高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù)單元測(cè)試（區(qū)一等獎(jiǎng)）

《三角函數(shù)》復(fù)習(xí)【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】任意角的概念任意角的概念弧長(zhǎng)公式角度制與弧度制同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式誘導(dǎo)公式計(jì)算與化簡(jiǎn)證明恒等式任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)已知三角函數(shù)值求角圖像和性質(zhì)和角公式倍角公式差角公式應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用學(xué)法：1．注重化歸思想的運(yùn)用．如將任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題化歸為銳角的三角函數(shù)的問(wèn)題，將不同名的三角函數(shù)問(wèn)題化成同名的三角函數(shù)的問(wèn)題，將不同角的三角函數(shù)問(wèn)題化成同角的三角函數(shù)問(wèn)題等2．注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．如討論函數(shù)性質(zhì)等問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合函數(shù)圖象思考，便易找出解題思路和問(wèn)題答案．第1課三角函數(shù)的概念理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算；掌握終邊相同角的表示方法；掌握任意角的正弦、余弦、正切的意義；掌握三角函數(shù)的符號(hào)法則。知識(shí)典例：1．角α的終邊在第一、三象限的角平分線上，角α的集合可寫成．2．已知角α的余弦線是單位長(zhǎng)度的有向線段，那么角α的終邊()A．在x軸上B．在y軸上C．在直線y=x上D．在直線y=－x上3．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)p(－5，12)，則cosα，tanα=．4．eq\f(tan(－3)cot5,cos8)的符號(hào)為．5．若cosθtanθ＞0，則θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一、二象限角D．第二、三象限角【講練平臺(tái)】例1、已知角的終邊上一點(diǎn)P（－eq\r(3)，m），且sinθ=eq\f(eq\r(2),4)m，求cosθ與tanθ的值．分析：已知角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值，應(yīng)聯(lián)想到運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題，由P的坐標(biāo)可知，需求出m的值，從而應(yīng)尋求m的方程．解：由題意知r=eq\r(3＋m2)，則sinθ=eq\f(m,r)=eq\f(m,eq\r(3＋m2))．又∵sinθ=eq\f(eq\r(2),4)m，∴eq\f(m,eq\r(3＋m2))=eq\f(eq\r(2),4)m．∴m=0，m=±eq\r(5)．當(dāng)m=0時(shí)，cosθ=－1，tanθ=0；當(dāng)m=eq\r(5)時(shí)，cosθ=－eq\f(eq\r(6),4)，tanθ=－eq\f(eq\r(15),3)；當(dāng)m=－eq\r(5)時(shí)，cosθ=－eq\f(eq\r(6),4)，tanθ=eq\f(eq\r(15),3)．點(diǎn)評(píng)：已知一個(gè)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求其三角函數(shù)值，往往運(yùn)用定義法(三角函數(shù)的定義)解決．例2、已知集合E=｛θ｜c(diǎn)osθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F(xiàn)=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．分析：對(duì)于三角不等式，可運(yùn)用三角函數(shù)線解之．解：E=｛θ｜eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(5π,4)}，F(xiàn)=｛θ｜eq\f(π,2)＜θ＜π，或eq\f(3π,2)＜θ＜2π}，∴E∩F=｛θ｜eq\f(π,2)＜θ＜π}．例3、設(shè)θ是第二象限角，且滿足｜sineq\f(θ,2)|=－sineq\f(θ,2)，eq\f(θ,2)是哪個(gè)象限的角?解：∵θ是第二象限角，∴2kπ+eq\f(π,2)＜θ＜2kπ+eq\f(3π,2)，k∈Z．∴kπ+eq\f(π,4)＜eq\f(θ,2)＜kπ+eq\f(3π,4)，k∈Z．∴eq\f(θ,2)是第一象限或第三象限角．①又∵｜sineq\f(θ,2)|=－sineq\f(θ,2)，∴sineq\f(θ,2)＜0.∴eq\f(θ,2)是第三、第四象限的角．②由①、②知，eq\f(θ,2)是第三象限角．點(diǎn)評(píng)：已知θ所在的象限，求eq\f(θ,2)或2θ等所在的象限，要運(yùn)用終邊相同的角的表示法來(lái)表示，否則易出錯(cuò)．【知能集成】注意運(yùn)用終邊相同的角的表示方法表示有關(guān)象限角等；已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角函數(shù)值往往運(yùn)用定義法；注意運(yùn)用三角函數(shù)線解決有關(guān)三角不等式．【訓(xùn)練反饋】1．已知α是鈍角，那么eq\f(α,2)是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一與第二象限角D．不小于直角的正角2．角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（－4k，3k）(k＜0}，則cosα的值是（）A．eq\f(eq\r(3),5)B．eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5)D．－eq\f(4,5)3．