求體積的幾種常用的方法

南昌市豫章中學求體積的幾種常用方法授課人：徐娜復(fù)習回顧：1.棱柱、棱錐、棱臺的體積公式是什么？它們的圖形有何聯(lián)系？上底擴大上底縮小2.常見的幾何體——正四面體的體積公式是什么？答：邊長為的正四面體的體積為ASCBOBCA'B'思考：如何求三棱錐的體積？①②③ABCA'B'C'ABCA'CA'C'B'

答：由于和的面積相等，且三棱錐和三棱錐具有相等的高，所以又由于和的面積相等，且三棱錐和三棱錐具有相等的高，所以一、等積轉(zhuǎn)換法（換底法）等積轉(zhuǎn)換法是針對當所給幾何體的體積不能直接套用公式或涉及的某一量(底面積或高)不易求解時，可以轉(zhuǎn)換一下幾何體中有關(guān)元素的相對位置進行計算，該方法尤其適用于求三棱錐的體積。【例1】

在邊長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分別是棱A1B1、A1D1、A1A上的點，且滿足A1M=A1B1，A1N=2ND1，A1P=A1A，如圖，試求三棱錐A1—MNP的體積．解：思考：結(jié)論：對于三棱錐，四個面都可以作為底面，選取三個點所在的面作為底面，剩余的一個點作為頂點。至于如何選取，關(guān)鍵在于選取的底面積和高易求出。這個三棱錐是否還可以轉(zhuǎn)換到其他頂點？

對于給出的一個不規(guī)則的幾何體，不能直接套用公式，常常需要通過“割”或“補”化復(fù)雜圖形為已熟知的簡單幾何體，并作體積的加、減法，從而較快地找到解決問題的突破口。二、割補法【例2】如右圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為

.思考：本題可以做怎樣的“分割”或“補形”？EFABCDEFABCDGH(分割法2)PEFABCD（分割法3）QEGFPABCDH（補形法）EFABCD(分割法1)EFABCDEFABCD（分割法1）

多面體分割成一個三棱錐和一個四棱錐，但是，三棱錐E-ADF的體積不易求得，所以，不考慮這種方法。注：將幾何體分割時，盡量分割成體積容易求得的小幾何體。分別過A、B作EF的垂線，垂足分別為G、H，連結(jié)DG、CH，容易求得EG=HF=.(分割法2)EFABCDEFABCDGH返回EFABCDPEFABCD（分割法3）：取EF的中點P，則多面體ABCDEF分割成正四面體ADEP，PBCF和正四棱錐P-ABCD返回QEGFPABCDHEFABCD（補形法）：如圖，過E分別作BA、CD的延長線的垂線EG、EH，過F分別作AB、DC的延長線的垂線FP、FQ，連接GH、PQ，則多面體EFH-FPQ為直三棱柱AG=DH=BP=CQ=，EG=EH=FP=FQ=E到平面AGHD的距離為返回分割法的要點：1.多面體常常切割成柱體和錐體，特別是三棱錐,比如2.將大幾何體分割時，盡量分割成底面積或高容易求得的小幾何體。GH補形法的要點：abbbaa1.將不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的或體積易于計算的幾何體。2.常見的補形（1）將被平面所截得幾何體還原；（2）將三棱錐補成平行六面體，特別是長方體或正方體；a.三條側(cè)棱互相垂直，補成長方體b.將三棱錐補成三棱柱或平行六面體ABPCc.將正四面體補成正方體解：練習：PABCPABCD（等積轉(zhuǎn)換法）思考這個三棱錐還可以用“割補法”做嗎？“割”或“補”一個幾何體得到常見的幾何體呢？法二

(分割法）取AB、AC的中點M、N，連接PM、PN、MN，則P-AMN是一個棱長為1的正四面體。明顯地，VP-ABC=4VP-AMN故VP-ABC=MNPABCPABCOQ法三：

明顯地，P-ABC是棱長為2的正四面體，所以，VP-ABC=1/2VQ-ABC

（補形法）延長AP至點Q，連接BQ、CQ，求體積的常用方法所給的是非規(guī)范(或條件比較分散的規(guī)范的)幾何體時,通過對圖象的割補或體積變換,化為與已知條件直接聯(lián)系的規(guī)范幾何體,并作體積的加、減法。小結(jié)當按所給圖象的方位不便計算時,可選擇條件較集中的面作底面,