立體幾何教案doc

立體幾何教案立體幾何教案doc1/11/11/11/1直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解空間直線和平面的位置關(guān)系；2．掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；進一步熟悉反證法的實質(zhì)及其一般解題步驟．3．通過探究線面平行定義、判定和性質(zhì)定理及其應(yīng)用，進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力．4．通過有關(guān)定理的發(fā)現(xiàn)、證明及應(yīng)用，提高學(xué)生的空間想象力和類比、轉(zhuǎn)化的能力，提高學(xué)生的邏輯推理能力．重點：直線及平面平行的判定、性質(zhì)定理的應(yīng)用；難點：線面平行的判定定理的反證法證明，線面平行的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用．二、知識要點梳理知識點一、直線和平面垂直的定義及判定.直線和平面垂直定義如果直線E和平面值內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線及平面互相垂直，記作直線叫平面色的垂線；平面叫直線的垂面；垂線和平面的交點叫垂足.要點詮釋：(1)定義中“平面值內(nèi)的任意一條直線”就是指“平面內(nèi)的所有直線”，這及“無數(shù)條直線”不同，注意區(qū)別.(2)直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式.(3)若*，十/匚仃，則口_1占..直線和平面垂直的判定定理判定定理：一條直線及一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線及此平面垂直．mca,n匚汽,掰「I局二B卜=>/_L仃符號語言：口叫山J特征：線線垂直與線面垂直要點詮釋：(1)判定定理的條件中：“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，不可忽視.(2)要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，則無關(guān)緊要.知識點二、斜線、射影、直線及平面所成的角一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線.過斜線上斜足外的一點間平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.要點詮釋：(1)直線及平面平行，直線在平面由射影是一條直線.(2)直線及平面垂直射影是點.(3)斜線任一點在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上.(4)一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是.二面角定義平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.表示方法：棱為jF、面分別為鼻胃的二面角記作二面角.有時為了方便，也可在e戶內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點，將這個二面角記作二面角產(chǎn)-的如果棱記作，那么這個二面角記作二面角或^.二面角的平面角在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.知識點四、平面及平面垂直的定義及判定.平面及平面垂直定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面垂直.表示方法：平面值及尸垂直，記作^畫法：兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成及水平平面的橫邊垂直.如圖：.平面及平面垂直的判定定理判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.符號語言：，，區(qū),仁色=仃，尸圖形語言：特征：線面垂直與面面垂直要點詮釋：平面及平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線及平面垂直來證明平面及平面垂直.