已知點(diǎn)P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，則在［0，2π］內(nèi)，α的取值范圍是()A．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4))∪(π，eq\f(5π,4))B．(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))∪(π，eq\f(5π,4))C．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4))∪(eq\f(5π,4)，eq\f(3π,2))D．(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))∪(eq\f(3π,4)，π)4．若sinx=－eq\f(3,5)，cosx=eq\f(4,5)，則角2x的終邊位置在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α與－eq\f(2π,3)終邊相同，則α=．6．角α終邊在第三象限，則角2α終邊在象限．7．已知｜tanx｜=－tanx，則角x的集合為8．如果θ是第三象限角，則cos(sinθ)·sin(sinθ)的符號(hào)為什么？9．已知扇形AOB的周長(zhǎng)是6cm，該扇形中心角是1弧度，求該扇形面積．第2課同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α+cos2α=1，eq\f(sinα,cosα)=tanα，tanαcotα=1；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；能運(yùn)用化歸思想（即將含有較多三角函數(shù)名稱問(wèn)題化成含有較少三角函數(shù)名稱問(wèn)題）解題．【知識(shí)在線】1．sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(11,4)D．eq\f(9,4)2．已知sin(π+α)=－eq\f(3,5)，則()A．cosα=eq\f(4,5)B．tanα=eq\f(3,4)C．cosα=－eq\f(4,5)D．sin(π－α)=eq\f(3,5)3．已tanα=3，eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)的值為．4．化簡(jiǎn)eq\r(1+2sin(π-2)cos(π+2))=．5．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=eq\f(5,9)，那么sin2θ等于()A．eq\f(2eq\r(2),3)B．－eq\f(2eq\r(2),3)C．eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)【講練平臺(tái)】例1、化簡(jiǎn)eq\f(sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π),cos(π-α)tan(3π-α))．分析：式中含有較多角和較多三角函數(shù)名稱，若能減少它們的個(gè)數(shù)，則式子可望簡(jiǎn)化．解原式=eq\f(（-sinα）tanα［-cot(α+π)］,(-cosα)tan(π-α))=eq\f((-sinα)tanα(-cotα),(-cosα)(-tanα))=eq\f(sinα·eq\f(cosα,sinα),cosα)=1．點(diǎn)評(píng)將不同角化同角，不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)是三角變換中常用的方法．例2、若sinθcosθ=eq\f(1,8)，θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，求cosθ－sinθ的值．分析：已知式為sinθ、cosθ的二次式，欲求式為sinθ、cosθ的一次式，為了運(yùn)用條件，須將cosθ－sinθ進(jìn)行平方．解：(cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－eq\f(1,4)=eq\f(3,4)．∵θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴cosθ＜sinθ．∴cosθ－sinθ=－eq\f(eq\r(3),2)．變式1：條件同例，求cosθ+sinθ的值．變式2：已知cosθ－sinθ=－eq\f(eq\r(3),2)，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．點(diǎn)評(píng)：sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者關(guān)系緊密，由其中之一，可求其余之二．例3、已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．分析：因?yàn)閏os2θ+sinθcosθ是關(guān)于sinθ、cosθ的二次齊次式，所以可轉(zhuǎn)化成tanθ的式子．解：原式=cos2θ+sinθcosθ=eq\f(cos2θ+sinθcosθ,cos2θ+sin2θ)=eq\f(1+tanθ,1+tan2θ)=eq\f(2,5)．點(diǎn)評(píng)：1．關(guān)于cosθ、sinθ的齊次式可轉(zhuǎn)化成tanθ的式子．2．注意1的作用:1=sin2θ+cos2θ等．【知能集成】1．在三角式的化簡(jiǎn)，求值等三角恒等變換中，要注意將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)．2．注意1的作用：如1=sin2θ+cos2θ．3．要注意觀察式子特征，關(guān)于sinθ、cosθ的齊次式可轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanθ的式子．4．運(yùn)用誘導(dǎo)公式，可將任意角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成銳角的問(wèn)題．【訓(xùn)練反饋】1．sin600°的值是（）A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(eq\r(3),2)D．－eq\f(eq\r(3),2)2．sin(eq\f(π,4)+α)sin（eq\f(π,4)－α）的化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A．