第五章異方差問題

第五章異方差第一節(jié)異方差問題及其影響第二節(jié)

異方差的檢驗第三節(jié)

異方差問題的補(bǔ)救措施經(jīng)典線性回歸模型的一個很重要的假定是隨機(jī)項的同方差性，這是保證OLSE有效性的重要假定，也是顯著性檢驗和置信區(qū)間構(gòu)造的前提條件。本章中，我們分析如果此假定不成立將會出現(xiàn)什么后果，以及如何對此進(jìn)行檢驗與補(bǔ)救等問題。2/6/20231山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室學(xué)習(xí)目標(biāo)4.了解修正異方差性的主要方法，掌握加權(quán)最小二乘法，理解懷特異方差--穩(wěn)健估計量及其應(yīng)用。3.了解異方差檢驗基本思路及各檢驗方法的假設(shè)條件；熟練掌握戈德菲爾德－匡特檢驗、懷特檢驗以及布殊-帕甘檢驗；2.理解出現(xiàn)異方差性時使用OLS的后果；1.了解異方差性的含義及產(chǎn)生的原因；學(xué)習(xí)本章后,您應(yīng)該做到：2/6/20232山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室1、異方差概念與異方差性時對OLS的影響；異方差性的修正及其EViews軟件操作方法。難點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：2、異方差檢驗基本思路及各檢驗方法的假設(shè)條件與檢驗步驟；4、懷特異方差--穩(wěn)健估計量及其應(yīng)用；3、異方差問題的處理----加權(quán)最小二乘法2/6/20233山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室第一節(jié)異方差問題及其影響、異方差及其產(chǎn)生的原因

經(jīng)典線性模型中高斯－馬爾科夫假定中重要的一個假定是同方差假定（假定SLR.4和MLR.5），即對于給定自變量的取值（一元回歸是一個值，多元回歸是一組值），的條件方差都是同一個常數(shù)：（假定SLR.4或假定MLR.5）若對于給定解釋變量的值為條件的隨機(jī)項的方差不再是一個常數(shù)，而是取得不同的數(shù)值，即：(5.1)2/6/20234山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室圖5.1異方差示意圖

xyf(y)則稱隨機(jī)誤差項u具有異方差性(Heteroscedasticity)。如果被解釋變量觀測值的分散程度是隨解釋變量的變化而變化的，如圖5.1所示，可以把異方差看成是由于某個解釋變量的變化而引起的，則2/6/20235山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室

由于經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是錯綜復(fù)雜的,所以同方差性的假定往往不符合實際情況，而異方差是大量存在的。例如，考慮家庭的可支配收入和儲蓄的關(guān)系，如建立如下家庭收入－儲蓄模型

yi

=0+1

xi+ui其中：yi：第i個家庭的儲蓄額xi：第i個家庭的收入

從二者的關(guān)系不難看出，當(dāng)收入增加時，平均儲蓄也會隨之增加。如果我們對不同收入水平家庭的儲蓄進(jìn)行觀察，同樣也會發(fā)現(xiàn)，低收入的家庭儲蓄差異性較小，而高收入的家庭儲蓄的差異性較大。這是因為低收入的家庭，其收入中扣2/6/20236山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室除必要的生活支出以外，用于其他支出和儲蓄的部分也較少，因此隨機(jī)項波動的程度小，即差小；而高收入家庭，其收入中扣除必要的生支出以外，剩余的就較多，就有更大的使用選余地，因而隨機(jī)項波動的程度就大，這樣儲蓄差異就較大，即方差大。因此，對于家庭收入－儲蓄模型，

隨機(jī)項方差性?？捎脠D5-2表示。具有異2/6/20237山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室yx圖5.2收入-儲蓄模型中的異方差可以看出，儲蓄y的離散程度隨收入x的增加而增大，具有明顯的異方差性。2/6/20238山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室例:以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型

Q=AKαLeu其中，Q為產(chǎn)出量，K為資本，L為勞動力，u為隨機(jī)項。

u在該問題中表示了包括不同企業(yè)在設(shè)計上、生產(chǎn)工藝上的區(qū)別，技術(shù)熟練程度和管理上的差別以及其它因素。這些因素在小企業(yè)之間差別不大，而在大企業(yè)之間，這些因素都相差甚遠(yuǎn)，即隨機(jī)項的方差隨著解釋變量的增大而增大。

2/6/20239山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室一般而言，產(chǎn)生異方差的原因主要來自以下幾個方面：1．模型中省略的解釋變量。

