【教案】正弦函數、余弦函數的圖象與性質的應用教學設計必修第一冊

必修15.4.3正弦函數、余弦函數的圖象與性質的應用第9頁共9頁5.4.3正弦函數、余弦函數的圖象與性質的應用（一）教學內容正弦函數、余弦函數的圖象與性質的應用。（二）教學目標會用正弦函數、余弦函數的圖象與性質解決一些簡單的問題。（三）教學重點難點教學重點：正弦函數、余弦函數的圖像與性質的應用。教學難點：探索求函數周期、單調區(qū)間的思路及所對結論的理解。（四）教學過程【環(huán)節(jié)一】知識點復習回顧導入：前面我們學習了正弦函數、余弦函數的圖象和性質，這節(jié)課我們一起探討它們的一些簡單應用，請同學們思考下面問題。問題1：回顧正弦函數、余弦函數的性質和圖象，完成下面表格：正弦函數余弦函數定義域值域圖象周期奇偶性對稱軸對稱中心單調遞增區(qū)間單調遞減區(qū)間最大值點最小值點師生活動：學生完成后，互相批改，修改完善。正弦函數y＝sinx余弦函數y=cosx定義域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函數偶函數周期性最小正周期最小正周期單調區(qū)間k∈Z增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點k∈Z最大值點最小值點最大值點最小值點對稱中心k∈Z對稱軸k∈Z追問：（1）如何理解點也正弦函數的對稱中心？（2）如何理解直線是正弦函數的對稱軸？你能類比函數奇偶性的研究作出回答嗎？師生活動：學生基于上節(jié)課課后作業(yè)，放在函數奇偶性的研究作答。代數論證作為選做內容。（1）直觀感知：函數圖象在點的特征與在點處的特征一樣，呈現(xiàn)出關于點中心對稱。代數論證：對于，，，得證。（2）直觀感知：函數圖象相對于直線的特征與相對于y軸的特征一樣，呈現(xiàn)出關于直線的軸對稱。代數論證：對于，，，得證。設計意圖：復習公共正弦函數、余弦函數的圖象和性質，為本機課的應用奠定基礎?！经h(huán)節(jié)二】例題分析與鞏固例2求下列函數的周期：（1），；（2），；（3），.追問1：請說出周期性定義，并思考要想獲得周期，得到怎樣的關系式就可得出周期？對例2中函數表達式進行怎樣變形？師生活動：由學生說出周期性定義：一般地，設函數的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對于每一個，都有，且，那么函數就叫周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期。周期函數的周期不止一個。我們更關系最小正周期。要得到周期，需要得到形式才能確定周期。我們目前知道正弦函數、余弦函數的周期均為，要想求出例2中函數的周期，需要從此出發(fā)，對比研究獲得的形式。對于（1）顯然有，即的形式成立；對于（2）要想利用，需先換元，可設，這樣，也獲得了的形式；對于（3），根據（1）（2）的處理經驗，，，也獲得了的形式；解法如下：（1），有，由周期函數的定義可知，原函數的周期為；（2）令，由，得，且的周期為，即，于是，所以，.由周期函數的定義可知，原函數的周期為.（3）令，由得，且的周期為，即，于是，所以.由周期函數的定義可知，原函數的周期為.追問2：對于上面3個問題，（3）的形式實際是（1）（2）形式的組合，據此你能抽象出這類函數的一般形式嗎？師生活動：共同歸納其形式為：或。追問3：你能根據上面3個問題的解答，歸納出求解形如或的周期的步驟和一般方法嗎？師生活動：學生梳理之后，交流展示。教師點撥、完善。周期問題求解的步驟如下：第1步：先用換元法轉換。（可參考問題（2）進行說明）；第2步：利用已知的正弦函數余弦函數的周期找關系；第3步：根據定義變形變形為的形式；第4步，確定結論。周期與自變量的系數有關。根據（1）（2）（3）的函數形式和答案，可歸納為：。理由如下：形如或的函數（其中，，為常數，且，），設，由，得，根據正弦函數余弦函數周期為，有，可知與的周期都為，進一步推理如下：因為，則有，得到，即當自變量增加，函數值就重復出現(xiàn)；且增加量小于時，函數值不會重復出現(xiàn)。即是使等式成立的最小正數，從而，的周期為。同理，的周期為。