廣東省廣州市沙滘中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

廣東省廣州市沙滘中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）﹣a|x|=0（a∈R）有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y=f（x）﹣a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】計(jì)算題；分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由分段函數(shù)知需要討論，當(dāng)x≥0時(shí)，可得a=，x＞0；令g（x）=，從而求導(dǎo)g′（x）=；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0可化為﹣x（x+2e﹣a）=0，從而確定a的取值范圍；再按分段函數(shù)討論即可．【解答】解：①當(dāng)x≥0時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0可化為ex﹣ax=0，故a=，x＞0；令g（x）=，g′（x）=；故g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；且g（1）=e；故當(dāng)a=e時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0時(shí)有一個(gè)解，當(dāng)a＜e時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0時(shí)沒有解，當(dāng)a＞e時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0時(shí)有兩個(gè)解；②當(dāng)x＜0時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0可化為﹣x（x+2e﹣a）=0，故當(dāng)a＜2e時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0在x＜0時(shí)有一個(gè)解，當(dāng)a≥2e時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0在x＜0時(shí)沒有解；綜上所述，若關(guān)于x的方程f（x）﹣a|x|=0（a∈R）有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則e＜a＜2e；當(dāng)x＜0時(shí)，令f（x）﹣a=﹣x2﹣2ex﹣a=0，可化為x2+2ex+a=0，由判別式△=4e2﹣4a＞0，及根與系數(shù)的關(guān)系知，方程有兩個(gè)不同的負(fù)根；當(dāng)x≥0時(shí)，令f（x）﹣a=ex﹣a=0，故x=lna；故函數(shù)y=f（x）﹣a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用．2.在△ABC中，AB=AC，，則向量與的夾角為（ ）A．

B．

C．

D．參考答案：B∵，，∴，則向量與的夾角為.

3.在四面體ABCD中，AD⊥底面ABC，，BC=2，E為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AE上且滿足AG=2GE，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則（

）A．

B．

C．

D．2參考答案：D設(shè)△ABC的外心為O，則點(diǎn)O在AE上，設(shè)OE=r,則.設(shè)四面體ABCD的外接球半徑為R，則.因?yàn)樗?故選D.

4.4sin80°﹣等于（）A． B．﹣ C．2 D．2﹣3參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】將所求的關(guān)系式通分后化弦，逆用兩角差的余弦與兩角差的正弦，即可求得答案．【解答】解：4sin80°﹣======﹣，故選：B．5.已知拋物線的方程為y2=4x，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若S△AOF=3S△BOF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則|AB|=(

) A． B． C． D．4參考答案：A考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)直線的AB的傾斜角為銳角，利用S△AOF=3S△BOF，求得yA=﹣3yB，設(shè)出直線AB的方，與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理表示出yA+yB和yAyB，進(jìn)而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐標(biāo)求得|AB|．解答： 解：設(shè)直線的AB的傾斜角為銳角，∵S△AOF=3S△BOF，∴yA=﹣3yB，∴設(shè)AB的方程為x=my+1，與y2=4x聯(lián)立消去x得，y2﹣4my﹣4=0，∴yA+yB=4m，yAyB=﹣4．∴+==﹣2==﹣3﹣，∴m2=，∴|AB|=?=．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的概念和性質(zhì)，直線和拋物線的綜合問題．要注意解題中出了常規(guī)的聯(lián)立方程，用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示外，還可考慮運(yùn)用某些幾何性質(zhì)．6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)A．由最大值，最大值為

B．對(duì)稱軸方程是C．是周期函數(shù)，周期

D．在區(qū)間上單調(diào)遞增參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．C5C4【答案解析】D解析：化簡(jiǎn)函數(shù)得，所以易求最大值是2，周期是，由，得對(duì)稱軸方程是由，故選D.【思路點(diǎn)撥】由兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再由圖象平移的規(guī)律得到，易得最大值是2，周期是π，故A，C均錯(cuò)；由，求出x，即可判斷B；再由正弦函數(shù)的增區(qū)間，即可得到g（x）的增區(qū)間，即可判斷D．7.若直線（）與函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)，，且點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則（

）A．1 B．2 C．3 D．參考答案：B考點(diǎn)：1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2.函數(shù)的奇偶性.【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性，屬中檔題；平面向量是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，且常與函數(shù)、數(shù)列、三角、解析幾何等交匯命題，解決此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其主要轉(zhuǎn)化途徑一是利用平面向量平行或垂直的條件，二是利用平面向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積的公式及性質(zhì).8.（00全國(guó)卷）一個(gè)長(zhǎng)方體共一項(xiàng)點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，，，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是（A）2

（B）3

（C）

（D）6參考答案：答案:C9.已知為平面上的定點(diǎn)，、、是平面上不共線的三點(diǎn)，若，則DABC是（

）（A）以AB為底邊的等腰三角形 （B）以BC為底邊的等腰三角形（C）以AB為斜邊的直角三角形 （D）以BC為斜邊的直角三角形參考答案：略10.設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，則所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)x,y的最小值為