通常我們將其記為“線面垂直，則面面垂直”.因此，處理面面垂直問題處理線面垂直問題，進一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題.以后證明平面及平面垂直，只要在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線和另一個平面垂直即可.知識點五、直線及平面垂直的性質(zhì).基本性質(zhì)一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線.符號語言：，，凡耀匚值方』，溶.性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號語言：/，鼻巾，仃=7"落圖形語言：知識點六、平面及平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線及另一個平面垂直.符號語言：仃，用況n^=沼』U網(wǎng)］，解b圖形語言：三、規(guī)律方法指導(dǎo)垂直關(guān)系的知識記憶口訣：線面垂直的關(guān)鍵，定義來證最常見，判定定理也常用，它的意義要記清，平面之內(nèi)兩直線，兩線交于一個點，面外還有一條線，垂直兩線是條件，面面垂直要證好，原有圖中去尋找，若是這樣還不好，輔助線面是個寶，先作交線的垂線，面面轉(zhuǎn)為線和面，再證一步線和線，面面垂直即可見，借助輔助線和面，加的時候不能亂，以某性質(zhì)為基礎(chǔ)，不能主觀憑臆斷，判斷線和面垂直，線垂面中兩交線，兩線垂直同一面，相互平行共伸展，立體幾何教案doc兩面垂直同一線，一面平行另一面，要讓面和面垂直，面過另面一垂線，面面垂直成直角，線面垂直記心間.經(jīng)典例題透析類型一、直線和平面垂直的定義01.下列命題中正確的個數(shù)是()TOC\o"1-5"\h\z①如果直線7及平面口內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；②如果直線7及平面色內(nèi)的一條直線垂直，則；③如果直線，不垂直于生，則內(nèi)沒有及垂直的直線；④如果直線，不垂直于生，則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線及垂直.A.0B.1C.2D.3答案：B解析：當(dāng)值內(nèi)的無數(shù)條直線平行時，上及不一定垂直，故①J/不對；?]』■■-i[T￡當(dāng)，及值內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證及垂直，故②不對；二'當(dāng)，及值不垂直時，可能及內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故③不對；④正確.故選B.總結(jié)升華：注意直線和平面垂直定義中的關(guān)鍵詞語.舉一反三：【變式1】下列說法中錯誤的是()①如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線垂直，該直線及這個平面必相交;②如果一條直線和平面的一條平行線垂直，該直線必在這個平面內(nèi)；1/11/11/11/11/1立體幾何教案doc③如果一條直線和平面的一條垂線垂直，該直線必定在這個平面內(nèi);④如果一條直線和一個平面垂直，該直線垂直于平面內(nèi)的任何直線.A.①②B.②③④C.①②④D.①②③答案：D解析：如圖所示，直線索5。匚面，顯然冬出面國”，???①錯；由于其即/面肥”，與明，但，.?.②錯；A4J面達況24^±M,但,.??③錯.由直線及平面垂直的定義知④正確，故選D.總結(jié)升華：本題可以借助長方體來驗證結(jié)論的正誤.類型二、直線和平面垂直的判定@>2.如圖所示，已知△所在平面外一點S,且,中占I八、、?⑴求證：，平面;⑵若,求證：，平面.證明：⑴因為，D為的中點，所以L連接.在△中，有，所以△絲△,所以NN,所以L又n,所以，平面.⑵因為，D是的中點，所以，.又由⑴知，，所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doc1/11/11/11/1所以，平面.總結(jié)升華：挖掘題目中的隱含條件，利用線面垂直的判定定理即可得證.