高中數學北師大版第一章三角函數6余弦函數的圖像與性質

課時提升作業(yè)余弦函數的圖像與性質一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2023·陜西高考)函數f(x)=cos2x+π4的最小正周期是(A.π2 B.π π 【解題指南】直接利用正弦函數的周期公式T=2π|ω|,求出它的最小正周期即可【解析】選B.由T=2π|ω|=2π2=π,故B2.(2023·濟南高一檢測)函數y=sinx+20152π是A.奇函數 B.偶函數C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數【解析】選B.因為y=sinx+=sinx+3π2=-sinx+π所以函數是偶函數.3.(2023·天津高一檢測)y=cosx,x∈-π2,πA.[0,1] B.[-1,1]C.0,32 【解析】選A.由圖像可知,當x=0時,y=cosx取最大值1,當x=-π2時,y=cosx取最小值【變式訓練】函數y=2cosx+1取最小值時,自變量x的取值集合是.【解析】當cosx=-1時,2cosx+1取最小值-1,此時自變量x的取值集合為{x|x=2kπ+π,k∈Z}.答案:{x|x=2kπ+π,k∈Z}4.(2023·包頭高一檢測)函數y=sin2x+5π2的(A.最小正周期是2π B.圖像關于y軸對稱C.圖像關于原點對稱 D.圖像關于x軸對稱【解析】選B.因為y=sin2x+5π2=sin2x+π2=cos2x,所以函數是偶函數,5.(2023·銀川高一檢測)sinx>cosx在區(qū)間[0,2π]上x的取值范圍為()A.0,π2 C.5π4,2π 【解題指南】在同一坐標系中畫出正、余弦函數的圖像,再求解.【解析】選D.在同一坐標系中作出y=sinx與y=cosx的圖像如圖所示.由圖知滿足條件的區(qū)間為π46.(2023·西安高一檢測)函數y=2cosx(0≤x≤2π)的圖像和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形,則這個封閉圖形的面積是() π π【解析】選D.如圖:由余弦函數的對稱性可得,y=2cosx的圖像在[0,2π]上與直線y=2圍成封閉圖形的面積和直線x=2π,y=2,x軸、y軸圍成的矩形的面積相等,為S=4π,故選D.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2023·深圳高一檢測)設函數f(x)=cosωx(ω>0),將y=f(x)的圖像向右平移π3個單位長度后,所得的圖像與原圖像重合,則ω的最小值等于【解析】由題意可知,nT=π3(n∈N*所以n·2πω=π3(n∈N所以ω=6n(n∈N*),所以當n=1時,ω取得最小值6.答案:68.(2023·威海高一檢測)函數y=lg(3-2cosx)的定義域為.【解析】由3-2cosx>0得cosx<32,由余弦函數的圖像可知,π6+2kπ<x<11π6答案:x9.(2023·南昌高一檢測)已知0≤θ≤π3,且cosθ=a+1,則a的取值范圍為【解題指南】先求出cosθ的范圍,進而求a的范圍.【解析】0≤θ≤π3,所以cosθ∈1所以a+1∈12,1,所以a∈答案:-三、解答題(每小題10分,共20分)10.畫出函數y=-3cosx+2的簡圖,根據圖像討論函數的定義域、值域、奇偶性、周期性、單調性.【解析】按五個關鍵點列表、描點,畫出圖像如下x0ππ3π2πy=cosx10-101y=-3cosx+2-1252-1函數y=-3cosx+2的性質見下表函數性質y=-3cosx+2定義域R值域[-1,5]奇偶性偶函數周期性周期函數,最小正周期為2π單調性在每一個區(qū)間[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是增加的;在每一個區(qū)間[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是減少的11.是否存在實數λ,使函數f(x)=2cos2x-4λcosx-10≤x≤π2的最小值是-32?若存在,求出所有的λ和對應的x值,若不存在【解析】假設存在λ滿足題意,則f(x)=2(cosx-λ)2-2λ2-1,因為0≤x≤π2,所以由f(x)的最小值為-32,(1)0≤λ≤1,-2λ2-1=-(3)λ>1,由(1)解得λ=12,此時cosx=12,x=(2)無解.