例如，模型本來應(yīng)當(dāng)為假如被略去了，而采用了模型當(dāng)被略去的有呈同方向或反方向變化的趨勢

的有規(guī)律變化會體現(xiàn)在上式的時，如果將某些未在模型中出現(xiàn)的重要影響因素歸入隨機(jī)誤差項，而且這些影響因素的變化具有差異性，則會對被解釋變量產(chǎn)生不同的影響，從而導(dǎo)致誤差項的方差隨之變化，即產(chǎn)生異方差性。注意模型設(shè)定偏誤2/6/202310山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室（以后將介紹）往往從表象看像是異方差問題，其實是由于模型中的一些重要變量被忽略了。例如，在一個對商品的需求函數(shù)中，如果沒有把有關(guān)的互補(bǔ)品和（或）替代品價格包括進(jìn)來（遺漏變量偏誤），則回歸殘差可能給人以異方差的表面印象；而當(dāng)模型把所忽略的變量包括進(jìn)來時，這種現(xiàn)象也許會消失。2.測量誤差。一方面，由于解釋變量取值越大，測量誤差就會趨于增大；另一方面，測量誤差又有可能隨時間而變化，比如測量技術(shù)、抽樣技術(shù)和數(shù)據(jù)采集技術(shù)等的不斷改進(jìn)，測量誤差有可能減少。例如，有成熟的數(shù)據(jù)處理設(shè)備的銀行，在為客戶提供的月度或季度報表中，相對于沒有這種設(shè)備的銀行，會出現(xiàn)更2/6/202311山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室少的差錯。3.模型中一個或多個回歸元的分布偏態(tài)（Skewness)，即截面數(shù)據(jù)中總體各單位的差異。諸如收入、財富和教育等經(jīng)濟(jì)變量都是很好的例子。例如前面所舉的家庭收入－儲蓄模型，如果采用不同家庭收入組的數(shù)據(jù)，低收入組的家庭儲蓄的差異較小，高收入的家庭儲蓄差異較大，最終反映為隨機(jī)項偏離其均值的程度有變化而出現(xiàn)異方差。異方差性在截面數(shù)據(jù)中比在時間數(shù)列中可能更常出現(xiàn)，這是因為同一時點(diǎn)不同對象的差異，一般說來會大于同一對象不同時間的差異。2/6/202312山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室4.模型函數(shù)形式設(shè)定錯誤。如把變量間本來為非線性的關(guān)系設(shè)定為線性，也可能導(dǎo)致異方差。5.異方差性還會因為異常觀測（outliers）的出現(xiàn)而產(chǎn)生。一個超越正常范圍的觀測值稱為異常觀測，是指和其他觀測值相比相差很多（非常小或非常大）的觀測值。包括這樣一個觀測值，尤其是小樣本時，會在很大程度上改變回歸分析的結(jié)果。2/6/202313山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室二、異方差產(chǎn)生的后果如果模型中存在異方差，將產(chǎn)生以下的后果：最小二乘估計量仍然是線性無偏的與一致的，但不再具有最小方差性。事實上OLS本身對條件方差沒有任何要求，所以它們適用于異方差的一般情況，也適用于同方差的特殊情況。因此，不管誤差是同方差還是異方差，OLSE估計量都是無偏的、一致的和漸進(jìn)正態(tài)的。但在異方差下能夠找到比OLSE的方差更小的估計量，也就是說，OLSE不再是最優(yōu)的，即使對大樣本也是如此。2.隨機(jī)項的方差的估計是有偏的。

當(dāng)ui是同方差時，未知的條件方差是一個常數(shù)，其2/6/202314山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室無偏估計量是而當(dāng)ui是異方差時，是變化的，如果這時仍用一個不變的值估計可以取不同數(shù)值的顯然是不合適的：，

有些觀有些觀測點(diǎn)可能測點(diǎn)可能所以是的有偏估計，而且在異方差條件下，也不存在的無偏估計量。是的有偏估計，3.由于所以這些參數(shù)方差的估計量是有偏的，參數(shù)的估2/6/202315山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室計標(biāo)準(zhǔn)誤差也是有偏的，不能用來構(gòu)造置信區(qū)間和t統(tǒng)計量。所以，當(dāng)出現(xiàn)異方差時，通方差時，我們在高斯—馬爾科夫假定下用來檢驗的統(tǒng)計量都不再成立。如果我們忽視異方差性而執(zhí)意使用慣常的檢驗程序，則無論我們得出什么結(jié)論或作出什么推斷，都可能產(chǎn)生嚴(yán)重的誤導(dǎo)。常OLS的t統(tǒng)計量就不再具有t分布，使用大樣本容量也不能解決這個問題。類似的，F(xiàn)統(tǒng)計量也不再服從F分布，LM統(tǒng)計量也不服從漸近分布?？傊诔霈F(xiàn)異4.預(yù)測的精確度降低。盡管參數(shù)的OLSE仍然無偏，并且基于此的點(diǎn)預(yù)測也是無偏的，但是由于參數(shù)估計量2/6/202316山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室不是有效的，從而對y的預(yù)測也將不是有效的。因此，預(yù)測值的精確度降低，區(qū)間預(yù)測中因為用到所以建立預(yù)測區(qū)間也會發(fā)生困難。2/6/202317山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室異方差是一個潛在的嚴(yán)重問題，因為它可能破壞常用的OLS估計和假設(shè)檢驗過程。因此，在實際研究中，尤其是針對截面數(shù)據(jù)時，在參數(shù)估計之前首先要判斷第二節(jié)異方差的檢驗是否存在異方差的問題。多年來，人們已經(jīng)提出過許多種檢驗異方差的方法。其中有些方法盡管有能力偵查異方差性，但并不直接檢驗誤差方差與自變量無關(guān)的假定。這里我們不僅介紹幾種傳統(tǒng)的檢驗方法，同時介紹幾種現(xiàn)代的檢驗。這些現(xiàn)代檢驗不僅能偵查出使通常的OLS統(tǒng)計量無效的異方差類型，同時還具備將所有檢驗都放在同一框架之中的好處。2/6/202318山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室一、圖示法

