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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則下列判斷錯(cuò)誤的是()A.的最小正周期為 B.的值域?yàn)镃.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱2.已知為拋物線的準(zhǔn)線,拋物線上的點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.3.某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,利用列聯(lián)表,由計(jì)算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”4.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.5.已知,,則()A. B. C.3 D.46.已知拋物線:,直線與分別相交于點(diǎn),與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),若,則()A.3 B. C. D.7.已知函數(shù)(表示不超過(guò)x的最大整數(shù)),若有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.8.的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為()A. B. C. D.9.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部相等,則的值為()A. B. C. D.11.已知集合則()A. B. C. D.12.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_____,常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.14.已知函數(shù),,若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x3(x1<x2<x3),則的取值范圍是_________.15.(5分)某膳食營(yíng)養(yǎng)科研機(jī)構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素(這些元素可以延緩衰老,還能起到抗癌的效果)對(duì)人體的作用,現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn),則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.16.若函數(shù)與函數(shù),在公共點(diǎn)處有共同的切線,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)己知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè)(1)求的值;(2)若,且,求的值.18.(12分)管道清潔棒是通過(guò)在管道內(nèi)釋放清潔劑來(lái)清潔管道內(nèi)壁的工具,現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個(gè)如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁,其縱截面如圖2所示,一根長(zhǎng)度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置(圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小,).(1)請(qǐng)用角表示清潔棒的長(zhǎng);(2)若想讓清潔棒通過(guò)該彎頭,清潔下一段圓管,求能通過(guò)該彎頭的清潔棒的最大長(zhǎng)度.19.(12分)為了拓展城市的旅游業(yè),實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流,政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路,中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口,記為,現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹(shù)或者木棉樹(shù),且種植每種樹(shù)木的概率均為.(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見(jiàn),看看哪一種植物更受歡迎,得到的數(shù)據(jù)如下所示:A市居民B市居民喜歡楊樹(shù)300200喜歡木棉樹(shù)250250是否有的把握認(rèn)為喜歡樹(shù)木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性;(2)若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口,恰有個(gè)路口種植楊樹(shù),求的分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)在所有的路口種植完成后,選取3個(gè)種植同一種樹(shù)的路口,記總的選取方法數(shù)為,求證:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別為,若,,,且.(1)求角的值;(2)求的最大值.21.(12分)已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),橢圓的離心率為是橢圓上兩點(diǎn),點(diǎn)滿足.(1)求的方程;(2)若點(diǎn)在圓上,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),求的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù)f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=f(x)1,若函數(shù)g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
先將函數(shù)化為,再由三角函數(shù)的性質(zhì),逐項(xiàng)判斷,即可得出結(jié)果.【詳解】可得對(duì)于A,的最小正周期為,故A正確;對(duì)于B,由,可得,故B正確;對(duì)于C,正弦函數(shù)對(duì)稱軸可得:解得:,當(dāng),,故C正確;對(duì)于D,正弦函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為:解得:若圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則解得:,故D錯(cuò)誤;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換,三角函數(shù)的性質(zhì),熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì),考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,由題意利用拋物線的定義可得,當(dāng)共線時(shí),取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點(diǎn),準(zhǔn)線,過(guò)作交于點(diǎn),連接由拋物線定義,
,
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取“=”號(hào),∴的最小值為.
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.3、B【解析】
通過(guò)與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較,可以得出正確的選項(xiàng).【詳解】解:,可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問(wèn)題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí),又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問(wèn)題,實(shí)有其合理之處.解決此類問(wèn)題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過(guò)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問(wèn)題往往有很好效果.5、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征,求出和,再利用復(fù)數(shù)的模公式,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,解得則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)如圖,過(guò)A,M作準(zhǔn)線的垂直,垂足分別為C,D,過(guò)M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點(diǎn),所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率,常見(jiàn)于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.7、A【解析】
根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象,利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn),利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,若有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則等價(jià)為有且僅有3個(gè)根,即與有三個(gè)不同的交點(diǎn),作出函數(shù)和的圖象如圖,當(dāng)a=1時(shí),與有無(wú)數(shù)多個(gè)交點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),即,時(shí),與有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),即時(shí),與有三個(gè)交點(diǎn),要使與有三個(gè)不同的交點(diǎn),則直線處在過(guò)和之間,即,故選:A.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.8、B【解析】
根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù),然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.【詳解】由題意展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開(kāi)式中某項(xiàng)系數(shù).同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式.9、D【解析】
利用直線與圓相交求出實(shí)數(shù)的取值范圍,然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交,則,解得.因此,所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的計(jì)算,同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法,以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】,又的實(shí)部與虛部相等,,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.11、B【解析】
解對(duì)數(shù)不等式可得集合A,由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運(yùn)算可得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,對(duì)數(shù)不等式解法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3-260【解析】
(1)令求得所有項(xiàng)的系數(shù)和;(2)先求出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)與含的系數(shù),再求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】將代入,得所有項(xiàng)的系數(shù)和為3.因?yàn)榈恼归_(kāi)式中含的項(xiàng)為,的展開(kāi)式中含常數(shù)項(xiàng),所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:3;-260【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特殊項(xiàng)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
先根據(jù)題意,求出的解得或,然后求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),求其單調(diào)性以及最值,在根據(jù)題意求出函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x3(x1<x2<x3),分情況討論求出的取值范圍.【詳解】解:令t=f(x),函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn),即+m=0有兩個(gè)不同的解,解之得即或因?yàn)榈膶?dǎo)函數(shù),令,解得x>e,,解得0<x<e,可得f(x)在(0,e)遞增,在遞減;f(x)的最大值為,且且f(1)=0;要使函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn),(1)有兩個(gè)不同的解,此時(shí)有一個(gè)解;(2)有兩個(gè)不同的解,此時(shí)有一個(gè)解當(dāng)有兩個(gè)不同的解,此時(shí)有一個(gè)解,此時(shí),不符合題意;或是不符合題意;所以只能是解得,此時(shí)=-m,此時(shí)有兩個(gè)不同的解,此時(shí)有一個(gè)解此時(shí),不符合題意;或是不符合題意;所以只能是解得,此時(shí)=,綜上:的取值范圍是故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合,考查到了函數(shù)的零點(diǎn),導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用,以及數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想,屬于綜合性極強(qiáng)的題目,屬于難題.15、【解析】
記只雌蛙分別為,只雄蛙分別為,從中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn),其基本事件為,共15個(gè),選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為,共9個(gè),故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.16、【解析】
函數(shù)的定義域?yàn)?,求出?dǎo)函數(shù),利用曲線與曲線公共點(diǎn)為由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,解得,,聯(lián)立解得的值.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,,,設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為,由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,∴,解得,.由,可得.聯(lián)立,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,切線方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關(guān)系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因?yàn)?,則,因?yàn)?,故,故,解得,故,則.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)過(guò)作的垂線,垂足為,易得,進(jìn)一步可得;(2)利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】(1)如圖,過(guò)作的垂線,垂足為,在直角中,,,所以,同理,.(2)設(shè),則,令,則,即.設(shè),且,則當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得極小值,所以.因?yàn)?,所以,又,所以,又,所以,所以,所以,所以能通過(guò)此鋼管的鐵棒最大長(zhǎng)度為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.19、(1)沒(méi)有(2)分布列見(jiàn)解析,(3)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)公式計(jì)算卡方值,再對(duì)應(yīng)卡值表判斷..(2)根據(jù)題意,隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,分別求得概率,寫(xiě)出分布列,根據(jù)期望公式求值.(3)因?yàn)橹辽?個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口,所以,即.要證,即證,根據(jù)組合數(shù)公式,即證;易知有.成立.設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹(shù),下面分類討論①當(dāng)時(shí),由論證.②當(dāng)時(shí),由論證.③當(dāng)時(shí),,設(shè),再論證當(dāng)時(shí),取得最小值即可.【詳解】(1)本次實(shí)驗(yàn)中,,故沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為喜歡樹(shù)木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性.(2)依題意,的可能取值為0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要證,即證;首先證明:對(duì)任意,有.證明:因?yàn)?,所?設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹(shù),①當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,于?②當(dāng)時(shí),,同上可得③當(dāng)時(shí),,設(shè),當(dāng)時(shí),,顯然,當(dāng)即時(shí),,當(dāng)即時(shí),,即;,因此,即.綜上,,即.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望、排列組合,還考查運(yùn)算求解能力以及必然與或然思想,屬于難題.20、(1);(2).【解析】
(1)由正弦定理可得,再用余弦定理即可得到角C;(2),再利用求正弦型函數(shù)值域的方法即可得到答案.【詳解】(1)因?yàn)椋?在中,由正弦定理得,所以,即.在中,由余弦定理得,又因?yàn)?,所?(2)由(1)得,在中,,所以.因?yàn)?,所以,所以?dāng),即時(shí),有最大值1,所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形,涉及到兩角差的正弦公式、輔助角公式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,是一道容易題.21、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得的值,進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出直線的方程為,由題意可知為中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程,由韋達(dá)定理表示出,由判別式可得;由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義,化簡(jiǎn)可得,代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn);由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓的方程,化簡(jiǎn)可得,代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn),由換元法令,代入
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