廣東省梅州市星聚中學高二數學理上學期期末試題含解析

廣東省梅州市星聚中學高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.不等式的解集為(

)．A.(－∞,－1)∪(2,+∞) B. (－∞,－2)∪(1,+∞)C.(－1,2) D.(－2,1)參考答案：C2.已知函數f（x）=，則f′（x）=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】導數的運算．【分析】利用導數除法的運算公式進行求導即可．【解答】解：f'（x）=；故選D．3.若曲線(為參數)與曲線相交于,兩點，則的值為(

).A．

B．

C．

D．參考答案：D4.國慶期間，甲去某地的概率為，乙和丙二人去此地的概率為、，假定他們三人的行動相互不受影響，這段時間至少有1人去此地旅游的概率為

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B略5.拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.在等比數列{an}中，a2＝8，a5＝64，，則公比q為（

）A．2

B．3

C．4

D．8參考答案：A7.由直線曲線及軸所圍圖形的面積為

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm參考答案：B【分析】理解黃金分割比例的含義，應用比例式列方程求解．【詳解】設人體脖子下端至肚臍的長為xcm，肚臍至腿根的長為ycm，則，得．又其腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，所以其身高約為42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故選B．【點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數學運算素養(yǎng)．采取類比法，利用轉化思想解題．9.直線和圓交于兩點，則的中點坐標為A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知函數的圖象與函數的圖象有三個不同的交點、、，其中．給出下列四個結論：①；②；③；④．其中，正確結論的個數有（

）個A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C由題意，函數的圖象與函數的圖象有三個不同的交點，即方程，由三個不同的實數解，即有三個不同的實數解，即函數與的圖象有三個不同的交點，又由，當或時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，其圖象如圖所示，且當時，，要使得函數與的圖象有三個不同的交點，則，所以①正確的；當時，即，解得或，所以當時，則所以②是正確的；結合圖象可得，所以③是正確的；又由，整理得，又因為，所以，即，結合③可知，所以④是錯誤的，故選C．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為雙曲線上一點，，為該雙曲線的左、右焦點，若則的面積為

▲

．參考答案：略12.變量x，y滿足(t為參數)，則代數式的取值范圍是

．

．參考答案：13.設函數在上存在導數，，有，在上，若，則實數的取值范圍是_____________.

參考答案：14.在兩曲線和的交點處，兩切線的斜率之積等于

.參考答案：15.下列命題：①?x∈R，x2+1＞0；②?x∈N，x2≥1；③?x∈Z，x3＜1；④?x∈Q，x2=3；⑤?x∈R，x2﹣3x+2=0⑥?x∈R，x2+1=0其中所有真命題的序號是

．參考答案：①③【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】簡易邏輯．【分析】①由?x∈R，x2+1≥1＞0，即可得出；②當x=0時，x2=0，即可判斷出；③例如x=0∈Z，滿足x3＜1，即可判斷出；④由x2=3，解得x=±，為無理數，即可判斷出；⑤舉反例如x=0時，x2﹣3x+2=0不成立；⑥由x2+1=0在R范圍內無實數根，即可判斷出．【解答】解：①∵?x∈R，x2+1≥1＞0，因此①正確；②?x∈N，x2≥0，因此②不正確；③?x∈Z，例如x=0，滿足x3＜1，故③正確；④由x2=3，解得x=±，為無理數，因此不存在x∈Q，滿足x2=3，因此④不正確；⑤?x∈R，x2﹣3x+2=0，不正確，例如x=0時，x2﹣3x+2=0不成立；⑥∵x2+1=0在R范圍內無實數根，∴不存在實數x滿足x2+1=0，因此⑥不正確．綜上可知：只有①③正確．故答案為：①③．【點評】本題綜合考查了簡易邏輯的有關知識、一元二次方程的解與實數及判別式的關系，屬于基礎題．16.等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若=，則=．參考答案：【考點】等差數列的性質．【專題】計算題．【分析】本題考查的知識點是等差數列的性質及等差數列的前n項和，由等差數列中S2n﹣1=（2n﹣1）?an，我們可得，，則=，代入若=，即可得到答案．【解答】解：∵在等差數列中S2n﹣1=（2n﹣1）?an，∴，，則=，又∵=，∴=即=故答案為：【點評】在等差數列中，S2n﹣1=（2n﹣1）?an，即中間項的值，等于所有項值的平均數，這是等差數列常用性質之一，希望大家牢固掌握．17.若圓與圓相外切，則實數=

．參考答案：±3圓的圓心為，半徑為圓的標準方程為：(x－m)2+y2=1其圓心為，半徑為，兩圓外切時，圓心距等于半徑之和，即：，求解關于實數的方程可得：.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長和底面邊長均為2，D是BC的中點．

(1)求直線與所成角的余弦值；

(2)求三棱錐的體積．參考答案：（1）連結交于E，連結DE∵D為BC中點，E為中點∴在中，∴為直線與所成的角∵側棱長和低面邊長均為2∴∴在中,……7分（2）∵，∴

在正中，D為BC中點，∴

∴∴…12分19.設等差數列的前n項和為求數列的通項

(2)設數列滿足參考答案：略20.（本小題14分）已知、分別為橢圓:的上、下焦點，其中也是拋物線的焦點，點是與在第二象限的交點，且．（1）求橢圓的方程；（2）已知，，直線（）與相交于點D，與橢圓相交于、兩點．求四邊形面積的最大值．參考答案：（1）方法1：由知，設，因在拋物線上，故，

①又，則，

②，由①②解得，.

……………4分橢圓的兩個焦點，，點橢圓上，由橢圓定義得，∴，又，∴，∴橢圓的方程為.……………6分方法2：由知，設，因在拋物線上，故，

①又,則，

②由①②解得，.

……………4分而點橢圓上，故有，即，

③又，則，

④由③④可解得，，∴橢圓的方程為．

……………6分（2）由題，直線的方程為，即，

……………7分設，其中．將代入中，可得，即，

………8分點到直線的距離為，同理，可得點到直線的距離為，………………10分又，所以四邊形面積．

……………12分從而，當且僅當，即時，等號成立．此時四邊形面積的最大值為．

……………14分21.在直角坐標平面內，已知點，動點滿足

.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點作直線與軌跡交于兩點，線段的中點為,軌跡的右端點為點N，求直線MN的斜率的取值范圍.參考答案：解:(1)由橢圓的定義知，點P的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓，……….1分且，

∴……….……….3分∴動點的軌跡的方程是.

…4分

(2)解法一：依題意，直線過點且斜率不為零，故可設其方程為,由方程組

消去，并整理得

……….……….5分設,,則

，………………6分∴

∴,,……………8分(1)當時，；……………9分(2)當時,

..且

.

……………11分綜合(1)、(2)可知直線MN的斜率的取值范圍是：.………………12分解法二：依題意，直線過點且斜率不為零.(1)

當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，；

…………5分(2)

當直線的斜率存在且不為零時，設直線方程為,

由方程組

消去，并整理得

………6分ks*5u設,,則

，……………7分∴

,,

…9分.且

.

……………11分綜合(1)、(2)可知直線MN的斜率的取值范圍是：.………………12分略22.已知a為實數，函數．（1）若，求a的值及曲線在點處的切線方程；（2）求在區(qū)間[0,2]上的最大值．參考答案：、解：∵

∴

……1分（1）∵

∴

……2分

∴