高中數(shù)學人教A版第一章三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) 校賽得獎

課題名稱：任意角的三角函數(shù)（1）課程模塊及章節(jié)：第四章第二節(jié)備課時間：2023-2-20學科：數(shù)學備課組：高一數(shù)學主備教師：張國彪備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國彪。教師二次備課教學背景分析初中學過:銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).引導(dǎo)學生把這個定義推廣到任意角,任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點.過去習慣于用角的終邊上點的坐標的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學生從自己已有認知基礎(chǔ)出發(fā)學習三角函數(shù)，但它對準確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系有沖突，而且“比值”需要通過運算才能得到，這與函數(shù)值是一個確定的實數(shù)也有不同，這些都會影響學生對三角函數(shù)概念的理解.通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號.最后主要是借助有向線段進一步認識三角函數(shù).講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習.教學目標1．知識與技能(1)熟記任意角的三角函數(shù)的定義．(2)已知角α終邊上一點，會求角α的各三角函數(shù)值．2．過程與方法(1)通過直角三角形中三角函數(shù)定義到單位圓中三角函數(shù)定義，最后到直角坐標系中一般化的三角函數(shù)定義，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的思維方法和能力．(2)樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)．(3)通過對定義域、三角函數(shù)值的符號、誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學生分析、探究、解決問題的能力．3．情感、態(tài)度與價值觀(1)使學生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度(自變量)與比值(函數(shù)值)的一種聯(lián)系方式．(2)學習轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神．教學重點和難點重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號)，以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式．公式一是本小節(jié)的另一個重點．難點：利用角的終邊上點的坐標刻畫三角函數(shù)，三角函數(shù)的符號以及三角函數(shù)的幾何意義．教學準備、教學資源和主要教學方法問題學習法、自主學習與合作探究相結(jié)合。教學過程教學環(huán)節(jié)教師為主的活動學生為主的活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。數(shù),你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎?學生開始思考。創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生的求知欲。目標引領(lǐng)把目標板書在黑板的右上角，并引領(lǐng)學生進行解讀。一起朗讀目標。以目標引領(lǐng)學習的全過程?；顒訉?dǎo)學使銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P，PM⊥x軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|＝r.(1)角α的正弦、余弦、正切分別等于什么？(2)對于確定的銳角α，sinα、cosα、tanα的值是否隨P點在終邊上的位置的改變而改變？(3)在問題1中，取|OP|＝1時，sinα，cosα，tanα的值怎樣表示？1．單位圓：在直角坐標系中，我們稱以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓．2．定義：在平面直角坐標系中，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)那么：圖1－2－1(1)y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；(2)x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x；(3)eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．對于確定的角α，上述三個值都是唯一確定的．故正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)．3．正弦函數(shù)sinα的定義域是R；余弦函數(shù)cosα的定義域是R；正切函數(shù)tanα的定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z)).(1)已知角α的終邊過點P(－1,2)，cosα的值為()A．－eq\f(\r(5),5)B．－eq\r(5)\f(2\r(5),5)D．eq\f(\r(5),2)(2)已知θ的終邊經(jīng)過點P(a，a)(a≠0)，求sinθ，cosθ，tanθ.【解】(1)由題意得：r＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(\r(5),5).當a>0時，r＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，得sinθ＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，tanθ＝eq\f(a,a)＝1；當a<0時，r＝eq\r(a2＋a2)＝－eq\r(2)a，得sinθ＝eq\f(a,－\r(2)a)＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(a,－\r(2)a)＝－eq\f(\r(2),2)，tanθ＝eq\f(a,a)＝1.即a>0時，sinθ＝eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，tanθ＝1；a<0時，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，tanθ＝1.