舉一反三：【變式1】如圖所示，三棱錐F-3c的四個面中，最多有個直角三角形.答案：4答案：4解析：如圖所示，，面./90°,則圖中四個三角形都是直角三角形.故填4.總結(jié)升華：注意正確畫出圖形.【變式2】如圖所示，直三棱柱中，/90°,1,因=/，側(cè)棱側(cè)面的兩條對角線交點為D,的中點為M.求證：，平面.又知D為其底邊的中點,又知D為其底邊的中點,證明：如右圖，連接口、川】現(xiàn)為直角三角形，D為的中點,1/11/11/11/1立體幾何教案doc又叫二次手，口四二加，.?."順婆回憶/如如=2u四=90二即一:A3、白肱為平面內(nèi)兩條相交直線，???，平面.類型三、直線和平面所成的角03.如圖所示，已知/在平面值內(nèi)，是平面的斜線，且NN60°,厘，近，求和平面胃所成的角.角星析：:,=QB=OC=a,ZZ60°,???△、△為正三角形,???△為直角三角形.同理△也為直角三角形.角星析：:,=QB=OC=a,ZZ60°,???△、△為正三角形,???△為直角三角形.同理△也為直角三角形.過A作垂直平面配于H連接，,H為△的外心.???H在上，且口為的中點.??Au-,卅H■口.△中，2,???Z45°???Z45°即和平面色所成角為45°.定了射影的位置，才能找到直線及平面定了射影的位置，才能找到直線及平面總結(jié)升華:⑴確定點在平面內(nèi)的射影的位置，是解題的關(guān)鍵，因為只有確所成的角，才能將空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題來解.(2)求斜線及平面所成的角的程序：①尋找過直線上一點及平面垂直的直線；

立體幾何教案doc②連接垂足和斜足得出射影，確定出所求解;③把該角放入三角形計算.(3)直線和平面所成的角，也應(yīng)考慮到直線和平面垂直、直線和平面平行或在平面內(nèi)諸情況，也就是直線和平面成90°角和0°角的情況，所以求線面所成角時，應(yīng)想到以上兩種情況.舉一反三：【變式1】如圖所示，在正三棱柱如^-同片G中，側(cè)棱長為血，底面三角形的邊長為1,則及側(cè)面所成的角是.解析：如右圖.由題取中點o連接.則，平面山?5及平面為1,則及側(cè)面所成的角是.解析：如右圖.由題取中點o連接.則，平面山?5及平面所成角.又在中，皿=*,8C廣出.sinZ5C10=-.12,類型四、二面角.如圖所示，在四面體中，△、△、△、△都全等，且闋=4C=^，8。=2,求以為棱，以面和面為面的二面角大小.立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doc1/11/1???/為二面角』-3C-A的平面角.又丁△絲???/為二面角』-3C-A的平面角.又丁△絲△,???2,在△中，1,在△中，???Z90°A￡="E=/,???Z90°???以面和面為面的二面角大小為90°.總結(jié)升華：確定二面角的平面角，常常用定義來確定.舉一反三：【變式1］已知D、E分別是正三棱柱如^-工田島的側(cè)棱和上的點，且4口=拈再=5?.求過D、E、C1的平面及棱柱的下底面所成的二面角的大小.解析：如圖，在平面兒道內(nèi)延長和則f是面解析：如圖，在平面兒道內(nèi)延長和則f是面0由a及面的公共點交線，交線，??所求二面角就是0-5丹-4的平面角.??4。斤用豆，且??E、&分別和AF的中點.又面司用G,???拜面??.FCV.???NDG???NDG馮是二面角的平面角，由已知其口二片G二工島，??./口44二土總結(jié)升華：當(dāng)所求的二面角沒有給出它的棱時，找出二面角的兩個面的兩個公共點，從而找出它的棱，進而求其平面角的大小即可.類型五、平面及平面垂直的判定.在四面體中，BD=^2a

.在四面體中，BD=^2a

