ch6最佳MMSE濾波課件

最佳(MMSE)線性濾波最小均方誤差估計(jì)線性預(yù)測(cè)MMSE濾波器設(shè)計(jì)隨機(jī)信號(hào)作為濾波器的輸入(p.107-111)傳統(tǒng)濾波器:低通,高通,帶通,帶阻對(duì)信號(hào)的不同頻率分量進(jìn)行取舍傳統(tǒng)濾波器在很多應(yīng)用場(chǎng)合不符合實(shí)際需要例子：信道均衡器設(shè)計(jì)通過對(duì)接收信號(hào)的線性組合，從x恢復(fù)出y更一般化的信號(hào)估計(jì)問題：基于接收信號(hào)，構(gòu)造一定結(jié)構(gòu)的估計(jì)器，從中恢復(fù)出期望的信號(hào)（又稱信號(hào)估計(jì)問題）。濾波器設(shè)計(jì)的步驟：確定估計(jì)器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)：IIR，F(xiàn)IR

預(yù)先假設(shè)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性（輸入，噪聲等）：獨(dú)立同分布輸入確定性能準(zhǔn)則（目標(biāo)函數(shù)），及其參數(shù)確定優(yōu)化方法：估計(jì)器系數(shù)的求解最小均方誤差準(zhǔn)則期望信號(hào)估計(jì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)最佳濾波的常用準(zhǔn)則：最小均方誤差線性估計(jì)：導(dǎo)致簡(jiǎn)單的濾波器求解算法易于進(jìn)行性能分析線性均方誤差估計(jì)一般化問題模型期望信號(hào)觀測(cè)信號(hào)待估計(jì)參數(shù)時(shí)間下標(biāo)不同參數(shù)，不同觀測(cè)信號(hào)對(duì)非時(shí)變系統(tǒng)注意和書(6.2.1)-(6.2.4)的比較共軛轉(zhuǎn)置濾波器系數(shù)求解原則：矢量函數(shù)的求導(dǎo)常用求導(dǎo)公式與6.2.11一致正交性原理隨機(jī)矢量的內(nèi)積定義為正交：內(nèi)積等于0對(duì)于最小均方誤差估計(jì)，當(dāng)實(shí)現(xiàn)最佳估計(jì)時(shí)正交性原理：當(dāng)實(shí)現(xiàn)最佳估計(jì)時(shí)，估計(jì)誤差與所采用的觀測(cè)信號(hào)正交可以證明，正交性原理和最小均方誤差是等價(jià)的MMSE參數(shù)估計(jì)主要結(jié)論僅依賴于期望信號(hào)和輸入數(shù)據(jù)性能曲面是濾波器參數(shù)的二次函數(shù)，函數(shù)曲面是凸曲面，且存在唯一全局最小點(diǎn)，在偏離最佳估計(jì)系數(shù)時(shí)，所造成的超量誤差只決定于輸入數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣。正交性原理提供濾波器參數(shù)估計(jì)的直觀解釋和參數(shù)估計(jì)途徑濾波器參數(shù)也可由相關(guān)矩陣的特征值和特征向量計(jì)算得到。平穩(wěn)過程的最佳有限沖激響應(yīng)濾波－頻率域解釋基于正交性原理維納－霍夫方程兩邊取傅立葉變換從上式求解不一定能得到FIR因果濾波器更適應(yīng)于求解IIR非因果濾波器線性預(yù)測(cè)前向預(yù)測(cè)：利用某一時(shí)刻以前p時(shí)刻的數(shù)據(jù)的線性組合來預(yù)測(cè)該時(shí)刻的值。不同表現(xiàn)形式預(yù)測(cè)誤差定義為：預(yù)測(cè)均方誤差定義為：和AR模型的YW方程是一致的。預(yù)測(cè)誤差和觀測(cè)值相互正交，是最佳線性預(yù)測(cè)的充要條件后向預(yù)測(cè)：利用某一時(shí)刻以后p時(shí)刻的數(shù)據(jù)的線性組合來預(yù)測(cè)該時(shí)刻的值。預(yù)測(cè)誤差定義為：預(yù)測(cè)均方誤差定義為：后向預(yù)測(cè)的維納-霍夫方程前向預(yù)測(cè)與后向預(yù)測(cè)的關(guān)系前向預(yù)測(cè)維納－霍夫方程（二階預(yù)測(cè)為例）相關(guān)矩陣按行逆序再按列逆序后向預(yù)測(cè)方程:結(jié)論:對(duì)復(fù)信號(hào),有類似結(jié)論:線性預(yù)測(cè)的基本性質(zhì)對(duì)平穩(wěn)信號(hào),前向預(yù)測(cè)算子是最小相位的,后向預(yù)測(cè)算子是最大相位線性預(yù)測(cè)系數(shù)可由自相關(guān)矩陣的特征矢量和特征值求解.

預(yù)測(cè)誤差可由相關(guān)矩陣的行列式求解。線性預(yù)測(cè)應(yīng)用例子：信道均衡可以證明,延時(shí)為m的線性預(yù)測(cè),當(dāng)預(yù)測(cè)長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)是,預(yù)測(cè)誤差為規(guī)則方程輸入信號(hào)為零均值,獨(dú)立同分布信號(hào)信道傳輸矩陣第m列考慮兩個(gè)不同延時(shí)的預(yù)測(cè)器,有IIR濾波器的維納-霍夫方程平穩(wěn)過程的最佳無限沖激響應(yīng)濾波正交性原理最小均方誤差非因果維納濾波器雙邊z變換：?jiǎn)挝粓A外存在零點(diǎn)不一定是因果系統(tǒng)，物理不可實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過程的最佳無限沖激響應(yīng)濾波一種簡(jiǎn)單情況:濾波器輸入為白噪聲求單邊z變換平穩(wěn)過程的因果最佳無限沖激響應(yīng)濾波維納-霍夫方程白化濾波器白噪聲H(z)是可逆的最小相位系統(tǒng),w(n)可以看成是隨機(jī)信號(hào)下x(n)的更新當(dāng)x(n)是規(guī)則過程時(shí),白化濾波器一定存在同樣信息一般情況:先設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器將輸入信號(hào)白化平穩(wěn)過程的因果最佳無限沖激響應(yīng)濾波)(nx)(ny)(1zG)(zQ)(nw譜因式分解：零極