高中數(shù)學(xué)人教A版3第三章統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用

3．2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用；2．理解判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的常用方法、獨(dú)立性檢驗(yàn)中K2的含義及其實(shí)施步驟．[知識鏈接]1．舉例說明什么是分類變量？答變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別的變量稱為分類變量，分類變量的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類別，如性別變量，只取男、女兩個(gè)值，商品的等級變量只取一級、二級、三級等等．2．什么是列聯(lián)表？怎樣從列聯(lián)表判斷兩個(gè)分類變量有無關(guān)系？答一般地，假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，列出兩個(gè)變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表(如下圖)y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d|ad－bc|越小，說明兩個(gè)分類變量x，y之間的關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個(gè)分類變量x，y之間的關(guān)系越強(qiáng)．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．分類變量和列聯(lián)表(1)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為2×2列聯(lián)表)為下表.y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d2.等高條形圖(1)等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)eq\f(a,a＋b)和eq\f(c,c＋d)相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)定義：利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．(2)K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法①根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.②利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值k.③如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.要點(diǎn)一有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”例1某校對學(xué)生課外活動進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表：用你所學(xué)過的知識進(jìn)行分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？體育文娛總計(jì)男生212344女生62935總計(jì)275279解判斷方法如下：假設(shè)H0“喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關(guān)系”，若H0成立，則K2應(yīng)該很?。遖＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，∴K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(79×（21×29－23×6）2,44×35×27×52)≈.且P(K2≥≈即我們得到的K2的觀測值k≈超過，這就意味著：“喜歡體育還是文娛與性別沒有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性小于，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)”．規(guī)律方法(1)利用K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)求出K2的觀測值k的值．再利用臨界值的大小來判斷假設(shè)是否成立．(2)解題時(shí)應(yīng)注意準(zhǔn)確代數(shù)與計(jì)算，不可錯(cuò)用公式，準(zhǔn)確進(jìn)行比較與判斷．跟蹤演練1為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)，對某年級學(xué)生作調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：成績優(yōu)秀成績較差總計(jì)興趣濃厚的643094興趣不濃厚的227395總計(jì)86103189判斷學(xué)生的數(shù)學(xué)成績好壞與對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)？解由公式得K2的觀測值k＝eq\f(189×（64×73－22×30）2,86×103×95×94)≈.∵＞，∴有%的把握說學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與數(shù)學(xué)成績是有關(guān)的．要點(diǎn)二有關(guān)“無關(guān)的檢驗(yàn)”例2為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對外語的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．分析學(xué)生選報(bào)文、理科與對外語的興趣是否有關(guān)？解列出2×2列聯(lián)表理文總計(jì)有興趣13873211無興趣9852150總計(jì)236125361代入公式得K2的觀測值k＝eq\f(361×（138×52－73×98）2,236×125×211×150)≈×10－4.∵×10－4＜，∴可以認(rèn)為學(xué)生選報(bào)文、理科與對外語的興趣無關(guān)．規(guī)律方法運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法：(1)列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算K2的觀測值k.(2)比較k與k0的大小作出結(jié)論．跟蹤演練2第16屆亞運(yùn)會于2023年11月12日至27日在中國廣州進(jìn)行，為了搞好接待工作，組委會招募了16名男志愿者和14名女志愿者，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別有10人和6人喜愛運(yùn)動，其余人不喜愛運(yùn)動．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：喜愛運(yùn)動不喜愛運(yùn)動總計(jì)男1016女614總計(jì)30(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與喜愛運(yùn)動有關(guān)？