求證：平面，平面.厘，如圖所示.1/11/11/11/1立體幾何教案doc??/為二面角的平面角.在△中，,=a,―后正專同理重=爭A-AE=CE=-a在△中，2,如7二厘，由于工4=十t京，??±,即/90°,即二面角的平面角為90°.??平面，平面.總結(jié)升華：利用兩個平面互相垂直的定義可以直接判定兩個平面垂直，判定的方法(1)找出兩個相交平面的平面角；(2)證明這個平面角是直角；(3)根據(jù)定義，這兩個平面互相垂直.舉一反三：【變式1】如圖所示，在空間四邊形中，一E、F、G分別為、和對角線的中點，求證：平面，平面.且證明：???，，G是的中點，立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doc1/11/11/11/11/11/1??，平面.又〃，??，平面.丁匚平面，??平面，平面.總結(jié)升華：證面面垂直的方法：(1)證明兩平面構(gòu)成的二面角的平面角為90°；(2)證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，將證明“面面垂直”的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題...「笠【變式2】如圖所示，在△中，二不，斜邊4△可以通過△以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角是的中點.求證：平面，平面；證明：由題意，，，，，???/是二面角的平面角.又二二面角是直二面角.???L

又丁n,???，平面.又匚平面，平面，平面.【變式3】過點P引三條長度相等但不共面的線段、、，有NN60°,Z90°,求證:平面，平面.證明：如圖，已知，由NN60°,△,△為正三角形,則有：，取中點為E直角△中，BC=42a,BE=PE=~^由，士aa小BE=a直角△中，AB=a,2,在△中，PA=a,在△中，PA=a,PE^AE^—a口/冏=90°PELBC,產(chǎn)￡上＜￡=＞尸封_L面A3C平面，平面.立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doc1/11/11/11/11/11/1A類型六、綜合應(yīng)用06.如圖所示，△為正三角形，，平面，〃，且2,M是的中點，求證：(1)；⑵平面，平面；(3)平面，平面.證明：(1)取的中點尸，連接.;，平面，???，.易知〃，，.丁，平面，，±.又二L???，平面.又丁匚平面，，平面，平面.丁，平面，，±.又二L???，平面.又丁匚平面，，平面，平面.(3);〃，,平面，???，平面.又丁匚平面，???平面，平面.總結(jié)升華：本題涉及線面垂直、面面垂直的性質(zhì)和判定，這里證明的關(guān)鍵是，平面，應(yīng)充分體會線線垂直、線面垂直及面面垂直的關(guān)系.07.如圖所示，已知，矩形所在平面，M、N分別是、的中點.（1）求證：〃平面；（2）求證：，；（3）若N45°,求證：，平面.思路點撥：要證明〃平面，須證平行于平面內(nèi)某一條直線.注意到M、N分別為，的中點，可取的中點E,從而只須證明〃即可.證明如下.證明：（1）取的中點E,連接、,故為平行四邊形，，〃.;匚平面，足平面，???〃平面.（2）要證，，可證，.由（1）知，需證，.???，平面.又〃，???L（3）由（2）知，，，即，，再證，即可.1/11/11/11/1立體幾何教案doc丁，平面，;?±.又N45°,E為的中點.???L即L又L???，平面.總結(jié)升華：本題是涉及線面垂直、線面平行、線線垂直諸多知識點的一道綜合題．（1）的關(guān)鍵是選取的中點E,所作的輔助線使問題處理的方向明朗化.線線垂直一線面垂直-線線垂直是轉(zhuǎn)化規(guī)律.學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達標(biāo).平面值外的一條直線f及內(nèi)的兩條平行直線垂直，那么（）.及11相B.C.及值相交D.及的位置關(guān)系不確定.已知直線a、b和平面比，下列推論錯誤的是（）.立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doc1/11/11/11/1B.*"nB.*"n戈廳比或戈c圖Cj_LoJD..若直線a，直線b,且a，平面出，則有（）.或或^或或D.或.若P是平面胃外一點，則下列命題正確的是（）.A.過P只能作一條直線及平面色相交B.過P可作無數(shù)條直線及平面皿垂直C.過P只能作一條直線及平面皿平行D.過P可作無數(shù)條直線及平面色平行.設(shè)仃-—戶是直二面角，直線金口值，直線，且a不垂直于￡,b不垂直于，那么（）.及b可能垂直，但不能平行及b可能垂直，也可能平行及b不可能垂直，但可能平行及b不可能平行，也不能垂直.設(shè)出、產(chǎn)為兩個不同的平面，八m為兩條不同的直線，且，有如下兩個命題：①若氏則/掰；②若，貝IJ屆那么（）.