(1)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值；(2)已知角α的終邊在直線y＝eq\r(3)x上，求sinα，cosα，tanα的值．【解】(1)r＝eq\r(－4a2＋3a2)＝5|a|.若a＞0，則r＝5a，α是第二象限角，則sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3a,5a)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4a,5a)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(3a,－4a)＝－eq\f(3,4)，若a＜0，則r＝－5a，α是第四象限角，則sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).因為角α的終邊在直線y＝eq\r(3)x上，所以可設(shè)P(a，eq\r(3)a)(a≠0)為角α終邊上任意一點．則r＝eq\r(a2＋\r(3)a2)＝2|a|(a≠0)．若a＞0，則α為第一象限角，r＝2a，所以sinα＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\r(3).若a＜0，則α為第三象限角，r＝－2a，所以sinα＝eq\f(\r(3)a,－2a)＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(a,2a)＝－eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\r(3).學生帶著問題去閱讀課本。學生自己進行嘗試和記憶?？偨Y(jié)規(guī)律提高學習效率。學生自己動手嘗試，檢驗所學。教師通過親身畫圖形，講解，引導(dǎo)回憶、類比舊知理解新知。通過例1來加深對“任意角的三角函數(shù)”的定義的認識理解。通過變式，增強理解與把握。當堂評價1．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))等于()\f(1,2)B．－eq\f(1,2)\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)【解】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).2．下列說法：①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；②終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；③若sinα>0，則α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點，則cosα＝－eq\f(x,\r(x2＋y2))，其中正確的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【解】根據(jù)誘導(dǎo)公式(一)可知①正確；因為sin0＝sinπ＝0，故②不正確；③中因為sineq\f(π,2)＝1>0，但eq\f(π,2)不是第一、二象限角，故③錯誤；④中應(yīng)為cosα＝eq\f(x,\r(x2＋y2))，所以只有①正確，應(yīng)選B.使得lg(cosαtanα)有意義的角α是第________象限角．學生合作交流。學生自己檢測自己的學習效果。通過練習讓學生鞏固新知，達成目標。板書設(shè)計任意角的三角函數(shù)（1）任意角的三角函數(shù)的定義:例學習目標三角函數(shù)：變式練習1、……正弦、余弦、正切：2、……教學反思課題名稱：任意角的三角函數(shù)（2）課程模塊及章節(jié)：第四章第二節(jié)備課時間：2023-02-20學科：數(shù)學備課組：高一數(shù)學主備教師：張國彪備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國彪。教師二次備課教學背景分析初中學過:銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).引導(dǎo)學生把這個定義推廣到任意角,任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點.過去習慣于用角的終邊上點的坐標的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學生從自己已有認知基礎(chǔ)出發(fā)學習三角函數(shù)，但它對準確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系有沖突，而且“比值”需要通過運算才能得到，這與函數(shù)值是一個確定的實數(shù)也有不同，這些都會影響學生對三角函數(shù)概念的理解.通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號.教學目標1．知識與技能(1)熟記任意角的三角函數(shù)的定義．(2)已知角α終邊上一點，會求角α的各三角函數(shù)值．(3)記住三角函數(shù)的定義域、值域、誘導(dǎo)公式一．2．過程與方法(1)通過直角三角形中三角函數(shù)定義到單位圓中三角函數(shù)定義，最后到直角坐標系中一般化的三角函數(shù)定義，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的思維方法和能力．(2)樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)．(3)通過對定義域、三角函數(shù)值的符號、誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學生分析、探究、解決問題的能力．3．情感、態(tài)度與價值觀(1)使學生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度(自變量)與比值(函數(shù)值)的一種聯(lián)系方式．(2)學習轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神．教學重點和難點重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號)，以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式．公式一是本小節(jié)的另一個重點．難點：利用角的終邊上點的坐標刻畫三角函數(shù)，三角函數(shù)的符號以及三角函數(shù)的幾何意義．教學準備、教學資源和主要教學方法問題學習法、自主學習與合作探究相結(jié)合。教學過程教學環(huán)節(jié)教師為主的活動學生為主的活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課【復(fù)習回顧】三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)在各象限角的符號；誘導(dǎo)公式（一）：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等；三角函數(shù)的定義域.