高中數(shù)學(xué)北師大版第一章三角函數(shù)9三角函數(shù)的簡單應(yīng)用

課時提升作業(yè)三角函數(shù)的簡單應(yīng)用一、選擇題(每小題4分,共16分)1.電流I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系是I=2sin100πt,t∈(0,+∞),則電流I變化的周期是()A.1100 C.150 【解析】選C.由題意知,T=2πω=2π100π=2.(2023·亳州高一檢測)某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式f(t)=24sin(160πt)+110,其中f(t)為血壓,t為時間,則此人每分鐘心跳的次數(shù)為() 【解題指南】本題的實質(zhì)是求函數(shù)的頻率.【解析】選=2π160π=180,3.如圖為一半徑r為3米的水輪,水輪圓心O距離水面2米,已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,水輪上的點P到水面的距離y(米)與時間x(秒)滿足函數(shù)關(guān)系y=Asin(ωx+φ)+2,則有()A.ω=152π,A=3 B.ω=2πC.ω=2π15,A=5 D.ω=15【解析】選B.水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,即每秒鐘旋轉(zhuǎn)215πrad,所以ω=2又水輪上最高點離水面的距離為r+2=5(米),即ymax=A+2=5,所以A=3.【變式訓(xùn)練】(2023·杭州高一檢測)如圖,一個大風(fēng)車的半徑是8米,每12分鐘旋轉(zhuǎn)一周,最低點離地面2米,若風(fēng)車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉(zhuǎn),則該翼片的端點P離地面的距離h(米)與時間t(分鐘)之間的函數(shù)解析式是()=8cosπ6t+10 =-8cosπ=-8sinπ6t+10 =-8cosπ【解析】選D.首先考慮建立直角坐標(biāo)系,以最低點的切線作為x軸,最低點作為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.那么,風(fēng)車上翼片端點所在位置P可由函數(shù)x(t),y(t)來刻畫,而且h(t)=y(t)+2.所以,只需要考慮y(t)的解析式.又設(shè)P的初始位置在最低點,即y(0)=0.在Rt△O1PQ中,由cosθ=8-y(t)8得y(t)=-8cosθ+8.又2π12=θt,所以θ=π6t,y(th(t)=-8cosπ64.(2023·西安高一檢測)穩(wěn)定房價是我國今年實施宏觀調(diào)控的重點,國家最近出臺的一系列政策已對各地的房地產(chǎn)市場產(chǎn)生了影響.北京市某房地產(chǎn)介紹所對本市一樓群在今年的房價進(jìn)行了統(tǒng)計與預(yù)測:發(fā)現(xiàn)每個季度的平均單價y(每平方米面積的價格,單位為元)與第x季度之間近似滿足:y=500sin(ωx+φ)+9500(φ>0),已知第一、二季度平均單價如下表所示:x123y100009500?則此樓群在第三季度的平均單價大約是()元 元元 元【解析】選C.由表格數(shù)據(jù)可知,10000=500sin(ω+φ)+9500,9500=500sin(2ω+φ)+9500,所以sin(ω+φ)=1,sin(2ω+φ)=0;ω+φ=2k1π+π2(k1∈Z),2ω+φ=2k2π+π(k2∈Z),②②×2-①得3ω+φ=4k2π-2k1π+3π=2k3π+3π2(k3∈所以x=3時,y=500sin3ω+φ+9500=9000(元).故選C.二、填空題(每小題5分,共10分)5.有一種波,其波形為函數(shù)y=sinπx2的圖像,若在區(qū)間[0,t](t>0)上至少有2個波峰(圖像的最高點),則正整數(shù)t的最小值是【解析】因為函數(shù)y=sinπx2的周期T=4,y=sinπx2的圖像在[0,t]上至少有2個波峰,所以t≥54T=5,故正整數(shù)t答案:56.