隨機(jī)項u的異方差與解釋變量的變化有關(guān)。因此，可利用因變量y與解釋變量x的散點(diǎn)圖或殘差e2i與x的散點(diǎn)圖，對隨機(jī)項u的異方差作近似的直觀判斷。見圖5-3

異方差檢驗的基本思路：由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機(jī)誤差項具有不同的方差。那么：

檢驗異方差性，也就是檢驗隨機(jī)誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。2/6/202319山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室yxyxyxyxA同方差B遞增異方差C遞減異方差D復(fù)雜異方差圖5-32/6/202320山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室若散點(diǎn)圖中y分布的區(qū)域隨著x的增大，而逐漸變寬(如圖5-3B)或逐漸變窄(如圖5-3C)，或是更加復(fù)雜的變化(如圖5-3D)，則可認(rèn)為隨機(jī)項可能出現(xiàn)了異方差。另一種等價的方法是，先建立y對于x的樣本回歸方程，計算出殘差再利用殘差平方的散點(diǎn)圖，觀察是否存在異方差.多元回歸模型存在多個解釋變量，作

的散點(diǎn)圖。

2/6/202321山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室如圖5-4A所示，則表明ui不存在異如圖5-4B、C、D所示，則表明方差；ui存在異方差。A

同方差B遞增異方差

002/6/202322山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室C遞減異方差D復(fù)雜異方差00圖形法的特點(diǎn)是簡單易操作，不足是對異方差性的判斷比較粗糙，由于引起異方差性的原因錯綜復(fù)雜，僅靠圖形法有時很難準(zhǔn)確對是否存在異方差下結(jié)論，還需要采用其他統(tǒng)計檢驗方法。2/6/202323山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室斯皮爾曼等級（秩）相關(guān)檢驗是由英國心理學(xué)家查爾斯.斯皮爾曼(Charles

EdwardSpearman1863～1945）在1904年提出的一種非參數(shù)檢驗方法。計算的相關(guān)系數(shù)又稱等級（秩）相關(guān)系數(shù)。1953年被應(yīng)用到異方差檢驗領(lǐng)域。二、斯皮爾曼等級（秩）相關(guān)檢驗假設(shè)懷疑的方差與某個自變量有關(guān)，即存在異方差，用等級（秩）相關(guān)系數(shù)進(jìn)行檢驗方法為：利用最小二乘法對模型進(jìn)行回歸，計算殘差ei及其絕對值|ei|；2/6/202324山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室

3.計算每個樣本點(diǎn)xji的位次和|ei|的位次之差di

2.給出xj的每個觀測值xji的位次和|ei|的位次；4.計算Spearman等級（秩）相關(guān)系數(shù)：5.對Spearman等級（秩）相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗。檢驗統(tǒng)計量為：2/6/202325山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室在原假設(shè)“總體的Spearman等級（秩）相關(guān)系數(shù)為0”下，上述統(tǒng)計量服從自由度為（n－2）的t分布。對應(yīng)給定顯著性水平的臨界值tα/2(n-2)，若t≤tα/2(n-2)

，則認(rèn)為不存在異方差，若t＞tα/2(n-2)

，則認(rèn)為存在異方差。2/6/202326山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室三、戈德菲爾德－匡特檢驗該檢驗方法是戈德菲爾德和匡特（Goldfeld&Quandt）于1965年提出的，用于檢驗是否存在遞增或遞減異方差，要求觀測值為大樣本?；舅枷胧菍颖痉譃閮刹糠?，然后分別對兩個樣本進(jìn)行回歸，并計算、比較兩個回歸的剩余平方和是否有明顯差異，以此判斷是否存在異方差。原假設(shè)為：（即同方差）備擇假設(shè)為：是遞增異（或遞減）方差，即遞增（或遞減）

2/6/202327山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室G-Q檢驗的步驟：1.將n對樣本觀察值(xi,

yi)按觀察值xi的大小排隊。2.將序列中間的c個觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個子樣本，每個子樣樣本容量均為(n-c)/2。注意：對于n≥30時，c=n/4最合適。3.對每個子樣分別進(jìn)行OLS回歸，并計算各自的殘差平方和。分別用RSS1與RSS2表示較小與較大的殘差平方和，它們的自由度均為(n-c)/2–k–1，k為模型中自變量個數(shù)。 4.選擇統(tǒng)計量2/6/202328山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室如果檢驗遞增方差：如果檢驗遞增方差：5.進(jìn)行檢驗可以證明，在原假設(shè)下，如果具有等方差性，兩個方差估計量應(yīng)該相差不大，F(xiàn)值就應(yīng)接近于1。如果存在異方差，那么F值就應(yīng)該比1大出許多。在給定的顯著性水平下，利用F分布的臨界值Fα進(jìn)行顯著性檢驗。當(dāng)F＞Fα?xí)r，應(yīng)拒絕H0，認(rèn)為存在異方差性，當(dāng)F不大于Fα?xí)r，應(yīng)接受H0，認(rèn)為存在同方差性。2/6/202329山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室例5-1根據(jù)隨機(jī)抽取的32個農(nóng)村家庭年底儲蓄余額與年內(nèi)家庭純貨幣收入的資料（其中一個無效數(shù)據(jù)），按收入排序后的數(shù)據(jù)見下表。其中，