(3)無解.綜上所述,存在實數λ,當λ=12,x=π3時,f(x)的最小值是-一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2023·吉安高一檢測)如果y=cosx是增加的且y=sinx是減少的,那么x的終邊在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選=cosx在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是減少的,在[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)上是增加的,即在第一、二象限為減少的,第三、四象限為增加的;y=sinx在-π2+2kπ,π2+2kπ(k∈Z)上為增加的,在π2+2kπ,3π綜上,x的終邊應落在第三象限.【變式訓練】函數y=cos2x在下列哪個區(qū)間上是減少的()A.-π4,π4C.0,π2 【解析】選C.由2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),得kπ≤x≤kπ+π2(k∈Z),令k=0,可得0≤x≤π2,即在0,π2上函數2.(2023·濰坊高一檢測)函數y=cos2x+3π2的(A.最小正周期為2π B.圖像關于y軸對稱C.圖像關于原點對稱 D.圖像關于x軸對稱【解析】選=cos2x+3π2=sin2x,所以函數y=cos2x+3π2為奇函數3.定義在R上的偶函數f(x)滿足f(π+x)=f(π-x),若x∈[0,π]時解析式為f(x)=cosx,則f(x)>0的解集是()A.2kπ-32π,2kπ+B.2kπ-π2,2kπ+C.2kπ,2kπ+π(k∈Z)D.2kπ,2kπ+π2(k【解析】選B.由題意得f(x)的周期為2π,且為偶函數,因為x∈[0,π]時f(x)=cosx,所以x∈R時,f(x)=cosx,由余弦函數的圖像知B正確.4.(2023·青島高一檢測)若函數y=sin(π+x),y=cos(2π-x)都是單調遞減的,則x的集合是()A.xB.xC.xD.x【解析】選A.因為y=sin(π+x)=-sinx,其單調減區(qū)間為2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z),y=cos(2π-x)=cosx,其單調減區(qū)間是[2kπ,2kπ+π](k∈Z),所以函數y=sin(π+x)與函數y=cos(2π-x)二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2023·沈陽高一檢測)若函數f(x)=2cosωx+π3的最小正周期為T,且T∈(1,3),則正整數ω的最大值為【解析】由T∈(1,3)知,1<2πω<3,所以2π3<ω<2π,所以正整數ω答案:66.(2023·江蘇高考)已知函數y=cosx與y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它們的圖像有一個橫坐標為π3的交點,則φ的值是【解題指南】關鍵利用條件“圖像有一個橫坐標為π3的交點”即得sin2π3+φ【解析】由題意得sin2π3+φ=cosπ3又0≤φ<π,得2π3+φ=5π6,得φ=答案:π三、解答題(每小題12分,共24分)(x)是定義在[-2π,2π]上的偶函數,當x∈[0,π]時,y=f(x)=cosx;當x∈(π,2π]時,f(x)的圖像是斜率為2π,在y軸上截距為-2的直線在相應區(qū)間上的部分(1)求f(-2π),f-π3(2)求f(x)的解析式,并作出圖像,寫出其單調區(qū)間.【解析】(1)當x∈(π,2π]時,y=f(x)=2π又f(x)是偶函數,所以f(-2π)=f(2π)=2.又x∈[0,π]時,y=f(x)=cosx,所以f-π3=fπ3(2)y=f(x)=-圖像如圖所示:單調增區(qū)間為[-π,0],(π,2π],單調減區(qū)間為[-2π,-π),[0,π].8.如圖,函數y=2cos(ωx+θ)x∈R,ω>0,0≤θ≤π2的圖像與y軸相交于點(0,3),且該函數的最小正周期為(1)求θ和ω的值.(2)已知點Aπ2,0,點P是該函數圖像上一點,點Q(x0,y0)是PA的中點,當y0=32,x0∈π2,π時,【解析】(1)將x=0,y=3代入函數y=