(2023·濰坊高一檢測)某同學(xué)利用描點法畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)其中A>0,0<ω<2,-π2<φ<x01234y101-1-2經(jīng)檢查,發(fā)現(xiàn)表格中恰有一組數(shù)據(jù)計算錯誤,請你根據(jù)上述信息推斷函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式應(yīng)是.【解析】因為(0,1)和(2,1)關(guān)于直線x=1對稱,故x=1與函數(shù)圖像的交點應(yīng)是最高點或最低點,故數(shù)據(jù)(1,0)錯誤,從而由(4,-2)在圖像上知A=2,由過(0,1)點知2sinφ=1,因為-π2<φ<π2,所以φ=所以y=2sinωx+π6,再將點(2,1)代入得,2sin所以2ω+π6=π6+2kπ或2ω+π6=5π因為0<ω<2,所以ω=π3所以函數(shù)解析式為y=2sinπ3答案:y=2sinπ三、解答題(每小題12分,共24分)7.以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)現(xiàn):該商品的出廠價格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的,已知3月份出廠價格最高為8元,7月份出廠價格最低為4元,而該商品在商店的銷售價格是在8元基礎(chǔ)上按月隨正弦曲線波動的,并已知5月份銷售價最高為10元,9月份銷售價最低為6元,假設(shè)某商店每月購進(jìn)這種商品m件,且當(dāng)月售完,請估計哪個月盈利最大?并說明理由.【解析】由條件可得:出廠價格函數(shù)為y1=2sinπ4銷售價格函數(shù)為y2=2sinπ4則利潤函數(shù)為:y=m(y2-y1)=m2sinπ4x-3π4+8-2sinπ4x-所以,當(dāng)x=6時,y=(2+22)m,即6月份盈利最大.8.如圖表示電流I與時間t的函數(shù)解析式:I=Asin(ωt+φ)A>0,|φ|<π2(1)根據(jù)圖像寫出I=Asin(ωt+φ)的解析式.(2)為了使I=Asin(ωt+φ)中t在任意-段1100秒的時間內(nèi)電流I能同時取得最大值和最小值,那么正整數(shù)ω的最小值是多少【解題指南】先由圖中的數(shù)據(jù)觀察出函數(shù)的最值、周期,從而確定A,ω,再代入圖像中的一個點的坐標(biāo)求φ;根據(jù)(1)求出的解析式,列出不等式求ω的范圍后確定最小值.【解析】(1)由圖知A=300,t1=-1300,t3=1因為T=2(t3-t1)=21150+1所以ω=2πT由ωt1+φ=0得φ=-ωt1=π3所以I=300sin100πt+π(2)問題等價于T2≤1100,即πω所以ω≥100π,所以正整數(shù)ω的最小值為314.一、選擇題(每小題4分,共12分)1.(2023·煙臺高一檢測)車流量被定義為單位時間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù),單位為輛/分,上班高峰期某十字路口的車流量由函數(shù)F(t)=50+4sint2(0≤t≤20)給出,F(t)的單位是輛/分,t的單位是分,則下列哪個時間段內(nèi)車流量是增加的(A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20]【解析】選C.由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2得4kπ-π≤t≤4kπ+π(k∈Z),由于0≤t≤20,所以0≤t≤π或3π≤t≤5π,從而車流量在時間段2.(2023·合肥高一檢測)繩子繞在半徑為50cm的輪圈上,繩子的下端B處懸掛著物體W,如果輪子按逆時針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)4圈,那么把物體W的位置向上提升100cm需要()15π 10π 5π 【解析】選A.設(shè)需x秒上升100cm.則x60所以x=15π3.(2023·青島高一檢測)海水受日月的引力作用,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時駛進(jìn)航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時返回海洋.