解(1)喜愛運(yùn)動不喜愛運(yùn)動總計(jì)男10616女6814總計(jì)161430(2)假設(shè)是否喜愛運(yùn)動與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得：K2＝eq\f(30×（10×8－6×6）2,（10＋6）（6＋8）（10＋6）（6＋8）)≈5＜，因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能判斷喜愛運(yùn)動與性別有關(guān)．要點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想例3某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在，的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出500件，量其內(nèi)徑尺寸，結(jié)果如下表：甲廠分組[，[，[，[，[，[，[，頻數(shù)12638618292614乙廠分組[，[，[，[，[，[，[，頻數(shù)297185159766218(1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.甲廠乙廠總計(jì)優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品總計(jì)附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，P(K2≥k0)k0解(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為eq\f(360,500)＝72%；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為eq\f(320,500)＝64%.(2)甲廠乙廠總計(jì)優(yōu)質(zhì)品360320680非優(yōu)質(zhì)品140180320總計(jì)5005001000K2＝eq\f(1000×（360×180－320×140）2,500×500×680×320)≈＞，所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”．規(guī)律方法(1)解答此類題目的關(guān)鍵在于正確利用K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計(jì)算k的值，再用它與臨界值k0的大小作比較來判斷假設(shè)檢驗(yàn)是否成立，從而使問題得到解決．(2)此類題目規(guī)律性強(qiáng)，解題比較格式化，填表計(jì)算分析比較即可，要熟悉其計(jì)算流程，不難理解掌握．跟蹤演練3下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表：得病不得病總計(jì)干凈水52466518不干凈水94218312總計(jì)146684830(1)這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，請說明理由；(2)若飲用干凈水得病5人，不得病50人，飲用不干凈水得病9人，不得病22人．按此樣本數(shù)據(jù)分析這種疾病是否與飲用水有關(guān)，并比較兩種樣本在反映總體時(shí)的差異．解(1)假設(shè)H0：傳染病與飲用水無關(guān)．把表中數(shù)據(jù)代入公式得：K2的觀測值k＝eq\f(830×（52×218－466×94）2,146×684×518×312)≈，∵＞，所以拒絕H0.因此我們有%的把握認(rèn)為該地區(qū)這種傳染病與飲用不干凈水有關(guān)．(2)依題意得2×2列聯(lián)表：得病不得病總計(jì)干凈水55055不干凈水92231總計(jì)147286此時(shí)，K2的觀測值k＝eq\f(86×（5×22－50×9）2,14×72×55×31)≈.由于＞，所以我們有%的把握認(rèn)為該種疾病與飲用不干凈水有關(guān)．兩個(gè)樣本都能統(tǒng)計(jì)得到傳染病與飲用不干凈水有關(guān)這一相同結(jié)論，但(1)中我們有%的把握肯定結(jié)論的正確性，(2)中我們只有%的把握肯定.1．觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是()答案D解析觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)eq\f(x1,x1＋y1)＝eq\f(x2,x2＋y2)相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之量關(guān)系最強(qiáng)．2．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x282533總計(jì)b46106則表中a，b處的值分別為()A．94，96B．52，50C．52，60D．54，52答案C解析∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.3．經(jīng)過對K2的統(tǒng)計(jì)量的研究，得到了若干個(gè)臨界值，當(dāng)K2的觀測值k>時(shí)，我們()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下可認(rèn)為X與Y有關(guān)B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下可認(rèn)為X與Y無關(guān)C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下可認(rèn)為X與Y有關(guān)D．沒有充分理由說明事件X與Y有關(guān)系答案A4．根據(jù)下表計(jì)算：不看電視看電視男3785女35143K2的觀測值k≈________(保留3位小數(shù))．答案解析k＝eq\f(300×（37×143－85×35）2,122×178×72×228)≈.1．列聯(lián)表與等高條形圖列聯(lián)表由兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說明這兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系，而利用等高條形圖能形象直觀地反映它們之間的差異，進(jìn)而推斷它們之間是否具有關(guān)聯(lián)關(guān)系．2．對獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立，計(jì)算隨機(jī)變量K2的值，如果K2值很大，說明假設(shè)不合理．K2越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下面說法正確的是()A．統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)推斷準(zhǔn)確、有效B．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)上的反證法C．任何兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可信度都可以通過查表得到D．