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廣東省揭陽市良田中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.若一個底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示,則這個棱柱的體積為()A. B. C. D.6參考答案:B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖及題設(shè)條件知,此幾何體為一個三棱柱,其高已知,底面正三角形的高為,故先解三角形求出底面積,再由體積公式求解其體積即可.【解答】解:此幾何體為一個三棱柱,棱柱的高是4,底面正三角形的高是,設(shè)底面邊長為a,則,∴a=6,故三棱柱體積.故選B2.已知△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,若++=,則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是()A.P在AC邊上 B.P在AB邊上或其延長線上C.P在△ABC外部 D.P在△ABC內(nèi)部參考答案:A【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用.【分析】利用條件,結(jié)合向量的線性運(yùn)算,可得,由此即可得到結(jié)論.【解答】解:∵∴=∴∴∴P在AC的三等分點(diǎn)上故選A.【點(diǎn)評】本題考查向量的線性運(yùn)算,考查向量共線定理的運(yùn)用,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.3.過點(diǎn)(,0)引直線l與曲線y=相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積取最大值時,直線l的斜率等于()A.
B.-C.±
D.-參考答案:B4.已知a>0,且10=lg(10x)+lg,則x的值是(
).(A).-1
(B).0
(C).1
(D).2
參考答案:B
解析:10=lg(10x)+lg=lg(10x·)=lg10=1,所以x=0,故選(B).5..已知,則的值為(
)A. B. C. D.參考答案:Bsin(π+α)?3cos(2π?α)=0,即:sinα+3cosα=0,①又∵sin2α+cos2α=1,②由①②聯(lián)立解得:cos2α=.∴cos2α=2cos2α?1=.故選B.6.的值為
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:D7.已知直線與圓:相交于點(diǎn),則弦的長為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C8.函數(shù)y=ln(1﹣x)的定義域為()A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]參考答案:B【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.【分析】由函數(shù)的解析式可直接得到不等式組,解出其解集即為所求的定義域,從而選出正確選項【解答】解:由題意,自變量滿足,解得0≤x<1,即函數(shù)y=的定義域為[0,1)故選B9.已知集合,則下列式子表示正確的有(
)
① ② ③ ④ A.1個 B.2個 C.3個 D.4個參考答案:C略10.已知非零向量,滿足,且,則與的夾角為
A. B. C. D.參考答案:B【分析】根據(jù)題意,建立與的關(guān)系,即可得到夾角.【詳解】因為,所以,則,則,所以,所以夾角為故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度較小.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,則的值是_____________.參考答案:略12.設(shè)α,β是空間兩個不同的平面,m,n是平面α及平面β外的兩條不同直線.從“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中選取三個作為條件,余下一個作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個命題:________(填序號).參考答案:①③④?②(或②③④?①)13.函數(shù)的零點(diǎn)有__________個參考答案:1解:由題意得:,即,而:單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,根據(jù)圖像性質(zhì)可知如果此兩函數(shù)有交點(diǎn),那也只有一個,也就是:至多有一個零點(diǎn),,所以,所以:函數(shù)有一個零點(diǎn).14.已知函數(shù),分別由下表給出123211123321
則的值為 參考答案:115.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,則△ABC的面積為
.參考答案:或16.如果一扇形的圓心角是,半徑是2cm,則扇形的面積為
.參考答案:17.函數(shù)的值域為___
▲
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.設(shè)全集U=,
A={x|x2-5x+q=0},B={x|x2+px+12=0},若,求AB.參考答案:19.已知直線l:y=(1﹣m)x+m(m∈R). (Ⅰ)若直線l的傾斜角,求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (Ⅱ)若直線l分別與x軸,y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程. 參考答案:【考點(diǎn)】直線的傾斜角;基本不等式在最值問題中的應(yīng)用. 【分析】(Ⅰ)由直線的斜率和傾斜角的范圍可得m的不等式,解不等式可得; (Ⅱ)由題意可得點(diǎn)B(0,m)和點(diǎn)A(,0),可得S=|OA||OB|=[(m﹣1)++2],由基本不等式求最值可得. 【解答】解:(Ⅰ)由已知直線l斜率k=1﹣m, ∵傾斜角, 由k=tanα可得1≤k≤, ∴1≤1﹣m≤, 解得1﹣≤m≤0; (Ⅱ)在直線l:y=(1﹣m)x+m中,令x=0可得y=m, ∴點(diǎn)B(0,m);令y=0可得x=, ∴點(diǎn)A(,0),由題設(shè)可知m>1, ∴△AOB面積S=|OA||OB|=m= =[(m﹣1)++2]≥[2+2]=2, 當(dāng)且僅當(dāng)(m﹣1)=即m=2時S取得最小值2, 此時直線l的方程為:x+y﹣2=0 【點(diǎn)評】本題考查直線的傾斜角和斜率,涉及基本不等式求最值,屬中檔題. 20.
已知函數(shù)(1)若對任意,不等式恒成立,求的取值范圍;(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).參考答案:解:(1)由得,變形為,即
-------------2分而,
當(dāng)即時,所以.
--------------6分(2)由可得,變?yōu)?/p>
略21.(本題滿分12分)遼寧號航母紀(jì)念章從2012年10月5日起開始上市.通過市場調(diào)查,得到該紀(jì)念章每1枚的市場價(單位:元)與上市時間(單位:天)的數(shù)據(jù)如下:上市時間天41036市場價元905190(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述遼寧號航母紀(jì)念章的市場價與上市時間的變化關(guān)系并說明理由:①;②;③.(2)利用你選取的函數(shù),求遼寧號航母紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.參考答案:(1)∵隨著時間x的增加,y的值先減后增,而所給的三個函數(shù)中y=ax+b和y=alogbx顯然都是單調(diào)函數(shù),不滿足題意,∴y=ax2+bx+c.———————4分(2)把點(diǎn)(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,得———————6分解得,,———————8分∴y=
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