x為年內(nèi)家庭純貨幣收入（元），

y為年底家庭儲蓄余額（元）。序號yx序號yx1264877717157824127210592101816542560439099541914002650041311050820182927670512210979212200283006107119122220172743074061274723210529560850313499241600281509431142692522503210010588155222624203250011898167302725703525012950176632817203350013779185752919003600014819196353021003620015122221163312300382001617022288032-254102/6/202330山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室經(jīng)分析，儲蓄受收入的線性影響，可建立一元線性回歸模型進(jìn)行分析。運(yùn)行EViews軟件，并輸入數(shù)據(jù)，首先，作x,y的散點(diǎn)圖，如圖5-5,。由散點(diǎn)圖可看出：隨機(jī)項可能存在遞增型異方差。從而，可以進(jìn)行異方差的戈德菲爾德－匡特檢驗。圖5-5散點(diǎn)圖2/6/202331山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室首先，將原始數(shù)據(jù)x按排成升序，去掉中間的9個觀測點(diǎn)數(shù)據(jù)，得兩個容量為11的子樣本。對兩個子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-744.6351195.4108-3.8106140.0041X0.0882580.0157055.6196190.0003R-squared0.778216

Meandependentvar331.3636AdjustedR-squared0.753574

S.D.dependentvar260.8157S.E.ofregression129.4724

Akaikeinfocriterion12.72778Sumsquaredresid150867.9

Schwarzcriterion12.80012Loglikelihood-68.00278

F-statistic31.58011Durbin-Watsonstat1.142088

Prob(F-statistic)0.0003262/6/202332山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室即有第一個子樣本的回歸方程：RSS1＝150867.9VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C1050.790817.35111.2856040.2307X0.0319930.0250091.2792890.2328R-squared0.153863

Meandependentvar2090.364AdjustedR-squared0.059848

S.D.dependentvar300.4404S.E.ofregression291.3113

Akaikeinfocriterion14.34963Sumsquaredresid763760.5

Schwarzcriterion14.42197Loglikelihood-76.92295

F-statistic1.636581Durbin-Watsonstat2.834577

Prob(F-statistic)0.2327912/6/202333山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室即有第二個子樣本的回歸方程：RSS2＝763760.5給定顯著性水平查F分布表，得臨界值因為故拒絕原假設(shè)，

表明隨機(jī)誤差項存在顯著的異方差。2/6/202334山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室四、帕克檢驗[1]帕克（P.E.Park，1966）將σ2i看成是解釋變量xi的某個函數(shù)。他所建議的函數(shù)形式是：或由于σ2i通常是未知的，Park建議用e2i作為替代變量并作如下回歸：（5.7）（5.8）如果γ在統(tǒng)計上是顯著的，就表明存在異方差。如果它不顯著，則可接受同方差假設(shè)。此時，原假設(shè)（等價原假設(shè)[1]本部分為選學(xué)內(nèi)容2/6/202335山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室可見，Park檢驗是一個兩階段程序。在第一階段中，我們做OLS回歸而不考慮異方差性問題，我們從這一回歸中得到，然后做第二階段回歸（5.8）。雖然帕克檢驗從經(jīng)驗上看頗有魅力，卻遇到一些問題，戈德菲爾德和匡特曾指出，進(jìn)入方程（5.8）的誤差項可能不滿足OLS假設(shè)，而且本身還可能是異方差[1]StephenM.GoldfeldandRichardE.Quandt,Nonlinear

MethodsinEconometrics,NorthHollandPublishingCompany,Amsterdam,1972,pp.93-94.的[1]。然而平心而論，作為一種純粹探索性方法帕克檢驗還是有其應(yīng)用價值的。2/6/202336山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室〔例5-2〕利用帕克檢驗例5-1數(shù)據(jù)的異方差性。第一階段：對模型（5.6）進(jìn)行OLS回歸：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-648.1236118.1625-5.4850180.0000X0.0846650.00488217.341640.0000R-squared0.912050

Meandependentvar1250.323AdjustedR-squared0.909017

S.D.dependentvar820.9407S.E.ofregression247.6234

Akaikeinfocriterion13.92404Sumsquaredresid1778203.

Schwarzcriterion14.01655Loglikelihood-213.8226

F-statistic300.7324Durbin-Watsonstat1.734682

Prob(F-statistic)0.0000002/6/202337山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室第二階段：對模型（5.7）進(jìn)行回歸：DependentVariable:LOG(E^2)VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-13.159695.746282-2.2901220.0295LOG(X)2.3398430.5784804.0448140.0004R-squared0.360678

Meandependentvar10.05885AdjustedR-squared0.338632

S.D.dependentvar1.791164S.E.ofregression1.456656

Akaikeinfocriterion3.652505Sumsquaredresid61.53355

Schwarzcriterion3.745020Loglikelihood-54.61382

F-statistic16.36052Durbin-Watsonstat1.953801

Prob(F-statistic)0.000354因為，表5-5中斜率系數(shù)的t檢驗高度顯著，故拒絕同方差假設(shè)，認(rèn)為存在異方差。2/6/202338山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室五、戈里瑟檢驗具體步驟如下：1.利用最小二乘法對模型進(jìn)行回歸，計算殘差ei。2.對|ei|關(guān)于xi的各種冪次關(guān)系進(jìn)行回歸，再利用最小二乘法進(jìn)行估計。例如可以取以下形式產(chǎn)生于1969年的戈里瑟檢驗（GlejserTest）思路類似于帕克檢驗，只是異方差的數(shù)學(xué)形式不同。Glejeser檢驗的基本思路是：在殘差|ei|關(guān)于解釋變量的各種冪次影響關(guān)系中，確定出一個最顯著的函數(shù)形式.