根據這個結論，我們可以直接寫出，和，的周期為。推廣：如果函數的周期為T，則函數（）的周期為。設計意圖：通過例題深化對周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具體步驟，進而幫助學生理解的周期的求解步驟，提升學生的數學運算素養(yǎng)。例3下列函數有最大值?最小值嗎？如果有，請寫出取最大值?最小值時自變量x的集合，并求出最大值?最小值.（1），；（2），；追問1：能轉化為熟悉的形式求解嗎？師生活動：先讓學生思考，嘗試解決，教師再點評指正。因為，，因此對于（1），，這樣借助正弦函數的有界性，確定了函數的值域，同時也可得到最值；對于（2），為了能借助正弦函數的有界性，可設，，因，則，求的最值問題轉化為求最值問題，由，利用不等式性質，有，這樣通過換元就可解決最值問題。解法參考：容易知道，這兩個函數都有最大值?最小值。（1）使函數，取得最大值的x的集合，就是使函數，取得最大值的x的集合；使函數，取得最小值的x的集合，就是使函數，取得最小值的x的集合，函數，的最大值是；最小值是.（2）令，因，則，使函數取得最大值的z的集合，就是使，取得最小值的之的集合，由，得，所以，使函數，取得最大值的x的集合是；同理，使函數，取得最小值的x的集合是，函數，的最大值是3，最小值是-3.追問2：你能歸納出形如，和，的函數求最值的一般思路和方法嗎？師生活動：引導學生歸納得出先通過變量代換，轉化為形如，和，，再利用正余弦函數的有界性，求最值或值域問題。設計意圖：理解正余弦函數的有界性，利用轉化的思想求解形如，和，的最值。例4不通過求值，比較下列各組數的大小：（1）與；（2）與.師生活動：學生先獨立思考，解決問題，完成后教師點評。如果學生有困難，可以這樣引導思考：可利用三角函數的單調性比較兩個同名三角函數值的大小。為此，先用誘導公式將已知角化為同一單調區(qū)間內的角，然后再比較大小.解法參考：（1）因為，正弦函數在區(qū)間上單調遞增，所以.（2），，因為，且函數在區(qū)間上單調遞減，所以，即追問：你能借助單位圓直觀地比較上述兩對函數值的大小嗎？試一試，并把你的想法和同學交流。師生活動：學生獨立畫圖，教師利用幾何畫板展示圖象，由學生解答。設計意圖：嘗試利用正弦函數、余弦函數的單調性解決比大小問題，通過類比之前的利用函數單調性比大小方法，完成本例題解答，并積累三角函數值比大小經驗。例5求函數，單調遞增區(qū)間。追問：你能轉化為利用正弦函數的單調性求解嗎？可以類比前面的哪個例題獲得思路？師生活動：學生可以想到利用例，例3的想法進行轉化。令，，當自變量x的值增大時，z的值也隨之增大，因此若函數在某個區(qū)間上單調遞增，則函數在相應的區(qū)間上也一定單調遞增.解法參考：令，，則，因為，的單調遞增區(qū)間是，且由，得，所以，函數，的單調遞增區(qū)間是.變式：求函數，的遞增區(qū)間．追問：變式與例5有什么不同？這種不同對求函數單調區(qū)間有什么影響？你能想到什么方法破解？師生活動：學生會有困難，仿照例5進行解答，教師對有困難學生指導，其他同學自己完成。學生可能會有不同思路，讓不同思路學生展示。最后教師歸納，引導學生注意可能出錯的地方。解法參考：令，，則，因為，的單調遞減區(qū)間是或，且由或，得或，所以，函數，的單調遞增區(qū)間是，.設計意圖：類比例2，例3求解，進一步熟練換元轉化思想方法。問題2：通過學習正弦函數、余弦函數的圖象與性質，你獲得了哪些解題思想方法和解題經驗？解題過程中有哪些需要注意的問題？師生活動：解題過程中用到的主要思想方法有定義法、換元法、類比轉化、數形結合等。求解周期和單調區(qū)間時，主要系數的作用，特別是求單調區(qū)間是，自變量系數為負時的情況。（五）目標檢測設計1課前預習1.1求下列函數的周期：（1）；（2）；參考解法：（1）令，而，即．．∴T=2π．（2）令，則，，∴T=4π1.2求使下列函數取得最大值、最小值的自變量的集合，并求出最大值與最小值。（1），；（2），參考解法：（1）當即時,函數取得最大值2;當時,函數取得最小值-2；（2）當即即時,函數取得最大值3；當，即即當時，函數取得最小值1.設計意圖：檢驗預習效果，了解本節(jié)課的內容。2課堂檢測不通過求值