cos2αB．eq\f(1,2)cos2αC．sin2αD．eq\f(1,2)sin2α3．已知sinx+cosx=eq\f(1,5)，x∈［0，π］，則tanx的值是（）A．－eq\f(3,4)B．－eq\f(4,3)C．±eq\f(4,3)D．－eq\f(3,4)或－eq\f(4,3)4．已知tanα=－eq\f(1,3)，則eq\f(1,2sinαcosα+cos2α)=．5．eq\f(eq\r(1－2sin10°cos10°),cos10°－eq\r(1－cos2170°))的值為．6．證明eq\f(1+2sinαcosα,cos2α－sin2α)=eq\f(1+tanα,1－tanα)．7．已知eq\f(2sinθ+cosθ,sinθ－3cosθ)=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知銳角α、β、γ滿足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．第3課兩角和與兩角差的三角函數(shù)（一）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運(yùn)用化歸思想（將不同角化成同角等）解題．【知識(shí)在線】1．cos105°的值為（）A．eq\f(eq\r(6)＋eq\r(2),4)B．eq\f(eq\r(6)－eq\r(2),4)C．eq\f(eq\r(2)－eq\r(6),4)D．eq\f(－eq\r(6)－eq\r(2),4)2．對(duì)于任何α、β∈（0，eq\f(π,2)），sin(α+β)與sinα+sinβ的大小關(guān)系是（）A．sin(α+β)＞sinα+sinβB．sin(α+β)＜sinα+sinβC．sin(α+β)=sinα+sinβD．要以α、β的具體值而定3．已知π＜θ＜eq\f(3π,2)，sin2θ=a，則sinθ+cosθ等于（）A．eq\r(a+1)B．－eq\r(a+1)C．eq\r(a2+1)D．±eq\r(a2+1)4．已知tanα=eq\f(1,3)，tanβ=eq\f(1,3)，則cot(α+2β)=．5．已知tanx=eq\f(1,2)，則cos2x=．【講練平臺(tái)】例1、已知sinα－sinβ=－eq\f(1,3)，cosα－cosβ=eq\f(1,2)，求cos(α－β)的值．分析：由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右邊是關(guān)于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知條件是關(guān)于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以將已知式兩邊平方．解：∵sinα－sinβ=－eq\f(1,3)①；cosα－cosβ=eq\f(1,2)②①2＋②2，得2－2cos(α－β)=eq\f(13,36)；∴cos(α－β)=eq\f(72,59)．點(diǎn)評(píng)：審題中要善于尋找已知和欲求的差異，設(shè)法消除差異．例2、求eq\f(2cos10°-sin20°,cos20°)的值．分析：式中含有兩個(gè)角，故需先化簡(jiǎn)．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函數(shù)值已知，則可將兩個(gè)角化成一個(gè)角．解：∵10°=30°－20°，∴原式=eq\f(2cos(30°-20°)-sin20°,cos20°)=eq\f(2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°,cos20°)=eq\f(eq\r(3)cos30°,cos20°)=eq\r(3)．點(diǎn)評(píng)：化異角為同角，是三角變換中常用的方法．例3、已知：sin(α+β)=－2sinβ．求證：tanα=3tan(α+β)．分析：已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要設(shè)法將已知式中的角轉(zhuǎn)化成欲求式中的角．解：∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］．∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα．若cos(α+β)≠0，cosα≠0，則3tan(α+β)=tanα．點(diǎn)評(píng)：審題中要仔細(xì)分析角與角之間的關(guān)系，善于運(yùn)用整體思想解題，此題中將α+β看成一個(gè)整體【知能集成】審題中，要善于觀察已知式和欲求式的差異，注意角之間的關(guān)系；整體思想是三角變換中常用的思想．【訓(xùn)練反饋】1．已知0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π，sinα=eq\f(3,5)，cos(α+β)=－eq\f(4,5)，則sinβ等于（）A．0B．0或eq\f(24,25)C．eq\f(24,25)D．0或－eq\f(24,25)2．eq\f(sin7°+cos15°sin8°,cos7°－sin15°sin8°)的值等于（）A．2+eq\r(3)B．eq\f(2+eq\r(3),2)C．2－eq\r(3)D．eq\f(2－eq\r(3),2)3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為（）A．eq\f(π,6)B．eq\f(5π,6)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)4．若α是銳角，且sin(α－eq\f(π,6))=eq\f(1,3)，則cosα的值是．5．coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)=．6．已知tanθ=eq\f(1,2)，tanφ=eq\f(1,3)，且θ、φ都是銳角．求證：θ+φ=45°．7．已知cos(α－β)=－eq\f(4,5)，cos(α+β)=eq\f(4,5)，且（α－β）∈（eq\f(π,2)，π），α+β∈（eq\f(3π,2)，2π），求cos2α、cos2β的值．8．已知sin(α+β)=eq\f(1,2)，且sin(π+α－β)=eq\f(1,3)，求eq\f(tanα,tanβ)．第4課兩角和與兩角差的三角函數(shù)（二）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能靈活運(yùn)用和角、差角、倍角公式解題．【知識(shí)在線】求下列各式的值1．