下面是港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系的表格:時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深選用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)來模擬港口的水深與時間的關(guān)系.如果一條貨船的吃水深度是4米,安全條例規(guī)定至少有米的安全間隙(船底與洋底的距離),則該船一天之內(nèi)在港口內(nèi)呆的時間總和為小時.() 【解析】選B.由題意可得y=π6+5(0≤x≤24),則π6sinπ6x≥12,2kπ+π6≤π6x≤即12k+1≤x≤5+12k,該船可以1點進(jìn)港,5點離港,或13點進(jìn)港,17點離港,在港口內(nèi)呆的時間總和為4+4=8小時.二、填空題(每小題4分,共8分)4.如圖,點P是半徑為r的砂輪邊緣上的一個質(zhì)點,它從初始位置P0開始,按逆時針方向以角速度ω(rad/s)做圓周運(yùn)動,則點P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式為.【解析】當(dāng)質(zhì)點P從P0轉(zhuǎn)到點P位置時,點P轉(zhuǎn)過的角度為ωt,則∠POx=ωt+φ,由任意角的三角函數(shù)定義知P點的縱坐標(biāo)y=rsin(ωt+φ).答案:y=rsin(ωt+φ)5.(2023·北京高一檢測)一觀覽車的主架示意圖如圖所示,其中O為輪軸的中心,距地面32m(即OM長),巨輪的半徑為30m,AM=BP=2m,巨輪逆時針旋轉(zhuǎn)且每12min轉(zhuǎn)動一圈.若點M為吊艙P(yáng)的初始位置,經(jīng)過tmin,該吊艙P(yáng)距離地面的高度為hm,則h=.【解析】過點O作地面的平行線ON,過點B作ON的垂線BM交ON于M點.點A在☉O上逆時針運(yùn)動的角速度是2π12=π6,所以tmin轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為π6t,設(shè)θ=π6t,當(dāng)θ>π2時,∠BOM=θ-π2,h=OA+BM=30+30sinθ-π2,當(dāng)0<θ≤π2時,答案:30sinπ6三、解答題(每小題10分,共20分)6.如圖,某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求這一天6～14時的最大溫差.(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.【解析】(1)由圖可知:這段時間的最大溫差是20℃.(2)從圖可以看出:從6～14是y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖像,所以T2所以T=16,因為T=2πω所以ω=π8又因為A=所以A=10,所以y=10sinπ8將點(6,10)代入得:sin3π4所以3π4+φ=2kπ+3π2,k所以φ=2kπ+3π4,k∈Z,可取φ=3π所以y=10sinπ8【拓展延伸】三角函數(shù)的建模問題關(guān)鍵點(1)解決實際問題時的關(guān)鍵是觀察出周期性,搜集數(shù)據(jù),作出相應(yīng)的散點圖.(2)求解的關(guān)鍵是能抽象出三角函數(shù)模型,解決的步驟是:審題,建模,求解,還原.7.(2023·虹口區(qū)高一檢測)某種型號汽車的四個輪胎半徑相同,均為R=40cm,該車的底盤與輪胎中心在同一水平面上.該車的涉水安全要求是:水面不能超過它的底盤高度.如圖所示:某處有一“坑形”地面,其中坑ABC形成頂角為120°的等腰三角形,且AB=BC=60cm,如果地面上有h(cm)(h<40)高的積水(此時坑內(nèi)全是水,其他因素忽略不計).(1)當(dāng)輪胎與AB,BC同時接觸時,求證:此輪胎露在水面外的高度(從輪胎最上部到水面的距離)為d=10+803(2)假定該汽車能順利通過這個坑(指汽車在過此坑時,符合涉水安全要求),求h的最大值.(精確到1cm)【解析】(1)當(dāng)輪胎與AB,BC同時接觸時,設(shè)輪胎與AB邊的切點為T,輪胎中心為O,則|OT|=40,由∠ABC=120°,知∠OBT=60°,故|OB|=2×403所以,從B點到輪胎最上部的距離為2×403此輪胎露在水面外的高度為d=2×403+40-(60·cos60°+h)=803+10-h=10+8