不能從等高條形圖中看出兩個(gè)分類變量是否相關(guān)答案B2．用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量x與y是否有關(guān)系，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量K2的觀測值()A．越大，“x與y有關(guān)系”成立的可能性越小B．越大，“x與y有關(guān)系”成立的可能性越大C．越小，“x與y沒有關(guān)系”成立的可能性越小D．與“x與y有關(guān)系”成立的可能性無關(guān)答案B3．在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由其數(shù)據(jù)計(jì)算得K2的觀測值k＝，則這兩個(gè)變量間有關(guān)系的可能性為()A．99%B．%C．%D．無關(guān)系答案A解析K2的觀測值<k<，所以有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系．4．對兩個(gè)分類變量A，B的下列說法中正確的個(gè)數(shù)為()①A與B無關(guān)，即A與B互不影響；②A與B關(guān)系越密切，則K2的值就越大；③K2的大小是判定A與B是否相關(guān)的唯一依據(jù)A．0B．1C．2D．3答案B解析①正確，A與B無關(guān)即A與B相互獨(dú)立；②不正確，K2的值的大小只是用來檢驗(yàn)A與B是否相互獨(dú)立；③不正確，例如借助三維柱形圖、二維條形圖等．故選B.5．如果K2的觀測值為，可以認(rèn)為“x與y無關(guān)”的可信度是________．答案1%解析查表可知可信度為1%.6．為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了60名高中生，通過問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：作文成績優(yōu)秀作文成績一般總計(jì)課外閱讀量較大221032課外閱讀量一般82028總計(jì)303060由以上數(shù)據(jù)，計(jì)算得到K2的觀測值k≈，根據(jù)臨界值表，有________把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)．答案%解析根據(jù)臨界值表，>，在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)，即有%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)．7．在某測試中，卷面滿分為100分，60分為及格，為了調(diào)查午休對本次測試前兩個(gè)月復(fù)習(xí)效果的影響，特對復(fù)習(xí)中進(jìn)行午休和不進(jìn)行午休的考生進(jìn)行了測試成績的統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表所示：分?jǐn)?shù)段29～4041～5051～6061～7071～8081～9091～100午休考生人數(shù)23473021143114不午休考生人數(shù)1751671530173(1)根據(jù)上述表格完成列聯(lián)表：及格人數(shù)不及格人數(shù)總計(jì)午休不午休總計(jì)(2)根據(jù)列聯(lián)表可以得出什么樣的結(jié)論？對今后的復(fù)習(xí)有什么指導(dǎo)意義？解(1)根據(jù)題表中數(shù)據(jù)可以得到列聯(lián)表如下：及格人數(shù)不及格人數(shù)總計(jì)午休80100180不午休65135200總計(jì)145235380(2)計(jì)算可知，午休的考生及格率為P1＝eq\f(80,180)＝eq\f(4,9)，不午休的考生的及格率為P2＝eq\f(65,200)＝eq\f(13,40)，則P1>P2，因此，可以粗略判斷午休與考生考試及格有關(guān)系，并且午休的及格率高，所以在以后的復(fù)習(xí)中考生應(yīng)盡量適當(dāng)午休，以保持最佳的學(xué)習(xí)狀態(tài)．二、能力提升8．在等高條形圖中，下列哪兩個(gè)比值相差越大，要推斷的論述成立的可能性就越大()\f(a,a＋b)與eq\f(d,c＋d)\f(c,a＋b)與eq\f(a,c＋d)\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)\f(a,a＋b)與eq\f(c,b＋c)答案C解析由等高條形圖可知eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的值相差越大，|ad－bc|就越大，相關(guān)性就越強(qiáng)．9．考察棉花種子經(jīng)過處理跟生病之間的關(guān)系得到下表數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理總計(jì)得病32101133不得病61213274總計(jì)93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可得出()A．種子是否經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān)B．種子是否經(jīng)過處理跟是否生病無關(guān)C．種子是否經(jīng)過處理決定是否生病D．以上都是錯(cuò)誤的答案B解析由K2＝eq\f(407×（32×213－61×101）2,93×314×133×274)≈<，即沒有把握認(rèn)為種子是否經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān)．10．為研究某新藥的療效，給50名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得下表中的數(shù)據(jù)：無效有效總計(jì)男性患者153550女性患者64450總計(jì)2179100設(shè)H0：服用此藥的效果與患者的性別無關(guān)，則K2的觀測值k≈________(小數(shù)點(diǎn)后保留三位有效數(shù)字)，從而得出結(jié)論：服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種判斷出錯(cuò)的可能性為________．答案5%解析由公式計(jì)算得K2的觀測值k≈，∵k>，∴我們有95%的把握認(rèn)為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，從而有5%的可能性出錯(cuò)．11．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學(xué)不好，理科就怕英語不好”．下表是一次針對高三文科學(xué)生的調(diào)查所得數(shù)據(jù)，試問：在出錯(cuò)概率不超過的前提下，能否判斷“文科學(xué)生總成績不好與數(shù)學(xué)成績不好有關(guān)系”？總成績不好總成績好總計(jì)數(shù)學(xué)成績不好47812490數(shù)學(xué)成績好39924423總計(jì)87736913解依題意，計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值：k＝eq\f(913×（478×24－399×12）2,490×423×877×36)≈>，