cos200°cos80°+cos110°cos10°=．2．eq\f(1,2)（cos15°+eq\r(3)sin15°）=．3．化簡(jiǎn)1+2cos2θ－cos2θ=．4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)=．5．eq\f(1,1－tanθ)－eq\f(1,1＋tanθ)=．【講練平臺(tái)】例1、求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+eq\r(3)tan10°tan50°；(2)eq\f(（eq\r(3)tan12°-3）csc12°,4cos212°-2)．(1)解：原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+eq\r(3)tan10°tan50°=eq\r(3)．分析：式中含有多個(gè)函數(shù)名稱，故需減少函數(shù)名稱的個(gè)數(shù)，進(jìn)行切割化弦．解：原式=eq\f(（eq\r(3)·eq\f(sin12°,cos12°)－3）eq\f(1,sin12°),2cos24°)===點(diǎn)評(píng)：（1）要注意公式的變形運(yùn)用和逆向運(yùn)用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=sin(x+φ)的運(yùn)用；（2）在三角變換中，切割化弦是常用的變換方法．例2、求證eq\f(1+sin4θ-cos4θ,2tanθ)=eq\f(1+sin4θ+cos4θ,1-tan2θ)．分析：三角恒等式的證明可從一邊開(kāi)始，證得它等于另一邊；也可以分別從兩邊開(kāi)始，證得都等于同一個(gè)式子；還可以先證得另一等式，從而推出需要證明的等式．由欲證的等式可知，可先證等式eq\f(1+sin4θ-cos4θ,1+sin4θ+cos4θ)=eq\f(2tanθ,1-tan2θ)，此式的右邊等于tan2θ，而此式的左邊出現(xiàn)了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分別運(yùn)用升冪公式可出現(xiàn)角2θ，sin4θ用倍角公式可出現(xiàn)角2θ，從而等式可望得證．點(diǎn)評(píng)：注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的變形公式：①升冪公式1+cos2α=2cos2α，1－cos2α=2sin2α，②降冪公式sin2α=eq\f(1-cos2α,2)，cos2α=eq\f(1＋cos2α,2)的運(yùn)用；三角恒等式證明的方法：從一邊推得另一邊；左右歸一，先證其等價(jià)等于等式；分析法等．例3、已知cos(eq\f(π,4)+x)=eq\f(3,5)，eq\f(17π,12)＜x＜eq\f(7π,4)，求eq\f(sin2x＋sin2xtanx,1-tanx)的值．解：原式=eq\f(sin2x（1＋tanx）,1-tanx)=sin2x×eq\f(taneq\f(π,4)＋tanx,1-taneq\f(π,4)tanx)=sin2xtan（eq\f(π,4)+x）=－cos［2(x+eq\f(π,4))］tan(x+eq\f(π,4))=－［2cos2(x+)－1］tan（eq\f(π,4)+x）∵eq\f(17π,12)＜x＜eq\f(7π,4)，∴eq\f(5π,3)＜x+eq\f(π,4)＜2π．∴sin(eq\f(π,4)+x)=－eq\f(4,5)，∴tan（eq\f(π,4)+x）=－eq\f(4,3)．∴原式=－eq\f(28,75)．點(diǎn)評(píng)：（1）注意兩角和公式的逆用；（2）注意特殊角與其三角函數(shù)值的關(guān)系，如1=taneq\f(π,4)等；（3）注意化同角，將所求式中的角x轉(zhuǎn)化成已知條件中的角x+eq\f(π,4)．【知能集成】在三角變換中，要注意三角公式的逆用和變形運(yùn)用，特別要注意如下公式：tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB］；asinx+bcosx=sin(x+φ)及升冪、降冪公式的運(yùn)用．【訓(xùn)練反饋】1．cos75°+cos15°的值等于（）A．eq\f(eq\r(6),2)B－eq\f(eq\r(6),2)C．－eq\f(eq\r(2),2)D．eq\f(eq\r(2),2)2．a(chǎn)=eq\f(eq\r(2),2)（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c=eq\f(eq\r(2),2)，則（）A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a(chǎn)＜b＜cD．b＜a＜c3．化簡(jiǎn)eq\f(1+sin2θ-cos2θ,1+sin2θ+cos2θ)=．4．化簡(jiǎn)sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)=．5．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則taneq\f(A,2)+taneq\f(C,2)+eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)的值為．6．化簡(jiǎn)sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．7化簡(jiǎn)sin50°(1+eq\r(3)tan10°)．8已知sin(α+β)=1，求證：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．第5課三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，能討論較復(fù)雜的三角函數(shù)的性質(zhì)．【知識(shí)在線】1．若eq\r(3)+2cosx＜0，則x的范圍是．2．下列各區(qū)間，使函數(shù)y=sin(x+π)的單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A．[eq\f(π,2)，π]B．［0，eq\f(π,4)］C．［－π，0］D．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]3．下列函數(shù)中，周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)是（）A．y=sin4xB．y=cos22x－sin22xC．y=tan2xD．y=cos2x4．