（5.9）2/6/202339山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室對各個回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計檢驗，如果某種回歸形式的擬合優(yōu)度高，系數(shù)的t檢驗顯著，就說明|ei|與xi存在該種影響關(guān)系，從而異方差存在。注意:Glejeser檢驗的計算工作量較大.戈里瑟檢驗從經(jīng)驗上看也頗有魅力，卻遇到一些問題，戈德菲爾德和匡特曾指出，進(jìn)入方程（5.9）的誤差項可能不滿足OLS假設(shè)，如期望值非零、序列相關(guān)以及異方差性。然而，戈里瑟檢驗對大樣本來說，一般都能給出令人滿意的結(jié)果，因此，從實用角度考慮，戈里瑟檢驗可用于大樣本，而在小樣本中，則僅可作為摸索異方差性的一種定性方法。2/6/202340山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室〔例5-3〕利用戈里瑟檢驗例5-1的異方差性。DependentVariable:EVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C71.6639032.271152.2206800.0343X^1.81.72E-063.55E-074.8375800.0000R-squared0.446588

Meandependentvar201.8733AdjustedR-squared0.427505

S.D.dependentvar131.0044S.E.ofregression99.12244

Akaikeinfocriterion12.09293Sumsquaredresid284932.5

Schwarzcriterion12.18544Loglikelihood-185.4404

F-statistic23.40218Durbin-Watsonstat2.540085

Prob(F-statistic)0.000040且t檢驗與F檢驗均高度顯著。2/6/202341山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室即誤差項存在異方差。六、懷特檢驗懷特（HalbertWhite，1951-2012）于1980年提出了一個檢驗異方差的方法?；舅枷胧?如果隨機(jī)項存在異方差，則條件方差與解釋變量有關(guān)，這時可以通過分析是否與解釋變量有某些形式的聯(lián)系以判斷異方差性。由于一般是未知的，可用OLS法估計的殘差平方作為其估計量。在大樣本的情況下，做對常數(shù)項、解釋變量、解釋變量的平方及其交叉乘積等所構(gòu)成的輔助回歸，利用輔助回歸相應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量，即可判斷是否存在異方差性。2/6/202342山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室例如，二元線性回歸模型為

(5.10)異方差與解釋變量x1、x2的一般線性關(guān)系為

（5.11）其中vi為隨機(jī)誤差。White檢驗的基本步驟如下：1.運(yùn)用OLS估計（5.10）。

2.計算殘差序列ei，并求e2i。3.做e2i對x1i,x2i

,x21i,x22i

,x1ix2i

,的輔助回歸，即（5.12）注意輔助回歸中一定含常數(shù)項。2/6/202343山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室4.計算（5.12）的F統(tǒng)計量，或計算統(tǒng)計量,

n為樣本容量，R2為輔助回歸的樣本決定系數(shù)。5.在原假設(shè)“誤差項同方差”下，（相當(dāng)于輔助回歸方程斜率系數(shù)同為0，

,F統(tǒng)計量服從自由度為（5，n－6）的F分布；

nR2服從自由度為5的χ2分布。給定顯著性水平α，查分布表得臨界值χ2α(5)

，如果nR2＞χ2α(5)

，則拒絕原假設(shè)，表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差（EViews軟件中給出nR2、及F對應(yīng)的概率(Probability)。若

Probability＜α，則表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差，α一般取0.05）。

2/6/202344山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室White檢驗的優(yōu)點(diǎn)是，不需要異方差的先驗信息，但要求觀測值為大樣本。缺點(diǎn)是如果有多個回歸元（自變量），那么引進(jìn)所有回歸元及其平方項和它們的交叉乘積項就會迅速消耗掉許多自由度。因此，在使用懷特檢驗時要保持警覺。為此根據(jù)懷特檢驗的特點(diǎn)，我們可以得到一個比懷特檢驗更容易實施而且自由度更節(jié)省的檢驗—稱為等價懷特異方差檢驗：1.運(yùn)用OLS估計模型（5.13）得到OLS的回歸值（或擬合值）并計算殘差2/6/202345山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室

2.運(yùn)用OLS估計模型：（5.14）得到回歸模型（5.14）的R2。3.構(gòu)造統(tǒng)計量：（5.15）（5.16）或4.對于給定的，進(jìn)行常規(guī)的F或檢驗〔例5-4〕對例5-1進(jìn)行懷特檢驗。首先用EViews對表5-1所有樣本數(shù)據(jù)用OLS估計y對x的回歸方程，在輸出結(jié)果窗口，點(diǎn)擊View－ResidualTests－WhiteHeteroskedasticity（nocrossterms）：輸出結(jié)果如下：2/6/202346山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室WhiteHeteroskedasticityTest:F-statistic7.840687

Probability0.001977Obs*R-squared11.12883

Probability0.003832VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C11957.4969304.550.1725350.8643X-1.0850046.784670-0.1599200.8741X^20.0001190.0001470.8086230.4255R-squared0.358995