學生開始回憶。創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生的求知欲。目標引領(lǐng)把目標板書在黑板的右上角，并引領(lǐng)學生進行解讀。一起朗讀目標。以目標引領(lǐng)學習的全過程?；顒訉?dǎo)學【問題1】所有與角α終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有怎樣的大小關(guān)系？為什么？【提示】相等，因為三角函數(shù)值大小只與相關(guān)角的終邊位置有關(guān)．【問題2】在平面直角坐標系中，任意角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，過A(1,0)作AT⊥x軸，交終邊或其反向延長線于點T，如圖所示：結(jié)合三角函數(shù)的定義，你能得到sinα，cosα，tanα與MP，OM，AT的關(guān)系嗎？【提示】可以，sinα＝|MP|，cosα＝|OM|，tanα＝|AT|.求下列各式的值：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan4π.【解】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＋coseq\f(12,5)π·tan4π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan0＝sineq\f(π,6)＋0＝eq\f(1,2).求下列各三角函數(shù)的值．(1)sin(－1410°)；(2)coseq\f(33,4)π；(3)tan1200°.【解】(1)eq\f(1,2).(2)eq\f(\r(2),2).(3)－eq\r(3).在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊范圍，并由此寫出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).【解】(1)作直線y＝eq\f(\r(3),2)，交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖(1)中陰影部分)即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)))≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).(2)作直線x＝－eq\f(1,2)，交單位圓于C，D兩點，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖(2)中的陰影部分)即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)))≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)).求函數(shù)y＝eq\r(2cosx－1)的定義域．【解】由題意得：2cosx－1≥0，則有cosx≥eq\f(1,2).如圖在x軸上取點M1使OM1＝eq\f(1,2)，過M1作x軸的垂線交單位圓于點P1，P2，連接OP1，OP2.則OP1與OP2圍成的區(qū)域(如圖中陰影部分)即為角x的終邊的范圍．∴滿足cosx≥eq\f(1,2)的角的集合即y＝eq\r(2cosx－1)的定義域為：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)))≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)).學生帶著問題去閱讀課本。學生自己進行嘗試和記憶?？偨Y(jié)規(guī)律提高學習效率。學生自己動手嘗試，檢驗所學。教師通過親身畫圖形，講解，引導(dǎo)回憶、類比舊知理解新知。通過例2來加深對“任意角的三角函數(shù)”的誘導(dǎo)公式一的認識理解。通過例3來加深對“三角函數(shù)線及其應(yīng)用”的認識理解及運用。通過變式，增強理解與把握。當堂評價1．下列函數(shù)值為eq\f(1,2)的是()A．sin390°B．cos750°C．tan30°D．cos150°2．已知α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，則cos2α的值為()\f(\r(3),2)\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)3．已知角α的終邊過點P(－3,4)，則sinα＋cosα＝()\f(3,5)B．－eq\f(4,5)\f(1,5)D．－eq\f(1,5)4．已知角α的終邊過點P(5，a)，且tanα＝－eq\f(12,5)，求sinα＋cosα的值．5.已知角α的終邊在直線y＝2x上，則sinα＋2cosα的值為________．學生合作交流。學生自己檢測自己的學習效果。通過練習讓學生鞏固新知，達成目標。板書設(shè)計任意角的三角函數(shù)（2）誘導(dǎo)公式一:例學習目標誘導(dǎo)公式一的運用：變式練習1、……2、……教學反思課題名稱：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）課程模塊及章節(jié)：第四章第二節(jié)備課時間：2023-2-20學科：數(shù)學備課組：高一數(shù)學主備教師：張國彪備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國彪。教師二次備課教學背景分析由圓的幾何性質(zhì)出發(fā),利用三角函數(shù)線,探究同一個角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系；學習已知一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡三角函數(shù)式；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式等.通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習,鞏固所學知識.通過本節(jié)的學習，牢固掌握同角三角函數(shù)的三個關(guān)系式并能靈活運用于解題，提高學生分析，解決三角問題的能力；進一步樹立化歸思想方法和證明三角恒等式的一般方法.教學目標1．知識與技能(1)能根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它們之間的聯(lián)系．(2)熟練掌握已知一個角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法．2．