判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）y=xsinx+x2cos2x是函數(shù)；（2）y=｜sin2x｜－xcotx是函數(shù)；（3）y=sin(eq\f(7π,2)+3x)是函數(shù)．5．函數(shù)f(x)=cos(3x+φ)是奇函數(shù)，則φ的值為．【講練平臺(tái)】例1：（1）函數(shù)y=的定義域?yàn)?2)若α、β為銳角，sinα＜cosβ，則α、β滿足（C）A．α＞βB．α＜βC．α+β＜eq\f(π,2)D．α+β＞eq\f(π,2)分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?*)的解集，由于y=tanx的最小正周期為π，y=sinx的最小正周期為2π，所以原函數(shù)的周期為2π，應(yīng)結(jié)合三角函數(shù)y=tanx和y=sinx的圖象先求出(－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))上滿足（*）的x的范圍，再據(jù)周期性易得所求定義域?yàn)閧x｜2kπ－eq\f(π,2)＜x＜2kπ+eq\f(π,6)，或2kπ+eq\f(5π,6)＜x＜2kπ+eq\f(5π,4)，k∈Z}．分析：（2）sinα、cosβ不同名，故將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)化成同名函數(shù)，cosβ轉(zhuǎn)化成sin(eq\f(π,2)－β)，運(yùn)用y=sinx在［0，eq\f(π,2)］的單調(diào)性，便知答案為C．點(diǎn)評(píng)：（1）討論周期函數(shù)的問(wèn)題，可先討論一個(gè)周期內(nèi)的情況，然后將其推廣；（2）解三角不等式，要注意三角函數(shù)圖象的運(yùn)用；（3）注意運(yùn)用三角函數(shù)的單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大?。?、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)y=；(2)y=分析：討論函數(shù)的奇偶性，需首先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后考f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．解、（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分子上為奇函數(shù)的差，又因?yàn)?+cosx=2cos2eq\f(x,2)，所以分母為偶函數(shù)，所以原函數(shù)是奇函數(shù)．（2）定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（如x=－eq\f(π,2)，但x≠eq\f(π,2)），故不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．點(diǎn)評(píng)：將函數(shù)式化簡(jiǎn)變形，有利于判斷函數(shù)的奇偶性．例3、求下列函數(shù)的最小正周期：（1）y=sin(2x－eq\f(π,6))sin(2x+eq\f(π,3))；(2)y=分析：對(duì)形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函數(shù)，易求出其周期，所以需將原函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)．解（1）y=sin(2x－eq\f(π,6))sin(2x+eq\f(π,2)－eq\f(π,6))=eq\f(1,2)sin(4x－eq\f(π,3))，所以最小正周期為eq\f(2π,4)=eq\f(π,2)．（2）y===∴是小正周期為eq\f(π,2)．點(diǎn)評(píng)：求復(fù)雜函數(shù)的周期，往往需先化簡(jiǎn)，其化簡(jiǎn)的目標(biāo)是轉(zhuǎn)化成y=Asin(ωx+φ)＋k或y=Acos(ωx+φ)＋k或y=Atan(ωx+φ)＋k的形式（其中A、ω、φ、k為常數(shù)，ω≠0）．例4、已知函數(shù)f(x)=5sinxcosx－5cos2x+(x∈R)．(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）求f(x)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心．分析：函數(shù)表達(dá)式較復(fù)雜，需先化簡(jiǎn)．解：f(x)=eq\f(5,2)sin2x－5×eq\f(1+cos2x,2)＋=5sin(2x－eq\f(π,3))．（1）由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ+eq\f(π,2)，得［kπ－eq\f(π,12)，kπ+eq\f(5π,12)］（k∈Z）為f(x)的單調(diào)增區(qū)間．（2）令2x－eq\f(π,3)=kπ+eq\f(π,2)，得x=eq\f(k,2)π+eq\f(5π,12)（k∈Z），則x=eq\f(k,2)π+eq\f(5π,12)（k∈Z）為函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱軸所在直線的方程，令2x－eq\f(π,3)=kπ，得x=eq\f(k,2)π+eq\f(π,6)（k∈Z），∴y=f(x)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)（eq\f(k,2)π+eq\f(π,6)，0）（k∈Z）．點(diǎn)評(píng)：研究三角函數(shù)的性質(zhì)，往往需先化簡(jiǎn)，以化成一個(gè)三角函數(shù)為目標(biāo)；討論y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)將ωx+φ看成一個(gè)整體，設(shè)為t，從而歸結(jié)為討論y=Asint的單調(diào)性．【知能集成】討論較復(fù)雜的三角函數(shù)的性質(zhì)，往往需要將原函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，其目標(biāo)為轉(zhuǎn)化成同一個(gè)角的同名三角函數(shù)問(wèn)題．