Meandependentvar57361.38AdjustedR-squared0.313208

S.D.dependentvar68305.92S.E.ofregression56607.09

Akaikeinfocriterion24.81742Sumsquaredresid8.97E+10

Schwarzcriterion24.95619Loglikelihood-381.6700

F-statistic7.840687Durbin-Watsonstat2.642502

Prob(F-statistic)0.0019772/6/202347山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室可見，在0.05的顯著性水平下，應(yīng)該拒絕同方差假設(shè)，認(rèn)為誤差項存在著異方差。利用等價懷特異方差檢驗方法，可以得到同樣的結(jié)果。DependentVariable:E^2VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C10627.7428728.790.3699330.7142YF8.71187954.053850.1611700.8731YF^20.0166070.0205380.8086230.4255R-squared0.358995

Meandependentvar57361.38AdjustedR-squared0.313208

S.D.dependentvar68305.92S.E.ofregression56607.09

Akaikeinfocriterion24.81742Sumsquaredresid8.97E+10

Schwarzcriterion24.95619Loglikelihood-381.6700

F-statistic7.840687Durbin-Watsonstat2.642502

Prob(F-statistic)0.0019772/6/202348山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室注意：在方程（5.11）給出的懷特統(tǒng)計量統(tǒng)計顯著情形下，異方差性并非必然的原因，也可能是設(shè)定誤差。換句話說，懷特檢驗可能是（純粹）異方差性檢驗，或者是設(shè)定錯誤的一個檢驗，或者兩者兼有。已經(jīng)被證明，若懷特檢驗程序中沒有出現(xiàn)交叉項，則是對純粹異方差性的檢驗；若出現(xiàn)交叉項，則既是對異方差性又是對設(shè)定偏誤的檢驗[1]。[1]參見RichardHarris,Using

CointegrationAnalysisinEconometricsModelling,Prentice

Hall﹠HarvesterWheatsheaf,U.K.,1995,p.68。2/6/202349山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室七、布殊－帕甘檢驗

布殊－帕甘檢驗（Breusch-PaganTest）與懷特檢驗的基本思想類似，只是異方差的函數(shù)形式不同。布殊－帕甘檢驗的思路為：1.運(yùn)用OLS估計模型得到OLS的殘差2.運(yùn)用OLS估計輔助回歸模型（5.17）記輔助回歸模型的擬合優(yōu)度為R23.構(gòu)造統(tǒng)計量：（5.18）2/6/202350山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室則在同方差假設(shè)，即下

4.對于給定的，進(jìn)行常規(guī)的F或檢驗〔例5-5〕利用布殊－帕甘檢驗對例5-1進(jìn)行異方差檢驗VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-39651.8226850.45-1.4767650.1505X4.3264981.1093943.8998760.0005R-squared0.344025

Meandependentvar57361.38AdjustedR-squared0.321406

S.D.dependentvar68305.92S.E.ofregression56268.26

Akaikeinfocriterion24.77599Sumsquaredresid9.18E+10

Schwarzcriterion24.86851Loglikelihood-382.0278

F-statistic15.20903Durbin-Watsonstat2.565007

Prob(F-statistic)0.0005252/6/202351山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室因為

Prob(F-statistic)=0.000525<0.05，可見，在0.05的顯著性水平下，應(yīng)該拒絕同方差假設(shè)，認(rèn)為誤差項存在著異方差。以上各種檢驗方法，很難說哪一種方法最為有效。這些檢驗方法的共同思想都是分析誤差項的方差與解釋變量的相關(guān)性，以判斷隨機(jī)誤差項的方差是否隨解釋變量而變化。其中有的檢驗方法還能提供隨機(jī)誤差項的方差與解釋變量之間關(guān)系的某些信息，這些信息對消除異方差性可能是有價值的。2/6/202352山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室第三節(jié)異方差問題的補(bǔ)救措施正如前節(jié)所述，異方差性雖然不破壞OLS的估計量的無偏性和一致性，卻使它們不再是有效的，甚至即在大樣本中不是漸近有效的。有效性的缺乏使得通常的假設(shè)檢驗程序變得不可信。因此，補(bǔ)救措施顯然是需要的。補(bǔ)救方法主要有以下幾種思路：一種思想是在出現(xiàn)未知形式的異方差時，使用OLS估計后的異方差—穩(wěn)健程序。另一種思想是應(yīng)用廣義最小二乘法（GLS），即通過探索異方差的具體形式，變換原模型，使經(jīng)過變換后的模型具有同方差性，然后再用OLS法進(jìn)行估計，以降低異方差性的影響。GLS應(yīng)用于異方差領(lǐng)域的具體形式為加權(quán)最小二乘法（Weighted2/6/202353山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室LeastSquare，WLS）。第三種思路是對模型中的變量進(jìn)行變換（如對數(shù)變換），以消除異方差性。本節(jié)我們分別介紹這些方法。一、加權(quán)最小二乘法（一）加權(quán)最小二乘法的基本思想為了敘述方便，下面以一元線性回歸模型為例說明WLS的思路。按照OLS的基本原則進(jìn)行參數(shù)估計，就是求出使殘差平方和

最小的在同方差假定下，OLS把每個殘差平方2/6/202354山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室都同等的看待，都賦予相同的權(quán)數(shù)1。但是,當(dāng)存在異方差時，y的條件方差越小，其樣本值偏離均值的程度越小，其觀測值越應(yīng)受到重視，即方差越小，在確定回歸線時的作用越大；反之因變量條件方差越大，其樣本值偏離均值的程度越大，其觀測值所起的作用應(yīng)當(dāng)越小。也就是說，在擬合存在異方差的模型的回歸線時，對具有不同方差的殘差應(yīng)該區(qū)別對待。從樣本的角度，對較小方差的殘差給予較大的權(quán)數(shù)，對較大方差的殘差給予較小的權(quán)數(shù)，從而使加權(quán)的殘差平方和比其簡單平方和能更好地反映不同樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)對殘差平方和的影響。