。參考答案：答案:

12.已知是函數(shù)圖像上的點(diǎn)，是雙曲線在第四象限這一分支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，使其與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與軸、軸分別交于點(diǎn)，另一條直線與軸、軸分別交于點(diǎn)。則（1）為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形的面積為

（2）四邊形面積的最小值為

參考答案：（1）12

（2）4813.已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖像與x軸相切于(1,0)，則該函數(shù)的極小值為_______．參考答案：0略14.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品的數(shù)量之比依次為2：3：4，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有18件，那么此樣本的容量n=

。參考答案：81略15.已知兩點(diǎn)A（2,2），B（2,1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)t的值為

。參考答案：略16.袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，.現(xiàn)從中任取兩球，若取出的兩個(gè)球是同色的概率等于取出的兩個(gè)球是異色的概率，則滿足關(guān)系的數(shù)組的個(gè)數(shù)為

．參考答案：3 17.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，，E為AB的中點(diǎn)，將與分別沿ED，EC向上翻折，使A，B重合，則形成的三棱錐的外接球的表面積為________.參考答案：【分析】判定三棱錐的形狀，確定外接球的球心位置，找出半徑并求解，然后求出球的表面積．【詳解】重合為點(diǎn)P，∵∠DAB＝60°∴三棱錐P﹣DCE各邊長(zhǎng)度均為∴三棱錐P﹣DCE為正三棱錐P點(diǎn)在底面DCE的投影為等邊△DCE的中心，設(shè)中心為O∴OD＝OE＝OC＝在直角△POD中：OP2＝PD2﹣OD2＝OP＝∵外接球的球心必在OP上，設(shè)球心位置為O'，則O'P＝O'D設(shè)O'P＝O'D＝R則在直角△OO'D中：OO'2+OD2＝O'D2，（OP﹣O'P）2+OD2＝O'D2（﹣R）2+（）2＝R2，R＝，∴面積為4.故答案為：?！军c(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△中，角的對(duì)邊分別為，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求邊的長(zhǎng)和△的面積.參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)椋?/p>

所以，

……………2分

因?yàn)?，所以?/p>

所以，

……………4分因?yàn)?，且，所以?/p>

……………6分（Ⅱ）因?yàn)?，，所以由余弦定理得，即，解得或（舍），所以邊的長(zhǎng)為.

……………10分．

……………13分

略19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ），令得，，．由，在根的左右的符號(hào)如下表所示0000減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)

所以的遞增區(qū)間為與，的遞減區(qū)間為與．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，要使的圖象與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，只要或．即，或．略20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：存在．參考答案：解:由題意知的定義域?yàn)椋鴮?duì)求導(dǎo)得，.因?yàn)榍?，故只?又，所以得.

-----------------3分若，則.顯然當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增.所以是的唯一極小值點(diǎn)，故.綜上，所求的值為.

----------------5分（2）由（1）知，．------7分設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

----------------9分又，，，所以在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)1，

----------------10分且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以是的唯一極大值點(diǎn)．即是在（0，1）的最大值點(diǎn)，所以成立.--------12分

21.已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且|A1A2|=4，P為橢圓上異于A1，A2的點(diǎn)，PA1和PA2的斜率之積為．以M（﹣3，2）為圓心，r為半徑的圓與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）若A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求圓M的方程；（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），求△ABM的面積．參考答案：考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）由題意求出a=2，設(shè)P（x0，y0），A1（﹣2，0），A2（2，0），由PA1和PA2的斜率之積為﹣，得到，再由P（x0，y0）在橢圓上，可得b2=4，則橢圓C的方程可求；（2）由A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知O是AB的中點(diǎn)，結(jié)合垂徑定理可知MO⊥AB，進(jìn)一步得到直線MO的斜率，得到直線AB的斜率，則直線AB的方程可求，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出A的坐標(biāo)由勾股定理得圓的半徑，則圓M的方程可求；（3）由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，求得B的坐標(biāo)，進(jìn)一步得線段AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，求得直線ME的斜率，結(jié)合題意列式求得AB的斜率，得到直線AB的方程為y=x+2，求出|AB|，由點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)M到直線AB的距離，代入△ABM的面積公式得答案．解：（1）由題意可知2a=4，即a=2，設(shè)P（x0，y0），A1（﹣2，0），A2（2，0），由題意可得，即12﹣，∴，又P（x0，y0）在橢圓上，故b2=4，即橢圓C的方程為；（2）∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴O是AB的中點(diǎn)，由垂徑定理可知MO⊥AB，又M（﹣3，2），∴直線MO的斜率為﹣，故直線AB的斜率為，則直線AB的方程為y=x，聯(lián)立，解得，由勾股定理得r2=MA2=MO2+OA2=9+4+，∴圓M的方程為（x+3）2+（y﹣2）2=；（3）由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的