討論三角函數(shù)的單調(diào)性，解三角不等式，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．注意函數(shù)性質(zhì)在解題中的運(yùn)用：若一個(gè)函數(shù)為周期函數(shù)，則討論其有關(guān)問(wèn)題，可先研究在一個(gè)周期內(nèi)的情形，然后再進(jìn)行推廣；若要比較兩個(gè)角的三角函數(shù)值的大小，可考慮運(yùn)用三角函數(shù)的單調(diào)性加以解決．【訓(xùn)練反饋】1．函數(shù)y=lg(2cosx－1)的定義域?yàn)椋ǎ〢．{x｜－eq\f(π,3)＜x＜eq\f(π,3)}B．{x｜－eq\f(π,6)＜x＜eq\f(π,6)｝C．{x｜2kπ－eq\f(π,3)＜x＜2kπ+eq\f(π,3)，k∈Z}D．{x｜2kπ－eq\f(π,6)＜x＜2kπ+eq\f(π,6)，k∈Z}2．如果α、β∈（eq\f(π,2)，π），且tanα＜cotβ，那么必有（）A．α＜βB．β＜αC．α+β＜eq\f(3π,2)D．α+β＞eq\f(3π,2)3．若f(x)sinx是周期為π的奇函數(shù)，則f(x)可以是（）A．sinxB．cosxC．sin2xD．cos2x4．下列命題中正確的是（）A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβB．函數(shù)y=sinxcotx的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ－eq\f(π,2)，2kπ+eq\f(π,2)），k∈ZC．函數(shù)y=eq\f(1－cos2x,sin2x)的最小正周期是2πD．函數(shù)y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ=eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z5．函數(shù)y=sineq\f(x,2)+coseq\f(x,2)在（－2π，2π）內(nèi)的遞增區(qū)間是．6．y=sin6x+cos6x的周期為．7．比較下列函數(shù)值的大?。海?）sin2，sin3，sin4；(2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)）．8．設(shè)f(x)=sin(eq\f(k,5)x+eq\f(π,3))(k≠0)．(1)寫出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；（2）試求最小的正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時(shí)，函數(shù)f(x)至少有一個(gè)M與m．第6課三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，理解參數(shù)A、ω、φ的物理意義．掌握將函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)稱變換、平移變換、伸縮變換．會(huì)根據(jù)圖象提供的信息，求出函數(shù)解析式．【知識(shí)在線】1．將y=cosx的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，再將所得的圖象向下平移1個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是（）A．y=cosx+1B．y=cosx－1C．y=－cosx+1D．y=－cosx－12．函數(shù)f(x)=sin3x圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)一定是（）A．(eq\f(1,2)kπ，0)，k∈ZB．（eq\f(1,3)kπ，0），k∈ZC．（eq\f(1,4)kπ，0），k∈ZD．（kπ，0），k∈Z3．函數(shù)y=cos(2x+eq\f(π,2))的圖象的一個(gè)對(duì)稱軸方程為（）A．x=－－eq\f(π,2)B．x=－eq\f(π,4)C．x=eq\f(π,8)D．x=π4．為了得到函數(shù)y=4sin(3x+eq\f(π,4))，x∈R的圖象，只需把函數(shù)y=3sin(x+eq\f(π,4))的圖象上所有點(diǎn)（）A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,3)倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,3)倍，橫坐標(biāo)不變．5．要得到y(tǒng)=sin(2x－eq\f(π,3))的圖象，只需將y=sin2x的圖象（）A．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位B．向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位C．向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位D．向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位【講練平臺(tái)】例1、函數(shù)y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜eq\f(π,2))的最小值為－2，其圖象相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差3π，又圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），求這個(gè)函數(shù)的解析式．分析：求函數(shù)的解析式，即求A、ω、φ的值．A與最大、最小值有關(guān)，易知A=2，ω與周期有關(guān)，由圖象可知，相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差3π，即eq\f(T,2)=3π．得T=6π，所以ω=eq\f(1,3)．所以y=2sin(eq\f(x,3)+φ），又圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），所以可得關(guān)于φ的等式，從而可將φ求出，易得解析式為y=2sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6)）．