過程與方法通過由三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式過程，使學生學會用聯(lián)系的觀點提出問題，獲得研究思路，這是數(shù)學研究中的常用思想方法．3．情感、態(tài)度與價值觀通過對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的探究學習，經(jīng)歷數(shù)學探究活動的過程，學會用聯(lián)系的觀點，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題，培養(yǎng)探究精神和創(chuàng)新意識．教學重點和難點重點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．難點：三角函數(shù)值的符號的確定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用．教學準備、教學資源和主要教學方法問題學習法、自主學習與合作探究相結(jié)合。利用三角函數(shù)線的定義,推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:及,并靈活應(yīng)用求三角函數(shù)值,化減三角函數(shù)式,證明三角恒等式等.教學過程教學環(huán)節(jié)教師為主的活動學生為主的活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課與初中學習銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．學生開始思考。創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生的求知欲。目標引領(lǐng)把目標板書在黑板的右上角，并引領(lǐng)學生進行解讀。一起朗讀目標。以目標引領(lǐng)學習的全過程?；顒訉?dǎo)學【問題導(dǎo)思】(1)sin290°＋cos290°＝12＋02＝1；(2)sin230°＋cos230°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝1；(3)eq\f(sin60°,cos60°)＝tan60°＝eq\r(3)；(4)eq\f(sin150°,cos150°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).結(jié)合以上四例的結(jié)果，試猜想：sin2α＋cos2α＝？(α∈R)；eq\f(sinα,cosα)＝？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).你能用三角函數(shù)的定義驗證嗎？1.平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．語言敘述：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.(1)若cosα＝－eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則tanα＝________.(2)已知sinα＝m(|m|<1)，求tanα，cosα.【解】(1)因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，cosα＝－eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).當－1<m<1，m≠0時，若α在第一、四象限，則cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(m,\r(1－m2))＝eq\f(m\r(1－m2),1－m2)；若α在第二、三象限，則cosα＝－eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－m\r(1－m2),1－m2).若m＝0，則α＝kπ(k∈Z)，所以tanα＝0，cosα＝±1.已知α是第三象限角且tanα＝2，求下列各式的值．cosα，sinα；(2)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)；(3)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(2,5)cos2α.【解】(1)由tanα＝2，知eq\f(sinα,cosα)＝2，sinα＝2cosα，則sin2α＝4cos2α.又因為sin2α＋cos2α＝1，所以4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(1,5).由α在第三象限知cosα＝－eq\f(\r(5),5).∴sinα＝2cosα＝－eq\f(2\r(5),5).(2)法一由(1)可知：原式＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5))),5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5))))＝eq\f(\f(－6\r(5),5),\f(－11\r(5),5))＝eq\f(6,11)，∴原式＝eq\f(6,11).法二原式＝eq\f(\f(4sinα,cosα)－2·\f(cosα,cosα),\f(5cosα,cosα)＋\f(3sinα,cosα))＝eq\f(4tanα－2,5＋3tanα)＝eq\f(4×2－2,5＋3×2)＝eq\f(6,11)(3)法一由(1)可知：eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(2,5)cos2α＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))2＋eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))2＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,25)＝eq\f(7,25).法二原式＝eq\f(\f(1,4)sin2α＋\f(2,5)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(sin2α,4cos2α)＋\f(2cos2α,5cos2α),\f(sin2α,cos2α)＋\f(cos2α,cos2α))＝eq\f(\f(1,4)tan2α＋\f(2,5),tan2α＋1)＝eq\f(\f(1,4)×4＋\f(2,5),4＋1)＝eq\f(7,25).∴原式＝eq\f(7,25).學生帶著問題去閱讀課本。學生自己動手嘗試。學生自己動手嘗試。教師通過分析、講解，給學生起一個引導(dǎo)示范的作用。通過例1來加深對“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”的理解與運用。通過兩道變式，增強學生的理解與把握。當堂評價1．已知α是第四象限角，cosα＝eq\f(12,13)，則sinα等于()\f(5,13)B．