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題C.①②都是真命題D.①②都是假命題.關(guān)于直線m、n及平面色及田，有下列四個命題:①若耀"應(yīng)屋戶且，則①若耀"應(yīng)屋戶且，則m〃n；②若且，貝lJ^_L是；③若忸4,相”#且，貝^U；④若且，則m〃n.其中真命題的序號是().A.①②A.①②B.③④C.①④D.②③.已知直線平面皿，直線胃匚尸，給出下列四個命題，其中正確的命題是().①若仙凡則優(yōu)U；②若，貝ljm〃n；③若m〃n，貝IJ；④若，貝.A.③④B.①③C.②④D.①②.下面四個命題：①兩兩相交的三條直線只可能確定一個平面；②經(jīng)過平面外一點，有且僅有一個平面垂直這個平面；③平面值內(nèi)不共線的三點到平面尸的距離相等，則；④兩個平面垂直，過其中一個平面內(nèi)一點作它們交線的垂線，則此垂線垂直于另一個平面其中真命題的個數(shù)是().A.0個的個數(shù)是().A.0個B.1個C.2個D.3個立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doc.設(shè)有不同的直線a、b和不同的平面皿、田、九給出下列三個命題：TOC\o"1-5"\h\z①若力,貝IJ；②若貝U；③若,貝U.其中正確的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3.已知直線？，平面值，直線平面尸，有四個命題：①；②戶愀；③/〃喀戶；④^其中正確的命題是.(把所有正確命題的序號都填上).長方體總網(wǎng)弓口中，在平面內(nèi)，，于M,則及的位置關(guān)系是..如圖所示，直角△所在平面外一點5,且，點D為斜邊的中點.(1)求證：，平面；(2)若.求證：，面.能力提升1.下面四個命題：①若直線a〃平面明則內(nèi)任何直線都及a平行;/1立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doc1/11/11/11/1②若直線a，平面%則內(nèi)任何直線都及a垂直；③若平面出〃平面氏則內(nèi)任何直線都及平行；④若平面胃，平面凡則內(nèi)任何直線都及垂直.其中正確的兩個命題是()A.①及②B.②及③C.③及④D.②及④.一個二面角的兩個面分別垂直于另一個二面角的兩個面，那么這兩個二面角().A.相等B.互補C.關(guān)系無法確定D.相等或互補.配、產(chǎn)是兩個不同的平面，m、n是平面、外的兩條不同直線，給出四個結(jié)論:①m，n；②次，凡@n±；@m±.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題..已知直線及平面色內(nèi)過點A的三條直線、、成等角，求證：，平面..已知為矩形，，平面，過點A作，于點E,過點E作，于點F,如圖所示.(1)求證：，;⑵若平面交于點G,求證：，.綜合探究1/11/11/11/1立體幾何教案doc.已知：如圖所示，平面，平面，平面，平面，，平面，E為垂足.(1)求證：，平面；⑵當(dāng)E為△的垂心時，求證：△是直角三角形..如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱，底面,E是的中點，作，交于點F.戶(1)證明：〃平面；(2)證明：，平面.參考答案基礎(chǔ)達標(biāo)1b內(nèi)兩條直線若相交則U值；若平行則不能確定及的位置關(guān)系.a及b位置關(guān)系不能確定.4過P能作無數(shù)條直線及色平行，這些直線均在過P及平行的平面內(nèi).5若◎，白，如圖，在戶內(nèi)可作，貝IJ.立體幾何教案立體幾何教案doc立體幾何教案立體幾何教案doci/ii/i1/11/1???民則◎口，及已知矛盾.???a及b不可能垂直；當(dāng)a、b均及，平行時，a〃b,故選C.789面面垂直的性質(zhì)定理對于④顯然成立；在①中應(yīng)考慮兩兩相交的幾種情況，對于三條直線交于一點時，且不在同一平面時，顯然不成立；在②中，平面外一點只能引一條直線及平面垂直，但過這條直線的平面有無數(shù)個，不是真命題；對于③，若色及戶相交，在兩側(cè)且在內(nèi)一定存在不共線的三點到戶的距離相等，故不是真命題.10平行于同一平面的兩直線可能平行，也可能相交或異面，故①錯.平行于同一直線的兩平面可能平行，也可能相交，故②也錯.11.①③①???u-口”凡..?.①正確.②設(shè)叫u產(chǎn)，且m〃d時，？，刑.故命題②錯.③?：人,，.二.又胡匚凡??..故③正確.④由②知④不正確.12±如下圖，由長方體的性質(zhì)知，平面8CCW平面，交線為.因為在平面內(nèi)，且，，所以，平面匚平面，.J±13.證明:(1)V,D為的中點,連接.在△中,則.又n,，面.⑵;，D為中點,又由(1)知，面