高中數(shù)學(xué)北師大版第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單元測試 學(xué)業(yè)分層測評

學(xué)業(yè)分層測評(十二)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))x(x∈N＋)的圖像是()A．一條上升的曲線 B．一條下降的曲線C．一系列上升的點 D．一系列下降的點【解析】eq\f(7,3)>1且x∈N＋，故圖像是一系列上升的點．【答案】C2．(2023·延安高一檢測)函數(shù)f(x)＝3x－2中，x∈N＋且x∈[－1,3]，則f(x)的值域為()A．{－1,1,7} B．{1,7,25}C．{－1,1,7,25} \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，－1，1，7，25))【解析】∵x∈N＋且x∈[－1,3]，∴x∈{1,2,3}，∴3x∈{3,9,27}，∴f(x)∈{1,7,25}．【答案】B3．若正整數(shù)指數(shù)函數(shù)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，則它的解析式為()A．y＝2x B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x D．y＝(－2)x【解析】設(shè)f(x)＝ax，則a2＝eq\f(1,4)，∴a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.【答案】C4．若正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)＝(a－4)x滿足f(15)<f(14)，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)>4且a≠5 B．4<a<5C．a(chǎn)>5或a<4 D．a(chǎn)>5【解析】由f(15)<f(14)知，函數(shù)f(x)是減函數(shù)，因此0<a－4<1，解得4<a<5.【答案】B5．某產(chǎn)品計劃每年成本降低p%，若三年后成本為a元，則現(xiàn)在成本為()A．a(chǎn)(1＋p%)元 B．a(chǎn)(1－p%)元\f(a,1－p%3)元 \f(a,1＋p%)元【解析】設(shè)現(xiàn)在成本為x元，則x(1－p%)3＝a，∴x＝eq\f(a,1－p%3)，故選C.【答案】C二、填空題6．已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝(m2－5m－5)mx，(x∈N＋)，則m【解析】由題意m2－5m－5＝1，∴m2－5解得m＝6或－1(舍去)，∴m＝6.【答案】67．比較下列各式的值．(1)π3____π2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2____eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6.【解析】由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，π3>π2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6.【答案】(1)>(2)>8．光線通過一塊玻璃板時，其強度要損失20%，把幾塊相同的玻璃板重疊起來，設(shè)光線原來的強度為1，通過x塊玻璃板后的強度為y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________．【解析】20%＝，當x＝1時，y＝1×(1－＝；當x＝2時，y＝×(1－＝；當x＝3時，y＝×(1－＝；……∴光線強度y與通過玻璃板的塊數(shù)x的關(guān)系式為y＝(x∈N＋)．【答案】y＝(x∈N＋)三、解答題9．若x∈N＋，判斷下列函數(shù)是不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，若是，指出其單調(diào)性．(1)y＝(－eq\r(5,9))x；(2)y＝x4；(3)y＝eq\f(2x,5)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(9,\f(7,4))))x；(5)y＝(π－3)x.【解】因為y＝(－eq\r(5,9))x的底數(shù)－eq\r(5,9)小于0，所以y＝(－eq\r(5,9))x不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；(2)因為y＝x4中自變量x在底數(shù)位置上，所以y＝x4不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，實際上y＝x4是冪函數(shù)；(3)y＝eq\f(2x,5)＝eq\f(1,5)·2x，因為2x前的系數(shù)不是1，所以y＝eq\f(2x,5)不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；(4)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(9,\f(7,4))))x的底數(shù)是大于1的常數(shù)，所以是增函數(shù)；(5)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，因為y＝(π－3)x的底數(shù)是大于0且小于1的常數(shù)，所以是減函數(shù)．10．已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(3,27)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求f(5)；(3)函數(shù)f(x)有最值嗎？若有，試求出；若無，說明原因.【導(dǎo)學(xué)號：04100041】【解】(1)設(shè)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)為f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因為函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝3x(x∈N＋)．(2)f(5)＝35＝243.(3)∵f(x)的定義域為N＋，且在定義域上單調(diào)遞增，∴f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)無最大值．[能力提升]1．已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝(a－1)x(x∈N＋)是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)<2C．1<a<2 D．a(chǎn)<1【解析】由題意0<a－1<1，∴1<a<2.【答案】C2．若正整數(shù)x，滿足3x≤27，則x的取值范圍是()A．(－∞，3] B．[3，＋∞)C．{0,1,2,3} D．{1,2,3}【解析】由3x≤27，即3x≤33得x≤3，又x∈N＋，所以x＝1,2,3.【答案】D3．當x∈{x|－1<x≤4，x∈N＋}時，函數(shù)f(x)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的值域是________．【解析】因為{x|－1<x≤4，x∈N＋}＝{1,2,3,4}，∴當x＝1,2,3,4時，f(x)＝eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，故函數(shù)f(x)的值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(7,8)，\f(15,16))).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(7,8)，\f(15,16)))4．某種細菌每隔兩小時分裂一次(每一個細菌分裂成兩個，分裂所需時間忽略不計)，研究開始時有兩個細菌，在研究過程中不斷進行分裂，細菌總數(shù)y是研究時間t的函數(shù)，記作y＝f(t)．(1)寫出函數(shù)y＝f(t)的定義域和值域；(2)在坐標系中畫出y＝f(t)(0≤t<6)的圖像；(3)寫出研究進行到n小時(n≥0，n∈Z)時，細菌的總個數(shù)．(用關(guān)于n的式子表示)【解】(1)y＝f(t)的定義域為{t|t≥0}，值域為{y|y＝2n，n∈N＋}；(2)0≤t<6時，f(t)為分段函數(shù)，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0≤t<2，,4，2≤t<4，,8，4≤t<6.))圖像如圖所示．(3)n為偶數(shù)且n≥0時，y＝2eq\s