點(diǎn)評(píng)：y=Asin(ωx+φ)中的A可由圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的確定，ω由周期的大小確定，φ的確定一般采用待定系數(shù)法，即找圖像上特殊點(diǎn)坐標(biāo)代入方程求解，也可由φ的幾何意義（圖象的左右平移的情況）等確定（請(qǐng)看下例）．xyeq\f(13π,3)ππeq\f(xyeq\f(13π,3)ππeq\f(π,3)3－3O（1）試用y=Asin（ωx+φ)型函數(shù)表示其解析式；（2）求這個(gè)函數(shù)關(guān)于直線x=2π對(duì)稱的函數(shù)解析式．解：（1）T=eq\f(13π,3)－eq\f(π,3)=4π．∴ω=eq\f(2π,T)=eq\f(1,2)．又A=3，由圖象可知所給曲線是由y=3sineq\f(x,2)沿x軸向右平移eq\f(π,3)而得到的．∴解析式為y=3sineq\f(1,2)(x－eq\f(π,3))．(2)設(shè)（x，y)為y=3sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)）關(guān)于直線x=2π對(duì)稱的圖像上的任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于直線x=2π的對(duì)稱點(diǎn)應(yīng)為（4π－x，y)，故與y=3sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)）關(guān)于直線x=2π對(duì)稱的函數(shù)解析式是y=3sin［eq\f(1,2)（4π－x)－eq\f(π,6)］=－3sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6)）．點(diǎn)評(píng)：y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的圖象由y=sinωx的圖象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）eq\f(|φ|,ω)個(gè)單位．特別要注意不能搞錯(cuò)平移的方向和平移的單位數(shù)量．求一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于一條直線對(duì)稱圖象的函數(shù)解析式時(shí)，要注意解幾知識(shí)的運(yùn)用．例3、已知函數(shù)y=eq\f(1,2)cos2x+eq\f(eq\r(3),2)sinxcosx+1(x∈R)．(1)當(dāng)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？解(1)y=eq\f(1,2)·eq\f(1+cos2x,2)+eq\f(eq\r(3),2)·eq\f(1,2)sin2x+1=eq\f(1,2)sin(2x+eq\f(π,6))+eq\f(5,4)．當(dāng)2x+eq\f(π,6)=2kπ+eq\f(π,2)，即x=kπ+eq\f(π,6)，k∈Z時(shí)，ymax=eq\f(7,4)．(2）由y=sinx圖象左移eq\f(π,6)個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)（縱坐標(biāo)不變），其次將圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)（橫坐標(biāo)不變），最后把圖象向上平移eq\f(5,4)個(gè)單位即可．思考：還有其他變換途徑嗎？若有，請(qǐng)敘述．點(diǎn)評(píng)：（1）回答圖像的變換時(shí)，不能省略“縱坐標(biāo)不變”、“橫坐標(biāo)不變”等術(shù)語(yǔ)．（2）周期變換后的左右平移要注意平移單位的變化．【知能集成】已知三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ）的圖象，欲求其解析式，必須搞清A、ω、φ和圖象的哪些因素有關(guān)；y=sinωx和y=sin(ωx+φ)兩圖象間平移變換的方向和平移的單位數(shù)量極易搞錯(cuò)，解題時(shí)要倍加小心．【訓(xùn)練反饋】1．函數(shù)y=eq\f(1,2)sin(2x+θ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是（）A．θ=2kπ+eq\f(π,2)B．θ=kπ+eq\f(π,2)C．θ=2kπ+πD．θ=kπ+π(k∈Z)2．先將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對(duì)稱變換，則所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為（）A．y=sin(－2x+eq\f(π,3))B．y=sin(－2x－eq\f(π,3))yx－111C．y=sin(－2x+eq\f(2π,3))D．y=sin(－2x－eq\f(2π,3))yx－1113．右圖是周期為2π的三角函數(shù)y=f(x)的圖象，那么f(x)可以寫成（）A．sin(1+x)B．sin(－1－x)C．sin(x－1)D．sin(1－x)4．y=tan(eq\f(1,2)x－eq\f(π,3))在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是（）OxxxxyyyyDCABOOOxxxxyyyyDCABOOOO5．已知函數(shù)y=2cosx(0≤x≤2π)的圖象與直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則該封閉圖形面積是．6．將y=sin(3x－eq\f(π,6))的圖象向（左、右）平移個(gè)單位可得y=sin(3x+eq\f(π,3)）的圖像．7．已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=eq\f(π,9)時(shí)取得最大值eq\f(1,2)，當(dāng)x=eq\f(4π,9)時(shí)取得最小值－eq\f(1,2)，若A＞0，ω＞0，｜φ｜＜eq\f(π,2)，求該函數(shù)的解析表達(dá)式．8．已知函數(shù)y=eq\r(3)sinx+cosx，x∈R．(1)當(dāng)y取得最大值時(shí)，求自變量x的取值集合；（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？61014102030時(shí)間/hy溫度/℃961014102030時(shí)間/hy溫度/℃（1）求這段時(shí)間的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．