2/6/202355山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室則加權(quán)的殘差平方和為：

根據(jù)最小二乘原理，使加權(quán)的殘差平方和最小，即：解得：其中：通常將殘差平方給與權(quán)數(shù)：

（5.19）（5.20）2/6/202356山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室這種求解參數(shù)估計式的方法為加權(quán)最小二乘法，這樣估計出的參數(shù)稱為加權(quán)最小二乘估計量（WLSE）。實際應(yīng)用中，由于隨機(jī)項的方差未知，故WLS是無法直接使用的。

（二）異方差形式已知情形下的WLS根據(jù)異方差的含義可知，異方差就是隨機(jī)項ui在解釋變量x取不同數(shù)值時方差不同。這就意味著異方差是解釋變量xi的函數(shù)，這種函數(shù)形式如果已知，比如：（5.21）2/6/202357山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室這時用乘以的兩邊，得：記：則：這說明變換后的模型（5.21）的隨機(jī)項具有了同方差性。這時就可以對（5.21）應(yīng)用OLS。這種方法相當(dāng)于令殘差平方的權(quán)數(shù)

時的WLS。2/6/202358山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室用去乘以原模型兩端得：在多元模型中，若方差與m個解釋變量有關(guān)，且異方差形式可寫作：若記則2/6/202359山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室可見，這種方法的思路實際上就是當(dāng)確定了異方差的具體的形式時，將原模型加以適當(dāng)?shù)摹白儞Q”，使得“變換”后的模型消除或減輕異方差的影響，遵循的是廣義最小二乘法（GeneralizedLeastSquares，GLS）的思路。WLS是廣義最小二乘法在異方差條件下的具體應(yīng)用。上述方法應(yīng)用的關(guān)鍵，是已知異方差的具體形式。現(xiàn)以一元線性回歸模型為例進(jìn)一步說明。例如，設(shè)給定的模型為：（5.23）

2/6/202360山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室假定異方差函數(shù)為：此時用xi的倒數(shù)去乘以原模型的兩邊得：這樣轉(zhuǎn)換后的模型具有同方差性。此時:對轉(zhuǎn)換后的模型應(yīng)用OLS，即可求得：于是，得到原模型的樣本回歸方程為：

(其中,)（5.24）2/6/202361山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室又如，假定（5.23）的異方差函數(shù)為：對轉(zhuǎn)換后的模型應(yīng)用OLS得：其中：進(jìn)一步還原可得到原模型的樣本回歸方程。此時用的倒數(shù)去乘以原模型的兩邊,可得（5.27）2/6/202362山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室的最佳線性無偏估計量。但我們必須由于經(jīng)過變換的方程滿足所有假定，所以從利用變換后的變量所做的回歸中，能夠得到標(biāo)準(zhǔn)誤、t統(tǒng)計量和F統(tǒng)計量，而且，因為這些廣義最小二乘（GLS）估計量都是記住：要將參數(shù)估計值放到原方程中去解釋。（三）異方差函數(shù)未知情形下的WLS可以模型化，并利用數(shù)據(jù)來估計這個模型，從而得到每個的估計值，記為。用取代進(jìn)行WLS估計。這實際上遵循了可行的廣義二乘法在大多數(shù)情況下，異方差的確切形式并不明顯。換句話說，我們不知道異方差的函數(shù)形式不過，我們2/6/202363山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室FeasibleGeneralizedLeastSquares，F(xiàn)GLS）的思路。應(yīng)用中模型化異方差性的方法有多種，如利用戈里瑟檢驗或帕克檢驗得到的結(jié)果構(gòu)造

或利用統(tǒng)計軟件尋求最優(yōu)權(quán)等。

例如，假定有多元線性回歸模型：（5.29）設(shè)異方差函數(shù)為：2/6/202364山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室考慮模型或（5.30）和平常一樣，以O(shè)LS殘差來代替（5.30）中觀測不到的。即估計下式：（5.31）注意：我們只關(guān)心（5.31）的回歸值簡記為，則

對方程（5.29），同乘方程兩端，新的誤2/6/202365山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室差項是條件同方差的，可以對變換后的模型運(yùn)行OLS。這種WLS實際上是異方差條件下的FGLS。上述步驟概括如下：（1）將做回歸并得到（2）做的回歸并得到擬合值（3）計算（4）以同乘方程兩端進(jìn)行變換，然后運(yùn)行WLS。

另一種估計的有用方法是，用OLS的擬合值及其平方取代(5.31)中的自變量。即第（2）步中改為由

的回歸中得到擬合值然后與其它步驟一。

2/6/202366山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室樣求〔例5-6〕對例5-1中的異方差問題進(jìn)行補(bǔ)救處理。由例5-2帕克檢驗中表5-5，應(yīng)取用對原模型進(jìn)行變換，WLS結(jié)果如下：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/X^1.53-702.5837110.0196-6.3859880.00001/X^0.530.0867920.00609314.245330.0000R-squared0.466129

