yùn)算中也都可以使用.(2)向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算在具體含義上是不同的,但它們?cè)谛问缴项愃?11.(2023·南昌高一檢測(cè))已知點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上,且ABAC=3(1)用BC→表示AB(2)用CB→表示AC【解題指南】本題中已知條件沒(méi)有涉及方向,但欲求結(jié)果中卻涉及了方向.因此,解答此類問(wèn)題,要把握好從單一的長(zhǎng)度要素向長(zhǎng)度、方向雙重要素的過(guò)渡.【解析】如圖①,由已知點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上,且ABAC=34,所以ABAB+BC=3同時(shí)可得AC=4CB.(1)如圖②,向量AB→與BC→所以AB→=3BC(2)如圖③,向量AC→與CB→所以AC→=-4CB一、選擇題(每小題4分,共16分)1.已知空間四邊形ABCD,M,G分別是BC,CD的中點(diǎn),連接AM,AG,MG,則AB→+12(BD→+BC→)A.AG→ B.CG→ C.BC→【解析】選A.AB→+12(BD→+BC→)=AB→2.在△ABC中,AN→=13NC→,P是BN上的一點(diǎn),若AP→=mAB→+29A.19 B.13 【解題指南】利用數(shù)乘向量及向量的加減法,用向量AB→,AC→表示出向量【解析】選A.因?yàn)锳N→=13NC→,AP→所以AP→=mAB→+89AN→,設(shè)BP→=λPN→(λ>0),得AP→=11+λAB→+λ1+λAN→,3.(2023·百色高一檢測(cè))若O為平行四邊形ABCD的中心,AB→=4e1,BC→=6e2,則6e2-4e1等于(A.AD→ B.BD→ C.AC→ 【解析】選=BC→-AB→=AD→-AB4.(2023·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)與向量n=e2-2e1共線,則()=0 =1 =2 =1【解題指南】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)e1,e2不共線,分析是否可以找到實(shí)數(shù)λ,使m=λn.【解析】選D.由題意m=λn,所以-1=-2λ,k=λ,解得k=1【變式訓(xùn)練】a=e1+2e2,b=3e1-4e2,且e1,e2共線,則a與b()A.共線 B.不共線C.相等 D.可能共線也可能不共線【解析】選A.因?yàn)閑1,e2共線,所以存在λ使得e1=λe2,故a=(λ+2)e2,b=(3λ-4)e2,故a與b共線.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2023·江蘇高考)設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=12AB,BE=23BC,若DE→=λ1AB→+λ2AC→(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1【解題指南】利用向量加法的三角形法則,將DE→轉(zhuǎn)化為AB→與AC【解析】由DE→=DB→+BE→=12AB→+23BC→=12AB則λ1+λ2的值為12答案:1【變式訓(xùn)練】在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),且AC→=λAE→+μAF→,其中λ,μ∈R,則【解析】AE→=12AB→+AD→,AF故AB→=-23AE→+43AF→故AC→=AB→+AD→=2故λ+μ=43答案:46.(2023·景德鎮(zhèn)高一檢測(cè))已知在△ABC中,點(diǎn)M滿足MA→+MB→+MC→=0,若存在實(shí)數(shù)m使得AB→+AC→=mAM→【解題指南】確定點(diǎn)M為△ABC的重心,利用向量的加法法則,即可求得m的值.【解析】由點(diǎn)M滿足MA→+MB→+MC→=0,知點(diǎn)M為△ABC的重心,設(shè)點(diǎn)D為底邊則AM→=23AD→=23×1=13(AB→+AC→),所以AB→+AC→答案:3三、解答題(每小題12分,共24分)7.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),BC→+BA→=2BP→,證明PC→+【證明】因?yàn)锽C→+BA→=2BP→,所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)即PC→+PA→=8.在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,且BC→=3CD→,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),若AO→=xAB→+(1-x)AC→【解題指南】根據(jù)所給的數(shù)量關(guān)系,寫(xiě)出要求向量的關(guān)系式,注意共線的向量之間的三分之一關(guān)系,根據(jù)表示的關(guān)系式和所給的關(guān)系式進(jìn)行比較,得到結(jié)果.【解析】設(shè)CO→=yBC因?yàn)锳O→=AC→+CO→==AC→+y(AC→-=-yAB→+(1+y)AC因?yàn)锽C→=3CD→,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D所以y∈0,1因?yàn)锳O→=xAB→+(1-x)所以x∈-1【變式訓(xùn)練】如圖所示,已知△OAB.(1)若OP→=xOA→+yOB→,且點(diǎn)P在直線AB上,則(2)若正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y<1,且有OP→=xOA→+yOB→,試求證點(diǎn)P必在△【解析】(1)由點(diǎn)P在直線AB上得AP→=λAB→=λ(OB→-OA→),