第7課三角函數(shù)的最值掌握基本三角函數(shù)y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的條件；掌握給定區(qū)間上三角函數(shù)的最值的求法；能運(yùn)用三角恒等變形，將較復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的最值問(wèn)題．【知識(shí)在線】1．已知（1）cos2x=；(2)sinx－cosx=2．5；(3)tanx+eq\f(1,tanx)=2；(4)sin3x=－eq\f(π,4)．上述四個(gè)等式成立的是（）A．（1）（2）B．（2）（4）C．（3）（4）D．（1）（3）2．當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)y=2sin(2x+eq\f(π,12))的最大值為，最小值為，當(dāng)x∈〔－eq\f(5π,24)，eq\f(π,24)〕時(shí)函數(shù)y的最大值為，最小值為.3．函數(shù)y=sinx－eq\r(3)cosx的最大值為，最小值為．4．函數(shù)y=cos2x+sinx+1的值域?yàn)椋局v練平臺(tái)】例1、求函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此時(shí)x的值．分析：由于f（x）的表達(dá)式較復(fù)雜，需進(jìn)行化簡(jiǎn)．解：y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=eq\r(2)sin(2x+eq\f(π,4))+2當(dāng)2x+eq\f(π,4)=2kπ+eq\f(π,2)，即x=kπ+eq\f(π,8)(k∈Z)時(shí)，ymax=eq\r(2)+2．點(diǎn)評(píng)：要熟練掌握y=asinx+bcosx類型的三角函數(shù)最值的求法，asinx+bcosx=eq\r(a2+b2)sin（x+φ）．例2、若θ∈［－eq\f(π,12),eq\f(π,12)］，求函數(shù)y=cos(eq\f(π,4)+θ）+sin2θ的最小值．分析：在函數(shù)表達(dá)式中，含有兩個(gè)角和兩個(gè)三角函數(shù)名稱，若能化成含有一個(gè)角和一個(gè)三角函數(shù)名稱的式子，則問(wèn)題可得到簡(jiǎn)化．解：y=cos(eq\f(π,4)+θ)－cos［2(θ+eq\f(π,4))］=cos(eq\f(π,4)+θ)－［2cos2(θ+eq\f(π,4))－1］=－2cos2(θ+eq\f(π,4))+cos(eq\f(π,4)+θ)+1=－2［cos2(θ+eq\f(π,4))－eq\f(1,2)cos(θ+eq\f(π,4))］+1=－2［cos(θ+eq\f(π,4))－eq\f(1,4)］2+eq\f(9,8)．∵θ∈［－eq\f(π,12),eq\f(π,12)］，∴θ＋eq\f(π,4)∈［eq\f(π,6)，eq\f(π,3)］．∴eq\f(1,2)≤cos(θ+eq\f(π,4))≤eq\f(eq\r(3),2)，∴y最小值=eq\f(eq\r(3)－1,2)．點(diǎn)評(píng)：（1）三角函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化目標(biāo)；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常運(yùn)用sinx，cosx的有界性，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化成y=at2+bt+c在某區(qū)間上的最值問(wèn)題；（3）對(duì)于y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，應(yīng)先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的單調(diào)性求出最值．例3、試求函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析：由于sinx+cosx與sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，則原三角函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成y=at2+bt+c在某區(qū)間上的最值問(wèn)題．解：令t=sinx+cosx，則y=t+t2+1=(t+eq\f(1,2))2+eq\f(3,4)，且t∈［－eq\r(2)，eq\r(2)］，∴ymin=eq\f(3,4)，ymax=3+eq\r(2)．點(diǎn)評(píng)：注意sinx+cosx與sinxcosx的關(guān)系，運(yùn)用換元法將原三角函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成y=at2+bt+c在某個(gè)區(qū)間上的最值問(wèn)題．【知能集成】較復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問(wèn)題，往往通過(guò)需要恒等變形，轉(zhuǎn)化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y=Asin(ωx+φ)+k型的三角函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用三角函數(shù)的有界性、單調(diào)性求三角函數(shù)的最值．用換元法解題，特別要注意sinx+tcosx與sinxcosx的關(guān)系，令sinx+cosx=t，則sinxcosx=eq\f(t2－1,2)．【訓(xùn)練反饋】1．函數(shù)y=eq\f(1,2+sinx+cosx)的最大值是（）A．eq\f(eq\r(2),2)－1B．eq\f(eq\r(2),2)＋1C．1－eq\f(eq\r(2),2)D．－1－eq\f(eq\r(2),2)2．若2α+β=π，則y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分別為（）A．7，5B．7，－eq\f(11,2)C．5，－eq\f(11,2)D．7，－53．當(dāng)0≤x≤eq\f(π,2)時(shí)，函數(shù)f(x)=eq\f(sinx+1,cosx+1)的（）A．最大值為2，最小值為eq\f(1,2)B．最大值為2，最小值為0C．最大值為2，最小值不存在D．最大值不存在，最