Meandependentvar0.000236AdjustedR-squared0.447720

S.D.dependentvar8.27E-05S.E.ofregression6.15E-05

Akaikeinfocriterion-16.49427Sumsquaredresid1.10E-07

Schwarzcriterion-16.40175Loglikelihood257.6611

Durbin-Watsonstat1.2113612/6/202367山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室由例5-3的戈里瑟檢驗結(jié)果表5-6，用對原模型進(jìn)行變換，WLS結(jié)果如下：DependentVariable:Y/X^1.8WhiteHeteroskedasticity-ConsistentStandardErrors&CovarianceVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/X^1.8-677.8267122.8219-5.5187780.00001/X^0.80.0848950.00715811.860260.0000R-squared0.194125

Meandependentvar1.59E-05AdjustedR-squared0.166337

S.D.dependentvar5.16E-06S.E.ofregression4.72E-06

Akaikeinfocriterion-21.62900Sumsquaredresid6.45E-10

Schwarzcriterion-21.53648Loglikelihood337.2494

Durbin-Watsonstat1.1107842/6/202368山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室這兩種處理方法下，盡管表面看來模型具有不同程度的改善，但通過懷特檢驗（過程略）驗證，會發(fā)現(xiàn)該模型仍然存在異方差問題。意味著利用戈里瑟檢驗、帕克檢驗而得到的的估計存在問題。

以（5.31）形式進(jìn)行FGLS，結(jié)果如下：2/6/202369山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室DependentVariable:Y/FI^0.5WhiteHeteroskedasticity-ConsistentStandardErrors&CovarianceVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/FI^0.5-757.875492.48450-8.1946200.0000X/FI^0.50.0903950.00512717.629510.0000R-squared0.759584

Meandependentvar6.426213AdjustedR-squared0.751294

S.D.dependentvar2.781565S.E.ofregression1.387179

Akaikeinfocriterion3.554762Sumsquaredresid55.80368

Schwarzcriterion3.647277Loglikelihood-53.09881

Durbin-Watsonstat1.436400

FGLS下的EViews輸出結(jié)果2/6/202370山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室懷特檢驗結(jié)果如下：WhiteHeteroskedasticityTest:F-statistic1.913798

Probability0.138147Obs*R-squared7.051242

Probability0.133205由可行GLS下的EViews輸出結(jié)果看，已消除異方差?？梢?，異方差函數(shù)形式的設(shè)定對于FGLS至關(guān)重要。在結(jié)束對WLS的討論之時，我們再次強(qiáng)調(diào)，以上所討論的變換都是一種權(quán)宜之計。我們基本上都是在猜測在所討論的變換中那一種能行之有效，要看問題的性質(zhì)和異方差的嚴(yán)重程度。很難給出一個確切的2/6/202371山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室評價。順便指出：如果我們所使用的異方差函數(shù)被錯誤的設(shè)定時，WLS估計量仍然是無偏與一致的，但不是有效的；即使在大樣本下，WLS標(biāo)準(zhǔn)誤與檢驗統(tǒng)計量都不再可靠。幸運(yùn)的是，對任何形式的異方差性我們都能得到OLS估計值的穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。在方差函數(shù)被誤設(shè)情況下，我們也可以得到WLS估計值的穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。重要的是：足夠穩(wěn)健的WLS標(biāo)準(zhǔn)誤遠(yuǎn)小于足夠穩(wěn)健的OLS標(biāo)準(zhǔn)誤。2/6/202372山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室二、在OLS下，使用異方差性一致估計量由于實際上異方差函數(shù)形式我們無法知道，F(xiàn)GLS的效果取決于異方差函數(shù)形式的設(shè)定的是否符合實際情況，所以WLS的主觀性很大大。在這種情況下，我們試圖尋找解決異方差問題的另一種途徑。我們知道，在出現(xiàn)異方差時，OLS估計量仍然是無偏的、（大樣本情況下）一致的和漸近正態(tài)分布，僅方差是不可信的。自然要問：是否可以通過調(diào)整對方差的估計使之可信？幸運(yùn)的是，最近二十年來，計量經(jīng)濟(jì)學(xué)家門已經(jīng)知道了如何調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)誤、t統(tǒng)計量、F統(tǒng)計量和LM統(tǒng)計量，使之在出現(xiàn)未知形式的異方差性時OLS仍可用。這種方法稱為異方差－穩(wěn)健程序。2/6/202373山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室OLS估計的斜率系數(shù)的方差公式是：如果滿足同方差假定，則存在一個常數(shù)方差，將其代入(5.32)，有：

(5.32)但在異方差條件下，不存在這樣的常數(shù)方差，White的方法是在(5.32)式中用取代(這里是第i個OLS殘差），得到異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差：下面我們用一元線性回歸模型對White方法作一說明。（5.33）

2/6/202374山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室注意：不能用得到的一致估計量，White得到的是的一致估計量，它是的加權(quán)平均。

同樣的分析適用于多元回歸OLSE的情況，用White方法得到的第j個OLS回歸系數(shù)方差的異方差性一致估計值由下式給出：其中是從xj對方程中所有其它解釋變量OLS回歸得到的殘差，ei為原多元回歸模型的第i個OLS殘差。（5.34）

這種估計量的性質(zhì)不是“最好”，但它們對于同方差RobustEstimators）。性的違背不敏感，被稱為懷特異方差－穩(wěn)健估計量（2/6