－eq\f(5,13)\f(5,12)D．－eq\f(5,12)【解】由條件知sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(3,5)\f(1,5)D．eq\f(3,5)【解】sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－eq\f(3,5).3．若tanα＝2，則eq\f(2sinα－cosα,sinα＋2cosα)的值為()A．0\f(3,4)C．1D．eq\f(5,4)【解】eq\f(2sinα－cosα,sinα＋2cosα)＝eq\f(2tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(4－1,2＋2)＝eq\f(3,4).學生合作交流。學生自己檢測自己的學習效果。通過練習讓學生鞏固新知，達成目標。板書設(shè)計同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:例學習目標1、平方關(guān)系：變式練習1、……2、商數(shù)關(guān)系：2、……教學反思課題名稱：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）課程模塊及章節(jié)：第四章第二節(jié)備課時間：2023-2-20學科：數(shù)學備課組：高一數(shù)學主備教師：張國彪備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國彪。教師二次備課教學背景分析由圓的幾何性質(zhì)出發(fā),利用三角函數(shù)線,探究同一個角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系；學習已知一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡三角函數(shù)式；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式等.通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習,鞏固所學知識.通過本節(jié)的學習，牢固掌握同角三角函數(shù)的三個關(guān)系式并能靈活運用于解題，提高學生分析，解決三角問題的能力；進一步樹立化歸思想方法和證明三角恒等式的一般方法.教學目標1．知識與技能(1)能根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它們之間的聯(lián)系．(2)熟練掌握已知一個角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法．2．過程與方法通過由三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式過程，使學生學會用聯(lián)系的觀點提出問題，獲得研究思路，這是數(shù)學研究中的常用思想方法．3．情感、態(tài)度與價值觀通過對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的探究學習，經(jīng)歷數(shù)學探究活動的過程，學會用聯(lián)系的觀點，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題，培養(yǎng)探究精神和創(chuàng)新意識．教學重點和難點重點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．難點：三角函數(shù)值的符號的確定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用．教學準備、教學資源和主要教學方法問題學習法、自主學習與合作探究相結(jié)合。利用三角函數(shù)線的定義,推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:及,并靈活應(yīng)用求三角函數(shù)值,化減三角函數(shù)式,證明三角恒等式等.教學過程教學環(huán)節(jié)教師為主的活動學生為主的活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課與初中學習銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．學生開始思考。創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生的求知欲。目標引領(lǐng)把目標板書在黑板的右上角，并引領(lǐng)學生進行解讀。一起朗讀目標。以目標引領(lǐng)學習的全過程?；顒訉?dǎo)學(1)化簡：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝________.(2)化簡：eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),cos10°－\r(1－sin280°)).2．(sinα±cosα)2展開式是什么？【解】(1)原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝1.(2)原式＝eq\f(\r(cos10°－sin10°2),cos10°－cos80°)＝eq\f(cos10°－sin10°,cos10°－sin10°)＝1.若把題(2)改為：eq\f(\r(1＋2sin10°cos10°),cos10°＋\r(1－sin280°))，如何化簡呢？原式＝eq\f(\r(cos10°＋sin10°2),cos10°＋cos80°)＝eq\f(cos10°＋sin10°,cos10°＋sin10°)＝1.求證：(1)eq\f(sinα－cosα＋1,sinα＋cosα－1)＝eq\f(1＋sinα,cosα)；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.【證明】(1)左邊＝eq\f(sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1,sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1)＝eq\f(sinα＋12－cos2α,sinα＋cosα2－1)＝eq\f(sin2α＋2sinα＋1－1－sin2α,sin2α＋cos2α＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sin2α＋2sinα,1＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sinαsinα＋1,2sinαcosα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右邊．∴原等式成立．(2)左邊＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcos2