高中數(shù)學(xué)北師大版第一章三角函數(shù)6余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

課時(shí)提升作業(yè)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2023·陜西高考)函數(shù)f(x)=cos2x+π4的最小正周期是(A.π2 B.π π 【解題指南】直接利用正弦函數(shù)的周期公式T=2π|ω|,求出它的最小正周期即可【解析】選B.由T=2π|ω|=2π2=π,故B2.(2023·濟(jì)南高一檢測(cè))函數(shù)y=sinx+20152π是A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【解析】選B.因?yàn)閥=sinx+=sinx+3π2=-sinx+π所以函數(shù)是偶函數(shù).3.(2023·天津高一檢測(cè))y=cosx,x∈-π2,πA.[0,1] B.[-1,1]C.0,32 【解析】選A.由圖像可知,當(dāng)x=0時(shí),y=cosx取最大值1,當(dāng)x=-π2時(shí),y=cosx取最小值【變式訓(xùn)練】函數(shù)y=2cosx+1取最小值時(shí),自變量x的取值集合是.【解析】當(dāng)cosx=-1時(shí),2cosx+1取最小值-1,此時(shí)自變量x的取值集合為{x|x=2kπ+π,k∈Z}.答案:{x|x=2kπ+π,k∈Z}4.(2023·包頭高一檢測(cè))函數(shù)y=sin2x+5π2的(A.最小正周期是2π B.圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C.圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)【解析】選B.因?yàn)閥=sin2x+5π2=sin2x+π2=cos2x,所以函數(shù)是偶函數(shù),5.(2023·銀川高一檢測(cè))sinx>cosx在區(qū)間[0,2π]上x(chóng)的取值范圍為()A.0,π2 C.5π4,2π 【解題指南】在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出正、余弦函數(shù)的圖像,再求解.【解析】選D.在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx與y=cosx的圖像如圖所示.由圖知滿足條件的區(qū)間為π46.(2023·西安高一檢測(cè))函數(shù)y=2cosx(0≤x≤2π)的圖像和直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形,則這個(gè)封閉圖形的面積是() π π【解析】選D.如圖:由余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得,y=2cosx的圖像在[0,2π]上與直線y=2圍成封閉圖形的面積和直線x=2π,y=2,x軸、y軸圍成的矩形的面積相等,為S=4π,故選D.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2023·深圳高一檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)=cosωx(ω>0),將y=f(x)的圖像向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的圖像與原圖像重合,則ω的最小值等于【解析】由題意可知,nT=π3(n∈N*所以n·2πω=π3(n∈N所以ω=6n(n∈N*),所以當(dāng)n=1時(shí),ω取得最小值6.答案:68.(2023·威海高一檢測(cè))函數(shù)y=lg(3-2cosx)的定義域?yàn)?【解析】由3-2cosx>0得cosx<32,由余弦函數(shù)的圖像可知,π6+2kπ<x<11π6答案:x9.(2023·南昌高一檢測(cè))已知0≤θ≤π3,且cosθ=a+1,則a的取值范圍為【解題指南】先求出cosθ的范圍,進(jìn)而求a的范圍.【解析】0≤θ≤π3,所以cosθ∈1所以a+1∈12,1,所以a∈答案:-三、解答題(每小題10分,共20分)10.畫(huà)出函數(shù)y=-3cosx+2的簡(jiǎn)圖,根據(jù)圖像討論函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性.【解析】按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表、描點(diǎn),畫(huà)出圖像如下x0ππ3π2πy=cosx10-101y=-3cosx+2-1252-1函數(shù)y=-3cosx+2的性質(zhì)見(jiàn)下表函數(shù)性質(zhì)y=-3cosx+2定義域R值域[-1,5]奇偶性偶函數(shù)周期性周期函數(shù),最小正周期為2π單調(diào)性在每一個(gè)區(qū)間[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是增加的;在每一個(gè)區(qū)間[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是減少的11.是否存在實(shí)數(shù)λ,使函數(shù)f(x)=2cos2x-4λcosx-10≤x≤π2的最小值是-32?若存在,求出所有的λ和對(duì)應(yīng)的x值,若不存在【解析】假設(shè)存在λ滿足題意,則f(x)=2(cosx-λ)2-2λ2-1,因?yàn)?≤x≤π2,所以由f(x)的最小值為-32,(1)0≤λ≤1,-2λ2-1=-(3)λ>1,由(1)解得λ=12,此時(shí)cosx=12,x=(2)無(wú)解.(3)無(wú)解.綜上所述,存在實(shí)數(shù)λ,當(dāng)λ=12,x=π3時(shí),f(x)的最小值是-一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2023·吉安高一檢測(cè))如果y=cosx是增加的且y=sinx是減少的,那么x的終邊在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選=cosx在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是減少的,在[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)上是增加的,即在第一、二象限為減少的,第三、四象限為增加的;y=sinx在-π2+2kπ,π2+2kπ(k∈Z)上為增加的,在π2+2kπ,3π綜上,x的終邊應(yīng)落在第三象限.【變式訓(xùn)練】函數(shù)y=cos2x在下列哪個(gè)區(qū)間上是減少的()A.-π4,π4C.0,π2 【解析】選C.由2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),得kπ≤x≤kπ+π2(k∈Z),令k=0,可得0≤x≤π2,即在0,π2上函數(shù)2.(2023·濰坊高一檢測(cè))函數(shù)y=cos2x+3π2的(A.最小正周期為2π B.圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C.圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)【解析】選=cos2x+3π2=sin2x,所以函數(shù)y=cos2x+3π2為奇函數(shù)3.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(π+x)=f(π-x),若x∈[0,π]時(shí)解析式為f(x)=cosx,則f(x)>0的解集是()A.2kπ-32π,2kπ+B.2kπ-π2,2kπ+C.2kπ,2kπ+π(k∈Z)D.2kπ,2kπ+π2(k【解析】選B.由題意得f(x)的周期為2π,且為偶函數(shù),因?yàn)閤∈[0,π]時(shí)f(x)=cosx,所以x∈R時(shí),f(x)=cosx,由余弦函數(shù)的圖像知B正確.4.(2023·青島高一檢測(cè))若函數(shù)y=sin(π+x),y=cos(2π-x)都是單調(diào)遞減的,則x的集合是()A.xB.xC.xD.x【解析】選A.因?yàn)閥=sin(π+x)=-sinx,其單調(diào)減區(qū)間為2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z),y=cos(2π-x)=cosx,其單調(diào)減區(qū)間是[2kπ,2kπ+π](k∈Z),所以函數(shù)y=sin(π+x)與函數(shù)y=cos(2π-x)二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2023·沈陽(yáng)高一檢測(cè))若函數(shù)f(x)=2cosωx+π3的最小正周期為T(mén),且T∈(1,3),則正整數(shù)ω的最大值為【解析】由T∈(1,3)知,1<2πω<3,所以2π3<ω<2π,所以正整數(shù)ω答案:66.(2023·江蘇高考)已知函數(shù)y=cosx與y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它們的圖像有一個(gè)橫坐標(biāo)為π3的交點(diǎn),則φ的值是【解題指南】關(guān)鍵利用條件“圖像有一個(gè)橫坐標(biāo)為π3的交點(diǎn)”即得sin2π3+φ【解析】由題意得sin2π3+φ=cosπ3又0≤φ<π,得2π3+φ=5π6,得φ=答案:π三、解答題(每小題12分,共24分)(x)是定義在[-2π,2π]上的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,π]時(shí),y=f(x)=cosx;當(dāng)x∈(π,2π]時(shí),f(x)的圖像是斜率為2π,在y軸上截距為-2的直線在相應(yīng)區(qū)間上的部分(1)求f(-2π),f-π3(2)求f(x)的解析式,并作出圖像,寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)當(dāng)x∈(π,2π]時(shí),y=f(x)=2π又f(x)是偶函數(shù),所以f(-2π)=f(2π)=2.又x∈[0,π]時(shí),y=f(x)=cosx,所以f-π3=fπ3(2)y=f(x)=-圖像如圖所示:單調(diào)增區(qū)間為[-π,0],(π,2π],單調(diào)減區(qū)間為[-2π,-π),[0,π].8.如圖,函數(shù)y=2cos(ωx+θ)x∈R,ω>0,0≤θ≤π2的圖像與y軸相交于點(diǎn)(0,3),且該函數(shù)的最小正周期為(1)求θ和ω的值.(2)已知點(diǎn)Aπ2,0,點(diǎn)P是該函數(shù)圖像上一點(diǎn),點(diǎn)Q(x0,y0)是PA的中點(diǎn),當(dāng)y0=32,x0∈π2,π時(shí),【解析】(1)將x=0,y=3代入函數(shù)y=